磁场的振幅

+z向传播，且电场方向指向
evx方
v Ev ex E0e jkz
(场量的复数形式）
或E ex E0 cos(t kz) (场量的实数形式）
由电磁波的场量表达式可总结出波的传播特性
均匀平面波的传播参数
角频率、频率和周期
角频率ω ：表示单位时间内的相位变化，单位为rad /s
周期T ：时间相位变化 2π的时间间隔，即
EH ES HS
第八章：平面电磁波
平面电磁波的时间平均能量密度为
we
1
4
Re{E(z) E*(z)}
1
4
E0
2
wm
1 Re{H (z) H *(z)}
4
1
4
E0 2
2
由此可得
we wm
w we wm 2 we
w
1
2
E0 2
第八章：平面电磁波
如图所示，设长度为 l 、横截面面积为 A 的圆柱体
E O
y
H
z
理想介质中均匀平面波的 E 和 H
13:51:41
电磁场与电磁波
第八章：平面电磁波
均匀平面波的波面是无限大的平面，波面上各点的 场强振幅又均匀分布，因而波面上各点的能流密度相 同，可见这种均匀平面波具有无限大的能量。因此， 实际中不可能存在这种均匀平面波。
当观察者离开波源很远时，因波面很大，若观察者 仅限于局部区域，则可以近似作为均匀平面波。
均匀平面波
13:51:41
电磁场与电磁波
第八章：平面电磁波
无界理想媒质中均匀平面波的传播特性总结
电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（TEM波)。
无衰减，电场与磁场的振幅不变。
波阻抗为实数，电场与磁场同相位。
电磁波的相速与频率无关，无色散。
x
电场能量密度等于磁场能量密度， 能量的传输速度等于相速。
重要结论：
v E v
1
v H
) k
Y) v
v E
、Hv、k) 三者相互垂直，且满足右手螺旋关系
H Yk E
13:51:41
电磁场与电磁波
第八章：平面电磁波
媒质本征阻抗（波阻抗）
从公式可知：均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度之比为一定值。
定义电场幅度和磁场幅度比为媒质本征阻抗，用Z 表示，即：
v
Z
E v
——媒质本征波阻抗
Hk
Y1 Z
——媒质本征波导纳
特殊地：真空（空气）的本振阻抗为：
Z0
0 0
4 107 120 377()
1 109
36
在自由空间中传播的电磁波，电场幅度与磁场幅度之比为377。
13:51:41
电磁场与电磁波
第八章：平面电磁波
沿z轴传播的均匀平面波的电场矢量有两个分量Ex和Ey
v 性质，知 E只随z坐标变化。则方程可以简化为：
2 Ex z 2
k 2Ex
0
解一元二次微分方程，可得上方程通解为：
Ex E e jkz E e jkz
式中: 、E 为E待 定常数（由边界条件确定），表征场的幅度.
上式为一维波动方程通解的复数表达形式，其实数表达形式为：
Ex Re[(E e jkz E e jkz )e jt ]
e jkz为表示向+z方向传播的均匀平面波函数； e jkz 表示向-z方向传播的均匀平面波波函数；
一维波动方程解的物理意义：沿+z,-z方向传播的均匀平面波的 合成波。
13:51:41
电磁场与电磁波
第八章：平面电磁波
无界理想媒质中均匀平面波的传播特性
在无界媒质中，若均匀平面波向 向，则其电场场量表达式为：
电荷体密度与传导电流密度之间满足如下连续性方程
13:51:41
J
c
(
r
,
t
)
v ( r
t
,
t
)
电磁场与电磁波
第八章：平面电磁波
对于理想介质，电导率为零，因此，时变传导电流和时变电荷体密度均 为零，此时，时变电磁场的电场强度和磁场强度满足如下齐次矢量波动方程
2 E ( r , t)
2E(r,t) t 2
0
2H (r,t)
2H ( r, t) t 2
0
对于正弦电磁场，上述方程变为如下齐次矢量亥姆霍兹方程
2E%( r ) k 2E%( r ) 0 2H%( r ) k 2H%( r ) 0
k
从本章开始主要讨论正弦电磁波的传播特性。为了书写方便起见，对时 域场量和频域场量采用相同的符号，它们之间的区别体现在自变量的不同，
2Ez z 2
2Ez z 2
H H x H y H z H z 0 x y z z
2 H z
2Hz x 2
2Hz y 2
2Hz z 2
2Hz z 2
2Ez
z
Ez z
0,
13:51:41
