天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷普通高中高三调研测试文科

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1
1
（第5题）
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷普通高中高
三调研测试文科
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}
02|2
<--=x x x M ，{}11|<<-=x x N ，则
A ．M 是N 的真子集
B ．N 是M 的真子集
C ．N M =
D ．φ=N M 2．已知 i 为虚单位，复数i z 2
321+-
=，则=+||z z A ．i 2321-
- B ．i 2321+- C ．i 2321+ D ．i 2
3
21- 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间) , 0(∞+上单调递减的是
A ．x
y 1=
B ．x e y -=
C ．12
+-=x y D ．||lg x y = 4．实数x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥-≤+0034y y x y x ，则目标函数y x z -=2的最小值为
A ．1-
B ．2
C ．4
D ．8 5．三视图如右图的几何体的体积为 A ．
3
4
B ．1
C ．2
D ．
3
2 6．已知p ：k x ≥，q ：
11
3
<+x ．如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是 A ．) , 2[∞+ B ．) , 2(∞+ C ．) , 1[∞+ D ．]1 , (--∞
7．向量a 、b 满足1| |=a ，2| |=b ，且 ) (a b a ⊥+，则a 与b 的夹角为
A ．0
30 B ．0
60 C ．0
120 D ．0
150
8．已知角θ的始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则=θ2cos
A ．54-
B ．53-
C ．53
D ．5
4 9．在等差数列{}n a 中，62
1
129+=a a ，则数列{}n a 的前11项和=11S
第16题
A ．132
B ．66
C ．48
D ．24
10．一条光线从点)3 , 2(--射出，经y 轴反射后与圆1)2()3(2
2
=-++y x 相切，则反射光线所在直线的斜率为 A ．35-
或53-B ．23-或32-C ．45-或54-D ．34-或4
3- 11．已知椭圆C ：122
22=+b
y a x （ ）0>>b a 的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且
x BF ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ，若2=，则椭圆C 的离心率是
A ．
21 B ．3
1
C ．22
D ．23
12．已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧>+-≤<=3 , 83103
130
, |log |)(23x x x x x x f ，若)()()()(d f c f b f a f ===，且
d c b a <<<<0，则d c ab ++的值是
A ．14
B ．13
C ．12
D ．11
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．已知递减．．的等比数列{}n a 满足11=a ，25223-=a a ，则通项=n a ． 14．函数1ln )(+-=ax x x f 在] , 1
[e e
内有零点，则实数a 的取值范围为．
15．已知抛物线x y 82
=的准线过双曲线122
22=-b
y a x （0>a ，0>b ）
的一个焦点，且双曲线的实轴长为2，则该双曲线的方程为． 16．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 对角线1BD 的三等
分点，P 到直线1CC 的距离为．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知{}n a 是正项等差数列，{}n a 的前n 项和记为n S ，31=a ，532S a a =⋅． ⑴求{}n a 的通项公式； ⑵设数列{}n b 的通项为n
n S b 1
=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本小题满分12分）
已知函数1)6
cos(sin 4)(++=π
x x x f ，R x ∈．
⑴求)(x f 的最小正周期；
P
A
B
C D
E 第19题
⑵求)(x f 在区间]3
, 4[π
π
-
