重庆一中2019-2020学年八年级(下)期中数学试卷(含解析)

重庆一中2019-2020学年八年级(下)期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1.剪纸艺术是中华文化的瑰宝，下列剪纸图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是()
A. B.
C. D.
2.下列因式分解中正确的个数为()
①；②；③。

A. 个
B. 个
C. 1个
D. 个
3.如图，在正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边
BC的距离为()
A. √3
B. 3√2
C. 4
D. 3
4.下列命题是假命题的是()
A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 对顶角相等
C. 邻补角一定互补
D. 三角形中至少有一个角大于或等于60°
5.如果实数a=√29−3，那么a的值在()
A. 5和6之间
B. 4和5之间
C. 3和4之间
D. 2和3之间
6.疫情期间嘉祥外国语学校用4200元钱到商场去购买“84”消毒液，经过协商议价，每瓶便宜1
元，结果比用原价多买了140瓶，求原价每瓶多少元？若设原价每瓶x元，则可列出方程为()
A. 4200
x −4200
x−1
=140 B. 4200
x−1
−4200
x
=140
C. 4200
x −4200
x−140
=1 D. 4200
x−140
−4200
x
=1
7.已知关于x的方程x2−mx+3=0的解为−1，则m的值为()
A. −4
B. 4
C. −2
D. 2
8.如图，AB//C
A. AD平分∠BAC，∠C=80°，则∠D的度数为
A.40°
B.50°
C.55°
D.80°
9.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别
交AB，BD于M，N两点．若AM=4√2，则线段ON的长为()
A. 2
B. √6
C. 2√2
D. 2√3
10.矩形具有而一般菱形不具有的性质()
A. 对角相等
B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直
D. 对角线互相平分
11.如图，观察下列图形，摆第1个图案需要8个圆点，摆第2个图案需要15个圆点，摆第3个图
案需要24个圆点，摆第4个图案需要35个圆点，按照这个规律继续摆放，第n个图摆放了143个圆点，则n的值为()
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
12.关于x的一元二次方程2x2+5x−1=0根的说法，正确的是()
A. 方程没有实数根
B. 方程有两个相等实数根
C. 方程有两个不相等实数根
D. 方程有一个实数根
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13.分解因式：2a2−8=______．
14.如图，小华从A点出发，沿直线前进5m后左转24°，再沿直线前进
5m，又向左转24°，……照这样走下去，当他第一次回到出发地A点
时，一共走过的路程是______ ．
15.已知x=1是方程x2+mx+n=0的一个实数根，则m+n的值是______ ．
16.如图，点E是正方形ABCD的AB的中点，点F在CE上，将FB绕点F顺
时针旋转90°至FG位置，则tan∠BDG=______．
17.一日早晨，小光准备沿自家门前的公路骑自行车锻炼身体，出发前给爸爸打电话得知爸爸正在
同一公路旁的鲜丰蔬菜基地，已装车完毕正准备前往与家方向相反的幸福农贸市场.于是他们同
时出发以各自的速度匀速行驶，小光行至鲜丰蔬菜基地后觉得有些累，便立即沿原路以原速的2
3匀速返回；爸爸到达幸福农贸市场，用了10分钟卸完货物，然后沿原路匀速回家，由于是空车，速度提高为来时的1.2倍.爸爸和小光相距的路程y(米)与他们出发的时间x(分钟)之间的部分函数关系图象如图所示，则当爸爸追上小光时，他们距离家还有______ 米.
