(完整word版)2015年高考数学全国卷2理试题及答案word,推荐文档

2015年高考理科数学试卷全国卷II 、选择题：本大题共12道小题，每小题5分
1 . 已知集合A{2,
1,0,1,2}
B x (x1)(x 2 0 ,则AI B ( )
A . A1,0B.0,1 C . 1,0,1 D . 0,1,2
2 . 若a为实数且(2ai)(a2i)4i，则a( )
A 1 B.0 C
. 1 D . 2
3 •根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图。

以下结论不正确的是( )
A. 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B. 2007年我国治理二氧化硫排放显现
C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D. 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4. 已知等比数列a n满足a i=3, a1a3a5=21，则a3a5a7( )
A. 21 B . 42 C . 63 D . 84
1 log2(
2 x),x 1,
5. 设函数f (x) x1, f( 2) f (log212)( )
2 ,x 1,
A. 3 B . 6 C . 9 D . 12
6. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积
与剩余部分体积的比值为( )
7.
过三点 A(1,3), B(4,2) , C(1, 7)的圆交y 轴于M N 两点，贝U | MN | (
A . 2 6
B . 8
C . 4、6
D . 10
8•右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著
《九章算术》中的“更相减损术”.执
行该程序框图，若输入 a,b 分别为14,18，则输出的a (
)
A . 0
B . 2
C . 4
D . 14
11 .已知A , B 为双曲线E 的左，右顶点，点 M 在E 上, ?ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°,贝U E 的离心率为( )
A . 5
B . 2
C .
.3 D . 2
12 .设函数f '(x)是奇函数f (x)(x R)的导函数，f ( 1)
0 ,当x 0时，
xf (x) f (x) 0,则使得f (x) 0成立的x 的取值范围是(
已知A, B 是球O 的球面上两点,
AOB 90 ,C 为该球面上的动点，若三棱锥
ABC 体积的最大值为36,则球 36 B.64 C.144 O A . 10.如图，长方形ABCD 的边AB
O 是AB 的中点，点P 沿着边BC , 动，
记
BOP x .将动P 到A 、 O 的表面积为 D.256 2, BC 1,
CD 与DA 运
B 两点距离之
禾口表示为 x 的函数f (x)，则y f(x)的图像大致 为(
16 .设S n 是数列a n 的前n 项和，且a 1 1 , a n
1
S n S n 1，则S n ______________
三、解答题
ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分 BAC , ABD 面积是
ADC 面积的2 倍.
18 •(本题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A , B 两地区分别随
机调查了 20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(I)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图， 并通过茎叶图比较两地区满 意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)
4-
■r
6 7 8
A . ( ,
(1,0)U(1,) C. (
, 1)U( 1,0)
D . (0,1)U(1,) 、填空题：本大题共
4小题，每小题5分，共20分
r r
13 .设向量a , b 不平行，向量
a b 与a 2b 平行，则实数
14 .若x ，y 满足约束条件
x y 1
0,
x 2y 0,，则z x y 的最大值为 x 2y 2 0,
15. (a x)(1 x)4的展开式中 x 的奇数次幕项的系数之和为
32,则 a
17 .(本题满分12分)
(I)
sin B sin C
(n)若 AD 1 , DC
求BD 和AC 的长.
g
(n)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分低于70分70分到89分不低于90分
满意度等级不满意满意非常满意
记时间C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级” •假设两地区用户的评价结果相互独立•根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.
19.(本题满分12 分)如图，长方体ABCD A3GD,中，AB=16, BC=10, AA 8 ,
点E , F分别在A1B1 , C1D1上，AE DiF 4•过点E , F的平面与此长方体的面相交，交线围
成一个正方形.
(I)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) ；
(n)求直线AF与平面所成角的正弦值.
2 2 2
20. (本题满分12分)已知椭圆C:9x y m (m 0),直线I不过原点O且不平行于坐标轴，I与C有
两个交点A , B，线段AB的中点为M•
(I)证明：直线OM的斜率与I的斜率的乘积为定值；
(n)若l过点(m,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边
3
形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.
21. (本题满分12分)设函数f(x) e mx x2 mx .
(I)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0,)单调递增；
(n)若对于任意为兀[1,1]，都有f(xj f(X2) e 1，求m的取值范围.
