微专题五大常考全等模型(含半角模型)2020年安徽中考数学(沪科版)核心素养提升高分分项突破PPT课件
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∴△ABD≌△ACD(SAS)
图 示
模 所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合
型 的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，
总 即公共边或公共角相等.
结
2. 如图，点E、F在BC上，AB＝DC，∠B＝∠C，请补充一个 条件：_B_E__＝__C_F_或__B__F_＝__C_E__或__∠__A_＝__∠__D__或__∠__A_F_B__＝__∠__D_E_C_____， 使△ABF≌△DCE.
EC OE
ED OE
,
∴Rt△COE≌Rt△DOE(HL)．
∴OC＝OD；
第3题图
(2)∵Rt△COE≌Rt△DOE， ∴∠CEF＝∠DEF. 在△ECF和△EDF中，
CE DE CEF DEF , EF EF ∴△ECF≌△EDF(SAS)．
模型三 三垂直型
例 3 如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝45°，点P在AB上，AD⊥CP交 CP于点D，BE⊥CE交CP的延长线于点E，垂足分别为D，E，已知DC＝2， 求BE的长． 【思维教练】已知DC的长，求BE的长，可通过证明 △CBE和△ACD全等，根据同角的余角相等可得 ∠DAC＝∠BCE，从而利用AAS可证△CBE和△ACD 全等．
(2)解：∵△AED≌△EBC， ∴AD＝EC. ∵AD∥EC， ∴四边形AECD是平行四边形． ∴CD＝AE. ∵AB＝6， ∴CD＝1 AB＝3.
2
模型二 对称模型
例 2 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是三角形内一点，连接DA，DB，DC， 若∠1＝∠2，则△ABD与△ACD全等吗？请说明理由． 【找一找】
例1题图
证明：∵BC∥EF， ∴∠F＝∠BCA，∠E＝∠DGC. ∵∠B＝∠DGC， ∴∠B＝∠E. 又∵AB＝DE， ∴△ABC≌△DEF(AAS)． ∴AC＝DF. ∵AD＋CD＝CD＋CF， ∴AD＝CF.
图 示
模 有一组边共线，另两组边分别平行，常要在移动方向上
型 加(减)公共线段，构造线段相等，并利用平行线性质找
图示
模型 总结
有三个直角，常利用同角(等角)的余角相等证明角相等.
4. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，
BE⊥MN于点E.求证：DE＝AD＋BE. 证明：∵∠ACB＝90°，
AC＝BC， ∴∠ACD＋∠BCE＝90°. ∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD＋∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD. 在△ADC和△CEB中，
(必考，每年1道)
模型一 平移模型
例 1 如图，已知BC∥EF，∠B＝∠DGC，点D、C在AF上，且AB＝ DE.求证：AD＝CF. 【找一找】
已知 BC∥EF ∠B＝∠DGC
结论 ①∠__F__＝__∠__B_C_A__，②∠__E__＝__∠__D_G__C
③___∠__E_＝__∠__B____
例3题图
解：∵∠ABC＝∠BAC＝45°， ∴∠ACB＝90°，AC＝BC. ∵∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE. 在△ACD和△CBE中， ∠DAC＝∠BCE ∠A DC＝∠CE B ， AC＝BC ∴△ACD≌△CBE(AAS)． ∴BE＝CD＝2.
总 到对应角相等.
结
1. 如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B.
(1)求证：△AED≌△EBC；
(2)当AB＝6时，求CD的长．
(1)证明：∵AD∥EC， ∴∠A＝∠BEC. ∵E是AB中点， ∴AE＝EB. ∵∠AED＝∠B， ∴△AED≌△EBC(ASA)；
第1题图
第2题图
3. 如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，
连接CD交OE于点F.
