2018届广州市高三年级调研测试(文科数学)答案

数学（文科）试题A 第 1 页 共 8 页
2018届广州市高三年级调研测试 文科数学试题答案及评分参考
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一．选择题
二．填空题
13．10 14．2
1
- 15．1ln 2+ 16．1
三、解答题
17． 解：（1）当1n =时，11
4
a =
．………………………………………………………………………1分 因为221*
123-144+44,4
n n n n n a a a a a n --++++=∈N L ， ①
所以22123-1-1
444,24
n n n a a a a n -++++=≥L ． ②……………………………………3分
①－②得11
44
n n a -=．……………………………………………………………………………………4分
所以()*
1=2,4
n n a n n ≥∈N ．……………………………………………………………………………5分
由于114a =也满足上式，故*
1=()4
n n a n ∈N ．…………………………………………………………6分
（2）由（1）得421n n n a b n =+=1
21
n +．………………………………………………………………………7分
所以()()11
111=
212322123n n b b n n n n +⎛⎫=- ⎪++++⎝⎭
．………………………………………………9分
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故1111111235572123n T n n ⎛⎫
=
-+-++- ⎪++⎝⎭
L ……………………………………………………10分 1112323n ⎛⎫
=
- ⎪+⎝⎭
…………………………………………………………………………………11分 69
n
n +=
．…………………………………………………………………………………………12分
18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 中点为F ， 连接OF ，EF ．
因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF PA P ，且1
2
OF PA =， 因为DE PA P ，且1
2
DE PA =
， 所以OF DE P ，且OF DE =．…………………………………………………………………………1分 所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF P ，即BD EF P ．………………………………2分 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．
因为PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC ．…………………………………………………………4分 因为BD EF P ，所以EF ⊥平面PAC ．………………………………………………………………5分 因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ………………………………………………6分 （2）解法1：因为60ABC ∠=o ，所以△ABC 是等边三角形，所以2AC =．………………………7分
又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥．
所以1
22
PAC S PA AC ∆=
⨯=．……………………………………………………………………………8分 因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高． ……………………………………………9分
因为EF DO BO ===……………………………………………………………………………10分 所以13
P ACE E PAC
PAC V V
S EF --∆==⨯…………………………………………………………………11分
1233
=⨯=
．………………………………………………………………………12分 解法2：因为底面ABCD 为菱形，且︒=∠60ABC ，所以△ACD 为等边三角形．………………7分 取AD 的中点M ，连CM ，则AD CM ⊥，且3=
CM ．………………………………………8分
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因为⊥PA 平面ABCD ，所以CM PA ⊥，又A AD PA =I ，
所以CM ⊥平面PADE ，所以CM 是三棱锥C PAE -的高．………………………………………9分
因为1
22
PAE S PA AD ∆=
⨯=．…………………………………………………………………………10分 所以三棱锥ACE P -的体积1
3
P ACE C PAE PAE V V S CM --∆==⨯……………………………………11分
1233
=⨯=．…………………………………………12分
19．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++=
=，34445
45
y ++++==．…………………1分
因为
5
1
()()(3)(1)000316i
i i x
x y y =--=-⨯-++++⨯=∑， ………………………………………2分
，52310)1()3()
(222225
12
=+++-+-=-∑=i i
x x ………………………………………………3分
==……………………………………………………4分
所以相关系数()()
0.95n
i
i x
x y y r --=
=
=≈∑．………………5分
因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． …………………………………………6分 （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：
当X >70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，
周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元． …………………………………………………………………8分 当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，
周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元． …………………………………………………………………9分 当X<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，
周总利润Y =3×3000=9000元． …………………………………………………………………………10分 所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005
460050
Y ⨯+⨯+⨯=
=元，
所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元． ………………………………………………12分
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20． 解：（1）抛物线的准线方程为2p x =-
， 所以点E ()2t ，到焦点的距离为232
p
+=．…………………………………………………………1分
解得2p =．
所以抛物线C 的方程为2
4y x =．………………………………………………………………………2分
（2）解法1：设直线l 的方程为()10x my m =->．………………………………………………………3分
将1x my =-代入2
4y x =并整理得2
440y my -+=，………………………………………………4分 由()2
4160m ∆=->，解得1m >．……………………………………………………………………5分 设()11,A x y ， ()22,B x y ， ()11,D x y -，
则124y y m +=， 124y y =，……………………………………………………………………………6分
因为()()()2212121212·11(1)2484FA FB x x y y m y m y m y y =--+=+-++=-u u u r u u u r ，………………7分
因为FA FB ⊥，所以0FA FB =u u u r u u u r
g ．
即2840m -=，又0m >
，解得m =．…………………………………………………………8分
所以直线l
的方程为10x -+=． 设AB 的中点为()00,x y , ，0013x my =-=，……………………………………………………9分 所以直线AB
的中垂线方程为)3y x -=-． 因为AD 的中垂线方程为0y =，