22 .(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD 交于点G，与AB、AC分别相切于E、F两点.
A
G
(I)证明：EF//BC ;
(n) 若AG等于eO的半径，且AE MN 2、3，求四边形EBCF的面积.
23 .(本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程
x tCOS ,
在直角坐标系xoy中，曲线G：( t为参数，t 0)，其中0 ，在
y tsin ,
以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2: 2sin ，曲线
Q
2 3cos
：
(I).求C2与G交点的直角坐标；
(n) •若C2与C1相交于点A , C3与G相交于点B，求AB 的最大值.
24.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲
设a, b,c,d均为正数，且a b c d，证明：
(I)若ab cd，贝U 、a . b 、c 、d ；
(n)j a j b J C J d是a b c d的充要条件.
1. A
【解析】由已知得B x 2 x 1 ,故AI B 1,0，故选A . 考点：集合的运算.
2. B
考点：等比数列通项公式和性质. 5. C
7. C
2 2
(x 1) (y 2) 25，令 x 0,得 y
2J 6 2，所以MN
4后，故选C.
参考答案
【解析】由已知得k AB
1 _
2 7
3 ,k C B
T1
3，所以 k AB k CB 1，所以 AB CB ,
即 ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1,
2),半径为5 ,所以外接圆方程为
2
【解析】由已知得4a (a 4)i
4i ，所以 4a 0,a 2 4
4，解得
a 0
考点：复数的运算. 3. D
【解析】由柱形图得，从 份负相关，故选 D. 考点：正、负相关. 4. B
2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年 【解析】设等比数列公比为 q ，则 a i
2
ag
4
ag
21，又因为
a 1 3，所以q 4
2
解得q 2，所以a 3 a 5 a 7
(a i a 3
2
a 5)q
42，故选 B
.
【解析】 由
f( 2)
1 log
2 4
3 又 log 212
f (lo
g 2 12) 2log212
1
2砚
26
6，故
f( 2) f (log
9，故选C.
考点：分段函数. 6. D
【解析】由三视图得, 在正方体ABCD
截去四面体 A A 1B 1D 1 ,如图所示，，设正方体棱长为 a
，则 V A A I B 1D 1
1 3 1 3
丄a 3丄a 3,故剩余几何体体积 2 6
为 a 3
1
a 3
6
所以截去部分体积与剩余部分体
1
—,故选 5
考点：三视图. 积的比值为
D. 1
A 1
B 1
C 1
D 1
中，
考点：圆的方程. 8. B 【解析】程序在执行过程中, a 2； b 2，此时 a 考点：程序框图. 9. C 【解析】如图所示，当点
a ,
b 的值依次为a 14 , b 18 ； b b 2程序结束，输出a 的值为2,故选B . 4 ； a 10 ； a 6 ； 大，设球0的半径为R , C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 1R 3 6
此时 V O ABC V C AOB [R 2
2 O ABC 的体积最 36，故R 6，则 球O 的表面积为S 4 R 2
144 ，故选C. 考点：外接球表面积和椎体的体积. 【解析 】 由已知得，当点P 在BC
PA PB
「tan 2
x 4 tanx ；当点P 在CD 边上运动时，即 3 ,x
4
时,
2
PA PB (宀 1)
2 (" 2 1) 1，当 x —时, 2 PA PB 2 2 ；当点P 在
AD 边上运动时，即
3 4 时，PA PB tan 2 x 4 tanx ,从点P 的运动过程
可以看出，轨迹关于直线 2对称，且 考点：函数的图象和性质. 11 . D 【解析】设双曲线方程为 2 x ~~2
a
y 2 b 2 1(a ABM
1200
如图所示，|AB BM , MN x 轴，垂足为N ，在Rt BMN 中，BN | a ,
MN | J3a，故点M的坐标为M(2a, J3a)，代入双曲线方程得a2 b2 a2 c2，即c2 2a2，所以e 2，故选D.
考点：双曲线的标准方程和简单几何性质.
12. A
I
【解析】记函数g(x) ,贝y g'(x) xf (x)
2
f (x)
,因为当x 0时，
x x
xf'(x) f (x) 0，故当x 0时，g'(x) 0,所以g(x)在(0,)单调递减；又因为函数
f(x)(x R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(，0)单调递减，且
g( 1) g(1) 0 •当0 x 1 时，g(x) 0，则f(x) 0 ；当x 1 时，g(x) 0，则f(x) 0,综上所述，使得f(x) 0成立的x的取值范围是(，1)U(0,1)，故选A. 考点：导数的应用、函数的图象与性质.
