2022高考数学(理)真题精校精析(上海卷)(纯word书稿)

2022高考数学（理）真题精校精析（上海卷）（纯
word 书稿）
1．[2020·上海卷] 运算：3－i 1＋i ＝________(i 为虚数单位)．
1．1－2i [解析] 考查复数的除法运算，是基础题，复数的除法运算实质确实是分母实数化运算．
原式＝(3－i )(1－i )
1－i 2
＝1－2i.
2．[2020·上海卷] 若集合A ＝{x |2x ＋1＞0}，B ＝{x ||x －1|＜2}，则A ∩B ＝________.
2.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，3 [解析] 考查集合的交集运算和解绝对值不等式，解此题的关键是解绝对值不等式，再利用数轴求解．
解得集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ⎪⎪⎪⎭⎪
⎬⎪⎫x >－12，集合B ＝{x |－1<x <3}，求得A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，3.
3．[2020·上海卷] 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
2 cos x sin x －1的值域是________． 3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5
2，－32 [解析] 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的值域，易错点是三角函数的化简．
f (x )＝－2－sin x cos x ＝－2－12sin2x ，又－1≤sin2x ≤1，因此f (x )＝－2－12sin2x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5
2，－32.
4．[2020·上海卷] 若＝(－2,1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．
4．arctan2 [解析] 考查直线的法向量和倾斜角，关键是求出直线的斜率． 由已知可得直线的斜率k ×1
－2＝－1，∴k ＝2，k ＝tan α，因此直线的倾斜角α＝arctan2.
5．[2020·上海卷] 在⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －2x 6
的二项展开式中，常数项等于________． 5．－160 [解析] 考查二项式定理，要紧是二项式的通项公式的运用． 由通项公式得
T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
－2x r
＝(－2)r C r 6x 6－2r ，令
6－2r ＝0，解得r ＝3，
因此是第4项为常数项，T 4＝(－2)3C 36＝－160.
6．[2020·上海卷] 有一列正方体，棱长组成以1为首项1
2为公比的等比数列，体积分别记为V 1，V 2，…，V n ，…，则lim n
→∞
(V 1＋V 2＋…＋V n )＝________.
6.8
7 [解析] 考查等比数列和无穷递缩等比数列的极限，此题只要把握极限公式即可解决，是简单题型．
由已知可知V 1，V 2，V 3，…构成新的等比数列，首项V 1＝1，公比q ＝1
8，由极限公式得lim n →∞
(V 1＋V 2＋…＋V n )＝1
1－18
＝8
7.
7．[2020·上海卷] 已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范畴是________．
7．(－∞，1] [解析] 考查复合函数的单调性，实为求参数a 的取值范畴． 令t ＝||x －a ，又e>1，函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，只需函数t ＝||
x －a 在[1，＋∞)上是增函数，因此参数a ≤1.
8．[2020·上海卷] 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．
8.3
3π [解析] 考查扇形的弧长和面积公式，以及圆锥的体积公式，关键是求出圆锥的半径和高．
由已知可得圆锥的母线长l ＝2，底面圆的周长2πr ＝πl ＝2π，因此底面半径r ＝1，由此得圆锥的高h ＝
l 2
－r 2
＝3，由圆锥的体积公式得V ＝13πr 2
h ＝33π.
9．[2020·上海卷] 已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.
9．－1 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想，此题的关键是利用y ＝f (x )＋x 2为奇函数．
已知函数y ＝f (x )＋x 2为奇函数，则f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋1]＝－2，解得f (－1)＝－3，因此g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1.
10．[2020·上海卷] 如图1－1所示，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π
6，若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.
图1－1
10.1
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ [解析] 考查极坐标方程，关键是写出直线的极坐标方程，再
按要求化简．
由已知得直线方程为y ＝(x －2)tan π
6，化简得x －3y －2＝0，转化为极坐标
方程为：
ρcos θ－3ρsin θ－2＝0，解得ρ＝2
cos θ－3sin θ＝1
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－θ，因此
f (θ)＝1
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.
