宁夏石嘴山市第三中学2018届高三上学期第四次(1月)月考数学(理)试题(附答案)

石嘴山市第三中学高三年级 第四次月考试卷（理数）
第I 卷（选择题）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知集合{
|,A x y A B φ==⋂=，则集合B 不可能是（ ）
A.
{}
1
|4
2x
x x +<
B.
(){}
,|1x y y x =- C.
φ D.
(){}
2
2
|log 21y y x
x =-++
2．已知复()
2
121i
z i --=+，则复数z 的共轭复数z =（ ）
A. 3144i -
+ B. 1344i -+ C. 112i -- D. 1
12
i -+
3．设()()1,:10p q x a x a ⎡⎤≤--
-≤
⎣⎦，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的
取值范围是（ ）
A. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. ()3
,1,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭ D. ()3,1,2⎛⎫
-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
4．已知直线:30l ax y a --+=和圆22:4240C x y x y +---=，则直线l 和圆C 的位置关系是
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 都有可能
5．在矩形ABCD 中， 4AB =， 3BC =，将ABC ∆沿AC 折起后，三棱锥B ACD -的外接球表面积为
A. 16π
B. 25π
C. 36π
D. 100π
6．堑堵,我国古代数学名词,其三视图如图所示.《九章算术》中有如下问题:“今有堑堵,下广二丈,袤一十八丈六尺,高二丈五尺,问积几何?”意思是说:“今有堑堵,底面宽为2丈,长为18丈6尺,高为2丈5尺,问它的体积是多少?”(注:一丈=十尺),答案是 ( )
A. 25500立方尺
B. 34300立方尺
C. 46500立方尺
D. 48100立方尺
7．已知点P 是抛物线2
14
x y =
上的-个动点，则点P 到点A(0, 1)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ） A. 2
B.
C. 1
D. 1
8．已知实数,x y 满足1,3, 10,x y x y +≥≤-≥⎧⎪
⎨⎪⎩
若z mx y =+的最大值为10，则m =（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
9．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的的值等于( ) A.18 B.20 C.21 D.40
10. 2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于 以前的《甄嬛传》，某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄 段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在][10,14,15,19,⎡⎤⎣⎦ []
20,24, ][25,29,30,34⎡⎤⎣⎦的爱看比例分别为10%,18%,20%,30%,%t ， 现用这5个年龄段的10y -≥中间值x 代表年龄段，如12代表
[]10,14,17代表[]15,19，根据前四个数据求得x 关于爱看比例y 的
线性回归方程为()4.68%y kx ∧
=-，由此可推测t 的值为（ ）
A. 33
B. 35
C. 37
D. 39 (第9题图） 11．由1、2、3、4、5、6、7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且6、7均不得排在首位与个位，1与6必须相邻，则这样的七位数的个数是（ ） A. 300 B. 338 C. 600 D. 768
12．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为f （x ）=12+x ，值域为{5，10}的“孪生函数”共有（ ） A. 4个 B. 8个 C. 9个 D. 12个
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若
sin cos 1
1cos24
ααα=-， ()tan 2αβ-=，则()tan 2βα-=__________.
14．已知正方体的棱长为1，在正方体内随机取一点M ，则四棱锥M ­ABCD 的体积小于16
的概率为______． 15
．已知6
0,a
x ⎫
>-⎪
⎭
展开式的常数项为15
，则
)
sin2a
a
x dx -+=⎰__________．
16．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设，用
表示不超过的最大整数，并用
表示的非负纯小数，
则
称为高斯函数，已知数列
满足：
，则
__________．
三、解答题（本题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且39S =， 137,,a a a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足()12n
n n b a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18．（满分12分）近年来许多地市空气污染较为严重，现随机抽取某市一年（365天）内100天的 2.5PM 空气质量指数（API ）的监测数据，统计结果如表：
