厦门大学2010年高数期中试卷
-2010高数下期中答案
彭晓华授课班 高等数学（下）期中考试试卷本次考试 90 分钟， 25 道小题，共计 4 页，总分 100 分订装（装订线内不准做 1.平面0122=-++z y x 和0322=+++z y x 之间的距离为（A ）4 （B ）2 （C ）34 （D ）32 2.曲面 3=+-xy z e z 在点（0,1,2）处的切平面方程为（A ）042=-+y x （B ）062=-+y x （C ）062=-+y x （D ）042=-+y x 3.计算dV z I ⎰⎰⎰Ω=的值，其中Ω是由22y x z +=与1=z 围成的区域。
（A ）4π （B ）0 （C ）2π（D ）π 4.将dV z y x f ⎰⎰⎰Ω++)(222化为球面坐标系下的三次积分，其中Ω是由22y x z +=与1=z 围成的区域。
（A ）⎰⎰⎰1224020sin )(rdr r r f d d φφθππ（B ）⎰⎰⎰φππφφθcos 10222020sin )(dr r r f d d（C ）⎰⎰⎰φππφφθcos 10224020sin )(dr r r f d d （D ）⎰⎰⎰φππφφθcos 0224020sin )(dr r r f d d5.已知x x x f =)2,(，且2)2,(1='x x f ，则=')2,(2x x f（A ）1 （B ）2 （C ）21 （D ）21- 6.设 D 由1,21,0,0=+=+==y x y x y x 围成，确定以下积分大小的顺序 dxdy y x I D⎰⎰+=71)( ,dxdy y x I D⎰⎰+=72)][sin(，dxdy y x I D⎰⎰+=73)][ln(（A ）132I I I << （B ）123I I I << （C ）213I I I << （D ）无法确定 7.设),(y x f 是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果为8.函数 32--=yz xyz u 在点 )1,1,1( 处沿方向 k 2j 2i l ++= 的方向导数为（A ）31- （B ） 31（C ）1- （D ）19、函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪200222222在点(0,0)处：(A)连续且偏导数存在 (B)不连续且偏导数不存在(C)连续但偏导数不存在 (D) 偏导数存在但不连续10.过点M )1,1,1(且同时垂直于{}1,3,21=s 和{}2,1,32=s 的直线方程为（A ）611151--=--=-z y x （B ）710151--=-=-z y x （C ）712151--=-=-z y x （D ）711151--=--=-z y x 11.设xy y x z arcsin )1(4-+=，那么(1,1)zx∂∂=（ ）。
2010年福建省厦门市中考数学试卷(word版含解析答案)
2010年福建省厦门市中考数学试卷一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）1．（2010•厦门）下列几个数中，属于无理数的是（）A．B．2 C．0 D．2．（2010•厦门）计算a2•a3的结果是（）A．5a B．a5C．a6D．a83．（2010•厦门）下列四个几何体中，俯视图是圆的几何体共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2010•厦门）在一次数学单元考试中，某小组7名同学的成绩（单位：分）分别是：65，80，70，90，95，100，70．这组数据的中位数是（）A．90 B．85 C．80 D．705．（2010•厦门）不等式组的解集为（）A．x＞﹣1 B．x＜2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞26．（2010•厦门）已知两圆的半径分别为2厘米和4厘米，圆心距为3厘米，则这两圆的位置关系是（）A．相交 B．内切 C．外切 D．相离7．（2010•厦门）如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从C出发，在正方形的边上沿着C⇒B⇒A的方向运动（点P与A不重合）．设P的运动路程为x，则下列图象中△ADP的面积y关于x的函数关系（）A．B．C．D．二、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）8．（2010•厦门）2的相反数是_________．9．（2010•厦门）已知点C是线段AB的中点，AB=2，则BC=_________．10．（2010•厦门）截至今年6月1日，上海世博会累计入园人数超过8 000 000．将8 000 000用科学记数法表示为_________．11．（2010•密云县）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=2cm，则BC=_________cm．12．（2010•厦门）一只口袋中装有一个红球和2个白球，这些球除了颜色之外没有其它区别，若小红闭上眼睛从袋中随机摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为_________．13．（2010•厦门）⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离为3，则弦AB的长是_________．14．（2010•厦门）已知反比例函数，其图象所在的每个象限内y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的反比例函数关系式：_________．15．（2010•厦门）已知关于x的方程x2﹣4x﹣p2+2p+2=0的一个根为p，则p=_________．16．（2010•厦门）如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长做为第③个等腰直角三角形的腰，依次类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为_________厘米．17．（2010•厦门）如图，将矩形纸片ABCD（AD＞DC）的一角沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，折痕交AB边交于点F．若BE=1，EC=2，则sin∠EDC=_________；若BE：EC=m：n，则AF：FB= _________（用含有m、n的代数式表示）．三、解答题（共9小题，满分89分）18．