11．[2020·上海卷] 三位同学参加跳高跳远铅球项目的竞赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．
11.2
3 [解析] 考查古典概率和排列问题，关键是把情形分析清晰，不要漏掉或者重复情形．
所有的可能情形有C 23C 23C 2
3，满足条件有且仅有两人选择的项目完全相同的
情形有
C 23C 23C 12，由古典概率公式得P ＝C 23C 23C 1
2C 23C 23C 23＝2
3.
12．[2020·上海卷] 在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边ABAD 的长分别为21.若MN 分别是边BCCD 上的点，且满足|BM
→||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN
→的取值范畴是________．
12．[2,5] [解析] 令BM →＝nBC →(0≤n ≤1)，则DN →＝(1－n )DC →，在平行四边形ABCD 中，AM →＝AB →＋nAD →，
AN →＝AD →＋(1－n )AB →，因此AM →·AN →＝(AB →＋nAD →)·[AD →＋(1－
n )AB →] ＝－n 2－2n ＋5，而函数f (n )＝－n 2－2n ＋5在[0,1]上是单调递减的，其值域为[2,5]，
因此AM →·AN →的取值范畴是[2,5]．
13．[2020·上海卷] 已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，5C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．
13.5
4 [解析] 考查分段函数和用定积分求曲边形的面积，考查学生分类讨论思想和转化思想．
由已知可得函数的解析式y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
10x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，12，
10x －10x 2，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤
12，1，
曲线与x
轴围成区域的面积，可用定积分表示S ＝∫120(10x 2 )d x ＋⎠⎛112(10x －10x 2
)d x ＝ 5
4.
图1－2
14．[2020·上海卷] 如图1－2所示，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC ＝2，若AD ＝2c ，且AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a ，其中ac 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是________．
14.2
3c a 2－c 2－1 [解析] 以空间四面体为载体，考查几何体的体积和代数式的最值问题，以及转化思想，解此题的关键是求出侧面三角形ABD 的高的最大值．
作BE 垂直AD 于E ，连接CE ，则CE 也垂直AD ，且BE ＝CE ，因此四面体ABCD 的体积
V＝1
3S△BCE·AD＝
2
3c BE2－1，在三角形ABD中，AB＋BD＝2a，AD＝2c，
因此AD边上的高BE等于以AD为焦点，长轴为2a的椭圆上的点到x轴的距离，
其最大值刚好在点在短轴端点的时候得到，即BE≤a2－c2，因此V＝2 3
c BE2－1≤2
3c a2－c2－1.
15．[2020·上海卷] 若1＋2i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则()
A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
15．B[解析] 考查复数的概念和一元二次方程，可利用方程的两根是共轭复数解题．
由韦达定理可知：－b＝(1＋2i)＋(1－2i)＝2，∴b＝－2，c＝(1＋2i)(1－2i)＝1＋2＝3，∴c＝3，因此选B.
此题还能够直截了当把复数根1＋2i代入方程中，利用复数相等求解．
16．[2020·上海卷] 在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是()
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不能确定
16．C[解析] 考查正弦定理和判定三角形的形状，考查考生的转化思想，关键是利用正弦定理，把角转化边，再利用边之间的关系，判定三角形的形状．
由正弦定理可把不等式转化为a2＋b2<c2，cos C＝a2＋b2－c2
2ab<0，因此三角形
为钝角三角形．故选C.
17．[2020·上海卷] 设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1x 2x 3x 4x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22x 2＋x 32x 3＋x 42x 4＋x 52x 5＋x 12的概率也均为0.2.若记Dξ1Dξ2分别为ξ1ξ2的方差，则( )
A ．Dξ1＞Dξ2
B ．Dξ1＝Dξ2
C ．Dξ1＜Dξ2
D ．Dξ1与Dξ2的大小关系与x 1x 2x 3x 4的取值有关
17．A [解析] 考查样本估量总体的平均数和方差，要紧是对方差概念的明白得，利用差不多不等式求解．
由已知可知两个变量的平均数相等，
Dξ1＝15[(x －x 1)2＋…＋(x －x 5)2]＝1
5(x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25)－x 2
， Dξ2＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －x 1＋x 222＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 5＋x 122＝
15⎣⎢⎡⎦⎥
⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 1＋x 222＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＋x 122－x 2
<1
5(x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25)－x 2
，因此Dξ1>Dξ2.
