2020届全国高考数学增分练高考预测卷解析版

2020 届全国高考数学增分练高考展望卷（一）本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每个小题 5 分，共 60 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．
1．设会合 A＝ { y|y＝log3x,0<x≤9} ，B＝{ x|2 019x>1} ，则 A∩B＝()
A ．(0,2)B．(0,2]
C．(－∞， 2]D．R
分析会合 A＝{ y|y＝ log3x,0<x≤9} ＝{ y|y≤2} ，
x
∴A∩ B＝ { x|0<x≤ 2} ＝(0,2] ．应选 B.
答案 B
2．设复数 z1， z2在复平面内对应的点对于虚轴对称，且z1＝1＋ i，则 z1z2＝()
A ．－ 1＋ i B．2
C．－ 2D．－ 1－ i
分析因为两个复数对应的点对于虚轴对称，所以两个复数的实部互为相反数且虚部同
样，所以复数 z2＝－ 1＋i ，z1z2＝(1＋ i)( －1＋i) ＝－ 2，应选 C.
答案 C
3.如图， A、B、C 是单位圆上的三平分点，以下说法错误的选项是()
→→→
＝－ (OB＋OC
)
A. OA
→→
B.OA 与 BO的夹角为 120°
→→→
C.OA ⊥ (OB－OC )
→→ 1
在 OB上的投影为－
D. OA
2
分析对于 A ，由平行四边形法例可知→ → →→
OB＋ OC＝ AO＝－ OA，正确；
→→
→→→→ →→ →
－1
－
1
对于 C，OA·－OC ＝·－OA·＝1×1×－1×1×＝ 0，正确；
(OB ) OA OB OC
2 2
→→ 1
对于 D，OA在 OB上的投影为－2，正确，应选 B.
答案 B
．数列n 的前
n 项和 n 2＋n，若 b n＝－n，则 n 的最小值为
()
4 { a } S ＝n (n 5)a b
A ．－25
B．－ 12 2
5
C．－ 8 D．－2
分析当 n＝ 1 时， a1＝，
2
当 n≥2 时， a n＝S n－S n－1＝ n2＋n－(n－ 1)2－(n－ 1)＝2n，当 n＝1 时明显合适上式，所以 a n＝2n， n∈ N*，
所以 b n＝ (n－5)a n＝ 2n(n－5)．
5
令 f(x)＝2x(x－ 5)，易知对称轴为 x＝2，
所以 b n的最小值为2＝ 3 ＝－应选
b b 12. B.
答案 B
5．已知 p：x≤m，q：4 <1，假如 p 是 q 的充分不用要条件，则实数 m 的取值范围是 ()
x＋1
A ．[2 ，＋∞ ) B．(2，＋∞ )
C．(－∞，－ 1] D．(－∞，－ 1)
分析设 A＝{ x|x≤m} ，B＝ x
4
<1 ＝{ x|x<－1 或 x>3} ．∵ p 是 q 的充分不用要条件，x＋1
∴A B，∴ m<－1，∴实数 m 的取值范围是 (－∞，－ 1)．应选 D.
答案 D
6．从 6 人中选出 4 人参加数学、物理、化学、生物比赛，每人只好参加此中一项，每项
比赛一定有人参加，此中甲、乙两人都仅能参加化学比赛，其余 4 人四项比赛都能参加，则不一样的参赛方案的种数为 ()
A ．48 B．72
C．144 D．480
分析分红两类：
(1) 甲乙均不参加比赛：共有
4
种状况；A4＝24
(2) 甲乙有且只有一人参加比赛：共有 1 3 种状况．
C A ＝ 48
2 4
∴不一样的参赛方案共有
24＋48＝72 种．应选 B.
答案
B
7．以下图的程序框图的输出结果为
y ＝44.5，则循环体的判断框内应填 (
)
A ．x<88?
B ．x ≤89?
C ．x<89?
D ．x ≤88?
