2014届高三数学(理)一轮专题复习课件正弦定理和余弦定(精)

§ 4.7正荻定理和余眩定理［高考调研明确考向］
知识梳理
F s s 離•艺工低川雜
v
E q
€
1J H o g w w i
3 •三角形常用的面积公式
（力“衣爪"边I ：的高）.
（3） S=；心+〃+（、）（厂为内切恻半径）・
（4） 设p=舟（& + 力+©）,则 $=\»（“ 一""一力 K/L T ）.
a 2+c 2~2ciccosB S a 2+
b 2~2abcosC H
2Rs\i\A
⑥
2/?sin5
0 2/?sinC ⑧磊⑨务
/r 4-f 2 —
2hrcos
[31
sin” ：
sinC Ibc
回亡
b _
sin^ —sinC
53无解H3-解冋两解冈一解冋一解函无解
名师微博
•一条规律
在三內形中，大角肘大边，大边对大肉；大角的正弦值也较大•正弦值孑的角也较丈.即在△ ABC中，A >
•两类问题
在解三用形时，正孩定理可解决两类问题：①已知两角及任一边，求其他边或用；②已知两边及一边的对用，求其
■■・•••・・•・■ I ■ •••• ■・・•••■・•・・・■・・ .■・■•♦■■・・■ ■—• «7>«MB*vav —••・・・・・♦■■■II ・■ •■ ^・・・・•・・■■•• ■■ I ■ ■ ■ —■■ ■■•*»*他边或角.悄况②中结果可能有一解.两解、无解.应注意区分，余弦定理可解决两类问題：已知两边及夬角求第三边和其他两用；已知三边，求各角.
•两种途径
根携■所给条件确定三商形的形状，主要有两种途径：① 化边为用；②化角为边，并■常用正孩（余弦）定理实施边、.角转換.
基础自测
丨.（人教A版教材习题改编）£E/MBC中,4=60% B=
75% “=10,则c等于（）
A・5^2 B・C・葺& D・5 &
解析：EfaA + ff+C=180°,知C=45°,由正弦定理得, a c H IO_ c .
_ 10寸6
応=忌上卩丑=忑・・・「= 3・
2 2
答案：C
2.在中，七.sin/l cosfi tt.
若a _ b，则〃的危为（）
A. 30。

B・ 45°C. 60° D. 90。

C. 60d
答案；B
3.在厶ARC 中，約=\厅，"=1, c=2,贝IJA 等于（ ）
A. 30°解析：由正
B. 45°
b 2+
c 2~a 2 1 十 4—3 如=2i^~ = 2>T|X2
2*
TOVAV 兀,A A=6()°.
答秦：
C
4.在中，＜的面枳为（）
A. 3筋
C. 4\‘3
B. 2©
D"
解析; 由余弦足理得;
5・已知zM"© 2边满足□?+/=（口仏则此二角形的堆大内角为___________ ・
解析；Va^+fr2—c2=—
・・・cosc=―盂—=-2，
故C= 150。