上的最大值和最小值． 19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥ABCD P -中，侧棱⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E 为侧棱PC 上一点．
⑴若PC BE ⊥，求证：平面⊥BDE 平面PBC ； ⑵若//PA 平面BDE ，求证：E 是PC 的中点． 20．（本小题满分12分）
已知椭圆C ：122
22=+b
y a x （ ）0>>b a 的焦
点为1F 、
2F ，短轴为21B B ，四边形2211B F B F 是边长为2的
正方
形．
⑴求椭圆C 的方程；
⑵过点)3
1 , 0(-P 且斜率为k 的直线交椭圆C 于A 、B 两点，证明：无论k 取何值，以AB 为
直径的圆恒过点)1 , 0(D ．
21．（本小题满分12分）
已知函数x x f ln )(=，0>x ．
⑴证明：) , 0( , 21∞+∈∀x x ，2
)
()()2(
2121x f x f x x f +≥+； ⑵若1>x 时，不等式m
x m x x f ++->)
1)(1()(恒成立，求常数m 的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）
已知向量1OP 、2OP 、3OP 满足条件0321=++OP OP ，1||||||321===OP OP ． ⑴求证：321P P P ∆是正三角形；
⑵试判断直线1OP 与直线32P P 的位置关系，并证明你的判断． 23．（本小题满分10分）
已知α、β、γ是三个平面，a =βα ，b =γα ，c =γβ ． ⑴若O b a = ，求证：a 、b 、c 三线共点；
⑵若b a //，试判断直线a 与直线c 的位置关系，并证明你的判断． 24．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线1 l ：01543=-+y x ，2l 经过点O 且与 1l 垂直．
⑴求直线 2l 的方程；
⑵设1 l 、2l 、x 轴两两相交的交点为A 、B 、C ，试求ABC ∆内接圆的方程．
参考答案
一、选择题 BDCA BBCB ADAD 二、填空题 n
-12，]1 , 0[（端点、开闭每个1分，全对5分），13
2
2
=-y x ，35
三、解答题
17．解：⑴设{}n a 的公差为d ，由已知得)23(5)23)(3(d d d +=++……2分
解得2=d ，或2
3
-
=d （与题意“{}n a 是正项等差数列”不符，舍去）……4分， {}n a 的通项公式为12)1(1+=-+=n d n a a n ……5分 ⑵由⑴得)2(2
)
(1+=+=
n n a a n S n n ……6分 )2
11(21)2(11+-=+==n n n n S b n n ……8分
)]211()1111()5131()4121()311[(21+-++--++-+-+-=n n n n T n ……9分
]2
1
11211[21+-+-+=n n ……11分，)2)(1(4532+++=
n n n n ……12分 18．解：⑴1)6
sin sin 6cos
(cos sin 4)(+-=π
π
x x x x f ……1分
x x x x x 2cos 2sin 31sin 2cos sin 322+=+-=……3分
)6
2sin(2π
+
=x ……5分
)(x f 的最小正周期ππ
==
2
2T ……7分 ⑵当34ππ≤≤-x 时，65623πππ≤+≤-x ……10分
（对1个端点给2分，全对给3分）
)(x f 在区间]3
, 4[π
π-上的最大值2=M ，最小值3-=m ……12分
19．证明：⑴连接AC ，因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥……1分 因为⊥PA 底面ABCD ，所以BD PA ⊥……2分
因为A AC PA = ，所以⊥BD 平面PAC ……4分，PC BD ⊥……5分
因为PC BE ⊥，B BE BD = ，所以⊥PC 平面BDE ……6分 因为⊂PC 平面PBC ，所以平面⊥BDE 平面PBC ……8分
⑵设O BD AC = ，连接OE ，因为ABCD 为菱形，所以OC AO =……9分 因为//PA 平面BDF ，平面 PAC 平面OE BDE =，所以OE PA //……11分
所以EC PE =，E 是PC 的中点……12分 20．⑴依题意，c b =，222=
=+a c b ……2分，1=b ……3分
椭圆C 的方程为1222
=+y x ……4分 ⑵过点)31 , 0(-P 且斜率为k 的直线的方程为kx y =+3
1
……5分
由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=+kx y y x 31122
2得01612)918(2
2=--+kx x k ……6分 设) , (11y x A 、) , (22y x B ，则91812221+=
+k k x x ，9
1816
22