18．[2020·上海卷] 设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )
A ．25
B ．50
C ．75
D ．100
18．D [解析] 考查数列求和和转化思想，关键是发觉数列为振幅越来越小的摆动数列．
令b n ＝sin n π
25，周期为50，前n 项和记作：T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，依照三角函数图象的对称性，可知T 1，T 2，…，T 49均大于0，只有两个T 50＝0，T 100＝0，数列a n ＝1n sin n π
25为振幅越来越小的摆动数列，||a n ≤||b n ，只有当n ＝1,50,100时相等，故S 1，S 2，…，S 100中正数个数为100.
图1－3
19．[2020·上海卷] 如图1－3所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD .E 是PC 的中点，已知AB ＝2，AD ＝22，P A ＝2，求：
(1)三角形PCD 的面积；
(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小．
19．解：(1)因为P A ⊥底面ABCD ，因此P A ⊥CD . 又AD ⊥CD ，因此CD ⊥平面P AD . 从而CD ⊥PD . 因为PD ＝
22＋(22)2＝23，CD ＝2.
因此三角形PCD 的面积为1
2×2×23＝2 3.
(2)解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则B (2,0,0)，C (2,22，0)，E (1，2，1)．
AE →＝(1，2，1)，BC →＝(0,22，0)， 设AE →与BC →
的夹角为θ，则 cos θ＝AE →·BC →|AE →||BC →|＝42×22＝2
2，
∴θ＝π4.
由此知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π
4.
解法二：取PB 中点F ，连接EF AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF (或其补角)是异面直线BC 与AE 所成的角．
在△AEF 中，由EF ＝2AF ＝2AE ＝2知△AEF 是等腰直角三角形， 因此∠AEF ＝π
4.
因此，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是π
4.
20．[2020·上海卷] 已知函数f (x )＝lg(x ＋1)． (1)若0＜f (1－2x )－f (x )＜1，求x 的取值范畴；
(2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的反函数．
20．解：(1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
2－2x ＞0，x ＋1＞0，得－1＜x ＜1.
由0＜lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2x x ＋1＜1得1＜2－2x
x ＋1＜10. 因为x ＋1＞0，因此x ＋1＜2－2x ＜10x ＋10，
－23＜x ＜13，
由⎩⎨⎧
－1＜x ＜1，
－2
3＜x ＜13
得－23＜x ＜13.
(2)g (x )是以2为周期的偶函数， 当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此
y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )． 由单调性可得y ∈[0，lg2]．
因为x ＝3－10y ，因此所求反函数是y ＝3－10x ，x ∈[0，lg2]．
图1－4
21．[2020·上海卷] 海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图1－4.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线y ＝12
49x 2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船动身t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .
(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若现在两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
21．解：(1)t ＝0.5时，P 的横坐标x P ＝7t ＝72，代入抛物线方程y ＝12
49x 2，得P 的纵坐标y P ＝3.
由|AP |＝9492，得救援船速度的大小为949海里/时．
由tan ∠OAP ＝730，得∠OAP ＝arctan 730，故救援船速度的方向为北偏东arctan 730弧度．
(2)设救援船的时速为v 海里，通过t 小时追上失事船，现在位置为(7t,12t 2)． 由v t ＝(7t )2＋(12t 2＋12)2，
整理得v 2＝144⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋1t 2＋337.
因为t 2
＋1t 2≥2，当且仅当t ＝1时等号成立． 因此v 2≥144×2＋337＝252，即v ≥25.