（2010•厦门）（1）计算：；（2）计算：[（x+3）2+（x+3）（x﹣3）]÷2x；（3）解分式方程：．19．（2010•厦门）如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地面控制点B 的俯角α=20°（B、C在同一水平线上），求目标C到控制点B的距离（精确到1米）．（参考数据sin20°=0.34，cos20°=0.94，tan20°=0.36）20．（2010•厦门）小明学完了统计知识后，从“中国环境保护网”上查询到他所居住城市2009年全年的空气质量级别资料，用简单随机抽样的方法选取30天，并列出下表：请你根据以上信息解答下面问题：（1）这次抽样中“空气质量不低于良”的频率为_________；（2）根据这次抽样的结果，请你估计2009年全年（共365天）空气质量为优的天数是多少？21．（2010•厦门）某市为更有效地利用水资源，制定了居民用水收费标准：如果一户每月用水量不超过15立方米，每立方米按1.8元收费；如果超过15立方米，超过部分按每立方米2.3元收费，其余仍按每立方米1.8元计算．另外，每立方米加收污水处理费1元．若某户一月份共支付水费58.5元，求该户一月份用水量？22．（2010•厦门）如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD．23．（2010•厦门）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点、已知等腰梯形OABC，OA∥BC，点A（4，0），BC=2，等腰梯形OABC的高是1，且点B、C都在第一象限．（1）请画出一个平面直角坐标系，并在此坐标系中画出等腰梯形OABC；（2）直线与线段AB交于点P（p，q），点M（m，n）在直线上，当n＞q时，求m的取值范围．24．（2010•厦门）设△A1B1C1的面积是S1，△A2B2C2的面积为S2（S1＜S2），当△A1B1C1∽△A2B2C2，且时，则称△A1B1C1与△A2B2C2有一定的“全等度”．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，∠B=30°，∠BCD=60°，连接AC．（1）若AD=DC，求证：△DAC与△ABC有一定的“全等度”；（2）你认为：△DAC与△ABC有一定的“全等度”正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请举出一个反例说明．25．（2010•厦门）如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，（1）求的长；（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN=60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．26．（2010•厦门）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点P（m，﹣1）（m＞0）．连接OP，将线段OP绕点O 按逆时针方向旋转90°得到线段OM，且点M是抛物线y=ax2+bx+c的顶点．（1）若m=1，抛物线y=ax2+bx+c经过点（2，2），当0≤x≤1时，求y的取值范围；（2）已知点A（1，0），若抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点B，直线AB与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点，请判断△BOM的形状，并说明理由．2010年福建省厦门市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）1．（2010•厦门）下列几个数中，属于无理数的是（）A．B．2 C．0 D．考点：无理数。
厦门大学09-10学年第一学期《高等代数》半期考试卷
3) 记 e1, e2 , e3 为 3 维列向量，则与 3 阶行列式 e1,e 2 , e3 等值的行列式是____. D
A) e1, 2e1 + e 2 , e1 + 3e 2 - e3 ；
B) e 3,e 2 ,e1 ；
C) e1 + e 2 ,e 2 + e3, e3 + e1 ；
D) e 3 - e 2 ,e1 - e3, e3 .
4
参考答案——0910 学年第一学期厦门大学《高等代数》期中试卷
同理由 B¢B = I ，知| B |= ±1。又因为| A |= - | B | ，所以| A || B |= -1 。而
| A + B |=| A + AA¢B |=| A || I + A¢B |=| A || B¢B + A¢B |=| A || B¢ + A¢ || B |= - | B¢ + A¢ |= - | A + B |
A
=
n( n -1)
( -1) 2
æçè1 -
n i=2
1ö i ÷ø
n!。
常见错误： (1) 漏掉符号或者弄错符号。 (2) 用归纳法时，递推式错误。注：此题用归纳较为复杂。
四、 (15 分) 设 A = I - xx ¢ ，其中x 为 n 维非零列向量，x ¢ 是x 的转置，证明：
1） A2 = A 的充要条件是x ¢x = 1 ； 2） 当x ¢x = 1 时， A 是奇异的，即 A 是不可逆的。 证明：1） A2 = (I -xx ¢)(I - xx ¢) = I - 2xx ¢ + x (x ¢x )x ¢ ，记x ¢x = a ，则 A2 = I - (2 - a)xx ¢ 。 充分性：若x ¢x = 1 ，即 a = 1 ，则 A2 = I - xx ¢ = A 。 必要性：若 A2 = A ，则 (2 - a)xx ¢ = xx ¢ 。又x 为 n 维非零列向量，于是xx ¢ ¹ 0 ，因此 2 - a = 1，即 a = xx ¢ = 1。 2)（方法一）（09 级 马晴 等）由 1）知，当x ¢x = 1 时 A2 = A 。若 A 可逆，则 A = I ，从而xx ¢ = 0 ， 与x 为 n 维非零列向量矛盾。因此 A 是奇异的。 （方法二）（08 级转专业 郑光辉）当x ¢x = 1 时，Ax = (I - xx ¢)x = x - x (x ¢x ) = x - x = 0 ，由于x 为 n 维非零列向量，因此| A |= 0 ，即 A 是奇异的. （方法三）（09 级 尹浩宇 等）由于| A |=| I - xx ¢ |=|1- x ¢x |= 0 ，因此 A 是奇异的。 常见错误：对长方阵x 求行列式或逆等。
2010-2011学年第二学期高数IIA期中试卷_答案
2、求无穷限积分 ∫
+∞
dx x x2 −1
1
.