18. 世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元．若少于40人时，一个
团队至少要有______人进公园，买40张门票反而合算．
三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
19. 化简：(1−2x−1)⋅x 2
−x x 2−6x+9
四、解答题（本大题共7小题，共68.0分）
20. (1)已知a ：b ：c =2：3：5，如果3a −b +c =24，求a ，b ，c 的值；
(2)解方程：x 2−4x +1=0．
(3)计算：sin30°+cos45°−tan30°⋅sin60°．
21.请用无刻度的尺分别按下列要求作图(保留作图痕迹)．
(1)图1中，点F、G是△ABC的所在边上的中点，作出△ABC的AB边上中线．
(2)如图，ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，BD是它的对角线，在图2中找出AB的中点E；
(3)图3是在图2的基础上已找出AB的中点E，请作出△ABC的AD边上中线．
22.某校为了了解学生参加体育活动的情况，对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均
每天参加体育活动的时间是多少？”共有4个选项：
A.1.5小时以上
B.1～1.5小时
C.0.5～l小时
D.0.5小时以下
图1、2是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，在图1中将选项C的部分补充完整．
(1)本次一共调查了多少名学生？
(2)在图1中将选项B的部分补充完整；
(3)若该校有3000名学生，请你估计全校可能有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5ℎ
以下？
(4)对此次的调查结果，请你谈一点自己的看法．
23.两年前，某种化肥的生产成本是2500元/吨，随着生产技术的改进，今年，该化肥的生产成本
下降1600元/吨．
(1)求前两年该化肥成本的年平均下降率；
(2)如果按此下降率继续下降，再过两年，该化肥的生产成本是否会降到1000元/吨，请说明理
由．
24.在平行四边形ABCD中，在平行四边形内作以线段AD为边的等边△ADM，连结AM．
(1)如图1，若点M在对角线BD上，且∠ABC=105°，AB=3√2，求AM的长；
(2)如图2，点E为CD边上一点，连接ME，点F是BM的中点，CF⊥BM，若CE+ME=DE.求
证：BM⊥ME．
25.如图，已知△ABC．
(1)作图：在AC上方作射线AE，使∠CAE=∠CAB﹒在射线AE上截取AD使AD=AB，连接CD(
用尺规作图，要求保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，△CDA与△ABC全等吗？说明理由．
26.学校拟购进一批手动喷雾消毒设备，已知1个A型喷雾器和2个B型喷雾器共需90元；2个A
型喷雾器和3个B型喷雾器共需165元．
(1)问一个A型喷雾器和一个B型喷雾器的单价各是多少元？
(2)学校决定购进两种型号的喷雾器共60个，并且要求B型喷雾器的数量不能多于A型喷雾器的4倍，请你设计出最为省钱的购买方案，并说明理由．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意，故此选项正确；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意，故此选项错误．
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.答案：C
解析：①x3+2xy+x=x(x2+2y+1)，故①错误；
②x2+4x+4=(x+2)2；正确；
③−x2+y2=(x+y)(y−x)，故③错误；
故正确的有1个．
故选：C．
3.答案：D
解析：
此题考查了三角形的面积勾股定理的运用，关键是根据图形列出求三角形面积的算式．
根据勾股定理表示出BC的长，再根据三角形的面积为3，求出BC，即可求出点A到边BC的距离．解：设单位方格的边长为a，
∵BC=√a2+a2=√2a，△ABC的面积等于3，
∴(2a)2−1
2×2a×a×2−1
2
×a×a=3，
解得a=±√2(负值舍去)，BC=√2a=√2×√2=2，
∴点A到边BC的距离为2S△ABC
BC =6
2
=3．
故选：D．
4.答案：A
解析：解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题；
B、对顶角相等，是真命题；
C、邻补角一定互补是真命题；
D、三角形中至少有一个角大于或等于60°，是真命题；
故选：A．
分别利用对顶角、平行线的性质和邻补角以及三角形的内角分析得出即可．此题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关定理与判定方法是解题关键．5.答案：D