2 H z
z
H z z
0
电磁场与电磁波
Ez 0, H z 0
第八章：平面电磁波
若场量仅与 z 变量有关，则可证明 Ez H z 0 。 若场量与变量 x 及 y 无关，则
三维波动方程简化为如下一维波动方程
2 E ( z, t) z 2
2E(z,t) t 2来自02H (z,t) z 2
2H (z,t) t 2
0
三维亥姆霍兹方程简化为如下一维亥姆霍兹方程
2E(z) z 2
k2E(z)
0
2H ( z 2
z)
k
2
H
(
z)
0
13:51:41
电磁场与电磁波
第八章：平面电磁波
一维波动方程
设电场强度只有 x 方向分量，且仅与 z 坐标有关，则有 E(z,t) xˆEx (z,t)
此时，电场强度满足如下一维波动方程
2Ex (z,t) 2Ex (z,t) 0
z2
t 2
上述方程的解具有如下形式
Ex (z,t) F (z vt)
v 1
Ex (z,t) F (z vt)
形状为 F(u) 的波形以速度 v 沿 +z 方向行进（行波）。
亦即 时域场量：E( r,t), H ( r,t) 或者 E(t), H (t) 频域场量：E( r ), H (r )
13:51:41
电磁场与电磁波
第八章：平面电磁波
对于直角坐标系，齐次矢量亥姆霍兹方程转化为如下齐次标量亥姆霍兹方程
2Ex (r) k2Ex (r ) 0
2Hx(r) k2Hx(r) 0
S 1 EH* 2
E( z) xˆE0e jkz H ( z) yˆ E0 e jkz
S
zˆ 1 2
E0 2
zˆ 1
2
H0 2
复坡印廷矢量为实数，虚部为零，这就表明，均匀平面电 磁波的能量仅向 +z 方向单向流动。
对于平面电磁波，电场强度、磁场强度和复坡印廷矢量三 者之间相互垂直，并满足右手定则。
相速v：电磁波的等相位面在空间中的
移动速度
波形中任意一点处的相位为
t kz 0
令 t kz 0＝const 两边对时间t去导数，得：
k
dz dt
0
vp
dz dt
k
1
关于波的相速的说明
电磁波传播的相位速度仅与媒质特性相关。
真空中电磁波的相位速度：vp0
=
f
1
vp f
vp
f
1 3108 (m / s) c(光速)
0 0
13:51:41
电磁场与电磁波
第八章：平面电磁波
平面波的频率是由波源决定的，但是平面波的 相速与介质特性有关。因此，平面波的波长与介质 特性有关。
由上求得 式中
vp
1
f f 00
0 f
1
00
r r
0 r r
0
0 为平面波在真空中传播时的波长。
0 的现象称为波长缩短效应，或简称为缩波 效应。
Em cos(t kz 1) Em cos(t kz 2 )
13:51:41
电磁场与电磁波
第八章：平面电磁波
波动方程解的物理意义 均匀平面波函数
首先考察 E e jk。z 其实数形式为：E cos(t kz)
Ex
t 0
t t
4
☺☺
2
0
π
2π
3π
kz
从图可知，随时间t不增同加时，刻波E形x 的向波+形z方向平移。
k 2π (rad/m)
k 的大小等于空间距离2π内所包
含的波长数目，因此也称为波数。单
位为cm-1，例如激光波长为500nm， 则波数为k 2 / (500107cm) 1.26105cm1
13:51:41
电磁场与电磁波
Ex
o
z
Ex (z,0) Emcoskz 的曲线
第八章：平面电磁波
相位速度（波速）
13:51:41
电磁场与电磁波
第八章：平面电磁波
对于场量仅与 z 坐标有关的情况，电场强度和磁场强度简化为 E(z, t) xˆEx (z, t) yˆEy (z, t) E(z) xˆEx (z) yˆEy (z) H (z,t) xˆH x (z,t) yˆH y (z,t) H (z) xˆH x (z) yˆH y (z)
1. 波动方程
在无限大的线性、均匀、各向同性介质中，时变电磁场的 电场强度和磁场强度满足如下非齐次矢量波动方程
2 E ( r , t)
2E(r,t) t 2
Jc ( r,t) t
1
v ( r, t)
2H
(r,t)
2H ( r, t) t 2
Jc(r,t)
传导电流密度与电场强度之间满足如下欧姆定律
Jc(r,t) E(r,t)
中电磁场的时间平均能量密度为 w ，时间平均能流密
度为 S，那么，圆柱体中总储能为 w ，Al单位时
间内穿过端面 A 的总能量为 S A。
若圆柱体中全部储能在 t 时间内全部穿过端面 A ，则有
