2019-2020学年天津市南开中学高三(上)第一次月考数学试卷(10月份) (含答案解析)
天津市南开区2019-2020学年度第一学期期末考试高三数学试卷(含解析)
天津市南开区2019-2020学年高三（上）期末考试数学试卷一、选择题（本大题共9小题）1. 设全集U ={1,2，3，4}，集合S ={1,2}，T ={2,3}，则(∁U S)∩T 等于( )A. {2}B. {3}C. {4}D. {2,3，4} 2. 命题“∃x 0∈(0,+∞)，ln x 0=x 0−1”的否定是( )A. ∀x ∈(0,+∞)，ln x ≠x −1B. ∀x ∉(0,+∞)，ln x =x −1C. ∃x 0∈(0,+∞)，ln x 0≠x 0−1D. ∃x 0∉(0,+∞)，ln x 0=x 0−1 3. 下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增的是( )A. y =x 3B. y =−lgx 2C. y =2xD. y =4. 已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 3+S 5>2S 4”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件 5. 设a =1−20.2，b =1og 3103，c =lg4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <c <bB. b <c <aC. c <a <bD. c <b <a6. 过点A(−1,0)，斜率为k 的直线，被圆(x −1)2+y 2=4截得的弦长为2√3，则k 的值为( )A. ±√33B. √33C. ±√3D. √37. 函数y =sin πx 6−√3cosπx 6(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A. −1−√3B. −1C. 0D. 2−√38. 已知点A(2,0)，抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|=( ) A. 2：√5 B. 1：2 C. 1：√5 D. 1：39. 四边形ABCD 中，BC =1，AC =2，∠ABC =90°，∠ADC =90°，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A. [−1,3] B. (−3,−1) C. [−3,1] D. [−√3,√3] 二、填空题（本大题共6小题） 10. 复数2+i1−2i 的共轭复数是______．11. 曲线y =x2x−1在点(1,1)处的切线方程为______．12. 四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，各顶点都在同一球面上，若该棱锥的体积为4，AB =2，则此球的表面积等于______． 13. 设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24−x 2=1具有相同渐近线，则C 的方程为______；渐近线方程为______． 14. 已知正数x ，y 满足x+y 2xy=3，则当x ______时，x +y 的最小值是______．15. 对于实数a 和b ，定义运算“∗”：a ∗b ={a(a −b)3,a ≤b b(b −a)3,a >b，设f(x)=(2x −1)∗(x −1)，若函数g(x)=f(x)−mx 2(m ∈R)恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则m 的取值范围是______；x 1x 2x 3的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b −c =1，cosA =13，△ABC的面积为2√2．(Ⅰ)求a 及sin C 的值； (Ⅱ)求cos(2A −π6)的值．17. 如图，已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是直角三角形，∠ACB =90°，AA 1=AB =2BC =2，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(Ⅰ)求证：AB 1⊥平面A 1BD ；(Ⅱ)求二面角A −BD −A 1的余弦值； (Ⅲ)求点B 1到平面A 1BD 的距离．18. 已知椭圆C 的一个顶点为A(0,−1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x −y +2√2=0的距离为3．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设椭圆C 与直线y =kx +m 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中点为E ． (i)当k >0，m ≠0时，射线OE 交直线x =−3于点D(−3,n)(O 为坐标原点)，求k 2+n 2的最小值；(i)当k ≠0，且|AM|=|AN|时，求m 的取值范围．19. 已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 1=3，b 2=a 2，b 5=a 3+3，b 8=a 4．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n ；(Ⅱ)令c n =log 2a n 3，证明：1c 2c 3+1c 3c 4+⋯+1c n c n+1<1(n ∈N ∗,n ≥2)；(Ⅲ)求∑b2i (√33)b i+1ni=1(n ∈N ∗)．20. 已知函数f(x)=lnx −ax(a ∈R)．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若f(x)≤x 2对x ∈(0,+∞)恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当a =1时，设g(x)=xe −f(x)−x −1(e 为自然对数的底).若正实数λ1，λ2满足λ1+λ2=1，x 1，x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2)，证明：g(λ1x 1+λ2x 2)<λ1g(x 1)+λ2g(x 2).答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵全集U={1,2，3，4}，集合S={1,2}，T={2,3}，∴C U S={3,4}，∴(∁U S)∩T={3}．故选：B．先求出C U S，由此能求出(∁U S)∩T的值．本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈(0,+∞)，ln x0=x0−1”的否定是：∀x∈(0,+∞)，ln x≠x−1．故选：A．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3.【答案】A【解析】解：A.函数为奇函数，不满足条件．B.函数的定义域为{x|x≠0}，函数为偶函数，当x>0时，y=−lgx2=−2lgx为减函数，不满足条件．C.y=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D.f(−x)=f(x)，函数为偶函数，当x>0时，y=√x为增函数，满足条件，故选：A．根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}的公差为d，S3+S5>2S4，∴S3+S4+a5>S3+a4+S4，∴a5−a4=d>0，则“d>0”是“d>0”的充要条件，故选：C．化简求解S3+S5>2S4，再判断充要性．本题考查充要性，以及数列，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵20.2>20=1，∴a<0，>log33=1，∴b>1，∵log3103∵lg1<lg4<lg10，∴0<c<1，∴a<c<b，故选：A．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.【答案】A【解析】解：设直线方程为y=k(x+1)，即kx−y+k=0，∵圆(x−1)2+y2=4截得的弦长为2√3，∴圆心到直线的距离为√4−3=1，∴|2k|√k2+1=1，∴k=±√33．故选：A．设直线方程为y=k(x+1)，利用圆(x−1)2+y2=4截得的弦长为2√3，求出圆心到直线的距离为1，即可得出结论．本题考查直线和圆的方程的应用，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，确定圆心到直线的距离为1是关键．7.【答案】D【解析】解：函数y=sinπx6−√3cosπx6=2(12sinπx6−√32cosπx6)=2sin(πx6−π3)，由0≤x≤9，得−π3≤πx6−π3≤7π6，所以−√32≤sin(πx6−π3)≤1，所以y的最大值为2，最小值为−√3，所以y的最大值与最小值之和为2−√3．故选：D．化函数y为正弦型函数，根据x的取值范围即可求出y的最大值与最小值之和即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F(0,1)，点A坐标为(2,0)∴抛物线的准线方程为l：y=−1，直线AF的斜率为k=0−12−0=−12，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|∵Rt△MPN中，tan∠MNP=−k=12，∴|PM||PN|=12，可得|PN|=2|PM|，得|MN|=√|PN|2+|PM|2=√5|PM|因此，|PM||MN|=1√5，可得|FM|：|MN||=1：√5故选：C求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=−12.过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|.Rt△MPN中，根据tan∠MNP=12，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=√5|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：如图，以点B 为原点，直线BA 为x 轴，建立平面直角坐标系，则： B(0,0),C(0,1),A(√3,0)，设D(x,y)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −√3,y),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y −1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)， ∵∠ADC =90°，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−√3x +y 2−1=0， ∴(x −√32)2+(y −12)2=1，∴设x =√32+cosθ,y =12+sinθ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32+cosθ,12+sinθ)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3cosθ+sinθ−1=2sin(θ−π3)−1， ∵−1≤sin(θ−π3)≤1，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[−3,1]． 故选：C ．根据题意，以点O 为原点，以直线BA 为x 轴，建立平面直角坐标系，根据条件可得出B(0,0),C(0,1),A(√3,0)，设D(x,y)，从而可求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，根据条件可得出AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−√3x +y 2−1=0，从而得出(x −√32)2+(y −12)2=1，从而可设x =√32+cosθ,y =12+sinθ，从而可得出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2sin(θ−π3)−1，从而可得出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．本题考查了通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，向量坐标的数量积运算，圆的参数方程，两角差的正弦公式，考查了计算能力，属于中档题． 10.【答案】−i【解析】解：复数2+i1−2i =(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5i 5=i 的共轭复数是−i ．故答案为：−i ．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题． 11.【答案】x +y −2=0 【解析】解：y =x2x−1的导数，，而切点的坐标为(1,1)，∴曲线y =x2x−1在在x =1处的切线方程为x +y −2=0．故答案为：x +y −2=0根据导数的几何意义求出函数在x =1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．12.【答案】24π【解析】解：因为四边形ABCD是正方形，且PA⊥平面ABCD，所以可以将该四棱锥内嵌于长方体中，则该长方体的长、宽、高分别为2、2、4，它们的外接球是同一个，设半接球半径为R，所以2R=√4+4+16=√24=2√6，解得R=√6，所以表面积为S=4πR2=4π×6=24π．故答案为：24π．根据四棱锥的特征，确定其所属的类型可以转化为长方体外接球问题，即可求解．本题考查球的表面积，考查长方体的外接球问题，属于中档题．13.【答案】x23−y212=1；y=±2x【解析】解：与y24−x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为y24−x2=m，(m≠0)，∵双曲线C经过点(2,2)，∴m=224−22=1−4=−3，即双曲线方程为y24−x2=−3，即x23−y212=1，对应的渐近线方程为y=±2x，故答案为：x23−y212=1，y=±2x．利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．14.【答案】=129【解析】解：正数x，y满足x+y 2xy=3，∴x=y23y−1>0，可得y>13，∴x+y=y23y−1+y=4y2−y3y−1，令t=3y−1则y=1+t3且t>0，x+y=t(t+1)29t −3t9(t+1)，=4t2+5t+19t =19(4t+1t+5)≥19(5+4)=1，当且仅当4t=1t 即t=12，此时x=y=12取最小值9，故答案为=：12，9．由已知可得，x=y 23y−1>0，可得y>13，代入后进行分离，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．15.【答案】(0,14)(1−√316,0)【解析】解：当2x −1≤x −1时，即x ≤0，f(x)=(2x −1)x 3，当2x −1>x −1时，即x >0，f(x)=−(x −1)x 3，所以f(x)={(2x −1)x 3,x ≤0−(x −1)x 3,x >0，因为g(x)有三个零点，所以f(x)与y =mx 2的图象有三个交点，即k(x)={(2x −1)x,x ≤0−(x −1)x x >0与函数y =m 有三个交点，作出k(x)的图象，如图，所以0<m <14，不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2+x 3=1，所以0<x 2x 3<(x 2+x 32)2=14由{(2x −1)x =14x <0解得x ═1−√34，所以1−√34<x 1<0， 所以1−√316<x 1x 2x 3<0．故答案分别为(0,14)和(1−√316,0).首先根据定义求出函数的解析式，因为g(x)有三个零点，所以f(x)与y =mx 2的图象有三个交点，根据图象的分布特征确定函数零点的分布情况，进而求解三个零点之积的取值范围．本题考查函数的零点与函数图象间交点的关系，属于常规题．16.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b −c =1，cosA =13，∴sinA =√1−cos 2A =2√23，∵△ABC 的面积为12bc ⋅sinA =bc 2⋅2√23=√23bc =2√2，∴bc =6，∴b =3，c =2，∴a =√b 2+c 2−2bc ⋅cosA =√9+4−2⋅3⋅2⋅13=3． 再根据正弦定理可得a sinA =csinC ，即2√23=2sinC ，∴sinC =4√29．(Ⅱ)∴sin2A =2sinAcosA =√29，cos2A =2cos 2A −1=−79，故cos(2A −π6)=cos2Acos π6+sin2Asin π6=−79⋅√32+√29⋅12=√2−7√318．【解析】(Ⅰ)由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin A 的值，再根据三角形的面积求得b 、c 的值，再利用余弦定理、正弦定理求得a 及sin C 的值．(Ⅱ)利用二倍角公式求得sin2A 、cos2A 的值，再利用两角差的余弦公式求得cos(2A −π6)的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理、余弦定理、二倍角公式、两角差的余弦公式，属于中档题．17.【答案】解：依题意，以C 为原点，CB 为x 轴，CC 1为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0),B(1,0,0),C 1(0,2,0),B 1(1,2,0),A(0,0,√3)，A 1(0,2,√3)， ∵DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴D(0,12,0)，(Ⅰ)证明：AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−√3),A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,−√3),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12,0)， 设平面A 1BD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x −2y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +12y =0，令z =√3，则m ⃗⃗⃗ =(−1,−2,√3)，∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−m ⃗⃗⃗ ，即AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //m ⃗⃗⃗ ， ∴AB 1⊥平面A 1BD ；(Ⅱ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−√3),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,12,0)， 设平面ABD 的一个法向量为n ⃗ =(a,b,c)，则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −√3c =0n⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +12b =0，令c =√3，则n ⃗ =(3,6,√3)，又平面A 1BD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(−1,−2,√3)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=|m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=|−3−12+3√1+4+3√9+36+3|=√64，即二面角A −BD −A 1的余弦值为√64；(Ⅲ)设点B 1到平面A 1BD 的距离为d ，则易知d =12|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，而|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4+3=2√2，∴点B 1到平面A 1BD 的距离为√2．【解析】建立空间直角坐标系，求出各点的坐标， (Ⅰ)求出AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及平面A 1BD 的法向量，验证它们平行即可得证； (Ⅱ)求出两个平面的法向量，利用向量公式得解；(Ⅲ)设点B 1到平面A 1BD 的距离为d ，则易知d =12|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，由此得解． 本题考查利用空间向量解决立体几何问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．18.【答案】解(Ⅰ)，设椭圆的右焦点(c,0)，c >0，由题意得：b =1，3=|c+2√2|√2，a 2=b 2+c 2，解得：a 2=3，b 2=1， 所以椭圆的方程：x 23+y 2=1；(Ⅱ)i)设M(x,y)，，将直线与椭圆联立整理得：(1+3k 2)x 2+6kmx +3m 2−3=0，△=36k 2m 2−4(1+3k 2)(3m 2−3)>0，即m 2<1+3k 2， 且，，所以MN 的中点E(−3km1+3k 2,m1+3k 2)，所以射线OE ：y =−13k x ，与直线x =−3的交点(−3,1k )，所以n =1k ，所以n 2+k 2=k 2+1k 2≥2，当且仅当k 2=1，k >0， 所以k =1时n 2+k 2有最小值2．ii)当k ≠0，且|AM|=|AN|时，则AE ⊥MN ，所以k AE =−1kMN，即m1+3k 2+1−3km 1+3k 2=−1k ，∴2m =1+3k 2，∴2m >m 2，解得0<m <2，所以m 取值范围(0,2)．【解析】(Ⅰ)由题意得b 值及右焦点到直线的距离得c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出椭圆方程；(Ⅱ)i)直线MN 与椭圆联立，得两根之和进而求出中点坐标，写出射线OE 求出n 的值，再求n 2+k 2，用均值不等式求出最小值；ii)由题意知EA ⊥MN ，斜率互为负倒数得m 与k 之间的关系，再与判别式大于零联立得m 的范围．考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，数列{b n }是公差为d 的等差数列，由a 1=3，b 2=a 2，b 5=a 3+3，b 8=a 4，可得b 1+d =3q ，b 1+4d =3q 2+3，b 1+7d =3q 3，解得q =2，d =3，b 1=3，则a n =3⋅2n−1，b n =3+3(n −1)=3n ； (Ⅱ)证明：c n =log 2a n 3=log 22n−1=n −1，1c 2c 3+1c 3c 4+⋯+1c n c n+1=11×2+12×3+⋯+1(n−1)n=1−12+12−13+⋯+1n−1−1n=1−1n<1；(Ⅲ)由2n(33)b =(33)3(n+1)=2n3n ， 可设T n =∑2i 3b n=23+49+627+⋯+2n3n ， 13T n =29+427+681+⋯+2n 3n+1，相减可得23T n =23+29+227+⋯+23n −2n3n+1 =2⋅13(1−13n )1−13−2n 3n+1，化简可得∑2i (33)b n=32−2n+32⋅3n．【解析】(Ⅰ)设数列{a n }是公比为q 的等比数列，数列{b n }是公差为d 的等差数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公比、公差，可得所求通项公式； (Ⅱ)由对数的运算性质求得c n =n −1，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质即可得证；(Ⅲ)由2n3b =33(n+1)=2n3n ，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和、错位相减法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)函数的定义域为{x|x >0}，f′(x)=1x −a ，①当a ≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a>0时，令f′(x)>0解得0<x<1a ，令f′(x)<0解得x>1a，故此时函数f(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a,+∞)上单调递减；(Ⅱ)f(x)≤x2对x∈(0,+∞)恒成立，即为对任意的x∈(0,+∞)，都有a≥lnxx−x，设F(x)=lnxx −x(x>0)，则F′(x)=1−lnxx2−1=1−lnx−x2x2，令G(x)=1−lnx−x2(x>0)，则G′(x)=−1x−2x<0，∴G(x)在(0,+∞)上单调递减，且G(1)=0，∴当x∈(0,1)时，G(x)>0，F′(x)>0，F(x)单调递增；当x∈(1,+∞)，G(x)<0，F′(x)<0，F(x)单调递减，∴F(x)max=F(1)=−1，∴实数a的取值范围为[−1,+∞)．(Ⅲ)证明：当a=1时，g(x)=xe−(lnx−x)−x−1=xe x−lnx−x−1=e x−x−1，g′(x)=e x−1>0(x>0)，不妨设0<x1<x2，下先证：存在ξ∈(x1,x2)，使得g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)，构造函数H(x)=g(x)−g(x1)−g(x2)−g(x1)x2−x1(x−x1)，显然H(x1)=H(x2)，且H′(x)=g′(x)−g(x2)−g(x1)x2−x1，则由导数的几何意义可知，存在ξ∈(x1,x2)，使得H′(ξ)=g′(ξ)−g(x2)−g(x1)x2−x1=0，即存在ξ∈(x1,x2)，使得g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)，又g′(x)=e x−1为增函数，∴g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)>g′(x1)(x2−x1)，即g(x2)>g(x1)+g′(x1)(x2−x1)，设x3=λ1x1+λ2x2(λ1+λ2=0)，则x1−x3=(1−λ1)x1−λ2x2，x2−x3=(1−λ2)x2−λ1x1，∴g(x1)>g(x3)+g′(x3)(x1−x3)=g(x3)+g′(x3)[(1−λ1)x1−λ2x2]①，g(x2)>g(x3)+g′(x3)(x2−x3)=g(x3)+g′(x3)[(1−λ2)x2−λ1x1]②，由①×λ1+②×λ2得，λ1g(x1)+λ2g(x2)>g(x3)=g(λ1x1+λ2x2)，即g(λ1x1+λ2x2)<λ1g(x1)+λ2g(x2).【解析】(Ⅰ)求导，分a≤0及a>0解不等式即可得到单调性；(Ⅱ)依题意，问题可转化为a≥lnxx−x对任意x∈(0,+∞)恒成立，进而转化为求函数的最值问题；(Ⅲ)先证存在ξ∈(x1,x2)，使得g(x2)−g(x1)=g′(ξ)(x2−x1)，结合g′(x)=e x−1为增函数，可得结论g(x2)>g(x1)+g′(x1)(x2−x1)，令x3=λ1x1+λ2x2，再利用所证结论即可得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，本题的背景知识是拉格朗日中值定理及凸函数的定义，要求学生有较丰富的知识储备及较强的运算分析能力，属于难题．。