解析：
此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的法则是解本题的关键．估算即可得到结果．
解：∵5<√29<6，
∴2<√29−3<3，
故选：D．
6.答案：B
解析：解：设原价每瓶x元，
根据题意，得4200
x−1−4200
x
=140．
故选：B．
设原价每瓶x元，根据关键描述语：“结果比用原价多买了140瓶”得到等量关系：原价买的瓶数−实际价格买的瓶数=140，依此列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是设出价格，以瓶数作为等量关系列方程．
7.答案：A
解析：
把x=−1代入方程计算即可求出m的值．
此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．解：把x=−1代入方程得：1+m+3=0，
解得：m=−4，
故选A．
8.答案：B
解析：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB//CD，
∴∠BAD=∠D，
∴∠CAD=∠D，
在△ACD中，∠C+∠D+∠CAD=180°，
∴80°+∠D+∠D=180°，
解得∠D=50°．
故选B．
9.答案：C
解析：解：过M点作MH⊥AC，
∵∠HAM=45°，
∴AH=HM=√2
2
AM=4．
∵CM平分∠ACB，HM⊥AC，MB⊥CB，
∴BM=HM=4．
∴正方形边长AB=4+4√2，
∴正方形对角线AC=4√2+8，OC=1
2
AC=2√2+4．
∴HC=AC−AH=4√2+4．
∵ON//HM，
∴ON
HM =OC
CH
．
∴ON
4=√2+4
4√2+4
，解得ON=2√2．
故选：C．
过M点作MH⊥AC，根据等腰直角三角形的性质求出HM长，再根据角平分线性质可得BM长，由
此得到正方形的边长，求出OC和HC长，根据ON//HM得到ON
HM =OC
CH
，从而可求ON长．
本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是逐步推导出相关线段的长度．
10.答案：B
解析：解：矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；
菱形的性质：对角相等，对角线互相垂直平分；
∴矩形具有而一般菱形不具有的性质为：对角线相等，
故选：B．
根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．
本题考查了矩形和菱形的性质，掌握矩形的对角线相等且平分、菱形的对角线垂直且平分是解题的关键．
11.答案：A
解析：观察图形可得，第一个图形中的点有2行，每行4个点，第二个图形中的点有3行，每行5个点，第三个图形中的点有4行，每行6个点，第四个图形中的点有5行，每行7个点，由此可得，第n个图形有(n+1)行，每行有(n+3)个点，∴第n个图形有(n+1)(n+3)个点，根据这个规律解决问题即可。

由题意得(n+1)(n+3)=143，解得n=10或n=−14(不合题意舍去).故选A．12.答案：C
解析：解：∵2x2+5x−1=0，
∴△=52−4×2×(−1)=25+8=33>0，
∴该方程有两个不相等实数根．
故选：C．
计算方程根的判别式，求其符号进行判断即可．
本题主要考查根的判别式，掌握方程根的判别式与方程根的情况是解题的关键．
13.答案：2(a+2)(a−2)
解析：
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：2a2−8
=2(a2−4)，
=2(a+2)(a−2)．
故答案为：2(a+2)(a−2)．
14.答案：75m
解析：解：由题意可知，当小华回到出发地A点时，行走的路线是正多边形，
∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，
∴多边形的边数为360°÷24°=15，
∴小华一共走的路程：15×5=75，
故答案为：75m．
根据多边形的外角和为360°求出多边形的边数，根据题意计算即可．
本题考查的是多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
15.答案：−1
解析：解：把x=1代入方程x2+mx+n=0得：1+m+n=0，
即m+n=−1，
故答案为：−1．
把x=1代入方程，即可求出答案．
本题考查了一元二次方程的解的应用，能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键．
16.答案：1
2
解析：解：连接BG，
∵将FB绕点F顺时针旋转90°至FG，
∴FG=FB，∠GFB=90°，
∴∠FGB=∠FBG=45°，
∴BG=√2BF，
∴BG
BF
