绳不松、不脱轨问题(答案)

绳不松、不脱轨问题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】ACD
【解析】小球在最低点时，有竖直向上的加速度，小球处于超重状态，A 正确；设小球在最高点的速度为v ，由动能定理得，
－mg ·2l ＝12mv 2－12
mv 2
0，
对小球在P 点、Q 点受力分析，有mg ＋F 1＝m v 2
L
，
F 2－mg ＝m v 20
L
，
联立解得，F 2－F 1＝6mg ，与小球的速度无关，B 错误；小球刚好通过最高点P 时只受重力，重力提供向心力，
mg ＝m v 2
L
，v ＝gL ，联立可得，v 0＝5gL ，当v 0＞5gL 时，小球一定能够通过最高点P ，C 正确；若v 0＜gL ，
设小球能够上升的最大高度h ，由机械能守恒得，mgh ＝12mv 20＝12mgL ，所以h ＝L
2，小球上升的最高点尚不到与O 水平的高度，所以细绳始终处于绷紧状态，故D 正确。

2． 【答案】D ．
【解析】解：A 、细线碰到钉子的前后瞬间，球的线速度大小不变，转动的半径减小，根据知，角速度
增大，故A 错误．
B 、根据牛顿第二定律得，F ﹣mg=m
，解得F=mg+
，钉子钉在E 点时，相对于绕D 、F 点，转动的半
径最大，拉力最小，绳子最不可能被拉断，故B 错误．
C 、由于绳与钉子碰撞时机械能的损失不计，若只在
D 点钉钉子，因D 点与A 等高，摆球最高能达到与A 等高，故C 错误．
D 、若只在F 点以下某点钉钉子，由于球做圆周运动的半径较小，摆球可能做完整的圆周运动，故D 正确． 3． 【答案】 CD
【解析】 当v 0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg ≤mv 2
r
，又根据机
械能守恒定律有12mv 2＋2mgr ＝12mv 2
，得v 0≥2 5 m/s ，C 正确．当v 0较小时，小球不能通过最高点，这时对
应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处时速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr ＝12mv 2
0，得
v 0≤2 2 m/s ，D 正确． 4． 【答案】 CD
【解析】 在最高点，小球速度最小时有：mg ＝m v 21
R
，解得v 1＝gR ，从最低点到最高点的过程中机械能守恒，
则有：2mgR ＋12mv 21＝12
mv 2
0小，解得v 0小＝5gR ；要使环不会在竖直方向上跳起，在最高点环对球的最大压力F m ＝2mg ＋3mg ＝5mg ，在最高点，速度最大时有：mg ＋5mg ＝m v 22
R
，解得v 2＝6gR ，从最低点到最高点的过
程中机械能守恒，则有：2mgR ＋12mv 22＝12mv 2
0大，解得v 0大＝10gR ，所以小球在最低点的速度范围为：5gR ≤v 0≤10gR ，选项C 、D 正确．
5． 【答案】AB
【解析】根据机械能守恒定律可知，小球在细线碰到钉子以后仍能摆到与A 等高的点，说明此点速度为0，所以圆心不能比AB 水平线低，所以钉子只能钉在P 点和 N 点． A.A 项与上述分析结论相符，故A 正确； B.B 项与上述分析结论相符，故B 正确； C.C 项与上述分析结论不相符，故C 错误； D.D 项与上述分析结论不相符，故D 错误． 6． 【答案】 AB
【解析】 设K 与O 的距离为x ，则根据机械能守恒mgl ＝12mv 20，若恰能完成完整的圆周运动，则12
mv 2
0＝mg ×2(l
－x )＋12mv 2且mg ＝mv 2l －x ，整理得x ＝35l ，因此K 与O 的距离至少为35l ，因此A 、B 正确，C 、D 错误．
7． 【答案】ACD 8． 【答案】BD
【解析】当小球恰好通过轨道的正上方时，有，解得
此种情况下，小球再次到达最低点时有：
，
解得
即要使小球做完整的圆周运动，小球在最低端对轨道的压力
，故D 正确；
若小球不做完整的圆周运动，则小球上升四分之一圆弧，即速度为零，所以有
在轨道最低端有，联立解得：
，故B 正确；
故选BD 9． 【答案】C
【解析】小球通过最高点的最小速度为v A ＝gL sin α＝2 m/s ，在B 点的最小速度v B 满足12mv 2B ＝12mv 2
A ＋2mgL sin
α，解得v B ＝2 5 m/s 。