分析
因为 cos 21°＋cos 22°＋ ＋cos 289°
＝ 44(cos 21°＋cos 289°)＋ cos 245°
＝ 44(cos 21°＋sin 21°)＋cos 245°＝44.5，所以 x ≤89.
答案
B
1
8．已知数列 { a n } 中，a 1＝ 1，a 2＝ 3，a 3＝7，且{ a n ＋1－a n } 成等比数列，则知足不等式 1＋a n
－ 1 ≥
λ
的实数 λ的最大值是 ( )
1＋a n ＋ 1 1＋a n ＋2
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
分析 由 a 2－ 1＝ ， 3－ 2＝ ，得公比 ＝ ，所以
n ＋1－ n ＝ 2－ n － 1 ＝ n
1 · 2
.
a 2 a a 4 q 2 a a (a a ) 2
所以 a n ＝ 1＋ 2－ 1 ＋
3－ 2 ＋ ＋ n － n － 1 ＝ ＋ ＋ 2 n －
1 n
＋ ＋ 2 ＝2 － 1.
a (a a ) (a a ) (a a ) 1 2 2
进而，由不等式 1 1 ≥ λ 1 1 λ
－ 1＋ a
，得 n － n ＋1≥ n ＋ 2，即 λ≤2.则 λ的最大值是 2. 1＋a 1＋a 2 2 2 2
n
n ＋ 1 n ＋ 答案 A
9．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为
4π
3 ，那么
这个正三棱柱的体积是 (
)
A ．12 3
B ．2
3
C ．6 3
D ．48 3
分析 由4πR 3
＝4
π，得球的半径 R ＝1，
3 3
∴正三棱柱的高等于球的直径，即 h ＝2R ＝2.
设三棱柱的底面边长为 a ，
13
则 3× 2 a ＝1，∴ a ＝2 3，
3
∴该正三棱柱的体积 V ＝ 4 ×(2 3)2×2＝6 3，应选 C.
答案 C
π
7π 10．已知函数 f(x)＝ 4sin(ωx＋φ) ω>0，－ 2<φ<0 的部分图像以下图，此中 A 12，2 ，
13π
B 12 ，－ 2 ，则函数 f(x)的单一递减区间为 (
)
7π 5π
A. 6 ＋ k π， 3 ＋k π(k ∈Z) 5π 13π
B.
3 ＋ k π， 6 ＋k π(k ∈ Z)
11π
17π
C. 12 ＋k π， 12 ＋k π(k ∈Z) 17π 23π
D. 12 ＋k π， 12 ＋k π(k ∈Z)
依题意， T ＝ 13π 7π π
2 π 7π 7π 分析
，解得 ω＝2.因为 f
＝4sin
＋ φ＝2，
12 － ＝ ，所以 T ＝π＝ 12 6 2 12 2 ω
所以 sin 7π 1，所以 7π π 7π 5π
6 ＋φ＝ 6 ＋φ＝ ＋2n π(n ∈ Z)或 6 ＋φ＝ 6 ＋ 2n π(n ∈ Z)，解得 φ＝－ π＋2n π(n
2 6
π π π π π
∈Z)或 φ＝－ ＋2n π(n ∈ Z)．因为－ φ ，所以 φ＝－ ，所以 f(x)＝4sin 2x － 3
.
令 ＋ 2k π<2x
< <0
π 3π
5π 11π
－ 3 < 2 ＋ 2k π(k ∈ Z) ，解得 12＋ k π<x 12 ＋ k π(k ∈ Z) ．所以函数 f(x) 的单一递减区间为 5π 11π
12＋k π， 12 ＋ k π(k ∈ Z)．因为函数 f(x) 的最小正周期为 π，所以选项 D 切合题意．应选 D.