13 .
a b与a 2b平行，所以a
b k(a 2b),则
1
考点：向量共线.
14.
【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y
x z,当z取到最大时，直线y x z的纵截距最大，故将
直线尽可能地向上平移到D(1」)，则z x y的最大值
为-.
2 2
考点：线性规划.
【解析】
试题分析：由已知得(1 x) 1 4x 6x 4x x ,故(a x)(1 x)的展开式中x的奇
k
'所以
2k,
【解析】因为向量15. 3
数次幕项分别为4ax , 4ax3, x , 6x3, x5,其系数之和为4a 4a 1+6+1=32,解得a 3.考点：二项式定理.
1,
S n
n
考点：等差数列和递推关系.
理得
2 2 2 2 2
AB 2AC 3AD BD 2DC 6 •由（I ）知 AB 2AC ，所以 AC 1 .
18.【解析】（I ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下
B 地冈
4
fi
3
5 1 5
6 4
6 4 2
6 2 4 5 5 6 S 8 6 4 3 1 3
5 4
6
9
9 2 &
6 $ 1 8 7
1 ? 1 7
5 S 2
9
1 3
通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值;
16. 【解析】由已知得a n 1 S n 1 S n S n 1 S n ，两边同时除以
S i 1
1
S
n ，得— S n 1
1
S n
故数列
— 是以 1为首项， 1为公差的等差数列，则
S n
1 (n 1)
所以
17.【解析】（I ） S ABD
〔AB AD sin BAD , S ADC
2 i AC
AD sin CAD , 因为
S ABD 2S ADC
,
BAD
CAD ，所以AB 2AC .由正弦定理可得
sin B
sin C
AC
AB
因为 S ABD : S ADC
BD : DC ，所以 BD . 2 .在 ABD 和 ADC 中, 由余弦定
AB 2
AD 2 BD 2 2AD
BD cos ADB
,AC 2 AD 2 DC 2 2AD DC cos ADC .
1,
A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散. （n）记C A1表示事件：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”
C A2表示事件：“A地区用户满意度等级为非常满意”；
C B 1表示事件：“ B 地区用户满意度等级为不满意”；
C B 2表示事件：“ B 地区用户满意度等级为满意”
则 C A 1 与 C B 1 独立，C A 2 与 C B 2 独立，C B 1 与 C B 2 互斥，C C B1C A1 UC B2C A2 .
P(C) P(
C B1C A1 U
C B2C A2)
P(C
B1C
A1) P(C
B2C
A2)
P(C BI )P(C AI ) P(C B 2)P(C A 2).
由所给数据得 C A 1 , C A 2 , C B 1 , C B 2发生的概率分别
为
16 20
4 10 2 0 ' 2 0 呀•故 P (C A 1)
=20，
，P(C B 2)=20，
A(10,0,0) , H (10,10,0) , E(10,4,8) , F (0,4,8) uuu
，FE (10,0,0)，
uu
ur HE
(0, 6,8).设 r n n （x, y,z ）是平面EHGF 的法向量，贝U r n uu
u FE UL UT
0,
即
0,
10x
6y 0,
8z 所以可取
0,
，P(C B 1)= 10
20
P(C A 2)=—
20
r UUUT n (0, 4,3) •又 AF (
r UUUT
10,4,8)，故 cos n, AF
n| AF
4 ” 5
--- .所以直线AF 与
15
平面所成角的正弦值为
4\5 15
20.【解析】（I ）设直线l :y kx b (k 0,b
0) ，A （为，yj ， B(x 2, y )，
将 y kx
b
2 2 2 2 2 2 2
9x y m 得(k 9)x 2kbx b m 0 ，故
9b
y M kx M b 斗•于是直线OM 的斜率k °M k 2 9
线OM 的斜率与I 的斜率的乘积为定值.
(n)四边形 OAPB 能为平行四边形.
