图的上符号控制数的上界

图的上符号控制数的上界
刘惠敏
【摘要】Гs(G)=max{(f)}|f是图G的极小符号控制函数}是图的上符号控制数上界,根据最小度最大度等参数改进了上符号控制数的上界,是对Favaron在正则图中给出的上符号控制数上界及Wang C.X.和Mao J.Z.在几乎正则图中给出的上符号控制数上界的一个推广.与Tang Huajun,Chen Yaojun在[3]中确立的解相比,结果更为精确.
【期刊名称】《华东交通大学学报》
【年(卷),期】2009(026)004
【总页数】5页(P100-103,128)
【关键词】符号控制函数;上界;上符号控制数
【作者】刘惠敏
【作者单位】华北电力大学数理学院,北京,102206
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
本文讨论的图都是有限简单图。

设图G=(V，E)，v∈V的邻域定义为
N( v)={u∈V|uv∈E}，闭邻域定义为N[ v]=N( v)∪{v}。

顶点v的度数定义为我们称图G是k-正则的，如果对于任意顶点v∈V，都有d( v)=k。

称图G是几乎k-正则的，如果对于任意顶点v∈V，都有d( v)=k-1或k。

设S⊆V，我们定义
N( S)=∪v∈SN( v)，用ds(v)表示v在集合S中相邻的顶点数。

图G的最小度和
最大度分别用δ(G)和Δ(G)表示，在不引起混淆的情况下简记为δ和Δ。

对于不相交的点集A和B，我们用e (A，B)来表示A和B之间的边数。

本文中用到的其它术语请参照文献［4］。

图G的符号控制函数是一个函数f:V→{-1，1}，使得对于任意顶点v∈V，都有∑u∈N［v］f( u)≥1。

我们记f[ v]=∑u∈N［v］f( u)。

符号控制函数f的权重定义为w( f)=∑
v∈Vf(v)。

符号控制函数f是极小的，如果不存在符号控制函数g(g≠f)使得对于任意顶点v∈V，g( v)≤f( v)。

图G的上符号控制数用Γs (G)表示，定义为
Γs(G)=max{w( f)|f是图G的极小符号控制函数}。

对于正则图，Favaron给出了Γs的紧上界［1］。

定理A［1］如果G是一个具有n个顶点的k-正则图(k≥1)，那么当k是偶数时当k是奇数时
对于几乎正则图，Wang C.X.和Mao J.Z.在［2］中给出了Γs的较好的上界。

定理B［2］如果G是一个具有n个顶点的几乎k-正则图，那么当k是偶数时，Γs(G)≤当k是奇数时
定理C［3］如果G是一个具有n个顶点的图，那么当δ是偶数时当δ是奇数时特别地，当G是一个欧拉图时
根据现有的结论，本文进行了推广和改进，我们得到的定理如下:
定理设图G=(V，E)的顶点数为n，最小度和最大度分别为δ和Δ，则
当δ为奇数时，
当δ为偶数时，
特别地，当图G的所有顶点的度数都是偶数时，有
为了证明本文结论，我们首先给出Dunbar等人在［6］中提出的如下定理。

引理［6］图G的符号控制函数f是极小的，当且仅当对任意满足f( v)=1的顶点
v∈V，存在一个顶点u∈N[ v]，使得f[ u]∈{1，2}。

现在我们来证明本文的定理。

设f是图G的Γs(G)函数，P和M分别表示图G中函数值为+1和-1的点集。

当
δ=1时，结果是显然的。

因此我们只需考虑δ≥2时的情况。

为书写方便，我们记
显然，对于任意顶点根据引理，M≠＞。

设则
对于任意顶点v∈P，有，否则f[ v]＜1。

我们定义t1，设这样我们就把P划分为
t1+1个子集。

故
对任意顶点v∈M，有dP(v)≥「((v)+2)/2」，否则f［v］＜1。

我们定义
Mj={v∈M|dP(v)=j}，j=s2，.设，所以显然(Ms2，…，Mt2，M′)是M的一个划分。

由于M′中的顶点最多与P中Δ个顶点邻接，故
因此
1)当P0=＞时，由(1)(2)得
即
易证(Δ-1)n/(Δ+1)
因此我们只需证明P0≠＞的情况。

2)当P0≠＞时
根据P和M的划分，对于任意顶点所以对于任意顶点v∈V，当f［v］= 1或2时，有对任意顶点v∈P0，由于f是极小的，由引理可得，存在u∈N(v)使得f［u］∈{1，2}.设I={u∈N(P0)|f［u］=1或2}。

则.所以
同理，对任意顶点u∈Pi∩I(s1≤i≤t1)，一定存在u的邻点u′，使得f［u′］=1或2。

显然当时，u最多和P0中i个顶点相邻;当时，u最多和P0中i+1个顶点相邻。

设IP′i={u∈Pi∩I|dP0(u)=i+1}，IP″i=Pi∩I-IP′i。

因此我们可以把Pi∩I(s1≤i≤t1)划
分为两个不相交的集合IP′i和IP″i，即设|IP″i|=p′i，则|IP″i|=|Pi∩I|-p′i.由于任意顶点都与中至少一个顶点相邻，因此
由(3)和(4)得，
现在我们根据最小度δ的奇偶性分情况讨论。

情形1当δ是奇数
此时，s1=(δ-1)/2。

当i≥(δ-1)/2时，(δ+1)i/(δ-1)≥i+1成立，由不等式(1)(2)和(5)得，
当Δ≥3δ时，又
此时，即
因此，
当δ≤Δ＜3δ时，结论已由［3］给出。

情形2当δ是偶数
此时当时成立，故由(1)(2)和(5)可得
当Δ≥3(δ+1)时，又，所以
因此，即
此时
当δ≤Δ＜3(δ+1)时，结论已由［3］给出。

特别地，当图G的所有顶点的度数都是偶数时，对任意顶点u∈Pi∩I(s1≤i≤t1)，
u最多和P0中i个顶点相邻，这样由不等式(3)可得
所以
即
特别地，我们令δ=Δ=k，则当k是偶数时当k是奇数时这样我们就得到了定理A。

令δ=k，Δ=k+1，则当k是偶数时当k是奇数时这样我们就得到了定理B。

因此，定理A和定理B是本文定理的特殊情况。

由于，又当图G欧拉图时，它的所有顶点的度数都是偶数。

显然，本文定理是对定理C的进一步改进。

【相关文献】
［1］Favaron O.Signed domination in regular graphs［J］.Discrete Math，1996，158:287-293.
［2］Wang C X，Mao J Z.Some more remarks on domination in cubic graphs
［J］.Discrete Math，2001，237:193-197.
［3］Tang Huajun，Chen Yaojun.Upper signed domination number［J］.Discrete Math，2008，308:3 416-3 419.
［4］Bondy J A，Murty U S R.Graph theory with application［M］.North Holland Amsterdam，1976.
［5］Shan Erfang，Cheng T C E.Upper bounds on the upper signed total domination number of graphs［J］.Discrete Applied Mathematics，2009，157:1 098-1 103.
［6］Dunbar J E，Hedetniemi S T，Henning M A，et al.Singed domination in graphs ［J］.Graph Theory，Combinatorics and Applications，Wiley，New York.1995，(1):311-322.
［7］Henning Michael A.Signed total domination in graphs［J］.Discrete Math，2004，278:109-125.。