答案 D
x 2 y 2
11．设 F 1，F 2 是双曲线 a 2－b 2＝ 1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点
→ → → ＝0(O 为坐标原点 )，且 |PF 1 ＝ 2 ，则双曲线的离心率为
＋ OF 2
·2
3|PF ( )
P ，使 (OP ) F P | |
A. 2＋1 B ． 2＋1
2
C. 3＋1
D ． 3＋1
2
分析 取 PF 2 的中点 ，则由 →
→ →
→ →
→
→ 在△
1 2
＋OF 2 ·2 ＝ 0，得 2OA ·2 ＝0，即OA ⊥F 2
A (OP
) F P
F P
P. PF F
中，OA 为△ PF 1
F 2 的中位线，所以 PF 1⊥
PF 2，所以
1
2
＋|PF 2 2
＝(2c)
2
又由双曲线定义知
1
|PF |
|
.
|PF | － |PF 2 ＝
，而
1 ＝
2 ，所以
2 ＝ ，所以
－ ＝ ，解得 ＝
＋ 应选
D.
| 2a |PF | 3|PF
|
|PF | c
( 3 1)c 2a e 3 1.
答案
D
x
12．已知函数 f(x)＝|x|e
，对于 x 的方程 f 2(x)－2af(x)＋ a － 1＝ 0(a ∈ R)有 3 个相异的实数根，
则 a 的取值范围是 (
)
2
－1
2
－1
e
，＋∞
B ．
－∞，
e
A.
2e － 1
2e －1
C. 0，
e 2－1
D ．
e 2－1 2e －1
2e － 1
e x
x ， x>0，
e x x －1
分析 f(x)＝
e x
当 x>0 时， f ′(x)＝ x 2
，当 0<x<1 时， f ′ (x)<0，函数
－ x ，x<0，
单一递减，
当 x>1 时， f ′ (x)>0，函数单一递加，
当 x ＝ 1 时，函数获得极小值 f(1)＝e.
e x x －1
当 x <0 时，′＝－，函数单一递加，
x
>0
如图，画出函数的图像，
设 t ＝ f(x)，当 t>e 时， t ＝ f(x)有 3 个根，当 t ＝ e 时， t ＝f(x)有 2 个实根，当 0<t<e 时， t ＝
f(x)有 1 个实根，考虑到原方程的鉴别式大于零恒成立，所以原方程等价于
t 2－2at ＋ a － 1＝ 0 有 2 个相异实根，此中 t 1 ＝ ， 2∈ (0 ， 或 1≤ ， 2 ，当 2
－ 2ae ＋a －1＝0，解得
e t e) t 0 t >et ＝e 时，e
e 2－1 02
－2a ×0＋a －1≤0，
a ＝ 2e －1，查验知足条件；由 t 1≤0，t 2
>e 得 e 2－ 2ae ＋a －1<0， 无解．应选 D.
答案
D
第Ⅱ卷
本卷包含必考题和选考题两部分． 第 13～ 21 题为必考题，每个试题考生一定作答． 第 22～
23 题为选考题，考生依据要求作答．
二、填空题：此题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．
13．已知 l ， m 是平面 α外的两条不一样直线，给出以下三个论断：
① l ⊥m ；② m ∥α；③ l ⊥α.
以此中的两个论断作为条件， 余下的一个论断作为结论， 写出一个正确的命题： ________.
分析 此题考察空间直线和平面间的地点关系．当 l ⊥m ，m ∥α时， l 与 α不必定垂直，可能订交，也可能平行；当 l ⊥m ， l ⊥α时， m ∥α；当 m ∥α，l ⊥α时， l ⊥m ，综上可知，正确命题是若 l ⊥m ，l ⊥α，则 m ∥α.或若 m ∥α，l ⊥α，则 l ⊥m.
答案 若 l ⊥ m ， l ⊥α，则 m ∥α(答案不独一 )
14．某公司对 2018 年 1－4 月份的赢利状况进行了数据统计，以下表所示：
月份 x 1 2 3 4
收益 y/万元
1
3.5
5.5
8
利用回归剖析思想，展望出 2018 年 12 月份的收益约为 23.5 万元，则 y 对于 x 的线性回
归方程为 ________．
^
^
^ ^
^ → →
＋a ，
分析
4.5＝2.5b
设线性回归方程为 y ＝ b
＋ ，∵ x ＝2.5， y ＝4.5，∴由题意得
x a
^
^
23.5＝12b ＋a ，
^ ＝－ 0.5，
^
a
解得
∴线性回归方程为 y ＝2x －0.5.