2020届天津市南开中学高三10月月考数学试题(解析版)
2020届天津市南开中学高三10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}124x A x -=≥，{}2230B x x x =--<，则()R AB ð等于（ ）A.{}3x x ≥B.{}3x x >C.{}13x x -<< D.{}31x x x ≥≤-或【答案】A【解析】解出集合A 、B ，再利用交集和补集的定义求出集合()R A B ð.【详解】解不等式124x -≥，即12x -≥，得3x ≥，{}3A x x ∴=≥. 解不等式2230x x --<，解得13x -<<，{}13B x x ∴=-<<， 则{}13R B x x x =≤-≥或ð，因此，(){}3R A B x x ⋂=≥ð，故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集与补集的混合运算，同时也考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，解题的关键就是解出问题中所涉及的集合，考查运算求解能力，属于基础题. 2．“成立”是“成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x ＜3，由x （x-3）＜0得0＜x ＜3，所以“|x -1|＜2成立”是“x （x-3）＜0成立”的必要不充分条件 【考点】1．解不等式；2．充分条件与必要条件3．已知()sin f x x x =-+，命题:0,2p x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（ ） A ．p 是假命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭B ．p 是假命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭C ．p 是真命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭D ．p 是真命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：'()1cos f x x =-+，当(0,)2x π∈，'()0f x <，因此()f x 是减函数，所以(0,)2x π∈，()(0)0f x f <=，命题p 是真命题，p ⌝是：000,,()02x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭，故选D ．【考点】命题的真假，命题的否定． 4．已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << 【答案】D【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，e e z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，若对于任意x R ∈， ()()2222f log a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1 B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】B【解析】因为()f x 是偶函数，所以不等式()()22log 22f a f x x ≤-+可化为()()22log 22f a f x x ≤-+，又()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以22log 22a x x ≤-+，而()222211x x x -+=-+的最小值为1，所以2log 1a ≤，21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤． 6．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为函数在区间上单调递减，所以函数在区间上恒成立，即在恒成立，而在递减，在递增，且，即；故选C.7．设函数()144x f x ex -=+-，()1ln g x x x=-，若()()120f x g x ==，则（ ）A.()()120g x f x <<B.()()120g x f x <<C.()()210f x g x <<D.()()210f x g x <<【答案】B【解析】分析函数()y f x =和()y g x =的单调性，利用零点存在定理求出函数零点的取值范围，再由函数的单调性来得出()2f x 与()1g x 的正负. 【详解】()144x f x e x -=+-Q ，()140x f x e -'∴=+>，则函数()y f x =为增函数， ()00f <Q ，()10f >，且()10f x =，由零点存在定理知101x <<.()1ln g x x x =-Q ，则()221110x g x x x x+'=+=>，所以，函数()y g x =为增函数， 且()10g <，()12ln 202g =->，又()20g x =，由零点存在定理可知212x <<.()()210f x f ∴>>，()()110g x g <<，因此，()()120g x f x <<，故选：B.【点睛】本题考查函数值符号的判断，同时也考查了函数单调性与零点存在定理的应用，解题的关键就是利用函数的单调性与零点存在定理求出零点的取值范围，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.8．设实数,,a b c 分别满足322,a a +=2log 1b b =，5log 1,c c =则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a b c >> B.b a c >> C.c b a >> D.a c b >>【答案】C【解析】令3()22f x x x =+-，则3()22f x x x =+-在R 上单调递增，且(0)(1)2110f f ⋅=-⨯=-<，即(0,1)a ∈，在同一坐标系中作出251,log ,log y y x y x x===的图象，由图象，得1b c <<，即c b a >>；故选C.点睛：在涉及超越方程的求解问题，往往将其分离成两个基本函数图象的公共点问题，如本题中判定5log 1c c =的根的取值范围，就转化为1y x=和5log y x =的图象交点问题. 9．已知函数()21,2114,15x x f x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，若关于x 的方程()0f x ax -=有两个解，则实数a 的取值范围是（ ） A.650,2252⎛⎤⎡⎫⋃-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，B.650,2252⎛⎫⎡⎤⋃-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， C.{}56,,0,2225⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞⋃- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D.56,,225⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A【解析】关于x 的方程()0f x ax -=有两个解，等价于()y f x =和y ax =有两个交点，如图所示：作出函数()21,2114,15x x f x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩的图象，()2,5A -，()1,2B ，65,5C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，625OC k =，由图可得60,25k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，直线与曲线有两个交点，由图可得过原点的直线与21y x =+有两个交点的临界位置为两者相切时，联立两者方程21y kxy x =⎧⎨=+⎩得：210x kx -+=，由240k =-=解得2k =±，切点坐标为()1,2-和()1,2且52OA k =-，要使直线与抛物线有两个交点，直线的斜率应满足5,22k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，综上可得650,,2252k ⎛⎤⎡⎫∈⋃-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选A.二、填空题10．设复数z 满足)3i z i ⋅=，则z =__________．【答案】1+【解析】分析：根据条件先将z 的表达式求出，再结合复数的四则运算即可.详解：3)13i i z ===+点睛：考查复数的计算，属于基础题.11．6⎛⎝展开式的常数项为 ．（用数字作答）【答案】-160【解析】试题分析：由6662166(1)(2)rrr r r r rr T C C ---+⎛==- ⎝，令620r -=得3r =，所以6⎛ ⎝展开式的常数项为33636(1)(2)160C --=-.【考点】二项式定理.12．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1).【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e . 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 13．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是 ．【答案】【解析】试题分析：由图知，当时，,由得即所以不等式解集为【考点】利用函数性质解不等式14．已知函数32,(),x x m f x x x m ⎧≤=⎨>⎩，，若存在实数a ，使函数g(x)=f(x)-a 有两个零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】()(),01,-∞⋃+∞【解析】由题意得直线y a =和函数()y f x =的图象有两个交点，故函数()y f x =在定义域内不能是单调函数．在同一坐标系内画出函数3y x =和2y x =的图象，结合图象可得所求的结果． 【详解】∵()()g x f x a =-有两个零点， ∴()f x a =有两个零点，即()y f x =与y a =的图象有两个交点， 由32x x =可得，0x =或1x =．①当1m >时,函数()f x 的图象如图所示，此时存在a 满足题意，故1m >满足题意．②当1m =时,由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意． ③当01m <<时,函数()f x 单调递增，故不符合题意．④0m =时,()f x 单调递增，故不符合题意． ⑤当0m <时,函数()y f x =的图象如图所示,此时存在a 使得()y f x =与y a =有两个交点．综上可得0m <或1m >．所以实数m 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞． 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，运用图象进行求解．对于含有参数的问题，要注意分类讨论的方法在解题中的应用，同时还要注意数形结合在解题中的应用．15．函数()()4ln (1)f x kx x x x =+->，若()0f x >的解集为(),s t ，且(),s t 中只有一个整数，则实数k 的取值范围为___________。
2019届天津市高三上学期第一次月考数学试卷(理科)Word版含解析
2019届天津市高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）若复数x满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i2．（4分）设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．13．（4分）α，β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α”是“m⊆β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件4．（4分）函数f（x）=x+sinx（x∈R）（）A．是偶函数且为减函数B．是偶函数且为增函数C．是奇函数且为减函数D．是奇函数且为增函数5．（4分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．7 B．8 C．15 D．166．（4分）若（2x﹣1）＜（3x），则实数x的取值范围（）A．（﹣1，+∞）B．[，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）D．（，+∞）7．（4分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=cos2x B．y=2cos2x C．D．y=2sin2x8．（4分）已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）+f（﹣x）=0，f（x﹣1）=f（x+1），当x∈[0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log12）的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．9．（4分）试画出函数f（x）=ln（x﹣）的大致图象．10．（4分）已知函数f（x）=（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．k≤2 B．﹣1＜k＜0 C．﹣2≤k＜﹣1 D．k≤﹣2二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸上）11．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρcos（θ+）=1的距离是．12．（5分）由直线y=x﹣4，曲线y=及x轴所围成的图形的面积是．13．（5分）已知f（x）是周期为2的偶函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx，设a=f（），b=f（），c=f （），则a，b，c由大到小的顺序为．14．（5分）如图，OA和OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过作⊙O的切线交OA延长线于R，RP=2，则RQ=．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B两点，则线段AB的长为．16．（5分）已知函数f（x）=e x+x2﹣x，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）+f（x2）|≤k恒成立，则k 的取值范围为．三、简答题（本大题共6小，总分30）（请在规定区域内答题）17．（13分）设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．18．（13分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足；（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（13分）已知函数f（x）=2x+k•2﹣x，k∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，求实数k的取值范围．20．（13分）设函数f（x）=（b，c∈N+）．若方程f（x）=x的根为0和2，且f（﹣2）＜﹣（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项均不为零的数列{a n}满足：4S n f（）=1（S n为该数列前n项和），求该数列的通项公式a n．21．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，它的一个焦点坐标为（，0），它的长轴是短轴的倍，直线y=m（m为常数）与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径作圆P，圆心为P．（1）求椭圆C的方程；（2）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（3）设M（x，y）是圆P上的动点，当m变化时，求y的最大值．22．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），（Ⅰ）若a=﹣1，求曲线y=f（x）在处的切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=2x﹣2，若存在x1∈（0，+∞），对于任意x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2），求a的范围．2019届天津市高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）若复数x满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z为（）A．3+5i B．3﹣5i C．﹣3+5i D．﹣3﹣5i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：等式两边同乘2+i，然后化简求出z即可．解答：解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故选A．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力．2．（4分）设集合，B={（x，y）|y=3x}，则A∩B的子集的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：交集及其运算；子集与真子集．专题：数形结合．分析：由题意集合，B={（x，y）|y=3x}，画出A，B集合所表示的图象，看图象的交点，来判断A∩B的子集的个数．解答：解：∵集合，∴为椭圆和指数函数y=3x图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A1、A2，则A∩B的子集应为∅，{A1}，{A2}，{A1，A2}共四种，故选A．点评：此题利用数形结合的思想来求解，主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道不错的题．3．（4分）α，β为平面，m为直线，如果α∥β，那么“m∥α”是“m⊆β”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β”⇒“m∥α”，反之，若“m∥α”，则“m⊆β”不一定成立．由此能求出结果．解答：解：由α，β为平面，m为直线，α∥β，知：“m⊆β”⇒“m∥α”，反之，若“m∥α”，则“m⊆β”不一定成立．∴“m∥α”是“m⊆β”的必要非充分条件．故选B．点评：本题考查平面的性质定理及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（4分）函数f（x）=x+sinx（x∈R）（）A．是偶函数且为减函数B．是偶函数且为增函数C．是奇函数且为减函数D．是奇函数且为增函数考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：根据函数奇偶性的定义，以及导数和函数单调性的关系即可得到结论．解答：解：∵f（x）=x+sinx，∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数．函数的导数f′（x）=1+cosx≥0，则函数f（x）单调递增，为增函数．故选：D．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用导数和单调性之间的关系是解决本题的关键．5．（4分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．7 B．8 C．15 D．16考点：等差数列的性质；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：先根据“4a1，2a2，a3成等差数列”和等差中项的性质得到3者的关系式，然后根据等比数列的性质用a1、q表示出来代入以上关系式，进而可求出q的值，最后根据等比数列的前n项和公式可得到答案．解答：解：∵4a1，2a2，a3成等差数列∴，∴，即∴q=2∴S4===15故选C点评：本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质．属基础题．6．