2012北京市高三二模理科数学分类汇编(12)圆锥曲线

十二、圆锥曲线（选修2-1）
1.（2012年朝阳二模理3）已知双曲线
22
15
x y m -=（0m >）的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ C ）
A ．6
B
C ．32
D ． 3
4
2.（2012年海淀二模理5）已知点12,F F 是椭圆2
2
22x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆
上的一个动点，那么12PF PF +u u u r u u u u r
的最小值是（ C ）
A ．0 B.1 C.2 D.
3.（2012年丰台二模理10）已知椭圆22
221(7
x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离
分别
是5和3，则该椭圆的离心率为______．
答案：
4。

4.（2012年昌平二模理10）已知双曲线的方程为14
22
=-y x ，则其渐近线的方程为____________,若抛物线px y 22
=的焦点与双曲线的右焦点重合，则_______p =. 答案：x y 2
1
±
=, 52。

5.（2012年东城二模理7）若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线2
2
1y x m
+=的离心率为 （ D ）
A ．
2 2或2 D.2
6.（2012年西城二模理18）已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，
B 两点．
（Ⅰ）若2AF FB =u u u r u u u r
，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．
解：（Ⅰ）依题意(1,0)F ，设直线AB 方程为1x my =+． ………………1分
将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2
440y my --=． …………3分
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 124y y m +=，124y y =-． ① ………………4分
因为 2AF FB =u u u r u u u r ，
所以 122y y =-． ② ………………5分
联立①和②，消去12,y y
，得m =． ………6分 所以直线AB
的斜率是±． ………………7分
（Ⅱ）由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线
AB 的距离相等，
所以四边形OACB 的面积等于2AOB S ∆． ……… 9分 因为 12122||||2
AOB S OF y y ∆=⨯⋅⋅- ………10分
== ………12分
所以 0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4． …………13分 7.（2012年朝阳二模理19）在平面直角坐标系xOy 中，
已知点(A
，B ，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为1
2
-
.（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N .若点P 在y 轴上，且
PM PN =，求点P 的纵坐标的取值范围.
解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y
1
2=-，
整理得2
21(2
x y x +=≠. 所以动点E 的轨迹C
的方程为2
21(2
x y x +=≠. …5分 （II ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0. ……6分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.
将(1)y k x =-代入2
212
x y +=并整理得，
2222(21)4220k x k x k +-+-=. 2880k ∆=+>. 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 2122
2221k x x k -=+. 设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21Q Q
k
y k x k =-=-+， 所以22
22(,)2121
k k
Q k k -++. ………9分 由题意可知0k ≠，
又直线MN 的垂直平分线的方程为2
2212()2121
k
k y x k k k +
=--++. 令0x =解得2
11
21
2P k y k k k
=
=
++
. ……10分
当0k >时，因为1222k k +
≥2
0422P y <≤=
； 当0k <时，因为1222k k +
≤-2
0422
P y >≥=-
2分 综上所述，点P 纵坐标的取值范围是22
[. ……13分 8.（2012年丰台二模理19）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P(x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；（Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．
解：（Ⅰ）依题意设抛物线C ：2
2(0)x py p =>，
因为点P 到焦点F 的距离为5，
所以点P 到准线2
p
y =-
的距离为5． 因为P(x 0，4)，所以由抛物线准线方程可得 12
p
=，2p =．
所以抛物线的标准方程为2
4x y =． ……4分
即 214y x =
，所以 1
'2
y x =，点P(±4，4)， 所以 41'|(4)22x y =-=⨯-=-，41
'|422
x y ==⨯=．
所以 点P (-4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-+，即240x y ++=； 点P (4，4)处抛物线切线方程为42(4)y x -=-，即240x y --=．
P 点处抛物线切线方程为240x y ++=，或240x y --=． ……7分
（Ⅱ）设直线l 的方程为2y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，
联立 242x y y x m
⎧=⎨=+⎩，消y 得 2
840x x m --=，64160m ∆=+>．
所以 128x x +=，124x x m =-， 所以
1242x x +=，1282
y y
m +=+， 即AB 的中点为(4,8)Q m +．
所以 AB 的垂直平分线方程为1
(8)(4)2
y m x -+=--． 因为 四边形AMBN 为菱形，
所以 (0,10)M m +，M ，N 关于(4,8)Q m +对称， 所以 N 点坐标为(8,6)N m +，且N 在抛物线上， 所以 644(6)m =⨯+，即10m =，
所以直线l 的方程为 210y x =+． ………14分
9.（2012年昌平二模理19）如图，已知椭圆M:)0(122
22>>=+b a b
y a x ,离心率36=e ,
椭圆与x 正半轴交于点A ，直线l 过椭圆中心O ，且与椭圆交于B 、C 两点，B (1,1). (Ⅰ) 求椭圆M 的方程；（Ⅱ）如果椭圆上有两点Q P 、,使PBQ ∠的角平分线垂直于AO ，问是否存在实数)0(≠λλ使得λ=成立？ 解：(Ⅰ)由题意可知2)(136a