记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S （单位：元），API 指数为x .当x 在区间
[]0,100内时，对企业没有造成经济损失；当x 在区间(]100,300内时，对企业造成的经济
损失与x 成直线模型（当API 指数为150时，造成的经济损失为1100元，当API 指数为200时，造成的经济损失为1400元）；当API 指数大于300时，造成的经济损失为2000元. （1）试写出()S x 的表达式；
（2）试估计在本年内随机抽取1天，该天经济损失S 大于1100且不超过1700元的概率； （3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，这30天中有8天为重度污染，完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？
附：
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++
19．（满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ，
2PA AD ==， BD =
(1)求证： BD ⊥平面PAC ； (2)求二面角B PC D --余弦值； (3)求点C 到平面PBD 的距离．
20．（满分12分）在平面内点()1F 、)
2
F 、曲线C 上的动点(),E x y 满足
1242EF EF +=（1）求曲线C 的方程；
（2）点()2,1P -， Q 在曲线C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交曲线C 于()11,A x y ， ()22,B x y 两点.若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值.
21．（满分12分）已知函数()()()2
2ln 210.f x a x a x x
a =-++->
（Ⅰ）若函数()f x 的图像在点()()
2,2f 处的切线与直线10x y -+=平行，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅲ）若在函数()f x 定义域内，总有()2
2f x x ax b ≥-++成立，试求实数a b +的最大
值.
22．（满分10分）已知曲线
的参数方程为 )(sin 3cos 2为参数θθθ
⎩
⎨
⎧==y x ，以坐标原点O
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为2=ρ.
（Ⅰ）分别写出
的普通方程，
的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知M ，N 分别为曲线 的上、下顶点，点P 为曲线
上任意一点，求
的最大值．
答案
1．D 2．C 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 10．B 11．D 12．C 13．43
14.12
152
π 16
17（1）()1*n a n n N =+∈（2）()1
12
2n n T n +=-⋅+
【解析】试题分析： ()1根据条件可知2
317a a a =，即()()2
11126a d a a d +=+， d 和
1a 的关系，求出1a 和d 的值，即可求出数列{}n a 的通项公式；
()2求得数列{}n b 的通项公式，采用乘以公比“错位相减法”，即可求出数列{}n b 的前n 项和
n T
解析：（1）由题得2
317a a a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()2
11126a d a a d +=+，
0d ≠化简得11
2
d a =
. 11112319
39222
S a a a ⨯=+⨯==，得12,1a d ==，
∴()()11211n a a n d n n =+-=+-=+，即()1*n a n n N =+∈
（2）由题意可知， 1n a n =+
()()12112?2n n n n n b a n n =-⋅=+-=
·2n n b n ∴=， ∴21212222n n n T b b b n =++
=⨯+⨯+
+⋅，①
()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯+
+-⋅+⋅，②
-②，得()2
3
1122222122n n n n T n n ++-=++++-⋅=--⋅-，
∴()1
12
2n n T n +=-⋅+.
18(1) ()[](]()0,0,100,
{6200,100,300, 2000,300,.
x S x x x x ∈=+∈∈+∞ (2)0.4；(3)有95%的把握认为该市本年度空气重
度污染与供暖有关.
解析：（1）依题意，可得()[](]()0,0,100,
{6200,100,300, 2000,300,.
x S x x x x ∈=+∈∈+∞
（2）设“在本年内随机抽取1天，该天经济损失S 大于1100元且不超过1700元”为事件A ，由11001400S <≤，得150200x <≤，由统计结果，知()0.3P A =，
即在本年内随机抽取1天，该天经济损失S 大于1100元且不超过1700元的概率为0.39. （3）根据题中数据可得如下22⨯列联表：
2
K 的观测值()2
100638227 4.575 3.84185153070
k ⨯⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯，
所以有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.
点睛：本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关．概率问题是高考中和实际联系非常紧密的一道题目，容易出现新的题型新的情景；只要审题清楚，联系实际和数学知识，就能做好。

