3.1.2 用二分法求方程的近似解

A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝ln x
答案：C 3．用二分法求函数 f(x)＝x3＋5 的零点可以取的初始区间是
A．[－2,1]
B．[－1,0]
()
C．[0,1]
D．[1,2]
答案：A
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4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算 得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第 二次应计算________． 答案：(0,0.5) f(0.25)
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用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采 用估计值的方法完成)． (2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c) 还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符 合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
f(a) f(0)<0
f(b) f(1)>0
fa＋2 b f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75 f(0.5)<0 f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625,0.75) (0.687 5,0.75)
0.687 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0
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[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有函数的零点都可以用二分法来求． ( × )
(2)函数 f(x)＝|x|可以用二分法求其零点． ( × )
(3)精确度 ε 就是近似值．
(× )
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2．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是 ( )
区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为
－2，－12，－12，1，1，52，52，4.
答案：D
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用二分法求方程的近似解
[例2] 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似
解．(精确度0.1) [解] 令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
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∵f(2.25)＝－0.437 5<0， ∴2.25<x0<2.5； 如此继续下去，有 f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5)； f(2.375)<0，f(2.437 5)>0⇒x0∈(2.375,2.437 5)． ∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1， ∴方程 x2＝2x＋1 的一个精确度为 0.1 的近似解可取为 2.437 5.
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2．[变条件]若本例中的方程“2x3＋3x－3＝0”换为“x2－2x＝ 1”其结论又如何呢？ 解：设f(x)＝x2－2x－1. ∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0. ∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0. 取2与3的平均数2.5， ∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5； 再取2与2.5的平均数2.25，
方法叫做二分法．
[点睛] 二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼
近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，
用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
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2．用二分法求函数零点近似值的步骤
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给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
第一步，确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε. 第二步，求区间(a，b)的 中点 c.
5 |0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的
一个正实数近似解．
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[一题多变] 1．[变条件]若本例中的“精确度 0.1”换为“精确度 0.05”结
论又如何？ 解：在本例的基础上，取区间(0.687 5,0.75)的中点 x＝0.718 75，因为 f(0.718 75)＜0，f(0.75)＞0 且|0.718 75－0.75|＝0.031 25＜0.05，所以 x＝0.72 可作为方程的一个近似解．
第三步，计算f(c)： (1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则令 b ＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(3)若f(c)·f(b)<0，则令 a ＝c(此时零点x0∈(c，b))． 第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b| < ε，则得
到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步．
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3.1.2 用二分法求方程的近似解
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预习课本P89～91，思考并完成以下问题 (1)二分法的定义是什么？用二分法求函数零点近似值的步骤是 什么？
(2)利用二分法求方程的近似解时，函数零点所在的区间应满足 什么条件？
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[新知初探]
1．二分法的概念
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对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝ f(x)，通过不断地把函数f(x)的 零点 所在的区间 一分为二 ， 使区间的两个 端点 逐步逼近零点，进而得到零点近似值的
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二分法概念的理解 [例1] 下列图象所表示的函数中能用二分法求零点的是( )
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[解析] A 中，函数无零点．B 和 D 中，函数有零点，但 它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而 在 C 中，函数图象是连续不断的，且图象与 x 轴有交点，并且 其零点为变号零点，故选 C.
[答案] C
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二分法的适用条件 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在 零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分 法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函 数的不变号零点不适用．
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[活学活用] 1．用二分法求如图所示的函数 f(x)的零点时，不可能求出的零点
是
()
A．x1 C．x3
B．x2 D．x4
解析： x3是不变号零点，不能用二分法求解． 答案：C
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2．在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间
是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是
()
A．[1,4]
B．[－2,1]
C．－，52
D．－12，1
解析：∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二十一)” (单击进入电子文档)
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所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
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如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b) (0,1)
中点c 0.5