^ ＝2， b
答案
^ y ＝2x － 0.5
15．在 (1－ x ＋x 2)(1＋x)7 的睁开式中， x 4 的系数为 ________．
分析
7 的睁开式的通项公式为 T r ＋1＝ r r
4
的系数为 4
3 2
2
(1＋ x)
7
·，所以
x
C 7
－
C 7＋
7＝
C 7＝
21.
C x
C
答案 21
16
．若直线 l 交抛物线 y 2
＝4x 于 A 、B 两点，△OAB 内有一点 M(6,2)知足 S △ AOM ∶S △BOM ∶
△ AMB
＝1∶2∶3，则直线 l 的斜率为 ________．
S
分析
解法一：设点 A ，B 到直线 OM 的距离分别为 d A ， B ，直线
OM 交直线
AB 于点
Q ，
则|QA|＝ d A ＝S
＝
1
? S △ AMQ ＝
1 d
△ AMB ＝S △AOM ，故 M 为 OQ 的中点，所以 Q(12,4)．设 A(x 1 ， △AOM 3
S
|QB| d B S △BOM 2
→→ 12－ x 2＝2 x 1－12 ，
x 2＝36－ 2x 1， 2
1 2 2
＝ 2QA?
所以
＝
2，并结
2 1 2 1 代入 y 2 y )，B(x ，y )，则BQ
4x
4－y ＝2 y － 4 ，
y ＝12－ 2y .
2
x 1＝16， x 1＝0， 1
Q
8－4
1 解得
或 不合题意，舍去 ．故直线
的斜率 ＝ y
－y
＝
合 y 1＝
4x ( l 1
y 1＝8 y 1＝0 )
k
Q
x
－x 16－12
＝1.
解法二：设 A(x 1， 1 ， 2， 2 ，则 →
＝(x 1－ ， 1 － 2) ， →
＝(x 2 － ， 2－ 2) ，又 → ＝
y ) B(x y ) MA 6 y MB
6 y MO － ，－ ，所以由奔驰定理，得 → → → → → →
( 6 2) MA ·S S S
2
2
x 1＝16， x 2＝4， 故求得 k AB ＝ ，即直
2x 1＋x 2－ 36＝0，
把 x 1＝y 1，x 2＝ y 2代入解得
0?
4
4
y 1＝8，
y 2＝－ 4.
1
2y 1 ＋y 2－ 12＝0.
线 l 的斜率为 1.
结论拓展
→
→
→
奔驰定理：已知 O 为△ ABC 内一点，则有 OA ·△OBC ＋OB ·△ OAC ＋OC ·△OAB ＝
S
S
S 0.
答案 1
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17～ 21 题为必
考题，每个试题考生都一定作答．第
22、 23 题为选考题，考生依据要求作答．
(一)必考题：共 60 分
17．(12 分)已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且知足 a 1 ＝m ，a n ＋1＝S n ＋2.
(1)求 m 的值；
若 n a n ，n 为奇数，
(2) ＝
求 b 1＋ 2＋ ＋ n 的值．
b b b
log 2a n ＋1，n 为偶数，
分析
(1)由 a n ＋ 1＝S n ＋2，得 a n ＝S n － 1＋ 2(n ≥2)，
∴ a n ＋1－a n ＝ S n －S n － 1＝a n ，∴ a n ＋ 1＝ 2a n (n ≥ 2)．
又 a 2＝ 1＋ ＝ ＋ ， n 是等比数列，∴
m ＋ 2
＝ 2，∴ m ＝2.(4 分)
S 2 m 2 { a } m
n
n
，∴ b n ＝ 2n
， n 为奇数，
(2)由(1)得， a ＝ 2 n ＋1，n 为偶数，
令 b 1＋ 2＋ ＋ n ＝ n ，则
b b T
T 2k 1 2 2k 1 3 2k －1 2 4 2k
1＋23＋ ＋2
2k －
1
＋(3＋
＝b ＋ b ＋ ＋ b ＝ (b ＋b ＋ ＋b )＋ (b ＋b ＋ ＋b )＝ 2
1－4k 2
2 k 2
5＋ ＋2k ＋ 1)＝2·
＋ k
＋2k ＝ (4 －1)＋k ＋ 2k.(7 分)
1－4
3
∴当 n 为偶数时， T n ＝ 2 n －1)＋ n 2 n 2
n
n
2
2 分
3(4
2
2 ＋ 2·＝ · ＋ 4 ＋ n －
3.(8 )
2 3 2
T 2k －1
＝T 2k
2k
2 k －1)＋ k 2
＋2k － (2k ＋ 1)＝2
·k ＋k 2
－ 5
－b ＝3(4 3 4
3.