二、计算题
10．【答案】 (1)10 m/s (2)3 N (3)无张力，0.6 s 【解析】
(1)小球做圆周运动的临界条件为重力刚好提供最高点时小球做圆周运动的向心力，即mg ＝m v 20
L
，解得v 0＝gL
＝10 m/s.
(2)因为v 1＞v 0，故绳中有张力．根据牛顿第二定律有F 1＋mg ＝m v 21
L
，代入数据得绳中张力F 1＝3 N.
(3)因为v 2<v 0，故绳中无张力，小球将做平抛运动，其运动轨迹如图中实线所示，有L 2＝(y －L )2＋x 2，x ＝v 2t ，y ＝1
2
gt 2，代入数据联立解得t ＝0.6 s. 11．【答案】(1) 4m/s ；(2) 120N ；(3)017m l ≤<或 21.8m 25m l ≤< 【解析】(1)设滑块恰好通过最高点时速度为v 1，根据牛顿第二定律
2
1v mg m R
= 代入数据解得
14m/s v =
(2)设滑块再回到圆轨道最低点C 时速度为v 2，由动能定理可得
222111222
mg R mv mv ⋅=
- 在最低点根据牛顿第二定律
2
2v N mg m R
-= 联立可解得圆轨道对滑块的支持力为
120N N =
(3)要使滑块不脱离轨道，有两种可能：
①滑块从A 恰好到最高点的过程中，由动能定理可得
2111
()22
FL mg L l mg R mv μ-+-⋅=
解得BC 的距离
117m l =
②滑块到达与圆心等高处速度为零，沿轨道返回，也不会脱离轨道，据动能定理可得
2()0FL mg L l mgR μ-+-= 解得BC 的距离
221.8m l =
另外，滑块要能够进入圆轨道，应至少能到达C 点，由动能定理可得
3()0FL mg L l μ-+= 解得BC 的距离
325m l =
综上所述，要使滑块不脱离轨道，BC 的长度范围应介于
017m l ≤<
或者
21.8m 25m l ≤<
12．【答案】（1）小球运动到悬点正下方B 点时悬线对球的拉力为7
2
mg ；
（2）铁钉位置在OB 线上的范围为，距离B 的距离为
5
16
L ≤r ≤12L 。

【解析】解：在A 点松手后，绳子为松弛状态，所以小球在重力作用下做自由落体运动，当小球落到A 点的正下方C 点，OC ＝L 时绳又被拉紧，此时由于绳子的冲量作用，使小球沿绳方向的速度分量υ2减小为0，小球将以L 为半径、υ1为初速度从C 开始做圆周运动，如图。

因此，从A 点到B 点的过程中有机械能损失，机械能不守恒。

当小球从C 点运动到B 点的过程中，机械能守恒。

本题应先求出小球在C 点时的切向速度υ1，再对CB 段运用机械能守恒定律求出υ，最后求绳中张力T 。

小球从A 点到C 点做自由落体运动，下落高度为L ，则：υC ＝。

其切向分量为：υ1＝υC cos30°＝
小球从C 点到B 点过程中，由机械能守恒定律有： mgL （1﹣sin30°）＝
将υ1代入解得：
对B 点由向心力公式得：T ﹣mg ＝ 解得：。

（2）小球到达B 点后绕D 点做圆周运动，设DB 之间的距离为r ，则 小球能做做圆周运动，则在最高点的速度v
对B 点，根据向心力公式得： T ′﹣mg ＝
当T ′＝9mg 时，r 取最小值，则r min ＝
5
16
L ， 从B 点到最高点的过程中，根据动能定理得：
小球能做做圆周运动，则在最高点的速度v
解得：r max ＝
12
L 所以铁钉位置在OB 线上的范围为，距离B 的距离为
5
16
L ≤r ≤12L
13．【答案】(1)4m/s v = (2) 1.20.8 1.68AE AE m m L L m
≤≤<或
【解析】(1)摆球运动过程无摩擦，只有重力做功，故机械能守恒；设小球的质量为m ，
则有：21(1cos )2
θ-=mgL mv
得：4m/s v
(2)设小球恰能通过最高点时，其轨道半径为R ，在最高点处 由牛顿第二定律得：2
1v mg m R
=
从最低点到最高点由动能定理得：22111222
mgR mv mv -=- 钉子与A 的最小距离：AE L L R =- 可得： 1.28m AE L =
满足条件： 1.20.8 1.68AE AE m m L L m ≤≤<或
14．【答案】（1）11m ；（2）10N ，方向竖直向上；（3）0<R ≤2.4m 或R >6m 距离36m 或24m 【解析】(1)在最高点，根据牛顿第二定律得：2
1v mg m R
=
从A 点到最高点，根据动能定理有：22
11011222
mgL mg R mv mv μ--⋅=-
联立并解得：111m L =.
(2)从A 点到最高点，根据动能定理有：22
22
011222
mgL mg R mv mv μ--⋅=- 在最高点，根据牛顿第二定律得：22
N v F mg m R
+=
联立解得：10N N F =，方向竖直向下
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小：'10N N N F F ==，方向竖直向上
(3)全程中根据动能定理有：2
012
mgL mv μ-=-
解得：36L m =
若圆轨道足够小：36m L L ∆== 若圆轨道足够大：3224m L L L ∆=-=。