解：令x = sec t , 当x → +∞, t → ∴∫
+∞
π
2
, 当x → 1, t → 0, 且dx = sec t tan tdt ⋯⋯⋯ (2分)
dx x x2 −1
1
= ∫2
0
π
sec t tan tdt ⋯⋯⋯ (4分) sec t tan t
4、求函数 u = x 2 + y 2 + z 2 在约束条件 z = x 2 + y 2 和 x + y + z = 4 下的最大值和最小值。 专业
解：作辅助函数 F ( x, y , z , λ1 , λ2 ) = x 2 + y 2 + z 2 + λ1 ( x 2 + y 2 − z ) + λ2 ( x + y + z − 4) ⋯⋯⋯ (2分) F ′ = 2 x + 2λ1 x + λ2 = 0 x Fy′ = 2 y + 2λ1 y + λ2 = 0 则令 Fz′ = 2 z − λ1 + λ2 = 0 ′ 2 2 Fλ1 = x + y − z = 0 F ′ = x + y + z − 4 = 0 λ2 x = 1 x = −2 解得 y = 1 和 y = −2 z = 2 z = 8
C、 −1
D、不存在 （ A ）
∫∫
x + y ≤1
2
栏
3
x 2 + y 2 dxdy 的值等于
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(福建卷)精校版-推荐下载
2
2
【答案】A
【解析】原式= sin (43 -13 )= sin 30 = 1 ，故选 A。 2
【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知 识，属保分题。
2．以抛物线 y2 4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为(
A. x2 +y2 +2x=0 B. x2 +y2 +x=0
6)2
36
，所以当
n
6
)
时，
Sn
取最小值。
当 x 0 时，令 2 ln x 0 解得 x 100 ，所以已知函数有两个零点，选 C。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的 i 值等于（ ）
A.2
【答案】C
【命题意图】本题属新课标新增内容，考查认识程序框图的基本能力。
6．如图,若 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体
EFGHB1C1 后得到的几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点，F 为线段
BB1 上异于 B1 的点，且 EH ∥ A1D1 ，则下列结论中不正确的是（
2010 年高考福建数学试题（理科解析）
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题。每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
1． 计算si n43 cos13 - si n13 cos 43 的值等于（ ）
A.
1
2
B.
3
3
C.
2010级高等数学(下)期中试卷参考解答
2010级《高等数学》（下）期中试卷（考试时间 120分钟）班级 姓名 学号 成绩 一（10分）设(,,)u f x y z =有连续偏导数，()()和y y x z z x ==分别由方程0xye y -=和0z e xz -=所确定，求du dx。
二（10分）设函数()x,y f 在点(1,1)处可微，且()(,)(,),11111112,3,f f f ,x y∂∂===∂∂()()(x)f x,f x,x ϕ=，求()1d d 3=x x xϕ。
三（10分）求曲面22z x y =+垂直于直线2122x z y z +=⎧⎨+=⎩的切平面方程。
四（10分）求曲面224y x z --=和)(3122y x z +=所围闭区域Ω的体积.五（10分）求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域.六（10分）求面密度为常数μ的锥面22y x z +=（)10≤≤z ）对z 轴的转动惯量。
七（10分）求函数22222),(y x y x y x f -+=在闭区域}0,4),({22≥≤+=y y x y x D 上的最大值和最小值。
八（10分）计算积分224L xdy ydx x y -+⎰Ñ，其中L 为圆周222(1)(1)x y R R -+=≠（按逆时针方向）．九（10分）计算曲面积分⎰⎰∑++=xydxdy zydzdx xzdydz I 32，其中∑为有向曲面)10(4122≤≤--=z y x z 方向取上侧。
十（10分）设函数),(||),(y x y x y x f ϕ-=，其中),(y x ϕ连续，问： （1）),(y x ϕ应满足什么条件，才能使偏导数)0,0(x f ，)0,0(y f 存在。
（2）在上述条件下，),(y x f 在点)0,0(处是否可微？中国矿业大学2010级《高等数学》（下）期中试卷参考解答（考试时间 120分钟）一（10分）设(,,)u f x y z =有连续偏导数，()()和y y x z z x ==分别由方程0xye y -=和0z e xz -=所确定，求dudx。
10-11年上期中 -答案2022
一、 选择题（每小题4分，共16分）1、设()sin f x x x =, 则（ C ）。
（A ）在(,)-∞+∞内有界；（B ）当x →+∞时为无穷大； （C ）在(,)-∞+∞内无界； （D ）当x →+∞时有极限。
2、设(1)(2)(3)(4)(5)lim 0(32)x x x x x x x αβ→∞-----=≠-，则α、β的数值为 （ C ）。
（A ）1α=，13β= （B ）5α=，13β= （C ）5α=，513β= （D ）均不对 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时， （ B ）。
（A ）()f x 是x 的等价无穷小 （B ）()f x 与x 是同阶但非等价无穷小（C ）()f x 是比x 较低阶的无穷小 （D ）()f x 是比x 较高阶无穷小4、设11()1xx f x e -=-，则1x =是()f x 的 （ B ）。
(A)可去间断点 (B)跳跃间断点(C)第二类间断点 (D)连续点二、填空题：(每题4分，共16分)1、设2()45f x x x =-+，则[()]f f x '=______________ .应填 242437x x -+2. 设函数321y x =+-(1,2)处的切线方程为_____________ .（答案：1=x ）3、设方程2cos xy e y x +=确定y 为x 的函数，则dy =_________________ .厦门大学《高等数学B 》期中试卷 ＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业 主考教师：高数B 组 试卷类型：A 2010.11解 应填sin 2xy xy ye x dx xe y+-+。
4.若(1)()f x af x +=总成立，且(0)f b '=（a ，b 为非零常数），则(1)f '=_________ . 应填：(1)f ab '=。
三、计算题（每题10分，共50分）1、求极限()1ln 0lim cot x x x +→。
厦门大学高数试卷2010-2011
10-111. (10分) 求位于两圆()1122=+-y x ，()4222=+-y x 之间的图形的形心。
2. (10分) 在一个形状为旋转抛物面22y x z +=的容器内已经盛有π8立方厘米的水，现又倒入π120立方厘米的水。