2 n ＋1 n ＋ 1 2 5 4 n ＋ n 2
n 17
∴ n 为奇数时， T n
＝ · 2 ＋ 2
－ ＝ 4 ＋ － 12.(10 分 )
3
4
3 3·2
2
2 n n 2
2 故 b 1＋ b 2＋ ＋ n ＝ 3·2 ＋ 4 ＋ n － 3， n 为偶数，
(12 分 )
b 4 n n 2 n 17
3·2 ＋ 4 ＋ 2－
12，n 为奇
数 .
18．(12 分 )某公司对现有设施进行了改造，为了认识设施改造后的成效，现从设施改造
前后生产的大批产品中各抽取了
100 件产品作为样本，检测其质量指标值，若质量指标值在
[20,60)内，则该产品视为合格品，不然视为不合格品．以下图是设施改造前的样本的频次散布
直方图，下表是设施改造后的样本的频数散布表．
页8第
质量指标值频数
[10,20) 2
[20,30)18
[30,40)48
[40,50)14
[50,60)16
[60,70) 2
表 1设施改造后样本的频数散布表
(1)达成下边的 2× 2 列联表，并判断能否有 99%的掌握以为该公司生产的这类产品的质量指标值与设施改造相关：
设施改造前设施改造后共计
合格品
不合格品
共计
(2)依据图 1 和表 1 供给的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设施的好坏进行比较；
(3)公司将不合格品所有销毁后，依据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在[30,40)内的定为一等品，每件售价180 元；质量指标值落在 [20,30)或 [40,50)内的定为二等品，每件售价 150 元；其余的合格品定为三等品，每件售价120 元．依据频数散布表 1 的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频次取代从所有合格产品中抽到一
件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机买两件产品，设其支付的花费为X(单位：元 )，求
X的散布列和数学希
望．附：
P(K2≥ k0)0.150 0.100 0.050 0.0250.010
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
K 2＝
n ad－ bc 2
a＋b c＋ d a＋c b＋ d
分析(1)依据图 1 和表 1 获得 2×2 列联表：
设施改造前设施改造后共计
合格品86 96 182
不合格品14 4 18
共计100 100 200
(1 分) 将 2×2 列联表中的数据代入公式计算得：
2＝n ad－bc 2
K ＝
a＋b c＋d a＋ c b＋ d
200× 86×4－96×14 2 5 000
182×18×100×100 ＝819 ≈ 6.105.(3分)
∵6.105<6.635，
∴没有 99%的掌握以为该公司生产的产品的质量指标值与设施改造相关．(4 分)
(2)依据图 1 和表 1 可知，设施改造前的产品为合格品的概率约为86
＝
43
，设施改造后产100 50
96 24
品为合格品的概率约为100
＝25；明显设施改造后产品合格率更高，所以，改造后的设施更优． (6 分)
(3)由表 1 知：
1 1
一等品的频次为2
，即从所有合格产品中随机抽到一件一等品的概率为2；
1 1
二等品的频次为3
，即从所有合格产品中随机抽到一件二等品的概率为3；
1 1
三等品的概率为6
，即从所有合格产品中随机抽到一件三等品的概率为6.(7 分) 由已知得：随机变量 X 的取值为： 240,270,300,330,360.(8分)
1 1 1
，
P(X＝ 240)＝×＝
6 636
1 1 1 1
P(X＝ 270)＝C2 × × ＝，
3 6 9
1 1 1 1 1 5
P(X＝ 300)＝C2 × × ＋× ＝，
1 1 1 1
P(X＝ 330)＝C2× ×＝，
2 3 3
1 1 1
P(X＝ 360)＝×＝ .