19(1)略
(2)q= 450
(3)
解：（2）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角. 又∵PA=AD，∴∠PDA=450. 二面角P—CD—B 余弦值为。

（3）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD=，设C到面PBD的距离为d，
由，有，即
，得
方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.………………2分
在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴
∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC. …………4分
解：（2）由（1）得.
设平面PCD的法向量为，则，
即，∴故平面PCD的法向量可取为
∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量. ……………………………7分设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得
. ……………………………9分
（3）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为，
则，即，∴x=y=z，故可取为
. ………11分
∵，∴C到面PBD的距离为…………………13分
考点：本题考查直线与平面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；向量法求空间角；点、线、面间的距离计算。

点评：综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用．二面角的向量求法：①若AB、CD分别是二面的两个半平面内与棱垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角；②设分别是
二面角的两个面α，β的法向量，则向量的夹角(或其补角)的大小就是二面角
的平面角的大小。

20（1）22
182
x y +=；（2）12AB k =-。

解析：（1）22
182
x y +=
（2）设直线PA 的方程为()12y k x +=- 联立方程组()2248{
21
x y y k x +==--
()()
2
2
221482161640k x
k k k k +-+++-=
∴2216164214A k k x k +-=+ 22
882
14A k k x k
+-=+ 直线PQ 平分APB ∠，所以PA 和PB 斜率互为相反数 设直线PB 的方程为()12y k x +=-- 联立方程组()2248{
21
x y y k x +==---
22
882
14B k k x k --=
+ 又()()21{
21
A A
B B y k x y k x =--=---
()2
8414A B A B k
y y k x x k k -=++=-+
2
1614A B k
x x k -=
+
1
2
AB k =-
21．(Ⅰ) 3a =；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ
) 解析：（Ⅰ）易得()0,x ∈+∞，且()2222.a
f x a x x
=-++-' 由题意，得()221f a -'==，解得3a =，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得()()()
()21,0,x a x f x x x
---∈'=
+∞，
①当1a =时， ()()2
210x f x x
-'-=
≤， ∴函数()f x 在()0,+∞单调递减，
②当01a <<时，由()0f x '>，得1a x <<； 由()0f x '<，得0x a <<或 1.x >
∴函数()f x 在(),1a 上单调递增，在()()0,,1,a +∞上单调递减.
③当1a >时，同理，得
函数()f x 在()1,a 上单调递增，在()()0,1,a +∞上单调递减， 综上，当1a =时，函数()f x 在()0,+∞单调递减；
当01a <<时，函数()f x 在(),1a 上单调递增，在()()0,,1,a +∞上单调递减； 当1a >时，函数()f x 在()1,a 上单调递增，在()()0,1,,a +∞上单调递减.
（Ⅲ）由题意，知()()()
2
20,f x x ax b x ≥-++∈+∞恒成立，
()()()222ln 2120,a x a x x x ax b x ⇔-++-≥-++∈+∞恒成立， ()()2ln 200,a x x b x ⇔-+≤∈+∞恒成立，
令()()()
2ln 20,g x a x x b x =-+∈+∞，则只需()max 0.g x ≤
()()()()20,a x g x x x
-∴=
∈'+∞，
由()0g x '=，得()0x a a =>，
∴当()0,x a ∈时， ()0g x '>，此时，函数()g x 在()0,a 上单调递减；
当(),x a ∈+∞时， ()0g x '<，此时，函数()g x 在(),a +∞上单调递减，
()()max 2ln 20.g x g a a a a b ∴==-+≤
()()()()22ln 0,,32ln 0,.b a a a a a b a a a a ∴≤-∈+∞∴+≤-∈+∞
令()()()
32ln 0,h x x x x x =-∈+∞，则只需()max .a b h x +≤
()()()12ln 0,.h x x x ∴=∈'-+∞
由()0h x '>，得0x << ()h x 在(上单调递减，
由()0h x '<，得x >
()h x 在
)
+∞上单调递减，
()
max h x h
∴==，
即a b +≤
故所求实数a b +的最大值为 22．（Ⅰ）曲线的普通方程为 ；曲线的普通方程为
；
（II ）的最大值为
【解析】：
根据题意和平方关系求出曲线的普通方程，由
和题意求出的直角坐标方程。

法一：求出曲线参数方程，设点的参数坐标，求出点的坐标，利用两点间的距离
公式求出并简化，再化简
，利用正弦函数的最值求出
的
最值，即可求出的最大值；
法二：设点坐标为
，则
，求出点的坐标，利用两点间的距离公式求出
并简化，再化简
，再求出
的最值，即可求出
的
最大值。

试题解析（1）曲线的普通方程为， 曲线的普通方程为.
（2）法一：由曲线
：
，可得其参数方程为，所以点坐标为
，由题意可知
.
因此
.
所以当时，有最大值28， 因此
的最大值为
.
法二：设点坐标为
，则，由题意可知
.
因此
.
所以当时，有最大值28，因此的最大值为.。