问水面比原来升高多少厘米？3. (10分)计算()d x d y d z 2⎰⎰⎰Ω+y x ，其中Ω为抛物面z y x 222=+与球面3222=++z y x 所围成的区域。
4. (10分) 计算()⎰+Ly x ds ||2||，其中L 为单位圆周122=+y x 。
5. (10分) 计算()()⎰+---L y x x y 221dy 1dx ，其中L 为曲线2||||=+y x ，方向为逆时针。
6. (10分) 计算⎰⎰∑+dxdy 4dydz xz ，其中∑是抛物面224y x z --=在0≥z 部分，方向取下侧。
7. (10分) 根据a 的取值，讨论常数项级数)0()1(1n>-∑∞=a na n n 的敛散性(绝对收敛、条件收敛或发散)。
8. (10分) 求幂级数()∑∞=+-1)1(1n n nx n n 的和函数)(x S ，并指出其收敛域。
9. (10分) 把函数211ln )(x xx x f +-+-=展成关于x 的幂级数。
10. (10分) 记⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1sgn x x x x 。
将)sgn(cos )(x x f =展开成Fourier 级数。
附加题：(两题任选一题，也可以不选)(1) 设)(x f 在]1,0[上单调减少且0)(>x f ，利用二重积分的方法证明⎰⎰⎰⎰≤1010210102dx )(dx )(dx )(dx )(x f x f x xf x xf 。
(2) 设∑∞=1n n u 为正项级数，若p n u n =∞→ln 1lnlim n ，证明：当1>p 时，∑∞=1n n u 收敛；当1<p时，∑∞=1n n u 发散。
2010年福建普通高等学校招生全国统一考试数学(理)解析版
2010年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）（数学理）解析版第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A.122【答案】A【解析】原式=1sin (43-13)=sin 30=2，故选A 。
【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。
2、以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A.22x +y +2x=0 B. 22x +y +x=0 C. 22x +y -x=0 D. 22x +y -2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D 。
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。
3、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-，解得2d =， 所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。
4、函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( )A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。
厦门大学10-11学年第二学期《高等代数》半期考试卷参考答案
a ¹ 0 。必
2
1011 学年第二学期厦门大学《高等代数》期中试卷参考答案
3) 设 f ( x ) = x + 4 x + 5 x + 3 ， 则____是以 f ( x ) 的根的倒数为根的四次多项式。 3 x + 5 x + 4 x + 1 （不唯一，可相差非零常数倍）
且 p( x) | f ( x ) g ( x ) ，证明： p( x) | f ( x ) 且 p( x) | g ( x ) 。 证明：因 p( x ) 是数域 K 上的不可约多项式且 p( x) | f ( x ) g ( x ) ，所以 p( x) | f ( x ) 或者 p( x) | g ( x ) 。若
① x 2 + p （其中 p 是素数） ； A) 3，1； C) 2，1； 3)
设 f ( x ) 是数域 K 上的非零多项式， p( x ) 是 K 上不可约多项式。如果存在复数 c ，使得
f (c ) = p (c) = 0 ，则____。B
A) f ( x) | p ( x ) ； C) f ( x) = p( x) ； 4) B) p( x) | f ( x ) ； D) f ( x) = ap( x )( a ¹ 0) 。
厦门大学《高等代数》课程试卷
数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业
1011 学年第二学期厦门大学《高等代数》期中试卷参考答案
主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型： （A 卷）
2011.3.31
一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）
1) 设 ( f ( x ), g ( x )) = 1 ， ( f ( x ), h( x )) = 1 ，则____未必互素。D B) f ( x ) 与 f ( x ) + g 2 ( x ) ； D) f ( x ) 与 g ( x ) + h( x) 。
2010-2011学年度第一学期工科高等数学期中考试参考答案
2010-2011学年第一学期工科高等数学期中考试参考答案一、填空题（每小题3分，共18分）1．用区间表达函数1ln(1)y x =+-的定义域为(1,2)(2,3]⋃.2. 函数221()23x f x x x -=+-的可去间断点是=x 1 .3. 3limexx x →+∞= 0 .4. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x ，在1t =处的切线方程为3240x y --=. 5. 设函数2133xy x=+-，则==0d x y13dx .6. 已知函数()(1)(2)(3)f x x x x =---，则方程()0f x '=有 2 个实根. 二、单项选择题（每小题3分，共18分）1. )(0-x f 、)(0+x f 存在，是()x f x x 0lim →存在的（ A ）条件.(A) 必要； (B) 充分； (C) 充分必要； (D) 既不充分也不必要. 2. 当0→x 时，下列无穷小中，与3x x -等价的无穷小是（ B ）.(A) x sin ； (B) sin x -； (C) 3x -； (D) 3x .3．下列函数中，（ A ）的导数不是sin 2x . (A) 11cos 22x +； (B) 11cos 22x -；(C) 2sin x ； (D) 2cos x -. 4．设)(x f 在x a =处可导，则（ C ）不成立. (A)()()lim()x a f x f a f a x a→-'=-； (B) 0(2)()lim2()h f a h f a f a h→+-'=；(C) 0()()lim()h f a h f a f a h→--'=； (D) 0()()lim()x f a f a x f a x∆→--∆'=∆.5．设bxa x f -=e)(，则=)()(x fn （ D ）.(A) bxa -e； (B) bxa n a -e； (C) bxa nb -e； (D) bxa n nb --e)1(.6．函数1()f x x=满足拉格朗日中值定理条件的区间是（ B ）.(A) [2,2]-； (B) [1,2]； (C) [0,1]； (D) [2,0]-.三、求下列极限（每小题5分，共20分） 1. 