所以△ABD 的外接圆圆心坐标为()5,0．……………………………………………………………10分
因为圆心()5,0到直线l 的距离为
AB ==
……………………………………………………………11分 所以△ABD 的外接圆的方程为()2
2524x y -+=．…………………………………………………12分
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解法2：依题意可设直线()():10l y k x k =+>．……………………………………………………3分 将直线l 与抛物线C 联立整理得0)42(2
2
2
2
=+-+k x k x k ．………………………………………4分 由04)42(4
2
2
>--=∆k k ，解得10<<k ．………………………………………………………5分 设),,(),,(2211y x B y x A 则1,4
2212
21=+
-=+x x k x x ．
…………………………………………………………………………6分 所以4)1(2121221=+++=x x x x k y y ，
因为12121224
()18FA FB x x x x y y k
⋅=-+++=-u u u r u u u r ，…………………………………………………7分
因为FA FB ⊥，所以0FA FB =u u u r u u u r
g ．
所以2
4
80k
-
=，又0k > ，解得22=k ．…………………………………………………………8分 以下同解法1．
21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．
当2b =时，()2
ln f x a x x =+，所以()222a x a
f x x x x
+'=+=．………………………………1分
① 当0a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．………………………………2分 ② 当0a <时，令()0f x '=
，解得x =
当0x <<()0f x '<，所以函数()f x
在⎛ ⎝上单调递减；
当x >()0f x '>，所以函数()f x
在⎫+∞⎪⎪⎭
上单调递增．………………………3分 综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；
当2b =，0a <时，函数()f x
在⎛ ⎝
上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增．………4分
（2）因为对任意1,e e
x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，有()e 1f x ≤-成立，所以()max e 1f x ≤-．……………………………5分
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当0a b +=即a b =-时，()ln b f x b x x =-+，()()1
1b
b b x b f x bx x x
---'=+=
． 令()0f x '<，得01x <<；令()0f x '>，得1x >．
所以函数()f x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢
⎣⎭
上单调递减，在(]1,e 上单调递增，…………………………………………7分
()max f x 为1e e b f b -⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
与()e e b f b =-+中的较大者．…………………………………………8分
设()()1e e e 2e b b g b f f b -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭
()0b >， 则(
)e e
220b
b
g b -'=+->=，
所以()g b 在()0,+∞上单调递增，故()()00g b g >=所以()1e e f f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，
从而()max f x =⎡⎤⎣⎦()e e b
f b =-+．………………………………………………………………………9分
所以e e 1b
b -+≤-即e e 10b b --+≤．
设()=e e 1b
b b ϕ--+()0b >，则()=e 10b
b ϕ'->．…………………………………………………10分
所以()b ϕ在()0,+∞上单调递增．
又()10ϕ=，所以e e 10b b --+≤的解为1b ≤．……………………………………………………11分 因为0b >，所以b 的取值范围为(]0,1．………………………………………………………………12分
22．解：（1）因为曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y α
α=⎧⎨=⎩
（α为参数），
因为2.x x y y '=⎧⎨
'=⎩，，则曲线2C 的参数方程2cos 2sin .
x y αα'=⎧⎨'=⎩，
．………………………………………………2分
所以2C 的普通方程为2
2
4x y ''+=．……………………………………………………………………3分 所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆．…………………………………………………………………4分
所以2C 的极坐标方程为2
4ρ=，即2ρ=．…………………………………………………………5分
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（2）解法1：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分
曲线2C 上的点M 到直线l
的距离+)10|d απ
-==
．…………8分 当cos +
=14απ⎛
⎫
⎪
⎝
⎭即()=24k k αππ-∈Z 时，d
2-．……………9分 当cos +
=14απ⎛⎫
- ⎪
⎝
⎭即()3=24k k απ+π∈Z 时，d
+10分 解法2：直线l 的普通方程为100x y --=．…………………………………………………………6分 因为圆2C 的半径为2，且圆心到直线l 的距离252
|
1000|=--=
d ，…………………………7分
因为225>，所以圆2C 与直线l 相离．………………………………………………………………8分 所以圆2C 上的点M 到直线l 的距离最大值为225+=+r d ，最小值为225-=-r d ．…10分
23．解：（1）当1=a 时，()|1|=+f x x ．…………………………………………………………………1分
①当1x ≤-时，原不等式可化为122x x --≤--，解得1≤-x ．…………………………………2分 ②当1
12
x -<<-时，原不等式可化为122+≤--x x ，解得1≤-x ，此时原不等式无解．……3分 ③当1
2
x ≥-
时，原不等式可化为12+≤x x ，解得1≥x ．…………………………………………4分 综上可知，原不等式的解集为{
1x x ≤-或}1≥x ．…………………………………………………5分
（2）解法1：①当3a ≤时，()3,
3,23,3,3,.a x g x x a x a a x a -≤-⎧⎪
=----<<-⎨⎪-≥-⎩
………………………………………6分
所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨
-≥⎩，
，
解得1a ≤．………………………………………………………7分
②当3a >时，()3,
,23,3,3, 3.a x a g x x a a x a x -≤-⎧⎪
=++-<<-⎨⎪-≥-⎩
…………………………………………………8分
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所以函数()g x 的值域[]3,3A a a =--， 因为[2,1]-⊆A ，所以3231a a -≤-⎧⎨
-≥⎩，
，
解得5a ≥．………………………………………………………9分
综上可知，a 的取值范围是(][),15,-∞+∞U ．………………………………………………………10分 解法2：因为|+||+3|x a x -≤()+(+3)3x a x a -=-，……………………………………………7分 所以()g x =()|+3||+||+3|[|3|,|3|]-=-∈---f x x x a x a a ．
所以函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．…………………………………………………………8分
因为[2,1]-⊆A ，所以|3|2|3|1a a --≤-⎧⎨-≥⎩
，，解得1a ≤或5a ≥．
所以a 的取值范围是(][),15,-∞+∞U ．………………………………………………………………10分。