【创新设计】高三数学一轮复习 第3单元 3

及利用图象解简单三角不等式等，性质方面常有最小正周期、最值、单调区 间等.
(2009·重庆)(本题满分13分，(1)小问7分，(2)小问6分)设函数f(x)＝
(1)求f(x)的最小正周期； (2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈ g(x)的最大值.
时y＝
【答题模板】
解答：(1)f(x)＝2cos2x＋ sin 2x＋m＝2sin(2x＋ )＋m＋1，
∴函数f(x)的最小正周期T＝ ＝π，在[0，π]上的单调递增区间为
[0， ]、[ ，π]．
(2)当x∈[0， ]时，∵f(x)递增，∴当x＝ 时，f(x)的最大值为m＋3，
当x＝0时，f(x)的最小值为m＋2.由题设知
(π，－1)
( ，0) (2π，1)
,1) ， 0)
2.三角函数的图象和性质
{x∣x≠＋kπ， k∈Z}
递增
偶函数 递增
π 递增
3. 周期性
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一
个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这
答案：B
1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/182022/1/182022/1/181/18/2022 7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/182022/1/18January 18, 2022 8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/182022/1/182022/1/182022/1/18
2．在提供的答案中第(2)问中利用代入法求出了y＝g(x)的解析式，实际上可直接利
用对称性求出函数y＝g(x)，x∈
的最大值，具体解法如下：
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解析：函数y＝|sin x|的图象如右图所示： 可观察出函数y＝|sin x|在(π， ) 上递增． 答案：C
2．将函数y＝sin ωx(ω>0)的图象按向量a＝(－ ，0)平移，平移后的图象如图所 示，则平移后的图象所对应函数的解析式是( )
A．y＝sin(x＋ )
B．y＝sin(x－ )
C．y＝sin(2x＋ )
3.3 三角函数的图象与性质
能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性/理解正弦
函数、余弦函数在区间[0,2π]的性质(如单调性、最大和最小值与轴交点等)/理解
正切函数在区间(－
)内的单调性/了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义/能
画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响/了解三
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，主要有两种途径： “先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”．
【例1】为了得到函数y＝sin(2x－ )的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象 ( )
A．向右平移 个单位长度
B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
(2)在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点为(2－x， g(x))．由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，可知
【分析点评】
1. 本题主要考查考生对于基本三角函数公式的掌握情况，应用基本三角函数公式化 简相关三角函数式的能力及两个函数图象对称时求相关函数解析式方法的掌握情 况，如何根据角的范围确定相关三角函数式的最值的能力．
个函数的周期．
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这 个最小正数就叫做f(x)的 最小正周期 ．
函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R及函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R(其中A、ω、φ
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝
.
1．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是( )
，解之，得－6<m<1.
【方法规律】
1．图象变换的两种途径：先相位变换后周期变换(先平移再伸缩)；先周期变换后 相位变换(先伸缩再平移)．
2．求三角函数的定义域时要注意综合考虑题目的特有的属性． 3．求三角函数的周期、奇偶性、最值、单调区间时恒等变形是关键．
一般是变形为y＝Af(ωx＋φ)(其中f代表sin，cos或tan)后再求解． 4．三角函数图象和性质为必考知识点，图象方面常有图象选择、平移、对称以
角函数是描述周期变化现象的重要函数模型/会用三角函数解决一些简单实际问
பைடு நூலகம்
题
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) ( (π，0) ( ，－1) (2π，0)
余 弦 函 数 y ＝ cos x ， x∈[0,2π] 的 五 个 关 键 点 是 ： (0,1) (
的f(x)的表达式．
变式2.下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．y＝sin(x＋ )
B．y＝sin(2x－ )
C．y＝cos(4x－ )
D．y＝cos(2x－ )
答案：D
形如y＝asin x＋bcos x，y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x等函数可化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，进而可解决三角函数的图象和性质等问题．
D．y＝sin(2x－ )
解析：函数y＝sin ωx(ω>0)的图象按向量a＝(－ ，0)平移，平移后图象对
应的解析式是
答案：C
3．已知函数f(x)＝ (sin x＋cos x)－ |sin x－cos x|，则f(x)的值域是( ) 答案：C
4．若f(x)＝asin(x＋ )＋3sin(x－ )是偶函数，则a＝________. 答案：－3
变式1. 函数f(x)＝|sin x＋cos x|的最小正周期是( )
A.
B.
C．π
D．2π
解析：f(x)＝|sin x＋cos x|＝
，结合f(x)的图象可知f(x)的最小
正周期为π.
答案：C
可由函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值求A；利用其周期(或半个周期，四分之一周期 等)求ω；由五点作图的过程求φ. 【例2】由下列f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A＞0,0≤φ＜ )的一段图象确定各图象对应
【例3】设函数f(x)＝ cos2ωx＋sin ωxcos ωx＋a(其中ω>0，a∈R)，
且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为 .
(1)求ω的值；(2)如果f(x)在区间
上的最小值为 ，
求a的值．
变式3. 设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cos x,1)，b＝(cos x， sin 2x＋m) (1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间； (2)当x∈[0， ]时，－4<f(x)<4恒成立，求实数m的取值范围．