2135(21)lim.3n n n →∞++++-+原式2(121)/2lim3n n n n →∞+-=+（3分）22lim13n nn →∞==+.（5分）2.22lim (1cos)n n nπ→∞-．原式222(2)lim 2n nnπ→∞=（3分）22π=.（5分）3.011lim .e 1xx x→⎛⎫-⎪-⎝⎭原式0e 1lim(e 1)xxx x x →--=-（2分）2e 1limxx xx→--=（3分）0e 1lim2xx x→-=（4分）12=.（5分）4. 1sin 0lim (13)x x x →-.原式31sin 30lim (13)xx xx x --→⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦（3分）3e -=.（5分）四、求导数（每小题6分，共18分） 1．设()ln(e x f x =+，求(0)f '.解：2()e xx x f x ⎛⎫'=+=,（4分）所以,(0)2f '=.（6分）2. 已知隐函数()y y x =由方程2e31x yy x +=-确定，求y 的微分dy ．解：对方程两边微分，得 e ()6xydy ydx xdy xdx ++=, （3分）故(e 1)(6e )xyxyx dy x y dx +=- , 6e e1xyxyx y dy dx x -=+.（6分）3. 已知2sin x y e x =，求y ''.解：222()sin (sin )(2sin cos )x x x y e x e x e x x '''=+=+. （2分）2[(2sin cos )]xy e x x '''=+（3分）222(2sin cos )(2cos sin )xxe x x e x x =++- （4分）2(3sin 4cos )xex x =+. （6分）五、求解下列各题（每小题6分，共12分）1．确定常数b a 、的值，使函数32,0()3,x e a x f x x bx x ⎧+<=⎨++≥⎩，处处可导. 解：要使)(x f 在每一点都可导，只需)(x f 在0=x 处连续且可导，（1分） 而3lim ()lim (3)3x x f x x bx ++→→=++=； a a x f xx x +=+=--→→2)e 2(lim )(lim 0. （2分）由)(x f 在0=x 处连续，有(0)(0)(0)3f f f -+===，于是23a +=，得1a =.（3分）又 3()(0)33(0)lim lim x x f x f x bx f b xx+++→→-++-'===，()(0)2e 132(e 1)(0)lim lim lim 2xxx x x f x f f xxx----→→→-+--'====.（4分）由)(x f 在0=x 处可导，有)0()0(+-'='f f ，于是得2=b . 故当1a =，2=b 时，)(x f 处处可导. （6分）2. 设函数()()()f x x a x ϕ=-，其中函数)(x ϕ在a x =点连续，讨论)(x f 在a x =点处的可导性. 解：由()()limx af x f a x a→--()lim()x ax a x x aϕ→-=-lim ()x ax ϕ→= （3分）因为)(x ϕ在a x =点连续，lim ()x ax ϕ→()a ϕ= （4分）因此()()limx af x f a x a→--lim ()x ax ϕ→=()a ϕ=，知)(x f 在a x =点处可导.（6分）六、证明题. （每小题7分，共14分） 1.证明：对任意实数a ，均有222222111lim 12n n n an an na →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭.证明：设222222111()2n x n n an an na=++++++ ，（1分） 则，≤n x 222222222111()n nn y n an a n a n a +++==++++ ；（2分） ≥n x 222222222111()n nn z n nan nan nan na+++==++++ ，（4分） 因为1lim lim ==∞→∞→n n n n z y ，（5分） 由夹逼准则,有 lim 1n n x →∞=，因此，222222111lim 12n n n an an na →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭.（7分）。
2010年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题 (文科)(解析版)
2010年高考福建数学试题（文史类解析）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}A=x|1x 3≤≤，{}B=x|x>2，则A B ⋂等于（ ）A ．{}x|2<x 3≤B ．{}x|x 1≥C ．{}x|2x<3≤D ．{}x|x>2【答案】A【解析】A B ⋂={}x|1x 3≤≤⋂{}x|x>2={}x|2<x 3≤,故选A ． 【命题意图】本题考查集合的交运算,属容易题．2．计算12sin 22.5-的结果等于( )A ．12B．2 C．3 D．2 【答案】B【解析】原式=2cos 45=,故选B ． 【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值．3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( )A B ．2 C ．D ．6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为244⨯=3216⨯⨯=，选D ． 【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。
4．i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1 D ．-1 【答案】C【解析】41i ()1-i+=244(1i)[]=i =12+,故选C ． 【命题意图】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力．5。
若x ，y ∈R ，且⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥,,032,1x y y x x ，则z=x+2y 的最小值等于 ( )A.2 B .3 C.5 D.96 . 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于( )A.2B.3 C .4 D.57．函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。
厦门大学《高等数学》期中试卷A及答案
二、填空题：（每小题4分共24分）
7．设函数 可表示成 ，其中 为偶函数， 为奇函数，则 =； =。
8． 。
9．设 ，则当 ， 时， 处处可导。
10．设 由方程 所确定，则曲线 在 处的法线方程为。
11．设 可导，函数 由 所确定，则 。
12．设 有任意阶导数且 ，则 。（n>2）
18．溶液自深18cm顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中，开始时漏斗中盛满了溶液。已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其表面下降的速度为1cm/s，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速度为多少？
厦门大学《高等数学》期中试卷A参考答案
一、单项选择题:
