《数值计算方法》试题集及答案

《数值计算方法》复习试题
一、填空题：
1、⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为
A ⎡⎤⎡
⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦。

答案：
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1556141501
4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2
x 的系数为 ，拉格
朗日插值多项式为 。

答案：-1，
)2)(1(21
)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=
x x x x x x x L
4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；
5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；
答案
)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---
=+
6、对1)(3
++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；
7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；
8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为
( 1
2+-n a b )；
10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为
零)。

12、 为了使计算
32)1(6
)1(41310--
-+-+
=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式
改写为
11
,))64(3(10-=
-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改
写为
199920012
+ 。

13、 用二分法求方程01)(3
=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为
0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。

14、 求解方程组⎩⎨
⎧=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为
⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1
k k k k x x x x ，该迭代格
式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121。

15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿插值
多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。

16、 求积公式⎰∑=≈b
a
k n
k k x f A x x f )(d )(0的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有
( 12+n )次代数精度。

21、如果用二分法求方程043
=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ 10 ）次。

22、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211
0)(2
33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则
a =( 3 )，
b =（ 3 ），
c =（ 1 ）。

23、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则
∑==
n
k k
x l
)(( 1 )，∑==n
k k j
k x l
x 0
)((
j
x
)，当2≥n 时=
++∑=)()3(20
4x l x x
k k n
k k ( 32
4++x x )。

24、 25、区间
[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到_____2_____阶的连续导数。

26、改变函数
f x x x ()=+-1 (x >>1)的形式，使计算结果较精确
()x x x f ++=
11。

27、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分 10 次。

28、写出求解方程组
⎩⎨
⎧=+-=+2
4.016.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式
()()
()() ,1,0,4.026.111112211=⎩⎨⎧+=-=+++k x x x x k k k k ，迭代矩阵为
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--64.006.10，此迭代法是否收敛 收敛 。

31、设
A =⎛⎝ ⎫
⎭⎪
5443,则=∞A 9 。

32、设矩阵
482257136A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的A LU =，则U = 4820161002U ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 。

33、若4
321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f = 3 。

34、线性方程组1210151121
03x ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的最小二乘解为
11⎛⎫
⎪
⎝⎭ 。

36、设矩阵
321204135A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦分解为A LU =，则U = 32141003321002⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣
⎦ 。

二、单项选择题：
1、 Jacobi 迭代法解方程组b x =A 的必要条件是（ C ）。

A ．A 的各阶顺序主子式不为零 B ． 1)(<A ρ C ． n i a ii ,,2,1,0 =≠ D ． 1≤A
2、设
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=700150322A ，则)(A ρ为( C )． A ． 2 B ． 5 C ． 7 D ． 3
4、求解线性方程组A x =b 的LU 分解法中，A 须满足的条件是( B )。

A ． 对称阵 B ． 正定矩阵
C ． 任意阵
D ． 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是( A )产生的误差。

A. 只取有限位数 B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C ． 观察与测量 D ．数学模型准确值与实际值 6、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。

A ． 6
B ． 5
C ． 4
D ． 7 7、用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( C )误差。

A ． 模型
B ． 观测
C ． 截断
D ． 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。

A ．控制舍入误差 B ． 减小方法误差 C ．防止计算时溢出 D ． 简化计算
9、用1+3x
近似表示3
1x +所产生的误差是( D )误差。

A ． 舍入
B ． 观测
C ． 模型
D ． 截断 10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。

A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8
11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x 2的系数为( A )。

A ． –0．5 B ． 0．5 C ． 2 D ． -2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。

A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 2 13、( D )的3位有效数字是0.236×102。

(A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10－2 (C) 235.418 (D) 235.54×10－1
14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=?(x)，则f(x)=0的根是( B )。

(A) y=?(x)与x 轴交点的横坐标 (B) y=x 与y=?(x)交点的横坐标 (C) y=x 与x 轴的交点的横坐标 (D) y=x 与y=?(x)的交点
15、用列主元消去法解线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧-=+--=-+-=+-1
340921
433
21321321x x x x x x x x x ，第1次消元，选择主元为( A ) 。

(A) －4 (B) 3 (C) 4 (D)－9
16、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。

(A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x －x1)(x －x2)…(x －xn －1)(x －xn)，
(B)
)!1()
()()()()1(+=
-=+n f x P x f x R n n n ξ (C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x －x0)(x －x1)(x －x2)…(x －xn －1)(x －xn)， (D)
)
()!1()
()()()(1)1(x n f x P x f x R n n n n +++=-=ωξ
18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。

19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相
应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。