（4分）若（2x﹣1）＜（3x），则实数x的取值范围（）A．（﹣1，+∞）B．[，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）D．（，+∞）考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据y=在定义域上的性质，及根式的意义得出，解不等式组得出范围即可．解答：解：y=在定义域上是增函数，故有，解不等式组得x≥﹣．故选B．点评：本题考查幂函数及其性质，基础题．7．（4分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=cos2x B．y=2cos2x C．D．y=2sin2x考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及三角函数间的关系式即可得到答案．解答：解：令y=f（x）=sin2x，则f（x+）=sin2（x+）=cos2x，再将f（x+）的图象向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y=cos2x+1=2cos2x，故选：B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查升幂公式的应用，属于中档题．8．（4分）已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）+f（﹣x）=0，f（x﹣1）=f（x+1），当x∈[0，1）时，f（x）=3x﹣1，则f（log12）的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．考点：对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）+f（﹣x）=0、f（x﹣1）=f（x+1），判断出函数是奇函数、函数是周期函数并可求出周期，再由奇函数的性质、周期函数的性质、对数的运算律，将f（log12）进行转化到已知区间求值即可．解答：解：由f（x）+f（﹣x）=0得，f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）是定义在R上的奇函数，由f（x﹣1）=f（x+1）得，f（x）=f（x+2），所以f（x）是定义在R上以2为周期的周期函数，则f（log12）=f（﹣）=﹣f（），因为2＜＜3，所以0＜﹣2＜1，因为当x∈[0，1）时，f（x）=3x﹣1，所以f（﹣2）==12×﹣1=，所以f（log12）=﹣f（）=﹣f（﹣2）=﹣，故选：C．点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性的综合应用，以及对数的运算律，解题的关键是判断出利用定义函数的奇偶性、周期性．9．（4分）试画出函数f（x）=ln（x﹣）的大致图象．考点：对数函数的图像与性质．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为（﹣1，0）∪（1，+∞），作出其简图即可．解答：解：函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为（﹣1，0）∪（1，+∞），其图象如下：点评：本题考查了学生的作图能力及对函数的性质的把握，属于中档题．10．（4分）已知函数f（x）=（k∈R），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．k≤2 B．﹣1＜k＜0 C．﹣2≤k＜﹣1 D．k≤﹣2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得|f（x）|=﹣k≥0，进而可得k≤0，作出图象，结合图象可得答案．解答：解：由y=|f（x）|+k=0得|f（x）|=﹣k≥0，所以k≤0，作出函数y=|f（x）|的图象，由图象可知：要使y=﹣k与函数y=|f（x）|有三个交点，则有﹣k≥2，即k≤﹣2，故选D．点评：本题考查根的存在性及个数的判断，作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸上）11．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρcos（θ+）=1的距离是1．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．解答：解：由点P（2，），可得=1，=，∴P．直线ρcos（θ+）=1化为=1，∴．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，属于基础题．12．（5分）由直线y=x﹣4，曲线y=及x轴所围成的图形的面积是．考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：如图所示，联立，解得．直线y=x﹣4与坐标轴的交点分别为B（4，0），C（0，﹣4）．可得由直线y=x﹣4，利用微积分基本定理可得：曲线y=及x轴所围成的图形的面积S=﹣S△OBC．解答：解：如图所示，联立，解得．直线y=x﹣4与坐标轴的交点分别为B（4，0），C（0，﹣4）．∴由直线y=x﹣4，曲线y=及x轴所围成的图形的面积S=﹣S△OBC=﹣=．故答案为：．点评：本题考查了微积分基本定理的应用，属于基础题．13．（5分）已知f（x）是周期为2的偶函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx，设a=f（），b=f（），c=f （），则a，b，c由大到小的顺序为c＜b＜a．考点：奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质；函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性和周期性将函数值进行转化，即可得到结论．解答：解：∵f（x）是周期为2的偶函数，∴b=f（）=f（﹣2）=f（）=f（），c=f（）=f（﹣2）=f（），∵当0＜x＜1时，f（x）=lgx，∴此时函数单调递增，∵，∴f（）＜f（）＜f（），即c＜b＜a，故答案为：c＜b＜a点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和周期性之间的关系，以及对数函数的单调性是解决本题的关键．14．（5分）如图，OA和OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过作⊙O的切线交OA延长线于R，RP=2，则RQ=2．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连接OQ，得△OBQ为等腰三角形，由切线的性质，可得OQ⊥QR，则由等腰的余角相等及对顶角相等，可得∠QPR=∠BQR，即△RPQ为等腰三角形，进而判断出RP、RQ的大小关系．解答：解：连接OQ，如图所示：∵OQ=OB∴∠OQB=∠OBQ∵RQ为圆O的切线，OA⊥OB∴∠BPO=90°﹣∠OBQ，∠BQR=90°﹣∠OQB∴∠BPO=∠QPR=∠BQR，即△RPQ为等腰三角形∴RP=RQ，由题意知RP=2，则RQ=2．故答案为：2．点评：本题考查的知识点是切线的性质，等腰三角形的判定与性质，其中添加辅助线，以帮助分析题目中角与解之间的关系，是解答本题的关键．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ，直线l与曲线C交于A，B两点，则线段AB的长为8．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：把ρsin2θ=4cosθ化为直角坐标方程为y2=4x，直线l的参数方程化为普通方程，联立，再利用弦长公式，即可得出结论．解答：解：由ρsin2θ=4cosθ可得ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x，直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x+y=3，两方程联立可得y2+4y﹣12=0，∴y=﹣6或2，∴|AB|=•|2+6|=8．故答案为：8．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，韦达定理的应用，属于基础题．16．（5分）已知函数f（x）=e x+x2﹣x，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）+f（x2）|≤k恒成立，则k 的取值范围为[2e，+∞）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用．分析：f′（x）=e x+2x﹣1，x∈[﹣1，1]．令g（x）=e x+2x﹣1，利用导数研究函数的单调性极值与最值．对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）+f（x2）|≤k恒成立⇔|2f（x）|max≤k，x∈[﹣1，1]．解答：解：f′（x）=e x+2x﹣1，x∈[﹣1，1]．令g（x）=e x+2x﹣1，则g′（x）=e x+2＞0，x∈[﹣1，1]．∴g（x）在x∈[﹣1，1]单调递增．g（﹣1）=e﹣1﹣3＜0，g（1）=e+1＞0．而g（0）=0．∴当x∈[﹣1，0）时，函数g（x）单调递减；当x∈（0，1]时，函数g（x）单调递增．∴当x=0时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（0）=0．∴f′（x）≥0，∴函数f（x）在x∈[﹣1，1]单调递增．f（﹣1）=2﹣e﹣1，f（1）=e．∴对任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）+f（x2）|≤k恒成立⇔|2f（x）|max≤k，x∈[﹣1，1]．∴k≥2e．∴k的取值范围为[2e，+∞）．故答案为：[2e，+∞）．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、简答题（本大题共6小，总分30）（请在规定区域内答题）17．（13分）设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．考点：正弦函数的定义域和值域；正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：（I）将f（x）=cos（x+π）+2化简，变形后可以用三角函数的有界性求值域．（II）由f（B）=1 求出∠B，利用余弦定理建立关于a的方程求出a．解答：解：（I）f（x）=cos（x+π）+2=cosxcosπ﹣sinxsinπ+cosx+1=﹣cosx﹣sinx+cosx+1=cosx﹣sinx+1=sin（x+）+1因此函数f（x）的值域为[0，2]（II）由f（B）=1 得sin（B+）+1=1，即sin（B+）=0，即B+=0或π，B=或﹣又B是三角形的内角，所以B=由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB即1=a2+3﹣3a，整理a2﹣3a+2=0解得a=1或a=2答：（I）函数f（x）的值域为[0，2]（II）a=1或a=2点评：考查利用三角函数的有界性求值域与利用余弦定理解三角形，属基本题型，用来训练答题者熟练三角恒等变形公式与余弦定理．18．（13分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x 满足；（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：（1）p∧q为真，则p真且q真．分别求出p，q为真命题时x的范围，两者取交集即可．（2）q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．，设A={x|2＜x＜3}，B={x|a＜x＜3a}，则A⊊B，转化为集合关系．解答：解：由x2﹣4ax+3a2＜0，（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a…．（2分）由满足；得2＜x≤3，即q为真时，实数x的取值范围是2＜x≤3，…..…．（4分）（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3…（6分）（Ⅱ）q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．，设A={x|2＜x＜3}，B={x|a＜x＜3a}，则A⊊B，则0＜a≤2，且3a＞3所以实数a的取值范围是1＜a≤2…（12分）点评：本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用．19．（13分）已知函数f（x）=2x+k•2﹣x，k∈R．（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，求实数k的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．专题：综合题．分析：（1）利用函数f（x）=2x+k•2﹣x为奇函数，建立等式，即可求实数k的值；（2）对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，即2x+k•2﹣x＞2﹣x成立，即1﹣k＜22x对任意的x∈[0，+∞）成立，从而可求实数k的取值范围．解答：解：（1）∵函数f（x）=2x+k•2﹣x为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）∴2﹣x+k•2x=﹣（2x+k•2﹣x）∴（1+k）+（k+1）22x=0恒成立∴k=﹣1（2）∵对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，∴2x+k•2﹣x＞2﹣x成立∴1﹣k＜22x对任意的x∈[0，+∞）成立∵y=22x在[0，+∞）上单调递增∴函数的最小值为1∴1﹣k＜1∴k＞0点评：本题考查函数的奇偶性，考查恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性的定义，利用分离参数法求解恒成立问题．20．（13分）设函数f（x）=（b，c∈N+）．若方程f（x）=x的根为0和2，且f（﹣2）＜﹣（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项均不为零的数列{a n}满足：4S n f（）=1（S n为该数列前n项和），求该数列的通项公式a n．考点：数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用．分析：（1）设=x，得（1﹣b）x2+cx+a=0，由，得a=0，b=1+，由此能求出f（x）．（2）由已知得，从而2S n﹣1=，由此能求出a n=﹣n．解答：解：（1）∵f（x）=（b，c∈N+），方程f（x）=x的根为0和2，∴设=x，得（1﹣b）x2+cx+a=0，∴，解得a=0，b=1+，∴f（x）=，f（﹣2）=，解得c＜3，又b，c∈N*，∴c=2，b=2，∴f（x）=，x≠1．（2）由已知得，∴2S n﹣1=，两式相减，得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，∴a n=﹣a n﹣1或a n﹣a n﹣1=﹣1，当n=1时，，∴a1=﹣1，若a n=﹣a n﹣1，则a2=1，这与a n≠1矛盾，∴a n﹣a n﹣1=﹣1，∴a n=﹣n．点评：本题考查函数的解析式的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意函数性质的合理运用．21．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，它的一个焦点坐标为（，0），它的长轴是短轴的倍，直线y=m（m为常数）与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径作圆P，圆心为P．（1）求椭圆C的方程；（2）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（3）设M（x，y）是圆P上的动点，当m变化时，求y的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）可设椭圆C的方程为，可得，，a2=b2+c2，解出即可．（2）联立，解得（x，y）．根据圆P与x轴相切，可得|OA|=|OP|，即可解出．（3）⊙P的方程：x2+（y﹣m）2=3﹣3m2，由题意可得：﹣1＜m＜1，取1＞m≥0，，因此只要求出y=m+的最大值即可．解答：解：（1）∵椭圆C的中心在坐标原点，它的一个焦点坐标为（，0），它的长轴是短轴的倍，可设椭圆C的方程为，∴，，a2=b2+c2，解得a2=3，b2=1，．∴椭圆C的方程为：=1．（2）联立，解得，．∵圆P与x轴相切，∴|OA|=|OP|，∴=|m|，解得m=±．∴P．（3）⊙P的方程：x2+（y﹣m）2=3﹣3m2，由题意可得：﹣1＜m＜1，取1＞m≥0，，∴只要求出y=m+的最大值即可．y′=1﹣=，令y′=0，解得，当时，y′＞0；当m时，y′＜0．∴当m=时，函数y=m+取得极大值即最大值2．点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质，考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R），（Ⅰ）若a=﹣1，求曲线y=f（x）在处的切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=2x﹣2，若存在x1∈（0，+∞），对于任意x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2），求a的范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，代入计算，即可求曲线y=f（x）在处的切线的斜率；（Ⅱ）分类讨论，利用导数的正负，可求f（x）的单调区间；（Ⅲ）分别求出函数的最大值，建立不等式，即可求a的范围．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+lnx，∴（x＞0）若a=﹣1，（Ⅱ）当a≥0，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）为增函数当a＜0，令f′（x）＞0，∴，f′（x）＜0，∴，综上：a≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，﹣），单调减区间为（﹣）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a≥0时，符合题意；当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，﹣），单调减区间为（﹣）∴由题意知，只需满足f（x）max≥g（x）max=g（1）=0，∴，∴综上：点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生的计算能力，属于中档题．。
2019-2020学年天津市南开中学高三(上)第一次月考(文科)数学试题
2019-2020学年天津市南开中学高三（上）第一次月考（文科)数学试题一、单选题1．已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3,5A =， {}2,4B =，则()U A B ⋃=ð（ ）A ．{}0,2,3,4B ．{}4C ．{}1,2,4D ．{}0,2,4 2．函数的定义域为（ ）A ．［-2，2］B ．［-2，0）∪（0，2］C ．（-∞，-2］∪［2，＋∞）D ．（-2，0）∪（0，2） 3．设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << 5．已知函数有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．［-1，0）B ．（1，2］C ．（1，＋∞）D ．（2，＋∞）6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，若对于任意x R ∈， ()()2222f log a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞7．已知函数 ，其导函数为 ，则以下4个命题： ① 的单调减区间是；② 的极小值是-15；③ 有且只有一个零点；④当 时，对任意的 ，恒有 .其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．48．已知定义在R 上的函数 满足 ，且，若关于x 的方程 恰有5个不同的实数根 ， ， ， ， ，则 的取值范围是（ ）A ．（-2，-1）B ．（-1，1）C ．（1，2）D ．（2，3）二、填空题9．设i 是虚数单位，若复数是纯虚数，则a 的值为______． 10．已知数列 的前n 项和为 ，且 ， ， 时， ，则 的通项公式 ______．11．如图，在 中， ， ，D 为BC 边上的点，且 ， ，则______．12．已知数列的前 的前n 项和为 ，数列的的前n 项和为 ，则满足 的最小n 的值为______．13．已知函数()2ln f x x x =-与()22g x x m x=--的图象上存在关于原点对称的点，则实数m 的取值范围是__________．14．已知平面直角坐标内定点 ， ， ， 和动点 ，，若 ，，其中O 为坐标原点，则 的最小值是______．三、解答题15．设函数求函数 的最小正周期． 求函数 的单调递减区间；设A，B，C为的三个内角，若，，且C为锐角，求．16．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：如果随机调查这个班的一名学生，求事件A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率；若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，请用字母代表不同的学生列举出抽取的所有可能结果；在的条件下，求事件B：两名学生中恰有1名男生的概率．17．已知函数．求的对称轴所在直线方程及其对称中心；在中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，，求周长的取值范围．18．已知在时有极值0。