1+-=⋅k x x ……7分 )1 , (11y x --=，)1 , (22y x --= )1)(1(2121y y x x --+=⋅……8分
9
16
)(34)1(21212++-
+=x x k x x k ……9分 0916
91812349
18)1(16222=++⨯-++-=k k k k k ……10分
所以⊥，0
90=∠ADB ……11分
所以D 在以AB 为直径的圆上，即以AB 为直径的圆恒过点)1 , 0(D ……12分 21．⑴证明：2ln )2(
2121x x x x f +=+，212121ln )ln (ln 2
12)()(x x x x x f x f =+=+ ……2分
) , 0( , 21∞+∈∀x x ，
02
212
1>≥+x x x x ……3分 因为x x f ln )(=在区间) , 0(∞+上是增函数，所以2
)
()()2(2121x f x f x x f +≥+ ……4分
⑵设m
x m x x m x m x x f x g ++--
=++--
=)
1)(1(ln )1)(1()()(，则 2
222/
)
()
1)(()()1(1)(m x x x m x m x m x x g +--=++-=……5分 解0)(/
=x g 得2
m x =或1=x ……6分
若12
≤m ，则1>∀x ，0)
()
1)(()(2
2/
>+--=m x x x m x x g ……8分，1>∀x ，0)1()(=>g x g ，m
x m x x f ++->
)
1)(1()(……9分
若12
>m ，则当) , 1(2
m x ∈时，0)
()
1)(()(2
2/
<+--=m x x x m x x g ……10分，从而0)1()(=<g x g ，m
x m x x f ++-<
)
1)(1()(……11分
所以，12
≤m ，m 的取值范围为]1 , 1[-……12分．
22. 证明：⑴（方法一）∵0321=++OP OP ，∴123OP OP OP +=-
∴2
2123()OP OP OP +=，∴2
2
2
112232OP OP OP OP OP +⋅+=……1分
∵1||||||321===OP OP OP ，
∴222
1231OP OP OP ===，∴121
2
OP OP ⋅=-……3分 32||||2
121222
12221=+⋅-=-=OP OP OP P P ……5分
∴3||21=P P ，同理3||||32231==P P P P
，∴321P P P ∆是正三角形……6分
（方法二）设111(,)P x y ，222(,)P x y ，333(,)P x y
∵1||||||321===OP OP ，
∴2211222222331
11x y x y x y ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩
……1分 ∵0321=++OP OP OP ，
∴12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩∴123
123
x x x y y y +=-⎧⎨+=-⎩……2分
∴2222121233()()x x y y x y +++=+……3分
∴222222112212123322x y x y x x y y x y +++++=+，∴1212221x x y y +=-……4分
∴12PP =
12PP =
=
1323PP P P =，
∴121323PP PP P P ==，∴321P P P ∆是正三角形……6分 ⑵123OP P P ⊥……7分
证明：∵0321=++OP OP OP ，∴123OP OP OP =--
∴2
2
123132233223()()()OP P P OP OP OP OP OP OP OP OP OP ⋅=-=---=-……9分 ∵1||||||321===OP OP ，2
2
23OP OP =，∴1230OP P P ⋅=，
123OP P P ⊥---10分 23. 证明：⑴∵O b a = ，∴O a O b ∈∈,
∵a =βα ，b =γα ，∴a b βγ⊂⊂，∴O O βγ∈∈,，即O β
γ=……3分
又∵c =γβ ，∴O c ∈，即,O a O b O c ∈∈∈,，∴a 、b 、c 三线共点------5分
⑵//a c ……6分
∵a =βα ，b =γα ，b a //，∴,a b γγ⊄⊂……8分 又∵b a //，∴//a γ……9分 又∵,a c ββ
γ⊂=，∴//a c ……10分
24. ⑴直线 1l 的斜率为
……1分，
∵
，∴直线 2l 的斜率
……2分， 又∵2l 经过点O ，∴直线 2l 的方程为，或
……3分 ⑵设ABC ∆内接圆的圆心为
，依题意，圆的半径为
……4分
……6分，由图可知，圆心
在直线1 l 的左下方，在2l 的右下方，
所以……8分，解得……9分，
ABC ∆内接圆的方程为1)1()2(22=-+-y x ……10分．
创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重
创作单位： 博恒中英学校。