(A)
1
1:,1
1
12-=-=+k k x x x x 迭代公式
(B)21211:,11k
k x x x x +=+
=+迭代公式
(C)
3
/12123)
1(:,1k k x x x x +=+=+迭代公式
(D)
11:,12
2
1
2
3+++==-+k k k
k x x x x x x 迭代公式 21、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+)()
1(收敛的充要条件是（ ）。

（1）1)(<A ρ, (2) 1)(<B ρ, (3) 1)(>A ρ, (4) 1)(>B ρ
（1）二次； （2）三次； （3
）四次； （4）五次
251732.
≈计算4
1)x =，下列方法中哪种最好？（ ）
(A)28- (B)24(-； (C ) ； (D) 。

(A)； (B)4； (C) ； (D ) 2。

29Newton 迭代格式为( )
(A)
132k k k x x x +=
+；(B )1322k k k x x x +=+；(C) 122k k k x x x +=+；(D) 133k k k x x x +=+。

30、用二分法求方程32
4100x x +-=在区间12[,]内的实根，要求误差限为3
1102ε-=⨯，则对分次数至少
为( )
(A )10； (B)12； (C)8； (D)9。

32、设()i l x 是以019(,,,)k x k k ==为节点的Lagrange 插值基函数，则9
0()i
k kl k ==
∑( )
(A)x ； （B ）k ； （C ）i ； （D ）1。

35、已知方程3
250x x --=在2x =附近有根，下列迭代格式中在02x =不收敛的是( )
(A)1
k x +=；
(B)1k x += (C )315k k k x x x +=--； (D)3
12
25
32k k k x x x ++=-。

(A ) 4； (B)2； (C)1； (D)3。

三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打?，否则打?）
1、已知观察值)210()(m i y x i i ，，，，
， =,用最小二乘法求n 次拟合多项式)(x P n 时，)(x P n 的次数n 可以任意取。

( )
2、用1-22
x 近似表示cos x 产生舍入误差。

( )
3、))(()
)((210120x x x x x x x x ----表示在节点x 1的二次(拉格朗日)插值基函数。

( ? )
4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。

( ? )
5、矩阵A =⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-521352113具有严格对角占优。

( )
四、计算题：
1、用高斯-塞德尔方法解方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++225218241124321321321x x x x x x x x x ，取T
)0,0,0()0(=x ，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。

答案：迭代格式
2、已知
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。

答案：
)53)(43)(13()
5)(4)(1(6
)51)(41)(31()5)(4)(3(2
)(3------+------=x x x x x x x L
差商表为
5、已知
求)(x f 的二次拟合曲线)(2x p ，并求)0(f '的近似值。

答案：解：
正规方程组为 ⎪
⎩⎪
⎨
⎧=+==+4134103101510520120a a a a a
6、已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表
如用二次插值求63891.0sin 的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。

答案：解： 应选三个节点，使误差
尽量小，即应使|)(|3x ω尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。

即取节点
}7.0,6.0,5.0{最好，实际计算结果
596274.063891.0sin ≈，
且
7、构造求解方程0210=-+x e x
的根的迭代格式 ,2,1,0),(1==+n x x n n ϕ，讨论其收敛性，
并将根求出来，4
110||-+<-n n x x 。

答案：解：令 010)1(,
02)0(,
210e )(>+=<-=-+=e f f x x f x
.
且010e )(>+='x
x f )(∞+-∞∈∀，
对x ，故0)(=x f 在(0,1)内有唯一实根.将方程0)(=x f 变形为 则当)1,0(∈x 时
)e 2(101
)(x x -=
ϕ，
1
10
e
10e |)(|<≤-='x x ϕ
故迭代格式
收敛。

取5.00=x ，计算结果列表如下：
且满足 6671095000000.0||-<≤-x x .所以008525090.0*≈x .
8﹑利用矩阵的LU 分解法解方程组 ⎪
⎩⎪
⎨⎧=++=++=++20531825214
32321321321x x x x x x x x x 。

答案：解：
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==244132
11531
21LU A 令b y =L 得T )72,10,14(--=y ，y x =U 得T
)3,2,1(=x .
9﹑对方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=--=++8
41025410151023321321321x x x x x x x x x
（1） 试建立一种收敛的Seidel 迭代公式，说明理由；
（2） 取初值T
)0,0,0()0(=x ，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求
3)()1(10||||-∞+<-k k x x 。

解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优
故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为 取T )0,0,0()
0(=x
,经7步迭代可得：
T )010000.1,326950999.0,459991999.0()7(*=≈x x .
10、已知下列实验数据
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。

