考研数学一(随机变量的数字特征)模拟试卷7(题后含答案及解析)

考研数学一（随机变量的数字特征）模拟试卷7(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ，σ2，σ2，0)，则E(XY2)=___________，E[(X+Y)2]=____________
正确答案：μσ2+μ3，2σ2+4μ2
解析：考查二维正态分布的性质和数学期望的性质．由于(X，Y)服从正态分布N(μ，μ，σ2，σ2，0)，所以X服从N(μ，σ2)，Y也服从N(μ，σ2)，而ρ=0，所以X与Y是相互独立的．因此知识模块：随机变量的数字特征
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)．
2．求V的概率密度fV(v)；
正确答案：由于X和Y相互独立，都服从参数为1的指数分布，所以E(X)=E(Y)=1，且X的分布函数为设V的分布函数为Fmin(v)，则Fmin(v)=1-[1-F(v)]2=1-e-2v，v＞0．故
解析：本题考查独立同分布条件下最大值和最小值的分布．先写出V的分布函数，再求导得到其概率密度．注意到U+V=X+Y，UV=XY，利用性质和指数分布期望的结果得到E(U+V)，E(UV)．知识模块：随机变量的数字特征
3．E(U+V)，E(UV)．
正确答案：E(U+V)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2．E(UV)=E(X)E(Y)=1×1=1．涉及知识点：随机变量的数字特征
设(X，Y)在区域D={(x，y)｜1≤x≤3，1≤y≤3}上服从均匀分布，事件A={x ≤a}，B={Y＞a}．
4．若P(A∪B)=3/4，求a；
正确答案：由已知条件可知，X和Y的联合概率密度为关于X和Y的边缘概率密度为由于对任意的x，y，有f(x，y)=fX(x)fY(y)，所以X和Y相互独立．显然P(B)=P{Y＞a}=1-P{X≤a}=1-P(A)，于是有3/4=P(A∪
B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+1-P(A)+P(A)(1-P(A))，解得P(A)=1/2．即
解析：本题考查将问题提炼为几何型概率和伯努利概率模型的能力．首先利用加法公式求出常数a，而D0为事件A∪B所占的区域，随机地向D投点4次，因此该试验是4次伯努利试验，由于Z为落入D0内的次数，因此意识到Z服从B(4，P(A∪B))，进而可利用方差的计算公式求出E(Z2)．知识模块：随机变量的数字特征
5．设D0为事件A∪B所占的区域，随机地向D投点4次，Z为落入D0内的次数，求E(Z2)．
正确答案：由题意Z服从B(4，P(A∪B))，即Z服从B(4，3/4)，所以涉及知识点：随机变量的数字特征
6．随机变量X的概率密度为对X独立重复地观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求E(Y2)．
正确答案：于是E(Y2)=D(Y)+(EY)2=5．
解析：本题仍然是考查常用分布之二项分布的数字特征．对X独立重复地观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，则Y服从B(4，P{X＞π/3})．知识模块：随机变量的数字特征
7．设X服从N(1，4)，Y服从N(2，9)，且X与Y相互独立，如果服从N(0，1)，求常数a，b．
正确答案：由已知，E(X)=1，D(X)=4，E(Y)=2，D(Y)=9．由于X与Y相互独立，所以解得a=-2，b=±5．
解析：考查正态分布的数字特征．根据期望和方差的运算性质或独立条件下正态分布的性质求出a，b．知识模块：随机变量的数字特征
8．设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从N(0，4)，X3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X1-2X2+3X3，求D(Y)．
正确答案：由已知条件，又X1，X2，X3相互独立，从而D(Y)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+4×4+9×3=46．涉及知识点：随机变量的数字特征
设Ф(x)表示标准正态分布函数，随机变量X的分布函数F(x)=aФ(x)+bФ(x-1)，求
9．a、b应满足的关系式；
正确答案：F(+∞)=1，有a+b=1．
解析：考查分布函数的性质和计算数学期望的方法．由于X的分布已知，
可以利用公式结合分布的性质求出E(X)．知识模块：随机变量的数字特征
10．E(X)．
正确答案：以φ(x)表示标准正态分布的概率密度，则涉及知识点：随机变量的数字特征
11．设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X，Y)=12，求(X，Y)的概率密度．
正确答案：由于所以
解析：本题考查二维正态分布的参数含义和概率密度的形式，将参数代入到概率密度表达式可得到概率密度的具体形式．知识模块：随机变量的数字特征
已知随机变量X和Y分别服从正态分布N(1，32)和N(0，42)，且X与Y 的相关系数ρXY=-1/2，设
12．求E(Z)和D(Z)；
正确答案：
解析：综合考查正态分布，二维正态分布的关系和数字特征．利用数字特征的性质直接求出E(Z)，D(Z)和ρXZ．判断X与Z是否相互独立则需要利用正态分布的性质．知识模块：随机变量的数字特征
13．求X与Z的相关系数ρXZ；
正确答案：涉及知识点：随机变量的数字特征
14．问X与Z是否相互独立，为什么?