1. B，2. C, 3. C, 4. C, 5. D, 6. A.
17．证明：令 。在 上， ， ，由罗尔定理，存在 ，使 。
又 ， ， ，再对 应用罗尔定理，存在 ，使 ，即 。
五、应用题：
18．解：设漏斗在时刻t的水深为h（cm），筒中的水深为H（cm），则漏斗中水面半径满足 ，即 。设盛满溶液时漏斗的体积为 ，则有
上式两边对 求导，得
。
代入 ， ，得圆柱形容器中溶液表面上升的速度为
厦门大学《高等数学》期中试卷A
题号
一
二
三
四
五
总成绩
得分
评卷人
一、单项选择题：（每小题4分，共ห้องสมุดไป่ตู้4分）
1．设 ，则 。
（A）0；（B）1；（C） ；（D） 。
2．设
（A）在 内有界；（B）当 时为无穷大；
（C）在 内无界；（D）当 时有极限。
3．设 时， 与 是同阶无穷小，则 为。
（A）1；（B）2；（C）3；（4）4。
文科高数(D)期中试卷答案(终结版)
1 9 x 。 4 4
5）函数图像如下所示。
令t ln e, 则 原式 lim t
t 1 1 1t
e
ln t lim t 1 1 t
e
1 lim t t 1 1
e 1
1 e
2.（1）解：
由x 0且cos( ) 0，得 x 2 x 0且x ，k 2k 1 所以间断点为x 0和x 2 ，k 2k 1 2 < ， 2n 1
3.计算下列函数的导数
1 y 1 x2 1 2x2 1 x2
dy dx
2 y x
a2 x2
x a2 x2
dy x2 a2 a2 x2 dx a 2 x 2 (a 2 x 2 ) a 2 x 2 解： a2 2x2 a2 x2 a2 (a 2 x 2 ) a 2 x 2
2010 年文科高等数学（D）期中考试答案
一、 判断（理由只要言之有理即可） 1． 错误。前半句正确，但后半句错误，反例：an=(-1)n 2． 错误。因为 f(0-)=f(0+)=0=f(0)，所以 f(x)在 x=0 处连续 3． 正确。这是零点存在定理的表述 4． 错误。反例： f(x)=x2 是偶函数， 但导数 f ’(x)=2x 是奇函数； g(x)=x3 是奇函数， 但导数 g ’(x)=3x2 是偶函数
0, 0 0, 0
因此，对 x 0 ，有 f x 0 。得证。
x 52 ，其定义域为 D x | x 1, x R ，垂直渐近线是 x 1 。 4 x 1
8 dy x 3x 5 d 2 y 2） ， 2 2 dx dx x 13 4x 1
2010级第二学期高等数学A期中试卷答案 2
1. (10分) 求抛物线2=2y x与其上一点1(,1)2A 处的法线围成的平面图形的面积.解：先求出抛物线2=2y x 在点1(,1)2A 处的法线方程. 2=1=11()=12y y dx d y dydy =， ---------2分 所求的法线方程为11=(1)()2y x ---，即3=2y x -. ---------3分则法线与抛物线的两个交点分别为19(,1)(3)22-，， ---------2分 于是所围平面图形的面积为112233-33131116[()]d =()=222263S y y y y y y -=----⎰. ---------3分 2. (10分) 半径为R (单位为：米)的半球形水池充满了水(单位为：吨)，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？解：取坐标系如图，考察区间[,+d ]x x x 所对应的 小薄层，此薄层水重为22()d R x x π-(吨)，将此层 水提高到水池外面的距离是x ，因此所作的微功为22d ()d W R x x x π=-， ---------6要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为22401()d 4R W R x x x R ππ=-=⎰(吨.米) ---------4分 3. (10分) 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。
现有一质量为9000kg(公斤)的飞机，着陆时的水平速度为700km/h （千米/时）.假设减速伞厦门大学《高等数学》课程 期中试卷答案 (2011.4.16)主考教师：理工类教学组 试卷类型：（A 卷）打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0⨯106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设知 m=9000 kg ，着陆时的水平速度0=700v km/h ，从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机滑行的距离为x(t )，速度为v(t )。
厦门大学2010学年概率论与数理统计期中试卷
厦门大学 学院 2010 学年 第一学期 专业 级《 概率统计 》期中试卷考试形式：（ 闭卷 ）一、填空题（共 30 分，每空2分）：1．事件C B A ,,中至少有一个发生可表示为 ，三个事件都发生可表示为 ，都不发生可表示为 .2．设()4.0=A P ，()3.0=B P ，()4.0=B A P Y ，则()=B A P .3．一袋中有10个球，其中3个黑球，7个白球. 每次从中任取一球，直到第3次才取到黑球的概率为 ，至少取3次才能取到黑球的概率为 .4．设随机变量X 的分布函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=31318.0114.010x x x x x F ，则X 的分布列为 .5．进行10次独立重复射击，设X 表示命中目标的次数，若每次射击命中目标的概率都是4.0，则X 服从 分布，其数学期望为 ，方差为 .6．设连续型随机变量()λe X ~，)0(>λ，则=k 时，{}412=>k X P .7．已知随机变量()2~P X ，则102-=X Y 的数学期望=EY ，方差=DY .8. 已知随机变量X 的概率密度函数为()⎩⎨⎧>-<≤≤-=2,202225.0x x x x f ，则X 服从分布，设随机变量12+=X Y ，则=EY .二、选择题（共10 分，每小题 2 分）1．设事件B A ,互不相容，且()()0,0>>B P A P ，则有 （ ） （A ）()0>A B P （B ）()()A P B A P =（C ）()0=B A P （D ）()()()B P A P AB P =2．