(优辅资源)山西省太原市高三模拟考试(一)理数试题 Word版含答案

山西省太原市2017届高三模拟考试（一）
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合(){}1A x y lg x ==+，}2{B x x =<，则A B ⋂= （ ） A ．()2,0- B ．()0,2 C. ()1,2- D ．()2,1--
2. 已知2zi i =-，则复数z 在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．()1,2-- B ．()1,2- C. ()1,2- D ．()1,2
3．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则()()135810336a a a a a a ++++=，则11S =（ ） A ． 66 B ．55 C.44 D ．33
4．已知()()1,,,1a cosa b sina ==，且0απ<<，若a b ⊥，则α=（ ） A ．
23π B ．34π C. 4π D ．6
π
5.函数()cos x
f x x
=
的图像大致为（ ）
A ．
B ． C. D ．
6. 已知圆22:1C x y +=,直线():2l y k x =+,在[]1,1-上随机选取一个数k ,则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为（ ）
A ．
1
2
B
7. 执行如图的程序框图，已知输出的[]0,4s ∈。

若输入的[],t m n ∈，则实数n m -的最大值为（ ）
A ．1
B ．2 C.3 D ．4
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．61π+ B
．
(2414
π+
C. (2314
2
π++ D
．(2314
π++
()1:,,10P x y D x y ∀∈++≥ ()2:,,220P x y D x y ∀∈-+
≤ ()224:,,2P x y D x y ∃∈+≤
其中真命题的是（ ）
A ．12,P P
B ．23,P P C. 24,P P D ．34,P P
10. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，O 为坐标原
点，若AOB ∆的面积为AB =（ ） A ．6 B ．8 C. 12 D ．16
11. 已知函数()()0f x sinwx w >=，若方程()1f x =-在()0,π上有且只有四个实数根，则实数w 的取值范围为（ ）
A ．137,62⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．725,26⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 2511,62⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1137,26⎛⎤ ⎥⎝⎦
12. 设函数()()23
202
f x x ax a -=>与()2f x a lnx b =+有公共点，且在公共点处的切线方程
相同，则实数b 的最大值为（ ） A ．
212e B ．212e C. 1e D ．2
32e - 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知()()11,,1a b t =-=，
,若()()
//a b a b +-,则实数
14. 已知双曲线经过点(，其一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的标准方程为 ．
15. 已知三棱锥A -
16.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，2,a bcosB b c =≠. （1）证明：2A B = ；
（2）若2222a c b acsinC +=+,求A .
18. 某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵。

某汽车经销商退出,,A B C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期
100
位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如
下的柱状图。

已知从,,A B C 三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1辆所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元。

现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆。

以这100
位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户
采用相应分期付款方式的概率。

（Ⅰ）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；
（Ⅱ）
记X （单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X 的分布列
和期望。

19. 如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，
BE ⊥平面ABCD , //DF BE ,22,3DF BE EF ===.
（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFD .
（2）若二面角 A EF C --是直二面角，求AE 与平面ABCD 所成角的正切值。

