高考数学一轮总复习课件：充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

推出a>b.因此p是q的既不充分也不必要条件．
【答案】 ①p是q的充要条件 ②p是q的充分不必要条件
③p是q的必要不充分条件 ④p是q的既不充分也不必要条件
(3)设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的( C )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
＞b⇔f(a)＞f(b)⇔a|a|＞b|b|.选C.
状元笔记
判断充分必要条件的步骤 (1)弄清条件p和结论q分别是什么． (2)尝试p⇒q，q⇒p. (3)可简记为：充分条件是小推大，必要条件是大推小． (4)充要条件可以融入到数学各个分支，题型灵活多变，但 万变不离其宗，只要紧扣定义，结合其他知识，便可迎刃而 解．
第2课时 充分条件与必要条件、 全称量词与存在量词
[复习要求] 1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意 义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量 词的命题进行否定．
课前自助餐
命题 用语言、符号或式子表达的，可以_判__断_真__假___的陈述句叫做 命题．
充分条件与必要条件 (1)若__p_⇒__q_且__q____p_，则p是q的充分不必要条件． (2)若_q_⇒__p_且__p_____q_，则p是q的必要不充分条件． (3)若___p_⇒_q_且__q⇒__p____，则p是q的充要条件． (4)若__p____q_且__q____p___，则p是q的既不充分也不必要条 件．
1”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 若α＝β，则sin2α＋cos2β＝sin2α＋cos2α＝1， ∴“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝1”的充分条件； 若sin2α＋cos2β＝1，则sin2α＝sin2β，得不出α＝β， ∴“α＝β”不是“sin2α＋cos2β＝1”的必要条件， ∴“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝1”的充分不必要条件．故
∴p⊆q，故p是q的充分不必要条件．
③由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；
由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此p是q的必要不充分条件．
④由于a<b，当b<0时，
a b
>1；当b>0时，
a b
<1，故若a<b，不
一定有 ba <1.当b>0， ba <1时，可以推出a<b；当b<0， ba <1时，可以
则对实数a，b，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，由 于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，因此若a>|b|≥0，则f(a)>f(|b|)， 即f(a)>f(b)，所以“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分条件；若f(a)>f(b)， 则f(|a|)>f(|b|)，可得|a|>|b|≥0，由于a，b的正负不能判断，因此 无法得到a>|b|，则“a>|b|”不是“f(a)>f(b)”的必要条件，所以 “a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件．故选A.
【解析】 ①定义法：由三角形中大角对大边可知，若 A>B，则BC>AC；反之，若BC>AC，则A>B.因此，p是q的充要 条件．
②方法一(定义法)：由x>1可以推出x2>1；由x2>1得x<－1或 x>1，不一定有x>1.因此p是q的充分不必要条件．
方法二(集合法)：p＝(1，＋∞)，q＝(－∞，－1)∪(1，＋ ∞)，
(2)若乙是假命题，则甲、丙、丁是真命题，则x1＝1.x2＝ 1，两根不异号，不符合题意．
(3)若丙是假命题，则甲、乙、丁是真命题，则两根不异 号，不符合题意．
(4)若丁是假命题，则甲、乙、丙是真命题，则两根和不为 2，不符合题意．故选A.
3．(2020·上海春季高考题)“α＝β”是“sin2α＋cos2β＝
题型三 全(特)称命题及其真假的判断
例 3 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命 题，并判断真假．
(1)若 a＞0，且 a≠1，则对任意实数 x，ax＞0； (2)对任意实数 x1，x2，若 x1＜x2，则 tanx1＜tanx2； (3)∃T∈R，使|sin(x＋T)|＝|sinx|； (4)∃x0∈R，使 x02＋1＜0.
【解析】 ①p⇒q，q p，∴p是q的充分不必要条件． ②q⇒p，p q，∴p是q的必要不充分条件． ③p⇒q，且q⇒p，∴p是q的充要条件． ④p q，q p，∴p是q的既不充分也不必要条件． 【答案】 ①充分不必要条件 ②必要不充分条件 ③充要条件 ④既不充分也不必要条件
(2)判断下列各题中，p是q的什么条件？ ①在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC； ②p：x>1，q：x2>1； ③p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3； ④p：a<b，q：ba<1.