设()x F 1与()x F 2分别为任意两个随机变量的分布函数，令()()()x bF x aF x F 21+=，则下列各组数中能使()x F 成为某随机变量的分布函数的有（ ）（A ）52,53==b a （B ）32,32==b a （C ）21,23==b a （D ）23,21==b a3．设随机变量X 的概率密度函数为()x f ，且()()x f x f =-，()x F 是X 的分布函数，则对任意实数a ，有（ ） （A ）()()dx x f a F a⎰-=-01 (B) ()()dx x f a F a⎰-=-021 (C) ()()a F a F =- (D) ()()12-=-a F a F4．如果随机变量X 的概率密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其他,021,210,x x x x x f ；则{}=≤5.1X P （ ）（A ）()⎰⎰-+5.1112dx x xdx （B ）()⎰-5.112dx x（C ）()⎰-5.111dx x （D ）()⎰∞--5.12dx x5．设()2,~σμN X ，且3=EX ，1=DX ，()x 0Φ为标准正态分布的分布函数，则{}=≤≤-11X P （ ）（A ）()1120-Φ （B ）()()2400Φ-Φ （C ）()()2400-Φ--Φ （D ）()()4200Φ-Φ三、计算题（共 50 分，每小题 10 分）1．城乡超市销售一批照相机共10台，其中有3台次品，其余均为正品，某顾客去选购时，超市已售出2台，该顾客从剩下的8台中任意选购一台，求该顾客购到正品的概率。
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(福建卷,解析版)
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（福建卷，解析版）一、选择题： 1、【答案】A【命题意图】本题考查学生对于三角两角差公式的运用以及常见三角函数值的记忆。
βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-，2130sin =。
【解析】2130sin 13sin 43cos 13cos 43sin ==-2、【答案】D【命题意图】本题考查学生对抛物线焦点的识记以及原方程的求解。
px y 22=的焦点为)0,2(pF ，求解圆方程时，确定了圆心与半径就好做了。
【解析】抛物线的焦点为)0,1(F ，又圆过原点，所以1=R ，方程为021)1(2222=+-⇔=+-y x x y x 。
3、【答案】A【命题意图】本题考查学生对等差数列公式、求和公式的掌握程度，以及一元二次方程最值问题的求解。
d n n na S d n a a n n 2)1(,)1(11-+=-+=。
【解析】由61199164-=+-=+=+a a a a a ，得到59=a ，从而2=d ，所以n n n n n S n 12)1(112-=-+-=，因此当n S 取得最小值时，6=n .4、【答案】C【命题意图】本题从分段函数的角度出发，考查了学生对基本初等函数的掌握程度。
【解析】⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+=0,ln 0,4)1()(22x ex x x x f ，绘制出图像大致为所以零点个数为2。
5、【答案】C 【命题意图】本题考查学生对程序框图的理解。
选材较为简单，只需要考生能从上到下一步步列出就可以正确作答。
【解析】s =0→i =1→a =2→2=s →2=i →8=a →10=s →3=i →24=a → 34=s →i =4→输出i =4，选择C 6、【答案】D【命题意图】本题考查考生对立体几何体的理解程度、空间想像能力。
灵活，全面地考查了xye 2-4 -3考生对知识的理解。
【解析】若FG 不平行于EH ，则FG 与EH 相交，焦点必然在B 1C 1上，而EH 平行于B 1C 1，矛盾，所以FG 平行于EH ；由⊥EH 面11ABB A ，得到EF EH ⊥，可以得到四边形EFGH 为矩形，将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C 正确；D 没能正确理解棱台与这个图形。
大学高等数学统考卷下10届期中考试附加答案
大学高等数学统考卷下（10届）期中考试附加答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则下列结论正确的是（）A. f'(0)存在B. f'(0)不存在C. f(x)在x=0处连续D. f(x)在x=0处不可导2. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是（）A. f(x)在区间(a, b)内至少存在一个极值点B. f(x)在区间(a, b)内至少存在一个拐点C. f(x)在区间(a, b)内恒为常数D. f(x)在区间(a, b)内单调递增3. 下列级数收敛的是（）A. ∑(n=1 to +∞) n^2B. ∑(n=1 to +∞) (1)^n / nC. ∑(n=1 to +∞) 1 / nD. ∑(n=1 to +∞) n / 2^n4. 设函数f(x)在区间(0, +∞)上可导，且f'(x) > 0，则下列结论正确的是（）A. f(x)在区间(0, +∞)上单调递增B. f(x)在区间(0, +∞)上单调递减C. f(x)在区间(0, +∞)上存在极值点D. f(x)在区间(0, +∞)上恒为常数5. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，下列积分中正确的是（）A. ∫(a to b) f(x) dx = 0B. ∫(a to b) f(x) dx = f(a) + f(b)C. ∫(a to b) f(x) dx = f(a) f(b)D. ∫(a to b) f(x) dx = (b a) f(a)二、填空题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x) = x^3 3x，求f'(x) = ______。
2. 设函数f(x) = e^x，求f''(x) = ______。