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．
22．[2020·上海卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.
(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；
(2)设斜率为1的直线l 交C 1于PQ 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ；
(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1，若MN 分别是C 1C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．
22．解：(1)双曲线C 1：x 212
－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，
渐近线方程：y ＝±2x .
过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ，
y ＝2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－24，y ＝12.
因此所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.
(2)设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b ，因直线PQ 与已知圆相切， 故|b |2＝1，即b 2＝2.
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋b ，
2x 2－y 2＝1，
得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)Q (x 2，y 2)，则⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝2b ，
x 1x 2＝－1－b 2. 又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，因此
OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋
b 2 ＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0.
故OP ⊥OQ .
(3)当直线ON 垂直于x 轴时，
|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33.
当直线ON 不垂直于x 轴时，
设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫明显|k |＞22，
则直线OM 的方程为y ＝－1k x .
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，
4x 2＋y 2＝1得⎩⎨⎧ x 2＝14＋k 2，y 2＝k 24＋k 2，因此|ON |2＝1＋k 2
4＋k 2. 同理|OM |2＝1＋k 2
2k 2－1，
设O 到直线MN 的距离为d ，
因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2.
因此1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.
综上，O 到直线MN 的距离是定值．
23．[2020·上海卷] 关于数集X ＝{－1，x 1，x 2，…，x n }，其中0＜x 1＜x 2＜…＜x n ，n ≥2，定义向量集Y ＝{|＝(s ，t )，s ∈X ，t ∈X }，若对任意1∈Y ，存在2∈Y ，使得1·2＝0，则称X 具有性质，例如{－1,1,2}具有性质.
(1)若x ＞2，且{－1,1,2，x }具有性质，求x 的值；
(2)若X 具有性质，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1＝1；
(3)若X 具有性质，且x 1＝1x 2＝q (q 为常数)，求有穷数列x 1，x 2，…，x n 的通项公式．
23．解：(1)选取1＝(x,2)，Y 中与1垂直的元素必有形式(－1，b )， 因此x ＝2b ，从而x ＝4.
(2)证明：取1＝(x 1，x 1)∈Y ，设2＝(s ，t )∈Y ，满足1·2＝0.
由(s ＋t )x 1＝0得s ＋t ＝0，因此s ，t 异号．
因为－1是X 中唯独的负数，因此s ，t 之中一个为－1，另一个为1，故1∈X .
假设x k ＝1，其中1＜k ＜n ，则0＜x 1＜1＜x n .
选取1＝(x 1，x n )∈Y ，并设2＝(s ，t )∈Y 满足1·2＝0，即sx 1＋tx n ＝0， 则s ，t 异号，从而s ，t 之中恰有一个为－1. 若s ＝－1，则x 1＝tx n ＞t ＞x 1，矛盾；
若t ＝－1，则x n ＝sx 1＜s ≤x n ，矛盾．
因此x 1＝1.
(3)设1＝(s 1，t 1)，2＝(s 2，t 2)，则1·2＝0等价于s 1t 1＝－t 2s 2，
记B ＝⎩⎨⎧ s t |}s ∈X ，t ∈X ，|s |＞|t |，则数集X 具有性质当且仅当数集B 关于原点对称．
注意到－1是X 中的唯独负数，B ∩(－∞，0)＝{－x 2，－x 3，…，－x n }共有n －1个数，因此B ∩(0，＋∞)也只有n －1个数．
由于x n x n －1＜x n x n －2＜…＜x n x 2＜x n x 1，已有n －1个数，对以下三角数阵 x n x n －1＜x n
x n －2＜…＜x n x 2＜x n
x 1，
x n －1x n －2＜x n －1x n －3＜…＜x n －1
x 1， …
x 2
x 1.
注意到x n x 1＞x n －1x 1＞…＞x 2x 1，因此x n x n －1＝x n －1x n －2＝…＝x 2x 1，从而数列的通项为x k ＝x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1k －1＝q k －1，k ＝1,2，…，n .。