SA l
S At w Al
S A w Al t w A(l t)
式中比值 l/t 代表单位时间内的能量位移，因此，该比值称为能量速度，简称
13:51:41
电磁场与电磁波
第八章：平面电磁波
vv 场量E ，H的关系
令
v E ex E0 e jkz
，由 E j H 得
H1
j
E
ey
j
(E e jkz ) z
Y
ey
k
Ee jkz
ez
ex
Ee
jkz
r Yez E1
同理可以推得：
v E
v H
) k
磁场与电场相互 垂直，且同相位
Hv = Y nv×Ev = Y avz×(avx E x + avyE y )= - avx Y E y + avyY E x
即
H
x
=
-
Y
Ey
=
-
1 Z
Ey
H
y
=
Y Ex
=
1 Z
Ex
本征阻抗
Z Ex Ey
Hy
Hx
13:51:41
电磁场与电磁波
16
第八章：平面电磁波
平面电磁波的复坡印廷矢量为
T 2π
T 2π (s)
频率f ： f 1 (Hz)
T 2π
13:51:41
电磁场与电磁波
Ex
o
t
T Ex (0, t) Emcost的曲线
第八章：平面电磁波
波长与相位常数
波长λ ：空间相位差为2π 的两个波阵面的间距，即
k 2π
2π 1 (m) k f
相位常数 k ：表示波传播单位距离的相位变化
第八章：平面电磁波
6. 平面波对多层边界上正投射 7. 任意方向传播的平面波 8. 平面波对理想介质边界斜投射 9. 无反射与全反射 10. 平面波对导电介质表面斜投射 11. 平面波对理想导电表面斜投射 12. 等离子体中的平面波 13. 铁氧体中的平面波
13:51:41
电磁场与电磁波
第八章：平面电磁波
E
Ex x
E y y
Ez z
Ez z
H
H x x
H y y
H z z
H z z
因 E 0, ， H得 0
Ez H z 0 z z
考虑到
2Ez
2Ez x 2
2Ez y 2
2Ez z 2
2Ez z 2
0
2Hz
2Hz x 2
2H y 2
z
2H z 2
z
2Hz z 2
0
代入标量亥姆霍兹方程，即知 Ez H z 0
为能速，以 ve 表示。
ve S w
考虑到
S 1 E0 2
2
w
1
2
E0 2
则有
理想介质中， 均匀平面电磁波的 能量速度与相速度 相等。
ve 1 ( ) 1 ( ) 1 vp
第八章：平面电磁波
均匀平面波的几个概念
波阵面：空间相位相同的点构成的曲面，即等相位面
平面波：等相位面为无限大平面的电磁波
平面电磁波平面电磁波的时间平均能量密度为平面电磁波的时间平均能量密度为由此可得由此可得如图所示设长度为如图所示设长度为l横截面面积为横截面面积为a的圆柱体的圆柱体中电磁场的时间平均能量密度为中电磁场的时间平均能量密度为时间平均能流时间平均能流密度为密度为那么圆柱体中总储能为那么圆柱体中总储能为单位单位时间内穿过端面时间内穿过端面aa的总能量为的总能量为若圆柱体中若圆柱体中全部全部储能在储能在t时间内全部穿过端面时间内全部穿过端面a则有则有式中比值式中比值lt代表代表单位时间单位时间内的能量内的能量位移位移因此该比值称为因此该比值称为能量速度能量速度简称简称以vvee表示
2Ey (r) k2Ey (r) 0
2Hy (r) k2Hy (r) 0
2Ez (r) k2Ez (r) 0
2Hz (r) k2Hz(r) 0
若场量仅与 z 坐标有关，则有
0, 0
x
y
E Ex Ey Ez Ez 0 x y z z
2Ez
2Ez x 2
2Ez y 2
均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不 变的平面波
均匀平面波的特点：在与波传播方向
垂直的无限大平面内，电、磁场的振幅、 方向和相位保持不变。
波阵面
x E
波传播方向
在实际应用中，理想的均匀平面波并不
o
z
存在。但某些实际存在的波型，在远离波 y
H
源的一小部分波阵面，仍可近似看作均匀
平面波。
Ex (z,t) F (z vt)
t 0
v
t t0 z0 vt0
Ex (z,t) F (z vt)
形状为 F(u) 的波形以速度 v 沿 -z 方向行进（返波）。
13:51:41
电磁场与电磁波
z0
z
第八章：平面电磁波
考虑一种简单情况： 正弦电磁波
均匀平面波电场矢量沿x方向，波沿z方向传播，则由均匀平面波