3. 设函数f(x) = ln(x + 1)，求f'(x) = ______。
期中考参考答案(理)
2010学年度第一学期期中数学试卷参考答案（理）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、[],5m m --，2、充分不必要条件，3、24(4)y x x =-+>-，4、(1,)-+∞ 5、120， 6、(2,0) 7、()37f x x =-+，8、{2}9、24 10、10， 11、1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 12、，（1）（4）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.13、B14、C 15、D 16、C 三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本题满分12分）解：由128x <<，得(0,3)A =. …………………………2分由125≥+x 023≤+-⇒x x ，得B=(]3,2-. …………………………4分 由24x -<26x ⇒-<<，得C=(2,6)-.…………………………6分 所以A B=(]3,2-， …………………………8分A C =(2,0][3,6)-. …………………………12分18、（本题满分14分）（1）2a =时，条件符合。
…………………………2分20a -<时，0<，得(2,2)a ∈-，故(]2,2a ∈-。
…………………………7分（2）由2()(2)(1)42f x a x a =-+--+可知只要(1)0(3)0f f <⎧⎨<⎩成立，解得34(,)15a ∈-∞ …………………………14分 （用其他方法解得结果相应给分）19、（本题满分15分）（1）(1)(1)(15)(4)(1)(4)0f f f f f f -=-=-+=∴+= …………………………4分（2）设2[1,4],()(2)5x f x a x ∈=--由（1）得2a =，此时2()2(2)5f x x =--，且(1)3f =-设(1)3,(0)0f f =-=，可得[1,1],()3x f x x ∈-=-故23, [1,1]()283, [1,4]x x f x x x x -∈-⎧=⎨-+∈⎩ …………………………8分 （3）2315, [4,6]()2(7)5, [6,9]x x f x x x -+∈⎧=⎨--∈⎩…………………………13分 得max min ()3, ()5f x f x ==- …………………………15分 20、（本题满分15分）（1）12()lg 13x a f x x a++=+- …………………………4分（2）0a >时，定义域为(,21)(31,)a a -∞---+∞， 0a <时，定义域为(,31)(21,)a a -∞---+∞。
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一、选择题（每小题4分，共20分）
1．微分方程
x e y y y x sin 22'''-=++的特解形式为（ ） （A ）)sin cos (x B x A e x +-； （B ）)sin cos (x Bx x A e x +-；
（C ）)sin cos (x B x A xe x
+-； （D ）)sin cos (x B x Ax e x +-。
2．函数z xy u =在点)1,1,1(处的方向导数的最小值是 。
（A ）1-； （B ）2-； （C ）0； （D ）3-。
3．点)1,0,1(在平面1=++z y x 上的投影为 。
（A ）)3
2,31,32(--； （B ）)0,1,0(-； （C ）)0,1,0(；（D ）)32,31,32(-。
4. 两张平行平面01
1=+++∏D Cz By Ax ：与022=+++∏D Cz By Ax ： 之间的距离为 。
（A ）|D |21-D ；（B ）|D |21+D ；（C ）
22221C B A |D |++-D ；（D ）22221C B A |D |+++D 。
5．函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x y x y x f 在)0,0(点 。
（A ）可微； （B ）偏导数不存在; （C ）不连续； （D ）连续但不可微。
二、填空题（每小题4分，共20分）
1．已知单位向量a 与x 轴正向夹角为
3π，与z 轴正向夹角为4π，则a = 。
2．函数 22),(y x xy x y x f --+= 的极值点为 ， 它为极 值点。
3．旋转抛物面22y x z +=在点)2,1,1(处的切平面与空间直线:L
厦门大学《高等数学A 》课程试卷
＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业
主考教师：高数A 组 试卷类型：（A 卷） 2010.04.17
⎩
⎨⎧=+-=++01z y x z y x 的夹角为 。
4．设),,(),,(),,,(y x t t y z z y x f u ψϕ===其中ψϕ,,f 有一阶连续偏导数，则=du 。
5. 曲面)sin(y x x e z yz +⋅+=在)21,0,2(π
π
+点处的法向量为 。
三、计算题（每题10分，共40分）
1．求方程
x y
xe y xy -='的通解。
2．求方程''"2y y yy -=的通解。
3．设),(y x z z =是由方程),(z
y z x f x =所确定的隐函数，其中f 具有一阶连续偏导数， 求y
z x z ∂∂∂∂,。
4．设⎩⎨⎧-=+=v
u e y v u e x u u cos sin ，求y v x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,。
四、分析题（每题10分，共20分）
1．写出yoz 面上抛物线y z
=2绕y 轴旋转得到的曲面方程，并求该曲面与椭球面12
22
22=++z y x 的交线在yoz 面上的投影曲线方程，以及在)1,1,0(点处的切线方程。
2．抛物面22y x z +=被平面4=++z y x 截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值。