天津市南开中学2020-2021学年高三(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1≤x＜1或2≤x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2≤x＜3}2．（5分）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设a＝ln3，b＝3，c＝3﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD 上，若•＝，则•的值是（）A．2﹣B．1C．D．27．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log354）＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知函数f，若F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点x1，x2，x3，…，x m，则f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝（）A．4042B．4041C．4040D．40399．（5分）若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝（a＞0）存在公切线，则实数a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．11．（5分）（x﹣）6的展开式的常数项是（应用数字作答）．12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x﹣4）＜f（2x﹣3），则实数x的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2（2x+）+3，当x∈[﹣2，2]时，则函数f（x）的最大值与最小值之和是．14．（5分）已知函数f（x）＝的最小值为2m，则实数m的值为．15．（5分）已知m∈R，函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1，若函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（14分）已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx（ω＞0）的周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（2）若x0∈[，]，且f（x0）＝，求sin2x0的值．17．（15分）已知函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）解不等式f（log2x）≥3；（3）若不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．18．（15分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面MPC；（Ⅱ）求二面角Q﹣PM﹣C的正弦值；（Ⅲ）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为，求线段QN的长．19．（15分）已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求a的值．（2）若对于任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：；（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax﹣2＞k（1﹣）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B的补集，再找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即A＝（1，3），由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）＜0，故B的补集对应不等式为：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1 或x≥2，即∁R B＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），则A∩（∁R B）＝[2，3），故选：D．2．【分析】不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．【解答】解：主要考查不等式的性质．当C＝0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选：B．3．【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a＝ln3＞lne＝1，b＝3＜＝0，c＝3﹣2＝，∴a＞c＞b．故选：C．4．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．5．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．6．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x＝1；∴F（1，2），；∴．故选：C．7．【分析】根据题意，由f（x+4）＝f（x）可得函数f（x）是周期为4的周期函数，由此可得f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由3＜log354＜4，则f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），又由f（x）为奇函数，则f（log3）＝﹣f（﹣log3）＝﹣f（log3），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log3）＝＝，则f（log354）＝﹣f（log3）＝﹣，故选：A．8．【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．【解答】解：∵F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点，∴f（x）﹣1＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m个零点，即g（x）＝f（x）﹣1＝与h（x）＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m 个交点，∵T＝＝且h（x）关于原点对称，在区间[﹣1，1]上h（x）max＝1，h（x）min＝﹣1∵g（x）＝f（x）﹣1＝又∴在区间[﹣1，1]上g（x）max＝g（）＝，g（x）min＝g（﹣）＝﹣且g（x）关于原点对称．∵根据g（x）和h（x）函数图象特点易知在h（x）一个周期内，g（x）和h（x）图象有两个交点．∵T＝∴在（0，1]内共有1010个周期，∴g（x）和h（x）图象共有2020个交点，∵g（x）和h（x）图象都关于原点对称，∴g（x）和h（x）图象在[﹣1，0）U（0，1]共有4040个交点，再加上（0，0）这个交点．∵g（x）关于原点对称，设x1，x2为关于原点对称的两个交点横坐标，∴g（x1）+g（x2）＝0，即f（x1）﹣1+f（x2）﹣1＝0，即f（x1）+f（x2）＝2，∴f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝×2+f（0）＝4040+1＝4041．故选：B．9．【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解．再由导数即可进一步求得a的取值范围．【解答】解：y＝x2在点（m，m2）的切线斜率为2m，y＝（a＞0）在点（n，e n）的切线斜率为e n，如果两个曲线存在公共切线，那么：2m＝e n．又由斜率公式得到，2m＝，由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解，由y＝4x﹣4，y＝e x的图象有交点即可．设切点为（s，t），则e s＝4，且t＝4s﹣4＝e s，即有切点（2，4），a＝，故a的取值范围是：a≥．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：由于（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6展开式的常数项为﹣8＝﹣160，故答案为：﹣160．12．【分析】首先判定函数的单调性，然后去掉f（x﹣4）＜f（2x﹣3）中的“f”，从而可求x的范围．【解答】解：f（x）＝ln（x+1）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）≥f（0）＝0，∵f（x﹣4）＜f（2x﹣3）∴0≤x﹣4＜2x﹣3或，解得x≥4或＜x＜4；故实数x的取值范围为：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．13．【分析】利用奇函数最值之和为定值0即可求解．【解答】解：令h（x）＝log2（2x+），由h（﹣x）＝log2（﹣2x+），∴h（﹣x）+h（x）＝0，h（x）是奇函数，而y＝2x+，y＝log2x在（0，+∞）递增，故h（x）在（0，+∞）递增，故h（x）在R递增，则f（x）min＝h（x）min+3，f（x）max＝h（x）max+3∴f（x）min+f（x）max＝h（x）min+3+h（x）max+3＝6，故答案为：6．14．【分析】根据函数的单调性求出函数的最小值，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：x≥0时，f（x）＝2x+1+2m在[0，+∞）递增，f（x）min＝f（0）＝2+2m＞2m，不是最小值，x＜0时，f（x）＝2x2﹣mx，对称轴x＝，m≥0时，f（x）在（﹣∞，0）递减，f（x）＜f（0）＝0，不合题意，m＜0时，f（x）在（﹣∞，）递减，在（，0）递增，故f（x）min＝f（）＝﹣＝2m，解得：m＝﹣16，故答案为：﹣16．15．【分析】由题意画出函数y＝f（x）的图象，令g（x）＝t，可知要使函数y＝f（g（x））﹣m有4个零点，则g（x）与y＝t有4个交点，则函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，再分别讨论m的正负性即可．【解答】解：函数f（x）＝的图象如图：令g（x）＝t，y＝f[g（x）]﹣m＝f（t）﹣m，因为函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，所以函数g（x）与y＝t有4个交点，因为g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1＝（x﹣1）2+2m﹣2≥2m﹣2，所以t≥2m﹣2，故函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，①当m＜0时，y＝m与函数f（t）至多一个交点，故舍去；②当m＝0时，t1＝2，t2＝﹣，满足t1＞t2＞﹣2，故成立；③当m＞0时，要使得函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，则，解得，综上m的取值范围是（）∪{0}，故答案为：（）∪{0}．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式．（2）利用角的变换的应用和和角公式的应用求出结果．【解答】解：（1）f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx＝＝．由于函数的最小正周期为π，所以ω＝2．故．令（k∈Z），解得（k∈Z），故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．（2）由于x0∈[，]，所以，由于f（x0）＝，所以，解得，所以，故．则＝＝．17．【分析】（1）由奇函数的定义知f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出a的值；（2）由a的值写出f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，根据图象判断函数的单调性，把不等式f（log2x）≥3化为0＞log2x≥﹣1，求出解集即可；（3）问题等价于不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立，求出g（x）＝﹣1﹣在x∈[1，2]的最小值，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣＝﹣a+，所以2a＝+＝+2•＝＝﹣2，解得a＝﹣1；（2）a＝﹣1时，f（x）＝﹣1﹣，且2x﹣1≠0，所以x≠0；由函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+）上的奇函数，且在每个区间内单调递增，如图所示；令f（x）＝3，得﹣1﹣＝3，解得x＝﹣1；所以不等式f（log2x）≥3可化为0＞log2x≥﹣1；解得≤x＜1，所以不等式的解集为[，1）．（3）不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，化为不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立；g（x）＝﹣1﹣，x∈[1，2]；由g（x）在x∈[﹣1，2]上是单调减函数，且g（x）min＝﹣1﹣＝﹣3，所以m＜﹣3，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．18．【分析】（Ⅰ）连接EM，证明P ABQ是平行四边形．证明EF∥MC，即可证明EF∥平面MPC．（Ⅱ）建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．求出平面PMQ的法向量，平面MPC的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角Q﹣PM﹣C的正弦值．（Ⅲ）设，即，求出平面PMQ的法向量，利用空间向量的数量积求解λ，推出结果．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接EM，因为AB∥CD，PQ∥CD，所以AB∥PQ，又因为AB＝PQ，所以P ABQ 为平行四边形．由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM∥AB且EM＝AB，因为AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，所以CF∥AB且CF＝AB，可得EM∥CF且EM＝CF，即四边形EFCM为平行四边形，所以EF∥MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，所以EF∥平面MPC．（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．依题意可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），Q （0，1，2），M（1，1，1）.设为平面PMQ的法向量，则，即，不妨设z＝1，可为，设为平面MPC的法向量，则，即，不妨设z＝1，可得.，于是．所以，二面角Q﹣PM﹣C的正弦值为．（Ⅲ）设，即，则N（0，λ+1，2﹣2λ）．从而．由（Ⅱ）知平面PMQ的法向量为，由题意，，即，整理得3λ2﹣10λ+3＝0，解得或λ＝3因为0≤λ≤1所以．所以，．19．【分析】（1）根据题意可得直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，那么切线的斜率为2，根据导数的几何意义可得f′（1）＝2，进而解得a的值．（2）对f（x）求导数，分析单调性，得f（x）的最下值，对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，⇒f（x）最小值大于2（a﹣1）即可解得答案．（3）对g（x）求导分析单调性，若函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，则，解得b的取值范围．【解答】解：（1）直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝﹣+，所以f′（1）＝﹣+＝2，所以a＝4．（2）f′（x）＝﹣+＝，由f′（x）＞0解得x＞，由f′（x）＜0解得0＜x＜，所以f（x）在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减，所以，当x＝时，函数f（x）取得最小值，y min＝f（），因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以f（）＞2（a﹣1）即可，则+aln﹣2＞2（a﹣1），由aln＞a解得0＜a＜．所以a的取值范围是（0，）．（3）依题意得g（x）＝+lnx+x﹣2﹣b，则g′（x）＝，由g′（x）＞0，解得x＞1，由g′（x）＜0，解得0＜x＜1，所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数，又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，即，解得1＜b≤+e﹣1，所以b的取值范围是（1，+e﹣1]．20．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（2）把a＝1代入函数解析式，然后利用分析法把证明，转化为证＜＜．分别令，k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），再由导数证明1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1）得答案；（3）由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，求导后分k≤0和k＞0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【解答】（1）解：∵f′（x）＝，x＞0，∴当a＜0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，）上为增函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上为减函数．综上所述，当a＜0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+1，∴，∴．要证，即证＜＜，∵x2﹣x1＞0，即证＜＜．令，即证＜lnt＜t﹣1（t＞1）．令k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），由（1）知，k（t）在（1，+∞）上单调递减，∴k（t）＜k（1）＝0，即lnt﹣t+1＜0，则lnt＜t﹣1．①令h（t）＝lnt+﹣1（t＞1），则h′（t）＝，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，即lnt＞1﹣（t＞1）．②综①②得：1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1），即；（3）解：由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，则g′（x）＝lnx﹣k，当k≤0时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，由g（1）＝﹣1﹣k+2k＝k﹣1＞0，则k＞1，矛盾．当k＞0时，由lnx﹣k＞0，解得x＞e k，由lnx﹣k＜0，解得1＜x＜e k，故g（x）在（1，e k）上是减函数，在（e k，+∞）上是增函数，∴。
2019-2020学年天津市南开区高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集U＝{1, 2, 3, 4}，集合S＝{1, 2}，T＝{2, 3}，则(∁U S)∩T等于（）A.{2}B.{3}C.{4}D.{2, 3, 4}【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出∁U S，由此能求出(∁U S)∩T的值．【解答】∵全集U＝{1, 2, 3, 4}，集合S＝{1, 2}，T＝{2, 3}，∴∁U S＝{3, 4}，∴(∁U S)∩T＝{3}．2. 命题“∃x0∈(0, +∞)，ln x0=x0−1”的否定是( )A.∀x∈(0, +∞)，ln x≠x−1B.∀x∉(0, +∞)，ln x=x−1C.∃x0∈(0, +∞)，ln x0≠x0−1D.∃x0∉(0, +∞)，ln x0=x0−1【答案】A【考点】命题的否定【解析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈(0, +∞)，ln x0=x0−1”的否定是：∀x∈(0, +∞)，ln x≠x−1．故选A．3. 下列函数中是偶函数，且在(0, +∞)上单调递增的是（）A.y＝x3B.y＝−lg x2C.y＝2xD.y=√|x|【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】A．函数为奇函数，不满足条件．B．函数的定义域为{x|x≠0}，函数为偶函数，当x>0时，y＝−lg x2＝−2lg x为减函数，不满足条件．C．y＝2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．f(−x)＝f(x)，函数为偶函数，当x>0时，y=√x为增函数，满足条件，4. 已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S3+S5>2S4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】化简求解S3+S5>2S4，再判断充要性．【解答】∵等差数列{a n}的公差为d，S3+S5>2S4，∴S3+S4+a5>S3+a4+S4，∴a5−a4＝d>0，则“d>0”是“d>0”的充要条件，5. 设a＝1−20.2，b＝1og3103，c＝lg4，则a，b，c的大小关系是（）A.a<c<bB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a【答案】A【考点】对数值大小的比较【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】∵20.2>20＝1，∴a<0，∵log3103>log33＝1，∴b>1，∵lg1<lg4<lg10，∴0<c<1，∴a<c<b，6. 过点A(−1, 0)，斜率为k的直线，被圆(x−1)2+y2=4截得的弦长为2√3，则k的值为（）A.±√33B.√33C.±√3D.√3【答案】A【考点】直线和圆的方程的应用点到直线的距离公式【解析】设直线方程为y=k(x+1)，利用圆(x−1)2+y2=4截得的弦长为2√3，求出圆心到直线的距离为1，即可得出结论．【解答】解：设直线方程为y=k(x+1)，即kx−y+k=0，∵圆(x−1)2+y2=4截得的弦长为2√3，∴圆心到直线的距离为√4−3=1，∴√k2+1=1，∴k=±√33．故选：A．7. 函数y＝sinπx6−√3cosπx6(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为（）A.−1−√3B.−1C.0D.2−√3【答案】D【考点】三角函数的最值【解析】化函数y为正弦型函数，根据x的取值范围即可求出y的最大值与最小值之和即可．【解答】函数y＝sinπx6−√3cosπx6＝2(12sinπx6−√32cosπx6)＝2sin(πx6−π3)，由0≤x≤9，得−π3≤πx6−π3≤7π6，所以−√32≤sin(πx6−π3)≤1，所以y的最大值为2，最小值为−√3，所以y的最大值与最小值之和为2−√3．8. 已知点A(2, 0)，抛物线C:x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|:|MN|＝（）A.2:√5B.1:2C.1:√5D.1:3【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=−12．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=12，从而得到|PN|＝2|PM|，进而算出|MN|=√5|PM|，由此即可得到|FM|:|MN|的值．【解答】∵抛物线C:x2＝4y的焦点为F(0, 1)，点A坐标为(2, 0)∴抛物线的准线方程为l:y＝−1，直线AF的斜率为k=0−12−0=−12，过M 作MP ⊥l 于P ，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM| ∵ Rt △MPN 中，tan ∠MNP ＝−k =12，∴|PM||PN|=12，可得|PN|＝2|PM|，得|MN|=√|PN|2+|PM|2=√5|PM|因此，|PM||MN|=√5，可得|FM|:|MN|＝|PM|:|MN|＝1:√59. 四边形ABCD 中，BC ＝1，AC ＝2，∠ABC ＝90∘，∠ADC ＝90∘，则AC →⋅BD →的取值范围是（ ） A.[−1, 3] B.(−3, −1)C.[−3, 1]D.[−√3,√3]【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据题意，以点O 为原点，以直线BA 为x 轴，建立平面直角坐标系，根据条件可得出B(0,0),C(0,1),A(√3,0)，设D(x, y)，从而可求出AD →,CD →的坐标，根据条件可得出AD →⋅CD →=x 2−√3x +y 2−1=0，从而得出(x −√32)2+(y −12)2=1，从而可设x =√32+cos θ,y =12+sin θ，从而可得出AC →⋅BD →=2sin (θ−π3)−1，从而可得出AC →⋅BD →的取值范围．【解答】如图，以点B 为原点，直线BA 为x 轴，建立平面直角坐标系，则： B(0,0),C(0,1),A(√3,0)，设D(x, y)，∴ AD →=(x −√3,y),CD →=(x,y −1)，AC →=(−√3,1),BD →=(x,y)， ∵ ∠ADC ＝90∘， ∴ AD →⊥CD →，∴ AD →⋅CD →=x 2−√3x +y 2−1=0， ∴ (x −√32)2+(y −12)2=1，∴ 设x =√32+cos θ,y =12+sin θ，∴ BD →=(√32+cos θ,12+sin θ)，∴ AC →⋅BD →=−√3cos θ+sin θ−1=2sin (θ−π3)−1， ∵ −1≤sin (θ−π3)≤1， ∴ AC →⋅BD →的取值范围为[−3, 1]．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。