求证：(1)OC＝OD；
(2)△ECF≌△EDF. 证明：(1)∵E是∠AOB的平分线上一点， EC⊥OA，ED⊥OB， ∴EC＝ED，∠ECO＝∠EDO＝90°. 在Rt△＝CD
结论
①__∠__A__＝__∠__D___ ②_∠__A_C_E__＝__∠__D_B_F AB＋BC＝BC＋CD⇒③_A__C_＝__B_D_
例4题图
证明：∵AE∥DF，CE∥BF， ∴∠A＝∠D，∠ACE＝∠DBF. ∵AB＝CD， ∴AB＋BC＝BC＋CD，即AC＝DB. ∴△EAC≌△FDB(ASA)．
CAD BCE ADC CEB , AC BC ∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD＝CE，DC＝EB.
∵DE＝DC＋CE，
∴DE＝BE＋AD.
第4题图
模型四 旋转模型
类型一 不共顶点旋转模型 例 4 如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE∥DF，CE∥BF，AB＝CD.求 证：△EAC≌△FDB. 【找一找】
证明：∵∠BAE＝∠BCE＝90°， ∴∠ABC＋∠AEC＝180°. ∵∠AEC＋∠DEC＝180°， ∴∠DEC＝∠B. 在△ABC和△DEC中，
已知 AB＝AC ∠1＝∠2
结论 ①_∠__A_B__C_＝__∠__A_C__B_ DB＝DC，②_∠__A_B_D__＝__∠__A_C__D_
例2题图
结论：△ABD与△ACD全等． 理由如下：∵∠1＝∠2， ∴DB＝DC. ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2. ∴∠ABD＝∠ACD. 在△ABD和△ACD中， AB AC ABD ACD , BD CD
图示
模型 总结
所给图形是一个中心对称图形，一个三角形绕中心对称点旋转 180°，则可得到另一个三角形，两三角形有一组边共线，构造线 段相等，并利用平行线性质找到对应角相等.
类型二 共顶点旋转模型(含手拉手模型) 例5 如图，四边形ABCD中，E点在AD上，∠BAE＝∠BCE＝90°，且BC＝CE， AB＝DE.求证：△ABC≌△DEC. 【思维教练】题干已知BC＝CE，AB＝DE，∠BAE＝∠BCE＝90°，要证 △ABC≌△DEC，只需证明∠B＝∠CED即可．
图 示
模 所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合
型 的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，
总 即公共边或公共角相等.
结
2. 如图，点E、F在BC上，AB＝DC，∠B＝∠C，请补充一个 条件：_B_E__＝__C_F_或__B__F_＝__C_E__或__∠__A_＝__∠__D__或__∠__A_F_B__＝__∠__D_E_C_____， 使△ABF≌△DCE.
EC OE
ED OE
,
∴Rt△COE≌Rt△DOE(HL)．
∴OC＝OD；
第3题图
(2)∵Rt△COE≌Rt△DOE， ∴∠CEF＝∠DEF. 在△ECF和△EDF中，
CE DE CEF DEF , EF EF ∴△ECF≌△EDF(SAS)．
模型三 三垂直型
例 3 如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC＝45°，点P在AB上，AD⊥CP交 CP于点D，BE⊥CE交CP的延长线于点E，垂足分别为D，E，已知DC＝2， 求BE的长． 【思维教练】已知DC的长，求BE的长，可通过证明 △CBE和△ACD全等，根据同角的余角相等可得 ∠DAC＝∠BCE，从而利用AAS可证△CBE和△ACD 全等．
(2)解：∵△AED≌△EBC， ∴AD＝EC. ∵AD∥EC， ∴四边形AECD是平行四边形． ∴CD＝AE. ∵AB＝6， ∴CD＝1 AB＝3.
2
模型二 对称模型
例 2 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是三角形内一点，连接DA，DB，DC， 若∠1＝∠2，则△ABD与△ACD全等吗？请说明理由． 【找一找】
例1题图
证明：∵BC∥EF， ∴∠F＝∠BCA，∠E＝∠DGC. ∵∠B＝∠DGC， ∴∠B＝∠E. 又∵AB＝DE， ∴△ABC≌△DEF(AAS)． ∴AC＝DF. ∵AD＋CD＝CD＋CF， ∴AD＝CF.