2 2 4
∴随机变量 X 的散布列为：
X 240 270 300 330 360
P
1 1 5 1 1
36 9 18 3 4
(10 分)
1151 1
∴E(X)＝240×＋ 270×＋300×＋ 330×＋360×＝320.(12 分 )
3691834
19.(12 分)如图，在几何体 ABCD-A′B′C′ D ′中，四边形 ABCD 是边长为 2 2的正方形，四边形 A′B′ C′ D′是平行四边形， AA′⊥平面 ABCD，AA′∥ BB′∥ CC′∥ DD′，DD′＝ 4，BB′＝ 1， M 是线段 CC′上一点，且 CM＝1，AM∥平面 A′B′ C′ D′.
(1)求线段 AA′的长；
(2)求直线 DD ′与平面 A′ D′B 所成角的正弦值．
分析 (1)设 AA′＝ x，连结 A′C′，则由 AM∥平面 A′B′ C′ D′，平面 AMC′A′∩
平面 A′ B′C′D′＝ A′ C′，得 AM∥A′C′，所以四边形 A′ C′ MA 是平行四边形，则C′M＝x，C′ C＝ x＋ 1.
连结 B′D′交 A′C′于点 O′，连结 AC，BD 交于点 O，连结 OO′，则 OO′为梯形BB′ D′ D 的中位线，得 2OO′＝5.
又易知 OO′为梯形 A′C′CA 的中位线，
所以 x＋x＋1＝2OO′＝5，得 x＝ 2，即线段 AA′的长为 2.(5 分 )
(2)解法一：延伸D′A′， DA 交于点 Q，由 AA′＝ 2，D′ D＝4，得 AA′是△ QD′D 的中位线．
连结 BQ，则 AO 为△ DQB 的中位线， AO∥BQ，所以 BQ⊥BD，
又DD ′∥AA′， AA′⊥平面 ABCD，所以 BQ⊥ D′D，
所以 BQ⊥平面 BDD ′ B′，所以平面 BQD′⊥平面 BDD′ .
作 DH ⊥BD′于点 H，则 DH ⊥平面 BQD′，∠ DD′B 即所求线面角．
由 DB＝DD ′＝4，得∠ DD ′B＝45°，则直线 DD ′与平面 A′D′ B 所成角的正弦值为
2
2 .(12 分)
→→→
解法二：以点 D 为坐标原点， DA， DC， DD ′的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，成立空间直角坐标系，
则 D(0,0,0)，A′ (2 2，0,2)，D′ (0,0,4)，B(2 2，2
→→2，0)，A′ D′＝(－2 2，0,2)，A′ B
→
＝(0,2 2，－ 2)， D′D＝(0,0，－ 4)．
→
－ 2 2a＋2c＝0，
m·A′D′＝ 0，
设平面 A′ D′ B 的法向量为 m＝(a，b，c)，则→所以
2 2b－ 2c＝0.
＝0，
·′
m A B
令 a＝1，则 m＝(1,1， 2)为平面 A′D′B 的一个法向量． (9 分)
→→
2
故直线 DD′与平面 A′D′B 所成角的正弦值为
m·D′D
|cos〈m，D′D〉|＝→＝2 .(12
|m| |D·′ D|
分)
x2y2
20．(12 分)已知椭圆 C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y＝2x＋3 相切，点 P 在椭圆 C 上， |PF1|＝ 2，∠ F1PF2＝60°.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若直线 l ：y＝ kx＋m 与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，且 3x1x2＋ 4y1y2＝ 0，试求△AOB 的面积 (O 为坐标原点 )．
分析(1)依题意有 b＝
3
＝3，∴ b2＝3. 2＋1
由|PF1|＝2 及椭圆的定义得 |PF2|＝2a－2.