正确答案：X与Z不一定相互独立．因为Z未必服从正态分布，(X，Z)也未必服从二维正态分布，X与Z不相关，但X与Z不一定是独立的．涉及知识点：随机变量的数字特征
15．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)相互独立同分布，且期望均为μ，方差均为σ2(σ2＞0)，令，求的相关系数ρ．
正确答案：涉及知识点：随机变量的数字特征
设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立，且均服从N(0，1)，记求
16．D(Yi)；
正确答案：涉及知识点：随机变量的数字特征
17．cov(Y1，Yn)．
正确答案：涉及知识点：随机变量的数字特征
18．设随机变量X1，X2，…，X2n(n＞2)的期望都为0，方差都为1，且任意两个的相关系数都为ρ，设U=X1+X2+…+Xn，V=Xn+1+Vn+2+…+X2n，求U 和V的相关系数ρUV
正确答案：由于E(Xi)=0，D(Xi)=1，且ρXiXj=ρ，i≠j 涉及知识点：随机变量的数字特征
已知X与Y服从相同的分布，且P{｜X｜=｜Y｜}=0，X的概率分布为
19．求X与Y的联合概率分布；
正确答案：根据已知条件，知(X，Y)的概率分布为涉及知识点：随机变量的数字特征
20．问X与Y是否不相关?
正确答案：涉及知识点：随机变量的数字特征
对于任意二事件A，B，0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，定义A与B的相关系数为
21．证明事件A，B相互独立的充分必要条件是其相关系数为零；
正确答案：由ρAB的定义，可见
解析：本题考查建立事件与随机变量联系的能力，题中给出事件相关系数的定义式，要求利用随机变量相关系数的性质证｜ρAB｜≤1，因此引入(0-1)分布，将事件A，B与随机变量建立起关系式．知识模块：随机变量的数字特征
22．利用随机变量相关系数的基本性质，证明｜ρAB｜≤1．
正确答案：引入随机变量则有E(X)=P(A)，E(Y)=P(B)，而｜ρXY｜≤1，从而｜ρAB｜≤1 涉及知识点：随机变量的数字特征
设X的概率密度为，
23．求E(x)和D(x)；
正确答案：从而D(X)=E(X2)-(EX)2=2．
解析：本题考查二个随机变量的协方差及相关性的概念，相关性与独立性的关系．由于分布已知，可以利用公式计算数字特征．知识模块：随机变量的数字特征
24．求X与｜X｜的协方差，判断X与｜X｜是否不相关；
正确答案：从而X与｜X｜不相关．涉及知识点：随机变量的数字特征
25．判断X与｜X｜是否相互独立．
正确答案：对于给定的实数a＞0，显然事件，于是P{X≤a，｜X｜≤a}=P{｜X｜≤a}＞P{X≤a}P{｜X｜≤a}，因此X与｜X｜不相互独立．涉及知识点：随机变量的数字特征
26．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0．2，机器发生故障时全天停止工作．若一周5个工作日无故障，可获利10万元；发生一次故障仍可获利5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少?
正确答案：设X表示一周5天内机器发生故障的天数，Y表示利润，则由已知X服从B(5，0．2)．涉及知识点：随机变量的数字特征。