全称量词和存在量词 (1)全称量词有：_一__切__，_每_一___个_，_任__给___，用符号“__∀____”表示． 存在量词有：__有__些___，_有__一__个___，_对__某__个___，用符号“__∃___”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做_全__称__命_题___；“对 M 中任意一 个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为：∀x_∈_M__，_p_(x_)_____，读作： “____对__任_意__x_属_于__M_，__有_p_(_x_)成__立______”．
思考题2 (1)已知p：1≤x≤2，q：(x－a)(x－a－ 1)≤0，若p是q的充要条件，则实数a的值为_____1___．
(2)已知p：4x＋m<0，q：x2－x－2>0，若p是q的一个充分不 必要条件，求m的取值范围．
【解析】 ∵4x＋m<0，∴x<－m4 ，∴p：x<－m4 . ∵x2－x－2>0，∴x<－1或x>2， ∴q：x<－1或x>2. ∵p⇒q，∴－m4 ≤－1，∴m≥4. 即m的取值范围是[4，＋∞)． 【答案】 [4，＋∞)
2．(2021·八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个
命题：
甲：x＝1是该方程的根；
乙：x＝3是该方程的根；
丙：该方程两根之和为2；
丁：该方程两根异号．
如果只有一个假命题，则该命题是( A )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解析 (1)若甲是假命题，则乙、丙、丁是真命题，则x1＝ 3.x2＝－1，符合题意．
【解析】 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题． (1)∵ax＞0(a＞0，a≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题． (2)存在 x1＝0，x2＝π，x1＜x2，但 tan0＝tanπ， ∴命题(2)是假命题． (3)y＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题． (4)对任意 x∈R，x2＋1＞0，∴命题(4)是假命题． 【答案】 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题；(1)(3)是真 命题，(2)(4)是假命题
(3)(2021·衡水中学调研卷)如果x，y是实数，那么“x≠y”
是“cosx≠cosy”的( C )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 “x≠y”不能推出“cosx≠cosy”，但“cosx≠ cosy”一定有“x≠y”．
(4)(2021·合肥一模)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，綈p(x0)
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
1．(课本习题改编) (1)x>0是x(x＋1)>0的_____充_分__不__必_要___条件． (2)|a|>0是a>0的____必_要__不_充__分____条件． (3)α>β是sinα>sinβ的___既__不__充_分__也_不__必__要_____条件．
当m＝0时，S＝{1}，满足题意；当m＝3时，S＝{x|－2≤x≤4} 满足题意，故m的取值范围为[0，3]．
方法二：若x∈P是x∈S的必要且充分条件，则P＝S，即 11－ ＋mm＝ ＝－ 102，⇒m无解，
∴m的取值范围是[0，3]．
状元笔记
本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思 想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一 般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要 利用集合的包含、相等关系来考虑，这破解此类问题的关 键．
题型二 充分、必要条件的应用
例2 (1)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－ m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是 ___[_0，__3_] _．
【解析】 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， 所以P＝{x|－2≤x≤10}， 由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P， 则11－ －mm≤ ≥1－＋2m，，所以0≤m≤3，
思考题1 (1)(2020·天津)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的
(A) A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 定义法：由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a， 则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件．故选A.
(2)“1x>1”是“ex－1<1”的( A )
选A.
4．特称命题“存在实数x0，y0，使得x0＋y0>1”，用符号表 示为_____∃_x0_，__y0_∈_R__，_x_0_＋_y_0>_1___；此命题的否定是 __∀_x，__y_∈_R__，_x_＋__y≤_1___(用符号表示)，是____假____(填“真”或 “假”)命题．
5．【多选题】下列命题的否定是真命题的是( BC ) A．有些实数的绝对值是正数 B．所有平行四边形都不是菱形 C．∃x∈R，sinx＋cosx＝ 3 D．∀x∈R，|x|＋x2≥0
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题(存在性命题)；“存 在 M 中的元素 x0，使 p(x0)成立”可用符号简记为： __∃_x_0∈__M_，__p_(x_0_) _____，读作：“__存_在__M_中__的__元_素__x_0，__使_p_(_x0_)成__立___”．
含有一个量词的命题的否定
【解析】 方法一：当a>b>0时，a>b⇔a|a|>b|b|；当a>0>b时，
a>b⇔a|a|>b|b|；当b<a<0时，a>b⇔a|a|>b|b|，∴选C.
方法二：构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．
因为f(x)＝
x2，x≥0， －x2，x＜0，
所以函数f(x)在R上单调递增，所以a
解析 此类题的解法有二： ①判断原命题的真假，则其否定与其结论相反． ②先写出命题的否定，再判断真假，本题宜用方法①.
授人以渔
题型一 充分、必要条件的判定
例1 (1)判断下列各题中，p是q的什么条件？ ①p：a>b，q：a>b－1； ②p：a>b，q：lga>lgb； ③p：a>b，q：2a>2b; ④p：a>b，q：a2>b2.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】
∵
1 x
>1，∴x∈(0，1)．∵ex－1<1，∴x<1，即x∈(－
∞，1)．∴“1x>1”是“ex－1<1”的充分不必要条件．
或用集合法：∵(0，1) (－∞，1)，∴“1x>1”是“ex－1<1”的
充分不必要条件．
(3)(2021·北京西城区期末)已知函数f(x)＝sin2x，x∈[a，b]，
π 则“b－a≥ 2 ”是“f(x)的值域为[－1，1]”的( B )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由图可知，若a＝0，π2 <b<3π4 ，则b－a>π2 ，但 f(x)＝sin2x的值域不是[－1，1]．反之，因为值域是[－1，1]， 说明b－a≥12T，而T＝π.所以b－a≥π2 .
1＋m≤10， 所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值 范围是[0，3]．
(2)在(1)中若把条件“若x∈P是x∈S的必要条件”改为“若 x∈P是x∈S的必要不充分条件”，则m的取值范围是__[_0_，_3_]__．
【解析】 方法一：由(1)若x∈P是x∈S的必要条件，则 0≤m≤3，