解：当0<x <1时，='')(x f e x ，则 e )(≤''x f ，且x x d e 1
0⎰有一位整数.
要求近似值有5位有效数字，只须误差
4)
(11021
)(-⨯≤
f R n .
由
)(12)()(
2
3
)
(1ξf n a b f R n ''-≤，只要
即可，解得
所以 68=n ，因此至少需将 [0,1] 68等份。

11、用列主元素消元法求解方程组 ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡--11124112345111321x x x 。

解： ⎥⎥
⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−↔⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡----111124111123451111212345411121r r 回代得 3,6,1123==-=x x x 。

12、取节点1,5.0,0210===x x x ,求函数x
x f -=e )(在区间[0,1]上的二次插值多项式)(2x P ,
并估计误差。

解：
)15.0)(05.0()
1)(0()10)(5.00()1)(5.0()(5.002----⨯
+----⨯
=--x x e x x e x P
又
1
|)(|max ,)(,)(]
1,0[3='''=-='''=∈--x f M e x f e x f x x x
故截断误差
|)1)(5.0(|!31
|)(||)(|22--≤
-=-x x x x P e x R x 。

15、用牛顿(切线)法求3的近似值。

取x 0=1.7, 计算三次，保留五位小数。

解：3是03)(2
=-=x x f 的正根，x x f 2)(='，牛顿迭代公式为
n n n n x x x x 23
2
1
--
=+， 即
)
,2,1,0(2321 =+=+n x x x n n n
取x 0=1.7, 列表如下：
16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1，5)的近似值，取五位小数。

解：
)12)(12()
1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+⨯
--+-+⨯+------⨯
=x x x x x x x L
18、用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--411131103⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x =⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--815， 取x (0)=(0,0,0)T ,列表计算三次，保留三位小数。

解：Gauss-Seidel 迭代格式为：
系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡--411131103严格对角占优，故Gauss-Seidel 迭代收敛. 取x (0)=(0,0,0)T ，列表计算如下:
20、（8分）用最小二乘法求形如2
bx a y +=的经验公式拟合以下数据：
解：
},1{x span =Φ 解方程组 y A AC A T T = 其中
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3529603339133914A A T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=7.1799806.173y A T 解得：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a ， 0501025.0=b 22、（15分）方程013=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）31+=x x 对
应迭代格式311+=+n n x x ；(2)x x 11+=对应迭代格式
n n x x 111+=+；（3）13-=x x 对应迭代格式131-=+n n x x 。

判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，精确到小数点后
第三位。

解：（1）32
1(31)(-+='）x x ϕ，118.05.1<='）（ϕ，故收敛；
（2）x x x 1121)(2+-='ϕ，117.05.1<='）（ϕ，故收敛； （3）23)(x x ='ϕ，15.135.12>⨯='）（ϕ，故发散。

选择（1）：
5.10=x ，3572.11=x ，3309.12=x ，3259.13=x ，3249.14=x ，
32476.15=x ，32472.16=x 23、（8分）已知方程组f AX =，其中
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4114334A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f
（1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。

（2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径。

解：Jacobi 迭代法：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=-=+++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k
Gauss-Seidel 迭代法：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=-=+++++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41)1(2)1(3)(3)1(1)1(2)(2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=+-=-0430430430430)(1U L D B J ， 790569.0)410(85)(==或J B ρ
31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近似值，并利用余项估计误差。

用Newton 插值方法：差分表：
≈11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)
=10.7227555
33、(10分)用Gauss 列主元消去法解方程组：
⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++276234532424321
321321x x x x x x x x x
3.0000 1.0000 5.0000 3
4.0000
0.0000 3.6667 0.3333 12.6667
0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333
3.0000 1.0000 5.0000 3
4.0000
0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333
0.0 0000 1.9375 9.6875 34、(8分)求方程组 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛12511213121x x 的最小二乘解。

()b A x A A T T =，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2081466321x x ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0000.23333.1x
若用Householder 变换，则：
最小二乘解： (-1.33333，2.00000)T
. 37、（15分）已知方程组Ax b =，其中
122111221A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，123b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， （1）写出该方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式；
（2）判断（1）中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快；
解：（1）Jacobi 迭代法的分量形式
Gauss-Seidel 迭代法的分量形式
（2）Jacobi 迭代法的迭代矩阵为
1022101220()B D L U --⎡⎤⎢⎥=+=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，
1230λλλ===，01()B ρ=<，Jacobi 迭代法收敛 Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵为
1022023002()G D L U --⎡⎤⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，
12302,λλλ===，21()B ρ=>，Gauss-Seidel 迭代法发散
(2)作均差表，写出相应的三次Newton 插值多项式，并计算15(.)f 的近似值。

解：（1） （2）均差表：0
11329327 2
618 26 4
3。