图 示
模 有一组边共线，另两组边分别平行，常要在移动方向上
型 加(减)公共线段，构造线段相等，并利用平行线性质找
图示
模型 总结
有三个直角，常利用同角(等角)的余角相等证明角相等.
4. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，
BE⊥MN于点E.求证：DE＝AD＋BE. 证明：∵∠ACB＝90°，
AC＝BC， ∴∠ACD＋∠BCE＝90°. ∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD＋∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD. 在△ADC和△CEB中，
(必考，每年1道)
模型一 平移模型
例 1 如图，已知BC∥EF，∠B＝∠DGC，点D、C在AF上，且AB＝ DE.求证：AD＝CF. 【找一找】
已知 BC∥EF ∠B＝∠DGC
结论 ①∠__F__＝__∠__B_C_A__，②∠__E__＝__∠__D_G__C
③___∠__E_＝__∠__B____
例3题图
解：∵∠ABC＝∠BAC＝45°， ∴∠ACB＝90°，AC＝BC. ∵∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE. 在△ACD和△CBE中， ∠DAC＝∠BCE ∠A DC＝∠CE B ， AC＝BC ∴△ACD≌△CBE(AAS)． ∴BE＝CD＝2.
总 到对应角相等.
结
1. 如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B.
(1)求证：△AED≌△EBC；
(2)当AB＝6时，求CD的长．
(1)证明：∵AD∥EC， ∴∠A＝∠BEC. ∵E是AB中点， ∴AE＝EB. ∵∠AED＝∠B， ∴△AED≌△EBC(ASA)；
第1题图
第2题图
3. 如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，
连接CD交OE于点F.
求证：(1)OC＝OD；
(2)△ECF≌△EDF. 证明：(1)∵E是∠AOB的平分线上一点， EC⊥OA，ED⊥OB， ∴EC＝ED，∠ECO＝∠EDO＝90°. 在Rt△＝CD
结论
①__∠__A__＝__∠__D___ ②_∠__A_C_E__＝__∠__D_B_F AB＋BC＝BC＋CD⇒③_A__C_＝__B_D_
例4题图
证明：∵AE∥DF，CE∥BF， ∴∠A＝∠D，∠ACE＝∠DBF. ∵AB＝CD， ∴AB＋BC＝BC＋CD，即AC＝DB. ∴△EAC≌△FDB(ASA)．
CAD BCE ADC CEB , AC BC ∴△ADC≌△CEB(AAS)，
∴AD＝CE，DC＝EB.
∵DE＝DC＋CE，
∴DE＝BE＋AD.
第4题图
模型四 旋转模型
类型一 不共顶点旋转模型 例 4 如图，点A、B、C、D在一条直线上，AE∥DF，CE∥BF，AB＝CD.求 证：△EAC≌△FDB. 【找一找】
证明：∵∠BAE＝∠BCE＝90°， ∴∠ABC＋∠AEC＝180°. ∵∠AEC＋∠DEC＝180°， ∴∠DEC＝∠B. 在△ABC和△DEC中，
已知 AB＝AC ∠1＝∠2
结论 ①_∠__A_B__C_＝__∠__A_C__B_ DB＝DC，②_∠__A_B_D__＝__∠__A_C__D_
例2题图
结论：△ABD与△ACD全等． 理由如下：∵∠1＝∠2， ∴DB＝DC. ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2. ∴∠ABD＝∠ACD. 在△ABD和△ACD中， AB AC ABD ACD , BD CD
图示
模型 总结
所给图形是一个中心对称图形，一个三角形绕中心对称点旋转 180°，则可得到另一个三角形，两三角形有一组边共线，构造线 段相等，并利用平行线性质找到对应角相等.
类型二 共顶点旋转模型(含手拉手模型) 例5 如图，四边形ABCD中，E点在AD上，∠BAE＝∠BCE＝90°，且BC＝CE， AB＝DE.求证：△ABC≌△DEC. 【思维教练】题干已知BC＝CE，AB＝DE，∠BAE＝∠BCE＝90°，要证 △ABC≌△DEC，只需证明∠B＝∠CED即可．