天津市南开中学2019届高三上第一次月考数学试卷(理科)(解析版)
天津市南开中学2019届高三上第一次月考数学试卷（理科）（解析版）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．做图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：集合，，．故选：C．先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.已知命题p：，，命题q：，，则下列说法中正确的是A. 命题是假命题B. 命题是真命题C. 命题￢是真命题D. 命题￢是假命题【答案】C【解析】解：，，故命题p为真命题；当时，，故命题q为假命题，故命题是真命题，命题是假命题，命题￢是真命题，命题￢是真命题，故选：C．先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，得到答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，特称命题等知识点，难度中档．3.已知函数，则A. 4B.C.D.【答案】B【解析】解：，，故选：B．由分段函数及复合函数知，从内向外依次代入求值即可．本题考查了分段函数与复合函数的应用及学生的化简运算能力的应用．4.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】B【解析】解：函数，，故排除C，D，，，故排除A，故选：B当时，，，故选：B．利用特殊值排排除即可本题考了函数的图象的识别，排除是关键，属于基础题5.在下列那个区间必有零点A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，，，，，，在单调递减，在单调递增．，，在内存在零点，故选：C．求解，运用导数判断在单调递减，在单调递增，根据零点存在性定理得出，，在内存在零点．本题考查了函数的单调性，运用导数判断，零点问题，属于中档题，难度不大．6.已知函数，，则的值域是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为，所以，，则，即．则函数的值域为，故选：B．根据对数函数的性质结合函数值域的对应进行求解即可．本題考查函数的值域，考查运算求解能力结合对数函数的运算性质是解决本题的关键．7.已知函数在处的切线倾斜角为，则A. B. C. 0 D. 3【答案】C【解析】解：函数的导数，又在处的切线倾斜角为，可得，即，故选：C．求得的导数，可得切线的斜率，由斜率的几何意义，可得所求值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8.已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，若在上不单调，令，则函数与x轴在有交点，时，显然不成立，时，只需，解得：或，因为题目要求充分不必要，因此只有D选项符合要求，故选：D．求出函数的导数，问题转化为函数与x轴在有交点，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质判断即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．9.如图，若在矩阵OABC中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：矩形，，，阴影故豆子落在图中阴影部分的概率为，故选：A．分别求出矩形和阴影部分的面积即可求出豆子落在图中阴影部分的概率．本题简单的考查了几何概率的求解，属于容易题，难度不大，正确求面积是关键．10.已知函数为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数，数列为等差数列，且公差不为0，若，则A. 45B. 15C. 10D. 0【答案】A【解析】解：根据题意，函数为定义域R上的奇函数，则有，，若，即，即，，又由为定义域R上的奇函数，且在R上是单调函数，是9项的和且和为0，必有，则有，即，在等差数列中，，即，则；故选：A．根据题意，由奇函数的性质可得，又由且，可得，结合等差数列的性质可得，进而可得，即，进而计算可得答案．本题考查函数的奇偶性的应用，涉及等差数列的性质以及应用，属于中档题．11.设是函数的导函数，且，为自然对数的底数，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：构造，则，，，在定义域内单调递增，又，则不等式，化为，即，，则，得，综上，不等式的解集为．故选：A．由题意，构造函数，利用导数可得在定义域内单调递增，把不等式转化为，利用单调性求解．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是关键，是中档题．12.对于函数和，设，，若存在、，使得，则称与互为“零点关联函数”若函数与互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】C的零点为．设的零点为，若函数与互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则，，如图．由于必过点，故要使其零点在区间上，则或，解得，故选：C．先得出函数的零点为再设的零点为，根据函数与互为“零点关联函数”，及新定义的零点关联函数，有，从而得出的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可．本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合2，，，若，则非零实数m的数值是______．【答案】2【解析】解：集合2，，，，或或，解得．非零实数m的数值是2．故答案为：2．利用元素与集合的关系及集合中元素的互异性能求出非零实数m的数值．本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系及集合中元素的互异性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是______．【答案】【解析】解：例如，尽管对任意的都成立，当上为增函数，在为减函数，故答案为：．本题答案不唯一，符合要求即可．本题考查了函数的单调性，属于基础题．15.设函数在区间上的值域是，则的取值的范围是______．【答案】【解析】解：令解得或，令得．又在上单调递增，在上单调递减，当，时，取得最小值0，当，时，取得最大值4．故答案为．分别求出和的解，根据的单调性得出的最值．本题考查了二次函数的性质，属于中档题．16.若函数在处取得极小值，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：，由于函数在处取得极小值，则显然成立，令，由于是函数的极小值点，则左边附近，，即；在右边附近，，即．则，则，解得，故答案为：．令，将函数在处取得极小值，转化为，从而实数m 的取值范围．本题考察导数与函数的极值，将极小值点进行转化，是解本题的关键，属于中等题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，集合．求集合A；若，求实数a的取值范围．【答案】解：由，得，．，，，由，得，所以或所以a的范围为，．【解析】通过解分式不等式求得集合A；求得，根据，则，利用数轴确定a满足的条件，从而求出a 的取值范围．本题主要考查了集合的运算，考查了集合的包含关系中参数的取值范围，体现了数形结合思想．18.已知命题p：，．若p为真命题，求实数m的取值范围；若有命题q：，，当为真命题且为假命题时，求实数m的取值范围．【答案】解：，，时不成立．且，解得．为真命题时，．对于命题q：，，，又时，，．为真命题且为假命题时，真q假或p假q真，当p假q真，有，解得；当p真q假，有，解得；为真命题且为假命题时，或．【解析】根据二次函数的性质求出p为真时m的范围即可；，，时不成立可得且，解得m范围对于命题q：，，根据时，利用函数的单调性即可得出由为真命题且为假命题时，可得p 真q假或p假q真．本题考查了函数与不等式的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知函数在处有极值．求常数a、b；求曲线与x轴所包围的面积．【答案】解：，由及得：，解得；由知当或时，，当或时，，曲线与x轴所包围的面积：．【解析】求导函数，利用函数在处有极值，建立方程组，即可求得a，b的值；确定函数的积分区间，被积函数，再求出原函数，即可求得结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查利用定积分求面积，正确求导是关键．20.已知函数．求函数的单调区间；求函数的极值；求函数在区间上的最大值与最小值．【答案】解：，，由，得或．由，得，函数的单调增区间为，，单调减区间为；由可得，函数在，上单调递增，在上单调递减单调递减．当时，有极大值，且极大值为；当时，有极小值，且极小值为；由知，函数在上单调递减，在上单调递增，函数的最小值为，又，，函数在上的最小值为，最大值为4．【解析】求出原函数的导函数，由导函数大于0求得x的范围可得原函数的增区间，由导函数小于0求得x的范围可得原函数的减区间；由可得原函数的单调性，从而得到极值点，进一步求得极值；由知，函数在上单调递减，在上单调递增，然后求出极值与端点值，比较得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数在闭区间上的最值，是中档题．21.已知函数．当时，求的单调增区间；若在上是增函数，求a得取值范围．【答案】解：当时，；，由得，或，故所求的单调增区间为，；，在上是增函数，在上恒成立，即恒成立，当且仅当时取等号所以，当时，易知在上也是增函数，所以．【解析】求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可；已知在区间上是增函数，即在区间上恒成立，然后用分离参数求最值即可．本题考查利用导数研究函数的单调性和二次函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．22.已知函数，其中．Ⅰ设是的导函数，讨论的单调性；Ⅱ证明：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解．【答案】解：函数，其中可得：．，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．证明：由，解得，令，则，，存在，使得，令，其中，由，可得：函数在区间上单调递增．，即，当时，有，．再由可知：在区间上单调递增，当时，，；当时，，；又当，．故当时，恒成立．综上所述：存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解．【解析】函数，其中可得：，可得，分别解出，，即可得出单调性．由，可得，代入可得：，利用函数零点存在定理可得：存在，使得，令，再利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．第11页，共11页。
2019-2020学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案解析）
2019-2020学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案解析）2019-2020学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1. 集合A ={x|x 2?x ?2≤0}，B ={x|x ?1<0}，则A ∪B =( )A. {x|x <1}B. {x|?1≤x <1}C. {x|x ≤2}D. {x|?2≤x <1}2. 定义域为[a,b]的函数y =f(x)图像的两个端点为A 、B ，向量ON =λOA ????? +(1?λ)OB，M(x,y)是f(x)图像上任意一点，其中x =λa +(1?λ)b ，若不等式|MN |≤k 恒成立，则称函数f(x)在[a,b]上满足“k 范围线性近似”，其中最小正实数k 称为该函数的线性近似阈值.若函数y =2x 定义在[1,2]上，则该函数的线性近似阈值是( )A. 2?√2B. 3?2√2C. 3+2√2D. 2+√23. 把函数y =sin(x +φ)(0<φ<π)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位长度，所得图象过点(π4,0)，则φ=A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6 4. 设a =sin2，b =log 0.3π，c =40.5，则( )A. b <c<="" bdsfid="125" p=""><c<="" bdsfid="127" p="">B. a <c<="" bdsfid="128" p=""><c<="" bdsfid="130" p=""><c<="" bdsfid="131" p="">C.c <c<="" bdsfid="132" p=""><b<="" bdsfid="133" p=""><c<="" bdsfid="135" p=""><b<="" bdsfid="136" p="">D. b <a<="" bdsfid="137" p=""><c<="" bdsfid="139" p=""><b<="" bdsfid="140" p="">5. 已知sinα=2<c<="" bdsfid="142" p=""><b<="" bdsfid="143" p="">3,则cos(3π?2α)等于( )<c<="" bdsfid="145" p=""><b<="" bdsfid="146" p="">A. ?√5<c<="" bdsfid="148" p=""><b<="" bdsfid="149" p="">3<c<="" bdsfid="151" p=""><b<="" bdsfid="152" p="">B. 1<c<="" bdsfid="154" p=""><b<="" bdsfid="155" p="">9 C. ?1<c<="" bdsfid="157" p=""><b<="" bdsfid="158" p="">9 D. √53<c<="" bdsfid="160" p=""><b<="" bdsfid="161" p="">6. 设函数y =f(x)是奇函数，若f(?2)+f(?3)?1=f(2)+f(3)+2，则f(2)+f(3)=( )<c<="" bdsfid="163" p=""><b<="" bdsfid="164" p="">A. 1<c<="" bdsfid="166" p=""><b<="" bdsfid="167" p="">B. 3<c<="" bdsfid="169" p=""><b<="" bdsfid="170"p="">C. ?1<c<="" bdsfid="172" p=""><b<="" bdsfid="173" p="">D. ?3<c<="" bdsfid="175" p=""><b<="" bdsfid="176" p="">7. 一个边长为6的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖<c<="" bdsfid="178" p=""><b<="" bdsfid="179" p="">方盒．当无盖方盒的容积V 最大时，x 的值为( )<c<="" bdsfid="181" p=""><b<="" bdsfid="182" p="">A. 3<c<="" bdsfid="184" p=""><b<="" bdsfid="185" p="">B. 2<c<="" bdsfid="187" p=""><b<="" bdsfid="188" p="">C. 1<c<="" bdsfid="190" p=""><b<="" bdsfid="191" p="">D. 1<c<="" bdsfid="193" p=""><b<="" bdsfid="194" p="">6<c<="" bdsfid="196" p=""><b<="" bdsfid="197" p="">8. 已知函数f(x)={(1<c<="" bdsfid="199" p=""><b<="" bdsfid="200" p="">2)x ,x ≤1?x 2+4x ?5<c<="" bdsfid="202" p=""><b<="" bdsfid="203" p="">2<c<="" bdsfid="205" p=""><b<="" bdsfid="206" p="">,x >1<c<="" bdsfid="208" p=""><b<="" bdsfid="209" p="">，若函数g(x)=3<c<="" bdsfid="211" p=""><b<="" bdsfid="212" p="">2x ?a ，其中a ∈R ，若函数y =f(x)?g(x)恰有3个零点，则实数a 的取值范围是( )<c<="" bdsfid="214" p=""><b<="" bdsfid="215" p="">A. (0,15<c<="" bdsfid="217" p=""><b<="" bdsfid="218" p="">16)<c<="" bdsfid="220" p=""><b<="" bdsfid="221" p="">B. (15<c<="" bdsfid="223" p=""><b<="" bdsfid="224" p="">16,1)<c<="" bdsfid="226" p=""><b<="" bdsfid="227" p="">C. (1,16<c<="" bdsfid="229" p=""><b<="" bdsfid="230" p="">15)<c<="" bdsfid="232" p=""><b<="" bdsfid="233" p="">D. (1,5<c<="" bdsfid="235" p=""><b<="" bdsfid="236" p="">4)<c<="" bdsfid="238" p=""><b<="" bdsfid="239" p="">9. 将函数f (x )=sin (2x +π<c<="" bdsfid="241" p=""><b<="" bdsfid="242" p="">6)的图象向左平移π<c<="" bdsfid="244" p=""><b<="" bdsfid="245" p="">6个单位，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的<c<="" bdsfid="247" p=""><b<="" bdsfid="248" p="">是( )<c<="" bdsfid="250" p=""><b<="" bdsfid="251" p="">A. 直线x =π<c<="" bdsfid="253" p=""><b<="" bdsfid="254" p="">2是g(x)的图象的一条对称轴<c<="" bdsfid="256" p=""><b<="" bdsfid="257"p="">B. g (π6)=√32<c<="" bdsfid="259" p=""><b<="" bdsfid="260" p=""> <c<="" bdsfid="262" p=""><b<="" bdsfid="263" p="">C. g(x)的周期为2π<c<="" bdsfid="265" p=""><b<="" bdsfid="266" p="">D. g(x)为奇函数<c<="" bdsfid="268" p=""><b<="" bdsfid="269" p="">二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）<c<="" bdsfid="271" p=""><b<="" bdsfid="272" p="">10.若复数1+i<c<="" bdsfid="274" p=""><b<="" bdsfid="275" p="">z<c<="" bdsfid="277" p=""><b<="" bdsfid="278" p="">=1?i，则|z|=____．<c<="" bdsfid="280" p=""><b<="" bdsfid="281" p="">11.已知角α满足tanα?1<c<="" bdsfid="283" p=""><b<="" bdsfid="284" p="">tanα+1=?1<c<="" bdsfid="286" p=""><b<="" bdsfid="287" p="">3<c<="" bdsfid="289" p=""><b<="" bdsfid="290" p="">，则sinαcosα=__________．<c<="" bdsfid="292" p=""><b<="" bdsfid="293" p="">12.设函数f(x)=e x sin x的图像在点(0,0)处的切线与直线x+my+1=0平行，则m=____.<c<="" bdsfid="295" p=""><b<="" bdsfid="296" p="">13.已知函数f(x)=|lnx|，实数m,n满足0<m< bdsfid="297" p=""></m<><c<="" bdsfid="299" p=""><b<="" bdsfid="300" p="">大值是2，则np="">m<c<="" bdsfid="305" p=""><b<="" bdsfid="306" p="">的值为__________．<c<="" bdsfid="308" p=""><b<="" bdsfid="309" p="">14.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现<c<="" bdsfid="311" p=""><b<="" bdsfid="312" p="">从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则ξ的数学期望Eξ=______ ．<c<="" bdsfid="314" p=""><b<="" bdsfid="315" p="">15.设函数f(x)=sin2x?√3cosxcos(x+π<c<="" bdsfid="317" p=""><b<="" bdsfid="318" p="">2)，则函数f(x)在区间[0,π<c<="" bdsfid="320" p=""><b<="" bdsfid="321" p="">2<c<="" bdsfid="323" p=""><b<="" bdsfid="324" p="">]上的单调增区间为_________．<c<="" bdsfid="326" p=""><b<="" bdsfid="327" p="">三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）<c<="" bdsfid="329" p=""><b<="" bdsfid="330" p="">16.已知tan(π<c<="" bdsfid="332" p=""><b<="" bdsfid="333" p="">4<c<="" bdsfid="335" p=""><b<="" bdsfid="336" p="">+α)=3，且α为锐角．<c<="" bdsfid="338" p=""><b<="" bdsfid="339" p="">(1)求tanα的值；<c<="" bdsfid="341" p=""><b<="" bdsfid="342" p="">(2)求sin(α+πp="">6<c<="" bdsfid="347" p=""><b<="" bdsfid="348" p="">)的值．<c<="" bdsfid="350" p=""><b<="" bdsfid="351" p="">17.设函数f(x)=1<c<="" bdsfid="353" p=""><b<="" bdsfid="354" p="">2<c<="" bdsfid="356" p=""><b<="" bdsfid="357" p="">ax2?1?lnx，其中a∈R.<c<="" bdsfid="359" p=""><b<="" bdsfid="360" p="">(1)若a=0，求过点(0,?1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程；<c<="" bdsfid="362" p=""><b<="" bdsfid="363" p="">(2)若函数f(x)有两个零点x1，x2.①求a的取值范围；②求证：f′(x1)+f′(x2)<0．<c<="" bdsfid="365" p=""><b<="" bdsfid="366" p="">18. 已知函数f(x)=sinωx +√3cosωx 的最小正周期为π，x ∈R ，ω>0是常数．