为三角形的最大内角.
答案：150。

利用
［例1］在zMEC屮，“=£, b=&, 3=45。

•求A, (?和边
轴，由正弦定理得蠢•岛, 並=亚
sinX sin45°
/.si nA 9：a>b, AA = 6O°i?£A=12O0.
“"=60。

时.C=180°-45o-60° = 75\ c=bsinC sin"
Y'6+\，2
“iA = 120。

时.<7=180。

一45。

一120。

=15。

,/?sinC sinfi
、J6—迈
2
方法点睛①已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可；②已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意.
变式训练1<2011-北京MAABC中，若b=5・B=扌・tanA=
2.则s
in/1 =
解析：因为△ ABC中，UM=2,所以A是锐你且
=2. sir?/l+gs‘A = I ■联立解孑Jsin4= *二•再宙I匸眩定理J
佥=侖，代入数据解甌=2何
答案；¥ 2 JK)
利用余弦定理解三角形
［例2］在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边, ..cos^_ _ 也ll cosC^_2^<
(1)求角艮的大小：
⑵若b=y/13,”+《=4,求ZL4BC的面枳.
2 I 2_>2
解析:(l)lll余弦定理知：cosB= -~~ • cosC= a2+b^~c2
2ub
. I . cosfi b
u
将IH代入拆=一齐
L
—加+(•'整理得：u2+c~ — b2 = —uc.
2
•・•〃为三角形的内角.：.B=^n.
—dC I
lac一―2・
2
(2)将"= .'13 , &+c=4, B= 3 兀代入h2=a2+c2—IciccosB, f'J b = (a + c)2—2uc — laccosB ・
n
2/
cic~3 ・
1 3x/3
••- S AflC=2«rsin^=-^~<
方法点睛①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.②熟练运用余弦定理及其推论.同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.
变式训练2 (2013•桂林调研)12知儿B, C为/1ABC的三个内角,其所对的边分别为a, k c, IL2cos弓+cos4 = 0.
(1) 求角力的值:
(2) 若“=2\冃・〃+c=4,求dlBC的丽积.
解析：(1 )ll)2cos*2 +coM=(h 得 1 +co$A+cos/4 =0. W 1
cos4 =—亍V0<4<TI»・•・&=¥•
(2)由余弦定理得a2=b2+c2—2bccosA r 4=y，则
/=(”+(•)'—加，
乂a=2©, ^+c=4.有12=4,-处，则处=4,
故$“眈==' J3.
利用正、余弦定理判断三角形形状
［例3］在中,若(/ + /,)sin(A-旳=(/T,)sinC, 试判断△佔C的形状.
解析：由已知(<?+F)sin(A—〃) = (<?—b)sinG 得fr2(sin(4
—〃)+$inC] = /[sinC'—sin(A—//)], [iP/j?sin/lcosB = aLoM sinB, 即sin2fisin4cosB=sin2Acos4sinfir 所以sin2^ = sin24.
由J：A・〃是三角形的内角.故OVZ4<2TI> 0V2BV
故只可能24 = 2〃或24 = TT—2B,即A 或A+〃 =:.
故△MC为等峻三角形或H角三角形•
方法点睛判断三角形的形状的基本思想是；利用正，余弦定理进行边角的统一.即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之问的关系式；或格条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得岀三边的关系.
变式训练3在△仙C中，若c爲气爲=益（?，则△
）
A.直角三角形
B.等边三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
解析:由正弦定理得«=2/?siivh b=2RsinB^ c-
2RsmC(R 为△/!必外接恻半彳饮
• siM sin^ sinC • cos4 — cosK — cosC
答案：B
【例4] (2012•课标全国心知s > c 分别为△ ABC-.个内 角
A ・小 C 的对■边，r/cosC4-\/3«si nC~—c=0.
⑴肘：
⑵屜=2, AABC 的面积为筋,求b, c
即 taiiA =
tan^=
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sinc —b —u==0f cjE^»Fs7
sinAUOSC+v^sinAJinc —Hinn —zncHfL
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(2)>A B C 3_m 定S N
皆么弘"幺・
玄 ==b2 +
u —20CCOSA
・琲玄+C2 n 8.
裳ab==CN2・
方法点睛正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题.
变式训练4 (2012•江西)存中，角/!, B, (?的对边
Z X C 、
分别为a, b, c.己知人=扌，bsinj彳+c|—c$in魯+B =a.
(1) 求证：〃一号；
(2) 若G={2,求△人BE的血枳.
+==3—8匕一0
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易错矫正（十五）忽视三角形中的边角条件致错 ［试题］（2011 •安徽）在中,“，"c 分别为内角
A, B, C 所对的边,a = y/3, ”=\运，1+2cos （fi+0=O,求 边〃C 上的
高.
错解；由 1 亠 2cos(^ * C) = 0» ^coaA =
,・°・A = A » 根
以下解答过程略.
错因；忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增 根.
据正弦£理卷=
. bsinA sinB =
hsinA 正解；・.•在△ABC中，cos(^ + C) - -co$A, •・.1 +
2cos(〃 -»■ C) - 1 - 2cosA - 0, 9 A -扌. 在中，根摒止弦定
理、爲"sj^，
2・
JI 5
I a> b r/- C - n - (4 + B) - | 肿.
二sinC - sin(” * A)
■$in^C0$4 + CosBsinA
1 J
2 ^3
2 X2 2 X 2
■4
・•・BC边上的高为bsinC■ QX芈pH -劈;。