=√2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠DBC=45°，
∴DB
BC
=√2，∠GBD=∠FBC，
∴BG
BF =BD
BC
，
∴△GBD∽△FBC，
∴∠BDG=∠BCF，
∵点E是正方形ABCD的AB的中点，∴BC=2BE，
∴tan∠BCE=BE
BC =1
2
，
∴tan∠BDG=1
2
，
故答案为：1
2
．
连接BG，证明△GBD∽△FBC，得出∠BDG=∠BCF，可得出tan∠BCE=BE
BC =1
2
，则答案可求出．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
17.答案：10520
解析：解：设小光开始骑车的速度为x 米/分钟，爸爸开始开车的速度为y 米/分钟，由题意得： {(50x +32y)−32x =3740032y −(50−32−10)×1.2y =22400
， 解得：{x =300y =1000
， 假设小光和爸爸还需t 分钟相遇，则1.2×1000t −300×23t =22400．
∴t =22.4．
∴相遇时小光离家的距离为：
50×300−300×23×22.4=10520(米)．
故答案为：10520
由题意：当0≤x ≤32时，小光由家骑车去素菜基地，爸爸由蔬菜基地开车去农贸市场，32分钟时爸爸到达农贸市场，32<x ≤50时，小光继续骑车到蔬菜基地，爸爸用10分钟卸完蔬菜后回家，50分钟时小光到达素菜基地，根据函数图象反映得两个人的速度与距离的关系，建立方程即可求解． 本题考查一次函数的图象，二元一次方程的应用．根据图象，找出两个人的运动状态是求解本题的关键． 18.答案：33
解析：解：设x 人进公园，
若购满40张票则需要：40×(5−1)=40×4=160(元)，
故5x >160时，
解得：x >32，
则当有32人时，购买32张票和40张票的价格相同，
则再多1人时买40张票较合算；
32+1=33(人)．
则至少要有33人去世纪公园，买40张票反而合算．
故答案为：33．
先求出购买40张票，优惠后需要多少钱，然后再利用5x>160时，求出买到的张数的取值范围再加上1即可．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，找到按5元的单价付款和4元单价付款的等量关系是解决本题的关键．
19.答案：解：原式=x−1−2
x−1⋅x(x−1)
(x−3)
=
x−3
x−1
⋅
x(x−1)
(x−3)2
=x
x−3
．
解析：先算括号内的减法，再算乘法即可．
本题考查了分式的混合运算，掌握运算法则是解此题的关键．20.答案：解：(1)∵a：b：c=2：3：5，
∴设a=2k、b=3k、c=5k，
∵3a−b+c=24，
∴6k−3k+5k=24，
解得k=3，
∴a=6，b=3，c=15；
(2)∵x2−4x+1=0，
∴x2−4x=−1，
∴x2−4x+4=−1+4，即(x−2)2=3，
∴x−2=±√3，
则x1=2+√3，x2=2−√3；
(3)原式=1
2+√2
2
−√3
3
×√3
2
=
1
2
+
√2
2
−
1
2
=√2
2
．
解析：(1)利用设k法求解即可；
(2)利用配方法求解即可；
(3)先代入特殊锐角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可．
本题主要考查比例的性质、特殊锐角的三角函数值、解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21.答案：解：(1)图1中，中线CE即为所求．
(2)如图2中，AB的中点E即为所求
(3)图3中，AD边上中线BF即为所求．
解析：(1)根据三角形的三条中线交于一点即可解决问题．
(2)延长AD，BC交于点K，连接AC交BD于点O，作直线OK交AB于点E，点E即为所求．
(3)连接EC交BD于K，连接AK，DE交于点O，作直线OB交AD于F，线段BF即为所求
本题考查作图−复杂作图，三角形的中线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22.答案：解：(1)读图可得：A类有60人，占30%，
则本次一共调查了60÷30%=200人，
答：本次一共调查了200位学生；
(2)“B”有200−60−30−10=100人，画图如下；
(3)用样本估计总体，每天参加体育锻炼在0.5小时以下占5%；则3000×5%=150，
学校有150人平均每天参加体育锻炼在0.5小时以下；
(4)要坚持体育锻炼，增强自身体质，做一名全面发展合格的学生．
解析：(1)读图可得：A类有60人，占30%即可求得总人数；
(2)计算可得：“B”是100人，据此补全条形图；
(3)用样本估计总体，若该校有3000名学生，则学校有3000×5%=150人平均每天参加体育锻炼在0.5小时以下；