<c<="" bdsfid="368" p=""><b<="" bdsfid="369" p="">(1)求ω的值； (2)若f(θ<c<="" bdsfid="371" p=""><b<="" bdsfid="372" p="">2+<c<="" bdsfid="374" p=""><b<="" bdsfid="375" p="">π12<c<="" bdsfid="377" p=""><b<="" bdsfid="378" p="">)=65<c<="" bdsfid="380" p=""><b<="" bdsfid="381" p="">，θ∈(0,π<c<="" bdsfid="383" p=""><b<="" bdsfid="384" p="">2)，求sin2θ．<c<="" bdsfid="389" p=""><b<="" bdsfid="390" p="">19. 已知离心率为√<c<="" bdsfid="392" p=""><b<="" bdsfid="393" p="">6<c<="" bdsfid="395" p=""><b<="" bdsfid="396" p="">3<c<="" bdsfid="398" p=""><b<="" bdsfid="399" p="">的椭圆x 2<c<="" bdsfid="401" p=""><b<="" bdsfid="402" p="">a 2+y 2<c<="" bdsfid="404" p=""><b<="" bdsfid="405" p="">b 2=1(a >b >0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A,B 两点，|AB |=2√3<c<="" bdsfid="407" p=""><b<="" bdsfid="408" p="">3<c<="" bdsfid="410" p=""><b<="" bdsfid="411" p="">． (1)求此椭圆的方程；<c<="" bdsfid="413" p=""><b<="" bdsfid="414" p="">(2)已知直线y =kx +2与椭圆交于C,D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (?1,0)，求k 的值．<c<="" bdsfid="416" p=""><b<="" bdsfid="417" p=""> <c<="" bdsfid="419" p=""><b<="" bdsfid="420" p="">20. 已知函数f(x)=xlnx ．<c<="" bdsfid="422" p=""><b<="" bdsfid="423" p="">(1)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间；<c<="" bdsfid="425" p=""><b<="" bdsfid="426" p="">(3)若对于任意x ∈[1<c<="" bdsfid="428" p=""><b<="" bdsfid="429"p="">e ,e]，都有f(x)≤ax ?1，求实数a 的取值范围．<c<="" bdsfid="431" p=""><b<="" bdsfid="432" p=""> <c<="" bdsfid="434" p=""><b<="" bdsfid="435" p=""> <c<="" bdsfid="437" p=""><b<="" bdsfid="438" p="">-------- 答案与解析 --------<c<="" bdsfid="440" p=""><b<="" bdsfid="441" p="">1.答案：C<c<="" bdsfid="443" p=""><b<="" bdsfid="444" p="">解析：解：∵集合A ={x|x 2?x ?2≤0}={x|?1<=""><c<="" bdsfid="447" p=""><b<="" bdsfid="448" p="">先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∪B ．<c<="" bdsfid="450" p=""><b<="" bdsfid="451" p="">本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．<c<="" bdsfid="453" p=""><b<="" bdsfid="454" p="">2.答案：B<c<="" bdsfid="456" p=""><b<="" bdsfid="457" p="">解析：【分析】<c<="" bdsfid="459" p=""><b<="" bdsfid="460" p="">本题考查了对即时定义的理解及重要不等式，属较难题．<c<="" bdsfid="462" p=""><b<="" bdsfid="463" p="">先阅读理解定义，做出y =2<c<="" bdsfid="465" p=""><b<="" bdsfid="466" p="">x 在闭区间图像和端点，利用题目中的等式得到M ，N 横坐标相等，从而可以用x 表示|MN |，从而问题转化为求闭区间上的最值问题．【解答】<c<="" bdsfid="468" p=""><b<="" bdsfid="469" p="">解：作出函数y =2<c<="" bdsfid="471" p=""><b<="" bdsfid="472" p="">x 图像，<c<="" bdsfid="474" p=""><b<="" bdsfid="475" p="">它的图象在[1,2]上的两端点分别为：A (1,2)，B (2,1)，所以直线AB 的方程为：x +y ?3=0，设M (x,y )是曲线y =2x 上的一点，x ∈[1,2]，其中x =λ×1+(1?λ)×2，<c<="" bdsfid="477" p=""><b<="" bdsfid="478" p="">由ON =λOA ????? +(1?λ)OB ，可知A,B,N 三点共线，所以N 点的坐标满足直线AB 的方程x +y ?3=0，又OA =(1,2)，OB<c<="" bdsfid="480" p=""><b<="" bdsfid="481" p=""> =(2,1)，则ON<c<="" bdsfid="483" p=""><b<="" bdsfid="484" p=""> =(λ+2(1?λ),2λ+(1?λ))，所以M,N 两点的横坐标相等.故|MN |=|2<c<="" bdsfid="486" p=""><b<="" bdsfid="487" p="">x ?(3?x )|，函数y =2<c<="" bdsfid="489" p=""><b<="" bdsfid="490" p="">x 在[1,2]上满足“k 范围线性近似”，所以x ∈[1,2]时，|2 <c<="" bdsfid="492" p=""><b<="" bdsfid="493" p="">x ?(3?x )|≤k 恒成立，即：|2<c<="" bdsfid="495" p=""><b<="" bdsfid="496" p="">x ?(3?x )|<c<="" bdsfid="498" p=""><b<="" bdsfid="499" p="">max ≤k 恒成立，<c<="" bdsfid="501" p=""><b<="" bdsfid="502" p="">记y=2<c<="" bdsfid="504" p=""><b<="" bdsfid="505" p="">x ?(3?x)，整理得：y=2<c<="" bdsfid="507" p=""><b<="" bdsfid="508" p="">x<c<="" bdsfid="510" p=""><b<="" bdsfid="511"p="">+x?3，x∈[1,2]，<c<="" bdsfid="513" p=""><b<="" bdsfid="514" p="">y=2<c<="" bdsfid="516" p=""><b<="" bdsfid="517" p="">x +x?3≥2√2<c<="" bdsfid="519" p=""><b<="" bdsfid="520" p="">x<c<="" bdsfid="522" p=""><b<="" bdsfid="523" p="">×x?3=2√2?3，当且仅当x=√2时，等号成立，<c<="" bdsfid="525" p=""><b<="" bdsfid="526" p="">当x=1时，y=2<c<="" bdsfid="528" p=""><b<="" bdsfid="529" p="">1<c<="" bdsfid="531" p=""><b<="" bdsfid="532" p="">+1?3=0，则x∈[1,2]时，<c<="" bdsfid="534" p=""><b<="" bdsfid="535" p="">所以2√2?3≤y≤0，所以|2<c<="" bdsfid="537" p=""><b<="" bdsfid="538" p="">x ?(3?x)|<c<="" bdsfid="540" p=""><b<="" bdsfid="541" p="">max<c<="" bdsfid="543" p=""><b<="" bdsfid="544" p="">=3?2√2，<c<="" bdsfid="546" p=""><b<="" bdsfid="547" p="">即：3?2√2≤k所以该函数的线性近似阈值是：3?2√2，<c<="" bdsfid="549" p=""><b<="" bdsfid="550" p="">故选：B．<c<="" bdsfid="552" p=""><b<="" bdsfid="553" p="">3.答案：D<c<="" bdsfid="555" p=""><b<="" bdsfid="556" p="">解析：<c<="" bdsfid="558" p=""><b<="" bdsfid="559" p="">【分析】<c<="" bdsfid="561" p=""><b<="" bdsfid="562" p="">本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．由题意，根据三角函数图像变换规律，可得变换后的图像对应解析式，再由(π<c<="" bdsfid="564" p=""><b<="" bdsfid="565" p="">4<c<="" bdsfid="567" p=""><b<="" bdsfid="568" p="">,0)点在函数图像上，求解φ．<c<="" bdsfid="570" p=""><b<="" bdsfid="571" p="">【解答】<c<="" bdsfid="573" p=""><b<="" bdsfid="574" p="">解：函数y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 <c<="" bdsfid="576" p=""><b<="" bdsfid="577" p="">2<c<="" bdsfid="579" p=""><b<="" bdsfid="580" p="">倍，得到y=sin(2x+φ)的图象，<c<="" bdsfid="582" p=""><b<="" bdsfid="583" p="">再将其图象向右平移π<c<="" bdsfid="585" p=""><b<="" bdsfid="586" p="">6个单位，可得y=sin[2(x?π<c<="" bdsfid="588" p=""><b<="" bdsfid="589" p="">6<c<="" bdsfid="591" p=""><b<="" bdsfid="592" p="">)+φ]=sin(2x?π<c<="" bdsfid="594" p=""><b<="" bdsfid="595" p="">3<c<="" bdsfid="597" p=""><b<="" bdsfid="598"p="">+φ)的图象，<c<="" bdsfid="600" p=""><b<="" bdsfid="601" p="">∵所得图象过点(π<c<="" bdsfid="603" p=""><b<="" bdsfid="604" p="">4,0)，∴2π<c<="" bdsfid="606" p=""><b<="" bdsfid="607" p="">4<c<="" bdsfid="609" p=""><b<="" bdsfid="610" p="">?π<c<="" bdsfid="612" p=""><b<="" bdsfid="613" p="">3<c<="" bdsfid="615" p=""><b<="" bdsfid="616" p="">+φ=kπ，k∈Z，<c<="" bdsfid="618" p=""><b<="" bdsfid="619" p="">∵0<φ<π，∴φ=5π<c<="" bdsfid="621" p=""><b<="" bdsfid="622" p="">6<c<="" bdsfid="624" p=""><b<="" bdsfid="625" p="">．<c<="" bdsfid="627" p=""><b<="" bdsfid="628" p="">故选D．<c<="" bdsfid="630" p=""><b<="" bdsfid="631" p="">4.答案：A<c<="" bdsfid="633" p=""><b<="" bdsfid="634" p="">解析：<c<="" bdsfid="636" p=""><b<="" bdsfid="637" p="">【分析】<c<="" bdsfid="639" p=""><b<="" bdsfid="640" p="">本题考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．<c<="" bdsfid="642" p=""><b<="" bdsfid="643" p="">容易得出0<sin2<1,?log0.3π1，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】</sin2<1,?log0.3π<c<="" bdsfid="646" p=""><b<="" bdsfid="647" p="">解：∵0<sin2<1，log0.3π40=1，</sin2<1，log0.3π<c<="" bdsfid="650" p=""><b<="" bdsfid="651" p="">∴b<a<c．< bdsfid="652" p=""></a<c．<><c<="" bdsfid="654" p=""><b<="" bdsfid="655" p="">故选：A．<c<="" bdsfid="657" p=""><b<="" bdsfid="658" p="">5.答案：C<c<="" bdsfid="660" p=""><b<="" bdsfid="661" p="">解析：解：∵sinα=2<c<="" bdsfid="663" p=""><b<="" bdsfid="664" p="">3<c<="" bdsfid="666" p=""><b<="" bdsfid="667" p="">，<c<="" bdsfid="669" p=""><b<="" bdsfid="670" p="">∴cos(3π?2α)=cos[2π+(π?2α)]<c<="" bdsfid="672" p=""><b<="" bdsfid="673" p="">=cos(π?2α)=?cos2α=?(1?2sin2α)<c<="" bdsfid="675" p=""><b<="" bdsfid="676" p="">=?1+2×4<c<="" bdsfid="678" p=""><b<="" bdsfid="679" p="">9=?1<c<="" bdsfid="681" p=""><b<="" bdsfid="682" p="">9<c<="" bdsfid="684" p=""><b<="" bdsfid="685" p="">．<c<="" bdsfid="687" p=""><b<="" bdsfid="688" p="">故选：C．<c<="" bdsfid="690" p=""><b<="" bdsfid="691" p="">把所求式子中的角3π?2α变形为2π+(π?2α)，利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，将sinα的值代入即可求出值．<c<="" bdsfid="693" p=""><b<="" bdsfid="694" p="">此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键．<c<="" bdsfid="696" p=""><b<="" bdsfid="697" p="">6.答案：C<c<="" bdsfid="699" p=""><b<="" bdsfid="700" p="">解析：∵函数y=f(x)是奇函数，∴f(?2)=?f(2)，f(?3)=?f(3)，∴?f(2)?f(3)?1=f(2)+ f(3)+1，∴f(2)+f(3)=?1．<c<="" bdsfid="702" p=""><b<="" bdsfid="703" p="">7.答案：C<c<="" bdsfid="705" p=""><b<="" bdsfid="706" p="">解析：解：设无盖方盒的底面边长为a，则a=6?2x，<c<="" bdsfid="708" p=""><b<="" bdsfid="709" p="">则无盖方盒的容积为：V(x)=x(6?2x)2．<c<="" bdsfid="711" p=""><b<="" bdsfid="712" p="">得V′(x)=12x2?48x+36．<c<="" bdsfid="714" p=""><b<="" bdsfid="715" p="">令V′(x)=12x2?48x+36>0，<c<="" bdsfid="717" p=""><b<="" bdsfid="718" p="">解得x<1或x>3；<c<="" bdsfid="720" p=""><b<="" bdsfid="721" p="">令V′(x)=12x2?48x+36<0，解得1<x<3．< bdsfid="722" p=""></x<3．<><c<="" bdsfid="724" p=""><b<="" bdsfid="725" p="">∵函数V(x)的定义域为x∈(0,3)，<c<="" bdsfid="727" p=""><b<="" bdsfid="728" p="">∴函数V(x)的单调增区间是：(0,1)；函数V(x)的单调减区间是：。
南开区2019～2020学年度第一学期高三年级期末考试试卷 -
2019—2020学年度第一学期南开区期末考试试卷高三年级数学学科2019.12本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．本卷共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式：·锥体的体积公式V锥体=13Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高．·球的表面积公式S球=4πR2，其中R表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设全集U={1，2，3，4}，集合S={1，2}，T={2，3}，则(∁U S)∩T等于（）．（A）{2}（B）{3}（C）{4}（D）{2，3，4}（2）命题“∃x0∈(0，+∞)，ln x0=x0–1”的否定是（）．（A）∀x∈(0，+∞)，ln x≠x–1（B）∀x∉(0，+∞)，ln x=x–1（C）∃x0∈(0，+∞)，ln x0≠x0–1（D）∃x0∉(0，+∞)，ln x0=x0–1（3）下列函数中是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增的是（）．（A）y=x3（B）y=–lg x2（C）y=2x（D）（4）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S3+S5＞2S4”的（）．（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分又不必要条件（5）设a=1–20.2，b=log3103，c=lg4，则a，b，c的大小关系是（）．（A）a＜c＜b（B）b＜c＜a（C）c＜a＜b （D）c＜b＜a（6）过点A (–1，0)斜率为k 的直线，被圆(x –1)2+y 2=4截得的弦长为23，则k 的值为（ ）．（A ）3 （B ）±3 （C ）33 （D ）±33 （7）函数y=sin 6πx –3cos 6πx （0≤x ≤9）的最大值与最小值之和为（ ）． （A ）–1–3 （B ）–1 （C ）0 （D ）2–3（8）已知点A (2，0)，抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |:|MN |=（ ）．（A ）2 （B ）1:2 （C ）1 （D ）1:3（9）四边形ABCD 中，BC=1，AC=2，∠ABC=90°，∠ADC=90°，则AC ·BD 的取值范围是（ ）．（A ）[–1，3] （B ）(–3，1) （C ）[–3，1]（D ）[–3，3]第 Ⅱ 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2．本卷共11小题，共105分。
天津南开中学2019-2020学年高三年级第一次月考理科试卷
天津南开中学2019-2020学年高三年级第一次月考理科试卷一、单选题1、已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合={1,2,3,5}A ，={2,4}B ，则()U A B ⋃ð=（ ） A.{0,2,4}B.{4}C.{1,2,4}D.{0,2,3,4}2、设变量x ，y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ） A.0 B.3 C.6 D.12 3、设x R ∈，则“|x+2|+|x-1|≤5”是“-3≤x ≤3”的（ ） A.充分不必要区间 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4、已知125ln ,log 2,x y z e π-===，则（ ） A.x ＜y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x5、已知函数224,2()log ,2x x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.[1,0)-B.(1,2]C.(1,)+∞D.(2,)+∞6、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，若对于任意x R ∈，22(log )(22)f a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.(0,1]B.1[,2]2C.(0,2]D.[2,)+∞7、已知函数32()247f x x x x =---，其导函数为'()f x ，则以下4个命题：①()f x 的单调减区间是2(,2)3-；②()f x 的极小值是-15； ③()f x 有且只有一个零点；④当0a >时，对任意的2x >且x a ≠，恒有()()'()()f x f a f a x a >+-。