由|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1| ·|PF 2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2，得 a2－3a＋3＝c2.又a2－c2＝ b2＝3，解得 c＝1， a＝ 2.
x2y2
故椭圆的方程为4＋3＝1.(4 分)
x 2 y 2 (2)联立
4 ＋
3＝ 1， 化简可得 (3＋ 4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， y ＝kx ＋m ，
则 ＝64k 2m 2－16(3＋ 4k 2)(m 2 －3)＝48(3＋4k 2
－m 2)>0，即 3＋4k 2－m 2
>0，
又 x 1＋x 2＝－
8km
2，x 1x 2＝
2
－3
4 m
2 ，(6 分)
3＋4k
3＋ 4k
3m 2－12k 2
所以 y 1y 2＝ (kx 1 ＋m)(kx 2＋ m)＝k 2x 1x 2＋ km(x 1＋x 2)＋ m 2
＝ 3＋4k 2
.
由 3x 1 2＋
2 －3
2 －12k
2
分
1 2＝ ，得×4 m
2
＋ 4×3m
2 ＝ 0，即 2m 2＝ 3＋ 4k 2
)
x
4y y 0
3 3＋4k
3＋ 4k
.(8
|AB| ＝ ＋ 2
|x 1 － 2
| ＝
＋ 2 ·1＋ 2 2－4x 1 2 ＝ ＋ 2 ·
48 3＋4k 2－m 2
＝ 1 k x
1 k
x x x
1 k
3＋4k 2 2
＋
2· 12
|m| ＝ m 2
2，点 O 到 AB 的距离 d ＝
2 ＋ 2，(10 分)
1
k
m
1＋k k
1
所以 S △ AOB ＝ 1
·· ＝1
· ＋ 2· 12
m 2 ＝ 3，故三角形 AOB 的面积为 3.(12 分)
2 d |AB| 2
1 k
m
2·
1＋k 2
．
(12 分
) 已知函数
2x
－ae x －xe
x
≥ ，
e 为自然对数的底数 ) ，若
f(x) ≥
0 对于
x
21
f(x)＝ ae
(a 0
∈R 恒成立．
(1)务实数 a 的值；
ln 2 1
1
(2)证明： f(x)存在独一极大值点 x 0，且 2e ＋4e 2≤f(x 0)<4.
分析
(1)由 f(x)＝ e x (ae x －a －x)≥0 可得 g(x)＝ ae x －a －x ≥0.
∵ g(0)＝0，∴ g(x)≥ g(0)，
∴ x ＝0 是 g(x)的一个极小值点，
∵ g ′ (x)＝ae x －1，∴ g ′ (0)＝a －1＝0? a ＝1.(2 分)
当 a ＝1 时， g(x)＝e x －1－x ，g ′(x)＝ e x
－1，
∵ x ∈(－∞， 0)，g ′(x)<0，g(x)在 (－∞ ，0)上单一递减；
x ∈(0，＋ ∞)，g ′(x)>0，g(x)在(0，＋ ∞)上单一递加；
∴ g(x)≥g(0)＝0，∴ a ＝ 1.(4 分)
(2)当 a ＝1 时， f(x)＝e 2x －e x －xe x ，f ′ (x)＝e x (2e x － x － 2)．
令 h(x)＝2e x －x －2，则 h ′ (x)＝ 2e x －1，
∵ x ∈(－∞，－ ln 2) ，h ′(x)<0，h(x)在(－∞，－ ln 2) 上为减函数；
x ∈(－ln 2，＋ ∞)， h ′ (x)>0， h(x)在(－ln 2，＋ ∞)上为增函数，
∵ h(x)在(－ ∞，－ ln 2)上为减函
数， ∴ x ∈(－∞， x 0)时 h(x)>0，
即 f ′ (x)>0， f(x)在(－ ∞，x 0)上为增函数；
x ∈(x 0，－ ln 2) 时， h(x)<0，
即 f ′ (x)<0， f(x)在(x 0，－ ln 2)上为减函数．