因为直线l 过点(m ,m)，所以1不过原点且与
3
C 有两个交点的充要条件是 k 0 , k 3 •
9
由(I)得 OM 的方程为y
- x .设点
P 的横坐标为 X P .由
y
9
x,
k
k
小 2
2 2
9x y m ,
2 m ^k
® •解得 k i 4 -7 , k 2 4 .7 •因为 k i 0,k i 3, i 1, 2，所以当 I 3(k
9)
的斜率为4 17或4 J 时，四边形OAPB 为平行四边形.
21 •【解析】(I) f '(x) m(e mx 1) 2x • 若m
0，则当x (
,0)时， —m
x
e
1
, f '(x)
；
当 x (0,
mx /
)时，e
1
,
f '(x)
0 •
若m
0，则当x (
,0)时， mx
e 1
, f '(x)
；
当 x (0,
mx A
)时，e
1
,
f '(x)
0 •
所以， f (x)在(,(
0)单调递
减,
在 (0, )单调递
增.
(n)由(I)知，对任意的 m , f (x)在［1,0］单调递减，在［0,1］单调递增，故f (x)在
kb k 2
y M
X M
9
，即k oM k 9 •所以直
k
2
X
p
k 2m 2
9k 2
81 '即
—m — •将点(m
,m)的坐标代入直线I 的方程得b 3、.k 2 9 3
m(3 k) 3
因此x M
3)
•四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段
3(k 2 9)
AB 与线段OP 互相平分,
即x P
2x M
• 于是
km 3 <k 2 9
x 0处取得最小值•所以对于任意治兀［1,1］, f(xj f(X2) e 1的充要条件是:
f(1 )f(°) e 1,即m
e m e1
，①，设
函数
f( 1I) f(0) e 1,m e m e1,
g'(t)e t 1 •当t 0 时，g'(t)
；
当
t:0时，g'(t)0 . f
在(0,）单调递增.又g（11) 0, g(1)e1 2 e 0,故当
m [1,1]时，g(m) 0 , g(m)0, 即①式成立.当m
g(m)0 ,即e m m e 1 ；
当m
1
时寸，g( m) 0，即e
t [ 1,1]时，g(t) 0 .当
1
时,
取值范围是[1,1].
g（t）在（，0）单调递
减,
m
m
g(t) e t t e 1，则
由g（t）的单调性,
e 1 .综上，m的
ABC是等腰三角形,
AC相切于
22.【解析】（I）由于
因为e O分别与AB、
EF//BC .
（n）由（I）知，AE AF , AD 弦，所以O在AD上•连接OE , OM
AD
E、F两点，
BC，所以AD是所以AE
AF，故AD
CAB的平分线.又
EF •从而EF，故AD是EF的垂直平分线，又
，则OE AE •由AG等于eO的半径得
EF是eO的
AO 2OE,
所以OAE 300.所以ABC和AEF都是等边三角形.因为AE 2「3，所以AO 4 , OE 2.
1
因为OM OE 2, DM —MN .3 ,
2 所以OD 1 .于是AD 5, AB .所
3
1以四边形EBCF的面积丄
2(2「3)
16 3
【解析】（I）曲线23.
x2C2的直角坐标方程为x22y 曲线C3的直角坐标方程为
y22、、3X 0 •联立
2
x
2
x
y2 2y y22、3X
0,
0,
解得2所以C2与G交
3
点的直角坐标为（0,0）和（—3 ,-）
2 2
(n)曲线 C i 的极坐标方程为
( R, 0)，其中 0
因此A 得到极坐标
AB 2sin 2A /3COS
4 sin( —)，当
3
4 .
24.【解析】(I)因为,b)2 a b 2 ab , (、、C 、、d)2 C d cd ，由题设
a b C d , ab cd ，得(、a
、b)2 (、c ,
d )2. 因此 ja
jb VC jd .
(n) (i)若
a b C d ，则(a b)2
(C d)2 .即(a
b)2 4ab
(C
d)2
4cd .因
为 a b C d ，所以 ab cd ，由(I)得 .a 、、b .. C .. d . (ii
) 若、a
. b 、、c 、、d , 贝U( •、. a . b)2
(、、c . d )2
, 即 a b 2.0b C
d
2. cd .因为
a b C d ,所以 ab cd
,于是
(a
b)2 (a b)2 4ab (C d )2 4cd (C d)2 .因此 a b C d ，综上，
的充要条件.
为(2sin
B 的 极坐标 为 (2 3 cos
AB
取得最大值，最大值为。