20. 已知椭圆22
22:1()0x y C a b a b +=>>的左右焦点与其短轴得一个端点是正三角形的三
个顶点，点312D ⎛⎫
⎪⎝⎭
，在椭圆C 上，直线y kx m =+与椭圆交于,A P 两点，与x 轴，y 轴分
别相交于点N 合点M ，且PM MN =，点Q 时点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆于点B ，过点,A B 分别做x 轴的垂线，垂足分别为11,A B . （1） 求椭圆C 的方程；
（2）是否存在直线l ，使得点N 平分线段11,A B ？若存在，请求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若不等式
2
211xInx
mx x >--恒成立，求实数m 的取值范围.
22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y ϕ
ϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中ϕ为参数，曲线
222:20x y y C +-=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线():0l θαρ=≥与曲线12,C C 分别交于点,A B (均异于原点O ) （1）求曲线12,C C 的极坐标方程； （2）当02
a π
<<
时，求22
OA OB +的取值范围.
（1）若不等式()()1f x x f m +≤-恒成立，求实数m 的最大值
试卷答案
一、选择题
1-5: CADBD 6-10: CDDCA 11、12：BA
二、填空题
13. -1 14.2214y x -= 15.
43
π 16.21
37242n n n n S ++=-- 三、解答题
17.（1）∵2a bcosB =,
∴由正弦定理得22sinA sinBcosB sin B ==. ∴2A B =或2A B π+=
当2A B π+=时,B C =,即b c =与b c ≠矛盾,舍去. ∴2A B =
甲乙两人采用不同分期付款方式的概率为：()()()()()()10.635P A P A P B P B P C P C -+⋅=⎡⎤⎣⎦⋅+⋅ （Ⅱ）
()0.122520.31530.342540.1850.046 3.7E x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== 19.（1）
证明：∵四边形
ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥
∵BE ⊥平面ABCD ∴BE AC ⊥ ∴AC ⊥平面BEFD
∵AC ⊂平面ACF ∴平面ACF ⊥平面BEFD
（2）(向量）解：以点O 为原点，OA 方向为x 轴，OB 方向为y 轴，BE 方向为z 轴建立空间直角坐标系，如图。

做DF 的中点H ，连接EH ,因为BE 平行且等于DH ，
1DH =.
所以四边形BEHD 为平行四边形
设AB 长为a ，则各点坐标为
所以(AE =-；(0,EF =-；(
CE a =
设()1111,,n x y z =为面AEF 的法向量；()2222,,n x y z =为面CEF 的法向量。

所以10n AE ⋅=；10n EF ⋅=
得(32,n =同理得(3n =-因为二面角A EF C --是直二面角，所以120n n ⋅= 得2a =
由题可得：EAB ∠为AE 与平面ABCD 所夹角 因为2,1AB BE ==
所以1
tan 2
BE EAB AB ∠=
=
(
几何）
∵四边形ABCD 是菱形，∴,ADF CDF ABE CBE ∆≅∆∆≅∆ ∴,AF CF AE CE ==，∴AEF CEF ∆≅∆
过A 作AM EF ⊥，连接CM ，则AMC ∠为A EF C --二面角的平面角
设菱形的边长为a
∵A EF C --二面角为直角，∴AMC ∠为直角 在 AEF ∆中，AM EF ⊥
，设 AM x =，则3MF x =-
AE 与平面ABCD 所成角为EAB ∠
∴1
tan 2
EAB ∠=
2221,4,3c a b ===
所以椭圆C 方程
为
（2）存在
若N 平分线段11A B
所以直线l 的方程为12y x =
±
12y x =-± 21.（1）()()2
422
f f x a x x
''=++ 令2x =∴()()212f a f ''=++
∴1a =- 设切点为()()2,22222In a f '+-
()()()()2222222y In a f f x ''-+-=-代入()4,22In -
()()2222222=62In In a f f ''--+- ∴()1
24
f '=-
∴()()2
212
10x f x x x --'=--
≤ ∴()f x 在()0,+∞单调递减 （2）
2
211xInx
mx x
>--恒成立 221121x Inx m x x ⎛⎫
-+> ⎪-⎝⎭
令()212x x Inx x
ϕ-=+
()2
22211110x x x x ϕ⎛⎫
'=--=--≤ ⎪⎝⎭
∴()x ϕ在()0,+∞单调递减 ∵()10ϕ=
∴()()(
)()0,1,0
1,,0x x x x ϕϕ⎧∈>⎪⎨∈+∞<⎪⎩
∴
()2
1
1x x ϕ-在()0,+∞恒大于0 ∴0m ≤
22220sin ρρθ+-=
2C 的极坐标方程为2sin ρθ=
()21sin ,1,2t t α=+∈
全优好卷
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23.（1。