∴ f(x)在 (－∞ ，－ ln 2) 上只有一个极大值点 x 0 ，(7 分)
因为 h(0)＝ 0，且 h(x)在 (－ ln 2，＋ ∞)上为增函数，
∴ x ∈(－ln 2,0)时， h(x)<0，
即 f ′ (x)<0， f(x)在(－ ln 2,0)上为减函数；
x ∈(0，＋ ∞)时， h(x)>0，
即 f ′ (x)>0， f(x)在(0，＋ ∞)上为增函数．
∴ f(x)在 (－ln 2，＋ ∞)上只有一个极小值点 0.(8 分 )
综上可知， f(x)存在独一的极大值点 x 0，且 x 0∈(－2，－ 1)． (9 分)
∵ h(x 0)＝0，∴ 2ex 0－x 0－ 2＝ 0，
x 0＋2
x 0＋2
2 ＋2x 0
∴ f(x 0 ) ＝ e2x 0－
ex 0－ 0 0＝
2
x 0 ，x 0∈ － ，－ ， 分
)
－
x ex
2
2 (x ＋1)＝－
4
( 21) (10
∵ x ∈(－2，－ 1)时，－ x 2 ＋2x 1
1
4 <4，∴ f(x )<4.
∵ ln 1
∈(－2，－ 1)，∴ f(x 0 ) ≥ f ln 1 ＝ln 2＋ 1
2
2e
2e
2e 4e
.
ln 2
1
1
综上知， 2e ＋4e 2≤f(x 0
)<4.(12 分)
(二)选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第
一题计分．
22．(10 分)选修 4－ 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
x ＝1＋4t ， (t 是参数 )，以坐标原点为极点，
y ＝1＋3t
x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，曲线
C 的极坐标方程为 ρ 3＋sin 2
θ＝2 3. (1)写出 C 的直角坐标方程；
(2)已知点 P(1,1)，直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，求 ||PA|－|PB||的值． 分析
2 θ＝ 2
2
2 θ＝
(1)ρ 3＋sin
2 ρ＋ρ
12
3? 3
sin
2 2
2
x ＋ y
＝ρ，
x 2 y 2
化简可得 C 的直角坐标方程为 4 ＋ 3 ＝1.(4 分)
3
(2)由 l 的参数方程可得直线 l 过点 P(1,1)，且直线 l 的斜率是 4，所以过点 P(1,1)的直线 l
4
x ＝1＋5t ，
的参数方程为
(t 是参数 )，
3
y ＝1＋5t
4
x ＝1＋5t ，
x 2 y 2 将
3
(t 是参数 )代入 4 ＋
3 ＝1，
y ＝1＋5t
整理得 84t 2＋240t － 125＝0，
20
t 1＋t 2＝－ 7 ，
设 A ，B 两点所对应的参数分别为
t 1，t 2，则
125
t 1t 2＝－ 84 ，
20
所以 ||PA|－|PB||＝|t 1＋t 2|＝ 7 .(10 分)
23．(10 分)选修 4－ 5：不等式选讲
已知函数 f(x)＝|x －a|－|2x －1|
(1)当 a ＝2 时，解不等式 f(x)≥ 1；
1
(2)求证： f(x)≤ a －2 .
分析
(1)当 a ＝2 时， f(x)＝|x －2|－ |2x －1|.
1
所以 x<2
， 或
2－x －1＋2x ≥1，
1
≤x ≤ 2， x>2， 2
或
2－x － 2x ＋1≥1，
x －2－2x ＋1≥1，
2
2
解得 0≤x ≤3，所以当 a ＝2 时，不等式 f(x)≥1 的解集为 x 0≤x ≤
3 .(5 分)
(2)证明： f(x)＝|x －a|－|2x －1|
1
＝ |x － a|－2 x －2
1
≤ |a－ x|－ x－2
1 1
≤a－ x ＋ x－2 ＝ a－2 .(10 分)。