b
e -==
,得 223b a = … 2分
)11(,B 点Θ在椭圆上
1112
2=+b a 解得：3442
2=
=b ,a …… 4分 故椭圆M 的方程为：14
342
2=+y x … 4分 （Ⅱ）由于PBQ ∠的平分线垂直于OA 即垂直于x 轴，故直线PB 的斜率存在设为k ，则QB 斜率为 - k ，因此PB 、QB 的直线方程分别为y = k (x-1)+1， y = -k (x-1) +1… 6分
由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1434
1
)1(22y x x k y 得01631631222=--+--+k k x )k (k x )k (①
由0>∆ ，得3
1
-
≠k … 8分 Θ点B 在椭圆上，x =1是方程①的一个根，设),(),,(Q Q p p y x Q y x P
13163122+--=⋅∴k k k x P 即1316322+--=∴k k k x P ，同理1
31
632
2+-+=k k k x Q ……10分 ∴=PQ
k 311
312213)
13(22)(2
22=+--+-⋅=--+=--k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P
)1,1(),0,2(--C A Θ 3
1
=∴AC k 即：AC PQ k k =
∴向量//，则总存在实数λ使λ=成立. ………13分
10.（2012年东城二模理18）已知抛物线C ：2
4x y =，M 为直线:l 1y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线,MA MB ，切点分别为A ,B .（Ⅰ）当M 的坐标为(0,1)-时，求过,,M A B 三点的圆的方程； （Ⅱ）证明：以AB 为直径的圆恒过点M . 解：（Ⅰ）当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，
由24,1,
x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2
440x kx -+=. (1) 令2
(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±.
代入方程(1)，解得(2,1),(2,1)A B -. …3分
设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为2
2
(1)4x y +-=． ……5分
证明：（Ⅱ）设0(,1)M x -，由已知得24x y =，1
2
y x '=，设切点分别为211(,
)4x A x ，222(,)4x B x ， 所以12MA x k =，22
MB x
k =，
切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即21111
24
y x x x =-， 切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即22211
24
y x x x =-． ……7分 又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111
124x x x -=
-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得2
02211124
x x x -=-. ②
所以1x ，2x 是方程2
011124
x x x -=-的两实根，
由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-． ……9分
因为2110(,1)4x MA x x =-+u u u r ，2220(,1)4x MB x x =-+u u u r ， 所以22
121020()()(1)(1)44
x x MA MB x x x x ⋅=--+++u u u r u u u r 222
2
212120120121()()1164
x x x x x x x x x x =-++++++ 222
2
1212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣
⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=u u u r u u u r
.……13分
所以以AB 为直径的圆恒过点M ． ………14分
11.（2012年海淀二模理18）已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为(1,0)F ，且
点(-在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点F ，且与椭
圆C 交于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得7
16
QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立？若存在，
求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）由题意知：1c =.
根据椭圆的定义得：22
a =
，即a =……3分
所以 2
211b =-=.
所以 椭圆C 的标准方程为2
212
x y +=. ……………4分 （Ⅱ）假设在x 轴上存在点(,0)Q m ，使得7
16
QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.
当直线l 的斜率为0
时，(A B .
则
7
,0)(,0)16
m m ?=-
. 解得 5
4
m =?
. ………6分 当直线l
的斜率不存在时，(1,
(1,22
A B -.
由于557(1,(1,42
4216+
?-?，所以5
4m ?.
下面证明54m =时，7
16
QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.……8分
显然 直线l 的斜率为0时，7
16
QA QB ⋅=-u u u r u u u r .
当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y .
由221,21
x y x ty ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(2)210t y ty ++-=. 显然0∆>.
1221222,2
1.2t y y t y y t ìïï+=-ïï+ïí
ïï=-ïï+ïî
………10分 因为 111x ty =+，221x ty =+，
所以 112212125
511
(,)(,)()()4
444
x y x y ty ty y y -?=--+ 2
121211(1)()416
t y y t y y =+-++
2
221121
(1)
24216
t t t t t =-+++++ 2222217
2(2)1616
t t t --+=+=-+.
综上所述：在x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得7
16
QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.…13分。