其中真命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3D.48、已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，22log (1),(1,0]()173,(,1]22x x f x x x x --∈-⎧⎪=⎨---∈-∞-⎪⎩，若关于x 的方程()=()f x t t R ∈恰有5个不同的实数根12345,,,,x x x x x ，则12345++++x x x x x 的取值范围是（ ） A.(2,1)-- B.(1,1)- C.(1,2) D.(2,3)二、填空题9．设i 是虚数单位，若复数是纯虚数，则a 的值为______． 10．若（x ＋ ）8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________．11．数列{}n a 且21,2πsin ,4n n n na n n 为奇数为偶数⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2018S =_________．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,22.2x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以Ox 为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆C 上的点到直线l 距离的最小值为________________.13．已知函数()2ln f x x x =-与()22g x x m x=--的图象上存在关于原点对称的点，则实数m 的取值范围是__________．14．已知函数()1,0,0x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩，其中1m <-，对于任意1x R ∈且10x ¹，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，且12x x ≠，若关于x 的方程()()f x f m =有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是__________________.三、解答题15．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosC ＋(cosA － sinA)cosB ＝0． (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．16．甲、乙、丙三个口袋内部分别装有6个只有颜色不相同的球，并且每个口袋内的6个球均有1个红球，2个黑球，3个无色透明的球，甲、乙、丙三个口袋中依次随机各摸出1个球.（Ⅰ）求恰好摸出红球、黑球和无色球各1个的概率；（Ⅱ）求摸出的3个球中含有有色球个数ξ的概率分布列和数学期望.17．已知函数()()21202f x ax x a =+≠，()ln g x x =. （Ⅰ）若()()()h x f x g x =-存在单调增区间，求a 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数0a >，使得方程()()()21g x f x a x'=-+在区间1,e e⎛⎫⎪⎝⎭内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a 的取值范围？若不存在，请说明理由.18．已知等比数列 的公比 ，且 ， ． Ⅰ 求数列 的通项公式；Ⅱ 设， 是数列 的前n 项和，对任意正整数n 不等式恒成立，求实数a 的取值范围．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，一个焦点为．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求||||AB PQ 的取值范围．20．已知函数()ln f x ax x =+，函数()g x 的导函数()xg x e '=，且()()01g g e '=，其中e 为自然对数的底数. （Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）若存在()0,x ∈+∞，使得不等式()g x <m 的取值范围；（Ⅲ）当0a =时，对于()0,x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-.0)(1)(0)y k x k =-≠x P C ,A B天津南开中学2019-2020学年高三年级第一次月考理科试卷一、单选题1、已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合={1,2,3,5}A ，={2,4}B ，则()U A B ⋃ð=（ ） A .{0,2,4}B.{4}C.{1,2,4}D.{0,2,3,4}2、设变量x ，y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ） A.0 B.3 C .6 D.12 3、设x R ∈，则“|x+2|+|x-1|≤5”是“-3≤x ≤3”的（ ） A .充分不必要区间 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4、已知125ln ,log 2,x y z e π-===，则（ ） A.x ＜y<zB.z<x<yC.z<y<xD .y<z<x5、已知函数224,2()log ,2x x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.[1,0)-B.(1,2]C .(1,)+∞D.(2,)+∞6、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，若对于任意x R ∈，22(log )(22)f a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.(0,1]B .1[,2]2C.(0,2]D.[2,)+∞7、已知函数32()247f x x x x =---，其导函数为'()f x ，则以下4个命题：①()f x 的单调减区间是2(,2)3-；②()f x 的极小值是-15； ③()f x 有且只有一个零点；④当0a >时，对任意的2x >且x a ≠，恒有()()'()()f x f a f a x a >+-。
天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷月月考数学试题文科
天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷10月月考数学试题文科创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重创作单位： 博恒中英学校第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}21|<≤-=x x A ，{}21|≤<-=x x B ，则=B A （▲）2. 若复数z 满足i z z 232-=+，其中i 为虚数单位，则z 等于（▲ ）3. 设R y x ∈>,0，则""y x >是|"|"y x >的（ ▲ ）.A 必要不充分条件 .B 充分不必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件4. 命题"01,"20300≤+-∈∃x x R x 的否定是（ ▲ ）5. 已知33)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间)2,4(-上为（ ▲ ）.A 增函数 .B 增函数 .C 先增后减 .D 先减后增6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ▲) 12.A 18.B 24.C 30.D7. 我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的 官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想，如图所示的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”. 执行该程序框图，若输入,6,2,110011===n k a 则输出b 的值为( ▲)8. 函数)1()(<<-=b a exx f x ，则 (▲ ) )()(.b f a f C >)(),(.b f a f D 大小关系不能确定9. 函数221x x ln )x (f -=的图象大致是 ( ▲ )10. 从分别标有9,,2,1⋅⋅⋅的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ( ▲)11 . 等差数列}{n a 的公差是d ，且前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，1182a a a ++是一个定值，则下列各数也为定值的是（ ▲ ）12. 定长为4的线段MN 的两端点在抛物线x y =2上移动，设点P 为线段MN 的中点，则点P 到y 轴的距离的最小值为（ ▲ ）第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数x x x f -ln 2)(=，则过），（1-1的切线方程为▲． 14. 实数x ，y 满足不等式组 ，则11-+=x y z 的最小值为▲． 15. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为0158-22=++x y x ，若直线2-kx y =上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为____▲____．16. 对任意实数b a ,，定义运算“⊗”：a ⊗=b ，设)1-()(2x x f =⊗）（x +4，若函数k x f y +=)(的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是▲三、解答题：共70分。
【20套精选试卷合集】天津市南开中学2019-2020学年高考化学模拟试卷含答案
高考模拟理综试卷化学试题及答案可能用到的原子量：H —1 C —12 N —14 O —16 La —139 Ni —59第Ⅰ卷 选择题(共42分)1．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也叫可入肺颗粒物，与肺癌、哮喘等疾病密切相关，主要来自汽车尾气、燃煤等，下列与PM2.5相关的说法不正确的是A ．大力发展电动车，减少尾气排放B ．燃煤时加入适量石灰石，减少SO 2排放C ．多环芳烃是强致癌物，能吸附在PM2.5的表面进入人体D ．PM2.5含有的铅、镉、铬、钒、砷等对人体有害的金属元素2．下列表示对应化学反应的离子方程式或化学方程式正确的是A ．向NH 4HSO 4的稀溶液中逐滴加入Ba(OH)2溶液至刚好沉淀完全：NH 4+ + H + + SO 42－+ Ba 2+ + 2OH －=NH 3·H 2O+BaSO 4↓+ H 2OB ．酸性高锰酸钾溶液与H 2O 2溶液混合：2MnO 4－+3H 2O 2+6H ＋=2Mn 2＋+6H 2O+O 2↑C ．用铜作电极电解饱和食盐水：2Cl －+2H 2O Cl 2↑+H 2↑+2OH －D ．以下有机物在碱性条件下水解的化学方程式：3．设N A 为阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是A ．标准状况下，0.56 L 丙烷中含有共价键的数目为0.2N AB ．0.1 mol H 2O 和D 2O 组成的混合物中含有的中子数是N AC ．标准状况下，2.24LCl 2溶于水，转移的电子数目为0.1N AD ．常温下，20 L pH ＝12的Na 2CO 3溶液中含有的OH －离子数为0.2N A4．镁—次氯酸盐燃料电池具有比能量高、安全方便等优点，该电池主要工作原理如图，正极反应为ClO －+H 2O+2e －=Cl －+2OH －，关于该电池的叙述正确的是A ．镁为负极，发生还原反应B ．电池工作时OH －向正极移动 C ．电池工作时，正极周围溶液的pH 将不断变小D ．该电池的总反应式为：Mg +ClO －+H 2O=Cl －+Mg(OH)2↓ 5．对于常温下0.0lmol/L 的氨水，下列叙述正确的是A ．c(H +)+c(NH 4+)=2c(OH －)B ．由H 2O 电离出的c(H +)=1.0×10－12 mol·L －1C ．与等体积等浓度的氯化铵溶液混合c(NH 4+)+c(NH 3·H 2O)+c(NH 3)=0.02 mol·L －1D ．与等体积等浓度的盐酸混合后所得溶液c(OH －)+c(NH 3·H 2O)+c(NH 3)=c(H +)6．下列有关实验说法中，错误的是A ．葡萄糖银镜反应实验后的试管内壁附有银，可用氨水清洗B ．酸碱中和滴定时，未用待测液润洗锥形瓶，对测定结果无影响C ．向某溶液中加入足量盐酸无现象，再加入BaCl 2溶液生成白色沉淀说明有SO 42ˉD ．在溶液中先加入氯水、再加入CCl 4，振荡静置，下层溶液显红棕色说明有Brˉ7．某小组研究在其他条件不变时改变某一条件对A 2(g)+3B 2(g)2AB 3(g)平衡状态的影响，得到如图曲线(T 表温度，n 表物质的量)。
2019年天津市南开中学高三上学期第一次月考(理科)数学试题(含答案)
高考数学精品复习资料2019.5南开中学高三第一次月者数学试卷本试卷分第1卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120 分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，答卷时，考生务必将答案写在答题纸上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，祝各位考生考试腰利！一、选择题（每题5分，共40分）1．设集合{}{}2S=x|x>-2,|340T x x x =+-≤，则S T =（ ）A ．(]2,1-B ．(],4-∞C ．(],1-∞D ．[)1,+∞2．在四边形ABCD 中，0,AB BC BC AD ⋅=⋅，则四边形ABCD 是( )A ．直角梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形3．己知向量0,AB BC BC AD ⋅=⋅，若0,AB BC BC AD ⋅=⋅，则n=( )A ．-3B ． 3C ．1D ．-14．函数2sin cos 2y x x x θ=+( )A ．2(,3πB ．5(,6πC ．2(3π-D ．(3π 5．已知曲线的极坐标方程为24cos22θρ=-，则其直角坐标下的方程是( ) A ．22(1)1x y ++= B ．22(1)1x y ++=C ．22(1)1x y -+=D ．22(1)1x y +-=6．不等式252(1)x x +≥-的解集是( ) A ．13,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．(]1,11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．(]1,11,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭7．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在CB 方向上的投影为( )AB ． 3 C． D ．-38．已知1212120a a b b c c ≠，命题111222:a b c p a b c ==， 命题q:两个关于x 的不等式221112220,0a x b x c a x b x c ++>++>解集相同则命题p 是命题q 的( )条件A ．充分必要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要二、填空题（每题5分，共30分）9．已知5sin 04134x x ππ⎛⎫⎛⎫-=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2cos 4x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________ 10．在△ABC 中，90,60ABC C A ∠=∠=，过C 作ABC D 的外接圆的切线CD,BD CD ⊥与外接圆交于点E ，则DE 的长为_______________.11．在ABC D 中，角A ，B ，C 所对的边分别为d ，b ，c,若bcosA 、ccosC 、acosB 成等差数列，则角C=_____________12．将函数2sin(2)4y x π=-图象上所有点的纵坐标缩小到原来的12，横坐标伸长到原来的2倍，再将图象向左平移4π，则所得图象解析式为y=____________ 1 3．已知E ，F 为平行四边形ABCD 中边BC 与边CD 的中点，且160AF AE EAF ==∠=，则AB BC ⋅=_____________14.命题p:关于x 的方程240x ax -+=有实根，命题q:关于x 的函数224y x ax =++在[),b +∞上是增函数，若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，则b 的取值范围是___________三．解答题（15-18每题13分，19,20每题14分）15．已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=- (,0)x x R ω∈>，相邻两条对称轴之间的距离等于2π (1)求()4f π的值(2)当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 值. 16某项新技术进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测。
天津市南开区2019届高三数学上学期第一次月考试题文
天津市南开区南大奥宇培训学校2019届高三数学上学期第一次月考试题文一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|2x-3＞0}，则A∩B=（）A. （-3，-）B. （-3，）C. （1，）D. （，3）2.已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为（）A. m≤3B. 2≤m≤3C. m≥2D. m≥33.设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件4.下列有关命题的说法错误的是（）A. 若“p∨q”为假命题，则p，q均为假命题B. “x=1”是“x≥1”的充分不必要条件C. “sin x=”的必要不充分条件是“x=”D. 若命题p：∃x0∈R，x02≥0，则命题￢p：∀x∈R，x2＜05.函数f（x）=cos2x+6cos（-x）的最大值为（）A. 4B. 5C. 6D. 76.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度D. 横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度7.函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A. 关于点（，0）对称B. 关于点（-，0）对称C. 关于直线x=-对称D. 关于直线x=对称8.函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）的部分图象如图所示，如果，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若命题“∃t∈R，t2-2t-a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是______．10.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，sin B=，a=8，则c= ______ ．11.已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为______ ．12.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，b=4a，a+c=5，则△ABC的面积为______．13.已知函数f（x）=-sin2x，则当f（x）取最小值时cos2x的值为______ ．14.将函数f（x）=cos（2x+）-1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有性质______．（填入所有正确性质的序号）①最大值为，图象关于直线x=-对称；②图象关于y轴对称；③最小正周期为π；④图象关于点（，0）对称；⑤在（0，）上单调递减．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=，b=3，sin B+sin A=2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．16.某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料，已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元，分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．17.已知函数f（x）=2tan（+）cos2（+）-sin（x+π）．（Ⅰ）求f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=2，C=60°．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a和b；（Ⅱ）若sin C+sin（B-A）=2sin2A，求A；（Ⅲ）若ab=，求△ABC的周长．19.已知函数y=4cos2x-4sin x cosx-1（x∈R）．（1）求出函数的最小正周期；（2）求出函数的最大值及其相对应的x值；（3）求出函数的单调增区间；（4）求出函数的对称轴．20.已知数列{a n}的前n项和，数列{b n}的前n项和为B n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和C n；（3）证明：．2018-2019南大奥宇学校第一次质量调查（文数）答案和解析1.D2.A3.A4.C5.B6.B7.C8.A9.（-∞，-1] 10.711.12.13.14.②③④15.解：（Ⅰ）在锐角△ABC中，由正弦定理得，∴sin B==．∵sin B+sin A=2，∴4sin A=2．∴sin A=．又0，∴A=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知sin B==．又0＜B＜，∴cos B==．∴sin2B=2sin B cosB=2×=，cos2B=cos2B-sin2B==-．∴sin（2B+）=sin2B cos+cos2B sin=-=-．【解析】（I）利用正弦定理得出sinA，sinB的关系，代入条件式解出sinA，根据A的范围得出A 的值；（II）根据sinA计算sinB，cosB，再利用倍角公式计算sin2B，cos2B，最后使用两角和的正弦公式计算．本题考查了正弦定理，三角函数的恒等变换，掌握三角变换公式是基础．16.【答案】解：（1）由已知x，y满足不等式，则不等式对应的平面区域为，（2）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y，即y=-x+，平移直线y=-x+，由图象得当直线经过点M时，直线的截距最大，此时z最大，由得，即M（20，24），此时z=40+72=112，即分别生产甲肥料20车皮，乙肥料24车皮，能够产生最大的利润，最大利润为112万元．【解析】（1）设出变量，建立不等式关系，即可作出可行域．（2）设出目标函数，利用平移直线法进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，根据条件建立约束条件，作出可行域，利用平移法是解决本题的关键．17.【答案】解：（Ⅰ）由题意，+≠，解得：x≠，k∈Z∴f（x）的定义域为{x∈R|x≠，k∈Z}．函数f（x）=2tan（+）cos2（+）-sin（x+π）．化解可得：f（x）=2sin（+）cos（+）+sin x．=sin（x+）+sin x．=sin x+cos x=2sin（x+）∴f（x）的最小正周期T=．（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位，得到2sin（x+）；即g（x）=2sin（x+）∵x∈[0，π]时，x+∈[，]．∴当x+=时，函数g（x）=2sin（x+）取得最大值为2．∴当x+=时，函数g（x）=2sin（x+）取得最小值为-1．故得函数g（x）在区间[0，π]上的最大值是2，最小值是-1．【解析】（Ⅰ）由题意，+≠，解x可得f（x）的定义域．利用二倍角和诱导公式及辅助角公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x），x∈[0，π]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可求出g（x）的最大值和最小值．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．18.【答案】解：（I）由余弦定理可得：c2=a2+b2-2ab cos C，∴4=a2+b2-2ab cos60°，化为a2+b2-ab=4．∵△ABC的面积等于，∴=，化为ab=4，联立，解得a=b=2．（II）∵sin C+sin（B-A）=2sin2A，∴sin（A+B）+sin（B-A）=2sin2A，∴2sin B cos A=4sin A cosA，∴cos A=0或sin B=2sin A．当cos A=0，A=90°，当sin B=2sin A，由正弦定理可得：b=2a，代入a2+b2-ab=4，解得，则sin A==，解得A=30°，或A=150°，∵a＜c，∴A＜C，∴A=30°．综上可得：A=90°或A=30°．（III）由a2+b2-ab=4．可得：（a+b）2-3ab=4，由ab=，解得a+b=3，∴△ABC的周长=a+b+c=3+2=5．【解析】（I）由余弦定理可得：c2=a2+b2-2abcosC，化为a2+b2-ab=4．由于△ABC的面积等于，可得=，即ab=4，联立即可解得．（II）由sinC+sin（B-A）=2sin2A，可得sin（A+B）+sin（B-A）=2sin2A，化为cosA=0或cosB=2sinA．当cosA=0，A=90°，当cosB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，代入a2+b2-ab=4，解得a，再利用正弦定理可得sinA==，解得A，由a＜c，A只能是锐角．（III）由a2+b2-ab=4．与ab=，解得a+b=3，即可得出．本题综合考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、诱导公式、等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．19.【答案】解：y=4cos2x-4sin x cosx-1=4×-2sin2x=2cos2x-2sin2x+2=（1）函数的最小正周期T==π；（2）当时，函数取最大值为：6，此时（k∈Z），解得（k∈Z）；（3）由（k∈Z）得，（k∈Z），∴函数的单调增区间是（k∈Z）；（4）由（k∈Z）得，（k∈Z），∴函数的对称轴方程是（k∈Z）．【解析】利用二倍角的正弦、余弦公式，以及两角差的正弦公式，化简函数解析式化为y=，（1）根据最小正周期公式T=求解；（2）根据解析式知：当时，函数取最大值，求出原函数的最大值和对应的x的值；（3）根据解析式知：原函数的单调增区间为正弦函数单调减区间，即（k∈Z），求解即可；（4）根据正弦函数得对称轴得（k∈Z），求解即可．本题考查正弦函数的性质和三角恒等变换，涉及的公式有：二倍角的正弦、余弦公式，以及两角和与差的正弦公式，其中灵活利用三角函数的恒等变形把函数解析式化为一个角的三角函数是解本题的关键，注意化简解析式是一定要把ω化为正的．20.【答案】解：（1）当n≥2时，，，两式相减：a n=A n-A n-1=2n-1；当n=1时，a1=A1=1，也适合a n=2n-1，故数列{a n}的通项公式为a n=2n-1．（2）由题意知：，C n=c1+c2+…+c n，，，两式相减可得：，即，，．（3），显然，即b n＞2，B n=b1+b2+…+b n＞2n；另一方面，，即，，…，，，即：2n＜B n＜2n+2．【解析】（1）当n≥2时，利用a n=A n-A n-1可得a n=2n-1，再验证n=1的情况，即可求得数列{a n}的通项公式；（2）由题意知：，利用错位相减法即可求得数列{c n}的前n项和C n；（3）利用基本不等式可得＞，可得B n=b1+b2+…+b n＞2n；再由b n=，累加可，于是可证明：．本题考查数列递推式的应用，突出考查错位相减法求和与累加法求和的综合运用，考查推理与运算能力，属于难题．。