(4)提倡多参加体育锻炼，增强体质的建议及可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23.答案：解：设前两年该化肥成本的年平均下降率为x；
依题意得：2500(1−x)2=1600，
化简得：(1−x)2=0.64，
解得：x2=0.2，x2=1.8(不合题意，舍去)．
答：前两年该化肥成本的年平均下降率为是20%；
(2)1600(1−0.2)2=1024．
∵1024>1000，
∴按此下降率继续下降，再过两年，该化肥的生产成本不会降到1000元/吨．
答：按此下降率继续下降，再过两年，该化肥的生产成本不会降到1000元/吨．
解析：(1)设前两年该化肥成本的年平均下降率为x，则等量关系为：2年前的生产成本×(1−降低的百分比)×(1−降低的百分比)=今年的生产成本，把相关数量代入即可求得所求方程．
(2)根据(1)的计算过程来解答即可．
本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
24.答案：解：(1)如图1，过点C作CN⊥BD于N，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AB=CD=3√2，∠ABC=∠ADC=105°，AD//BC，
∴∠CBD=∠ADB，
∵△ADM是等边三角形，
∴AD=AM=MD，∠ADM=60°，
∴∠CBD=60°，∠CDN=45°，
∵CN⊥BD，
∴∠BCN=30°，∠NCD=∠NDC=45°，
∴CN=DN，CD=√2CN=3√2，
∴CN=3，
∵∠BCN=30°，CN⊥BD，
∴CN=√3BN，BC=2BN，
∴BN=√3，BC=2√3，
∴BC=AD=AM=2√3；
(2)在ED上截取EH=EM，连接CM，MH，
∵点F是BM的中点，CF⊥BM，
∴CM=BC，且CF⊥BM，
∴∠BCF=∠MCF，
∴CM=BC=MD=AD，
∴∠MCD=∠MDC，
∵CE+ME=DE，DE=EH+DH，且ME=EH，
∴CE=DH，且∠MCD=∠MDC，CM=DM，
∴△MCE≌△MDH(SAS)
∴MH=ME，
∴MH=ME=EH，
∴△MEH是等边三角形，
∴∠MEH=60°，
∵AD//BC，
∴∠BCD+∠ADC=180°，
∴∠BCF+∠FCM+∠MCD+∠MDC+60°=180°，
∴2∠FCM+2∠MCD=120°，
∴∠FCD=60°=∠MEH，
∴CF//ME，且CF⊥BM，
∴BM⊥ME．
解析：(1)过点C作CN⊥BD于N，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可得BC=AD=AM= MD，∠ADM=60°，AB=CD=3√2，∠ABC=∠ADC=105°，AD//BC，由直角三角形的性质可求BC=AM=2√3；
(2)在ED上截取EH=EM，连接CM，MH，通过证明△MEH是等边三角形，可得∠MEH=60°，由平行线的性质可求∠FCD=60°=∠MEH，可得CF//ME，可得结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
25.答案：解：(1)如图所示；
(2)△CDA 与△ABC 全等．
理由：在△ACD 和△ACB 中，
{AC =AC ∠CAD =∠CAB AD =AB
，
∴△ACD≌△ACB ．
解析：本题考查作图−复杂作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)利用尺规作∠CAE =∠CAB ，在射线AE 上截取AD =AB ，连接CD ，即为可；
(2)根据SAS 可以证明两个三角形全等．
26.答案：解：(1)设一个A 型喷雾器和一个B 型喷雾器的单价分别为a 元、b 元，
{a +2b =902a +3b =165
， 解得，{a =60b =15
， 即一个A 型喷雾器和一个B 型喷雾器的单价分别为60元、15元；
(2)设购买A 型喷雾器x 个，则购买B 型喷雾器(60−x)个，需要的费用为y 元，
y =60x +15(60−x)=45x +900，
y 随x 的增大而增大，
∵B 型喷雾器的数量不能多于A 型喷雾器的4倍，
∴60−x ≤4x ，
解得，x≥12，
∴当x=12时，y取得最小值，此时60−x=48，
答：最省钱的购买方案是购买A型喷雾器12个，B型喷雾器48个．
解析：(1)根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得一个A型喷雾器和一个B型喷雾器的单价各是多少元；
(2)根据题意，可以得到费用与购买A型喷雾器数量的函数关系式，再根据B型喷雾器的数量不能多于A型喷雾器的4倍，可以得到A型喷雾器数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可解答本题．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．。