天津市南开中学2020届高三第一学期10月月考试题 数学【含解析】
天津市南开中学2020届高三第一学期10月月考试题数学一、选择题（共9小题：共45分） 1.已知集合{}124x A x -=≥，{}2230B x x x =--<，则()R AB 等于（ ）A. {}3x x ≥ B. {}3x x >C. {}13x x -<< D. {}31x x x ≥≤-或【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，再利用交集和补集的定义求出集合()R AB .【详解】解不等式124x -≥，即12x -≥，得3x ≥，{}3A x x ∴=≥. 解不等式2230x x --<，解得13x ，{}13B x x ∴=-<<，则{}13RB x x x =≤-≥或，因此，(){}3R A B x x ⋂=≥，故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集与补集的混合运算，同时也考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，解题的关键就是解出问题中所涉及的集合，考查运算求解能力，属于基础题.2.“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x ＜3，由x （x-3）＜0得0＜x ＜3，所以“|x -1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的必要不充分条件考点：1．解不等式；2．充分条件与必要条件 【此处有视频，请去附件查看】3.已知()sin f x x x =-+，命题:0,2p x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，则（ ） A. p 是假命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭B. p 是假命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭C. p 是真命题，:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∀∈≥ ⎪⎝⎭D. p 是真命题，00:0,,()02p x f x π⎛⎫⌝∃∈≥ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：'()1cos f x x =-+，当(0,)2x π∈，'()0f x <，因此()f x 是减函数，所以(0,)2x π∈，()(0)0f x f <=，命题p 是真命题，p ⌝是：000,,()02x f x π⎛⎫∃∈≥ ⎪⎝⎭，故选D ．考点：命题的真假，命题的否定．4.已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则A. x y z <<B. z x y <<C. z y x <<D. y z x <<【答案】D 【解析】，，，，所以，选D.5.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，若对于任意x R ∈，()()2222f log a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A. (]0,1 B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. (]0,2D. [)2,+∞ 【答案】B 【解析】因为()f x 是偶函数，所以不等式22(log )(22)f a f x x ≤-+可化为22(log )(22)f a f x x ≤-+，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以22log 22a x x ≤-+，而2222(1)1x x x -+=-+的最小值为1，所以2log 1a ≤，21log 1a -≤≤，解得122a ≤≤．6.若函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 16,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】因为函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以函数()210f x x ax =-+≤'在区间1[,3]2上恒成立，即211x a x x x +≥=+在1[,3]2恒成立，而1()g x x x =+在1[,1]2递减，在[1,3]递增，且1510()(3)223g g =<=，即103a ≥；故选C.7.设函数()144x f x ex -=+-，()1ln g x x x=-，若()()120f x g x ==，则（ ）A. ()()120g x f x <<B. ()()120g x f x <<C. ()()210f x g x <<D. ()()210f x g x <<【答案】B 【解析】 【分析】分析函数()y f x =和()y g x =的单调性，利用零点存在定理求出函数零点的取值范围，再由函数的单调性来得出()2f x 与()1g x 的正负. 【详解】()144x f x e x -=+-，()140x f x e -'∴=+>，则函数()y f x =为增函数，()00f <，()10f >，且()10f x =，由零点存在定理知101x <<.()1ln g x x x =-，则()221110x g x x x x+'=+=>，所以，函数()y g x =为增函数， 且()10g <，()12ln 202g =->，又()20g x =，由零点存在定理可知212x <<.()()210f x f ∴>>，()()110g x g <<，因此，()()120g x f x <<，故选：B.【点睛】本题考查函数值符号的判断，同时也考查了函数单调性与零点存在定理的应用，解题的关键就是利用函数的单调性与零点存在定理求出零点的取值范围，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.8.设实数,,a b c 分别满足322,a a +=2log 1b b =，5log 1,c c =则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D. a c b >>【答案】C 【解析】令3()22f x x x =+-，则3()22f x x x =+-在R 上单调递增，且(0)(1)2110f f ⋅=-⨯=-<，即(0,1)a ∈，在同一坐标系中作出251,log ,log y y x y x x===的图象，由图象，得1b c <<，即c b a >>；故选C.点睛：在涉及超越方程求解问题，往往将其分离成两个基本函数图象的公共点问题，如本题中判定5log 1c c =的根的取值范围，就转化为1y x=和5log y x =的图象交点问题.9.已知函数()21,2114,15x x f x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，若关于x 的方程()0f x ax -=有两个解，则实数a 的取值范围是（ ）A. 650,2252⎛⎤⎡⎫⋃-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，B. 650,2252⎛⎫⎡⎤⋃-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， C. {}56,,0,2225⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞⋃- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭D. 56,,225⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A 【解析】关于x 的方程()0f x ax -=有两个解，等价于()y f x =和y ax =有两个交点，如图所示：作出函数()21,2114,15x x f x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩的图象，()2,5A -，()1,2B ，65,5C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，625OC k =，由图可得60,25k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，直线与曲线有两个交点，由图可得过原点的直线与21y x =+有两个交点的临界位置为两者相切时，联立两者方程21y kxy x =⎧⎨=+⎩得：210x kx -+=，由240k =-=解得2k =±，切点坐标为()1,2-和()1,2且52OA k =-，要使直线与抛物线有两个交点，直线的斜率应满足5,22k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，综上可得650,,2252k ⎛⎤⎡⎫∈⋃-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选A.二、填空题（共6小题：共30分）10.设复数z 满足(2)3i z i ⋅=，则z =__________． 【答案】12i 【解析】分析：根据条件先将z 的表达式求出，再结合复数的四则运算即可. 详解：3(2)1232i i z i i===+点睛：考查复数的计算，属于基础题.11.62x x ⎛⎝展开式的常数项为 ．（用数字作答） 【答案】-160 【解析】【详解】由6662166(2)(1)(2)()rr r r r r rr T C x C x x ---+⎛==- ⎝，令620r -=得3r =，所以62x x ⎛ ⎝展开式的常数项为33636(1)(2)160C --=-. 考点：二项式定理.【此处有视频，请去附件查看】12.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1). 【解析】 【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e .【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．13.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()3f x x x =--，则不等式(1)4f x x ->-+的解集是 ． 【答案】(4,)+∞ 【解析】 试题分析：由图知，当x a >时，(1)4f x x ->-+,由2(1)3(1)4,0x x x x ---=-+>得4,x =即4,a =所以不等式解集为(4,)+∞考点：利用函数性质解不等式14.已知函数32,(),x x m f x x x m ⎧≤=⎨>⎩，，若存在实数a ，使函数g(x)=f(x)-a 有两个零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】()(),01,-∞⋃+∞ 【解析】 【分析】由题意得直线y a =和函数()y f x =的图象有两个交点，故函数()y f x =在定义域内不能是单调函数．在同一坐标系内画出函数3y x =和2y x =的图象，结合图象可得所求的结果．【详解】∵()()g x f x a =-有两个零点， ∴()f x a =有两个零点，即()y f x =与y a =的图象有两个交点， 由32x x =可得，0x =或1x =．①当1m >时,函数()f x 的图象如图所示，此时存在a 满足题意，故1m >满足题意．②当1m =时,由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意． ③当01m <<时,函数()f x 单调递增，故不符合题意．④0m =时,()f x 单调递增，故不符合题意．⑤当0m <时,函数()y f x =的图象如图所示,此时存在a 使得()y f x =与y a =有两个交点．综上可得0m <或1m >．所以实数m 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞．【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，运用图象进行求解．对于含有参数的问题，要注意分类讨论的方法在解题中的应用，同时还要注意数形结合在解题中的应用．15.函数()()()4ln 1f x kx x x x =+->，若()0f x >的解集为(),s t ，且(),s t 中只有一个整数，则实数k 的取值范围为___________。
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2019-2020学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1. 设集合A ={x|2(x+3)(x−2)<1}，B ={x|y =lg(x 2−4x +3)}，则A ∩(∁R B)等于( )A. [1,2)B. (1,2]C. (−3,3]D. (−3,3)2. 不等式x −1x >0>0成立的充分不必要条件是( ) A. x >−1B. x >1C. −1<x <0或x >1D. x <−1或0<x <1 3. 设命题p ：∀x >0，log 2x <2x +3，则﹁p 为 ( )A. ∀x >0，log 2x ≥2x +3B. ョx >0，log 2x <2x +3C. ョx >0，log 2x ≥2x +3D. ∀x >0，log 2x ≥2x +34. 已知x =log 2√3,y =log 0.5π,z =0.9−1.1，则( )A. x <y <zB. z <y <xC. y <z <xD. y <x <z5. 已知定义在R 上的奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，若f(x 2−2x +a)<f(x +1)对任意的x ∈[−1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,134)B. (−∞,−3)C. (−3,+∞)D. 6. 若函数f(x)=x 3−tx 2+3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A. (−∞,518] B. (−∞,3] C. [518,+∞) D. [3,+∞)7. 函数f(x)=lnx +2x −6，若实数x 0是函数f(x)的零点，且0<x 1<x 0，则f(x 1)的值( )A. 恒为正B. 等于零C. 恒为负D. 不小于零8. 已知a =lg3，b =413，c =lg0.3，这三个数的大小关系为( ) A. b <a <c B. a <b <c C. c <a <b D. c <b <a9. 已知函数f(x)={−x 2+2x,x ≤0ln(x +1),x >0，若f(x)=ax 有且只有一个实数解，则a 的取值范围是( ) A. [1,2] B. (−∞,0] C. (−∞,0]∪[1,2] D. (−∞,2]二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）10. 已知复数z(1+i)=2，则z =______．11. (x −13x )4的展开式中常数项为______.(用数字表示)12. 若曲线y =3x +lnx 在点(1,3)处的切线经过点(2,m)，则m =_______．13. 若函数f(x)定义在R 上的奇函数，且在(−∞,0)上是增函数，又f(2)=0，则不等式xf(x +1)<0的解集为______ ．14. 已知函数f(x)={2x ,x ⩾a −x,x <a，若函数f(x)存在零点，则实数a 的取值范围是________． 15. 已知函数f(x)=(x −1)ln(1−x)，则(1)f(x)>0的解集为__________；(2)f(x)的最大值为__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b，a=5,c=6，．(Ⅰ)求b和的值；(Ⅱ)求的值．17.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AD⊥DC，平面SAD⊥平面ABCD，P为AD的中点，SA=SD=2，AD=1，CD=√3．BC=12(Ⅰ)求证：SP⊥AB；(Ⅱ)求直线BS与平面SCD所成角的正弦值；(Ⅲ)设M为SC的中点，求二面角S−PB−M的余弦值．18.已知{a n}为等差数列，a3+a6=25，a8=23，{b n}为等比数列，且a1=2b1，b2b5=a11．(1)求{a n}，{b n}的通项公式；(2)记c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和T n．x2+x+1．19.已知函数f(x)=e x，g(x)=k2(1)当k=1时，证明：f(x)≥g(x)−x2；2(2)若f(x)≥g(x)，求k的取值范围．20.已知函数f(x)=lnx−mx+1在x=1处取得极值．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；e(Ⅱ)求证：f(x)≤0．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题．根据指数不等式求出A中x的范围确定出A，根据对数函数的定义域求出B中x的范围确定出B，求出B补集与A的交集即可．【解答】解：2(x+3)(x−2)<1=20，∴(x+3)(x−2)<0，解得−3<x<2，所以A=(−3,2);x2−4x+3>0，解得x<1或x>3;所以B=(−∞,1)∪(3,+∞)，所以C R B=[1,3]．所以A∩(∁R B)=[1,2)．故选A．2.答案：B解析：【分析】求出不等式的解，根据充分不必要条件的定义进行求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出不等式的等价条件是解决本题的关键．【解答】由x−1x >0得x>1x，若x>0，则x2>1，解得x>1，若x<0，则x2<1，解得−1<x<0，综上不等式x−1x>0的等价条件是x>1或−1<x<0，则x>1或−1<x<0的一个充分不必要条件可以是x>1，故选：B．3.答案：C解析：【分析】本题考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可知命题p：∀x>0，log2x<2x+3的否定为：ョx>0，log2x≥2x+3．故选C．4.答案：D解析：【分析】本题主要考查对数函数和指数函数的性质，属于基础题．根据对数函数，指数函数的性质比较x ，y ，z 与0，1之间的大小关系即可．【解答】 解：z =0.9−1.1>0.90=1，则 y <x <z ．故选D ．5.答案：D解析：【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，为中档题．根据题意，由函数的奇偶性以及在[0,+∞)上的单调性分析可得f(x)在(−∞,+∞)上也是减函数，故可分离参数得a >−x 2+3x +1对任意的x ∈[−1,2]恒成立，求出g(x)=−x 2+3x +1(−1≤x ≤2)最大值即可．【解答】解：依题意得f(x)在R 上是减函数，所以f(x 2−2x +a)<f(x +1)对任意的x ∈[−1,2]恒成立，等价于x 2−2x +a >x +1对任意的x ∈[−1,2]恒成立，即a >−x 2+3x +1对任意的x ∈[−1,2]恒成立．设g(x)=−x 2+3x +1(−1≤x ≤2)，则g(x)=−(x −32)2+134(−1≤x ≤2)， 当x =32时，g(x)取得最大值，且g(x)max =g (32)=134， 因此a >134，故选D ．6.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题．【解答】解：∵函数f(x)=x 3−tx 2+3x ，∴f′(x)=3x 2−2tx +3，若函数f(x)=x 3−tx 2+3x 在区间[1,4]上单调递减，则f′(x)≤0即3x2−2tx+3≤0在[1,4]上恒成立，∴t≥32(x+1x)在[1,4]上恒成立，令y=32(x+1x)对勾函数的图象和性质可得：函数在[1,4]为增函数，当x=4时，函数取最大值518，∴t≥518，即实数t的取值范围是[518,+∞),故选C．7.答案：C解析：【分析】本题考查函数的单调性以及函数的零点存在性定理的应用，属于基础题．判断函数的单调性，利用函数的零点，推出结果即可．【解答】解：函数f(x)=lnx+2x−6，函数的定义域(0,+∞)；易知函数f(x)是增函数，实数x0是函数f(x)的零点，且0<x1<x0，则f(x1)<0．故选C．8.答案：C解析：解：∵a=lg3∈(0,1)，b=413>1，c=lg0.3<0，∴c<a<b．故选：C．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数零点的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，将函数零点转化为函数图象相交问题，利用数形结合是解决此类问题的关键，利用切线的临界位置是解决问题的突破点．分别求出x≤0和x>0时函数y=f(x)−ax零点的取值情况，利用数形结合切点和直线y=ax，a的取值范围即。