高考数学大一轮复习 6.3等比数列及其前n项和学案 理

学案29 等比数列及其前n 项和
导学目标： 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．
自主梳理
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母______表示(q ≠0)．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝____________. 3．等比中项：
如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·________ (n ，m ∈N *
)．
(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *
)，则__________________．
(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n } (λ≠0)，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ，{a 2
n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭
⎬
⎫a n b n 仍是等比数列．
(4)单调性：⎩⎪⎨⎪⎧
a 1>0，
q >1
或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1<0
0<q <1
⇔{a n }是________数列；⎩⎪⎨⎪⎧
a 1>0，
0<q <1
或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1<0
q >1
⇔{a n }
是________数列；q ＝1⇔{a n }
是____数列；q <0⇔{a n }是________数列． 5．等比数列的前n 项和公式
等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；
当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1q n －1q －1＝a 1q n q －1－a 1
q －1
.
6．等比数列前n 项和的性质
公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为______．
自我检测
1．(2011·苏州模拟)如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________.
2．(2011·湖南长郡中学模拟)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －2，a ＋2，a ＋8，则a n ＝______________.
3．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1 (n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.
4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n
－a ，数列{a n }为等比数列，则实数a 的值为________．
5．设f (n )＝2＋24＋27＋…＋23n ＋1 (n ∈N *
)，则f (n )＝____________.
探究点一 等比数列的基本量运算
例 1 已知正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36，求数列{a n }的通项a n 和前n 项和S n .
变式迁移1 在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2·a n －1＝128，S n ＝126，求n 和q .
探究点二 等比数列的判定
例2 已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N *
. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的通项公式以及S n .
变式迁移2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋
2n (n ∈N *
)．
(1)求a 2，a 3的值；
(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．
探究点三 等比数列性质的应用
例3 在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝8，且1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1
a 5
＝2，求a 3.
变式迁移3 (1)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，求b 5＋b 9的值；
(2)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，求a 41a 42a 43a 44.
分类讨论思想与整体思想
例 (14分)设首项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为80，它的前2n 项和为6 560，且前n 项中数值最大的项为54，求此数列的第2n 项．
【答题模板】
解 设数列{a n }的公比为q ，
若q ＝1，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1＝2S n . ∵S 2n ＝6 560≠2S n ＝160，∴q ≠1，[4分]
由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 11－q n
1－q
＝80， ①
a
1
1－q 2n
1－q
＝6 560. ②
[6分]
将①整体代入②得80(1＋q n
)＝6 560， ∴q n
＝81.[8分]
将q n
＝81代入①得a 1(1－81)＝80(1－q )， ∴a 1＝q －1，由a 1>0，得q >1， ∴数列{a n }为递增数列．[10分] ∴a n ＝a 1q
n －1
＝a 1q
·q n
＝81·a 1q
＝54.
∴a 1q ＝2
3
.[12分] 与a 1＝q －1联立可得a 1＝2，q ＝3，
∴a 2n ＝2×32n －1 (n ∈N *
)．[14分] 【突破思维障碍】
(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时也应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．(2)
函数的思想：等比数列的通项公式a n ＝a 1q
n －1
＝a 1
q
·q n
(q >0且q ≠1)常和指数函数相联系．(3)
整体思想：应用等比数列前n 项和时，常把q n
，
a 1
1－q
当成整体求解． 本题条件前n 项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将q n
和
a 11－q n
1－q
的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．
1．等比数列的通项公式、前n 项和公式分别为a n ＝a 1q
n
－1
，S n ＝
⎩⎪⎨⎪
⎧
na 1， q ＝1，a 11－q n
1－q
， q ≠1.
2．等比数列的判定方法：
(1)定义法：即证明
a n ＋1a n
＝q (q ≠0，n ∈N *
) (q 是与n 值无关的常数)． (2)中项法：证明一个数列满足a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2 (n ∈N *
且a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0)．
3．等比数列的性质：
(1)a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *
)；
(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *
)，则a k ·a l ＝a m ·a n ；
(3)设公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数
列，其公比为q n
.
4．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．
5．等差数列与等比数列的关系是：
(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列； (2)若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列．
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．(2010·辽宁)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3
＝7，则S 5＝________.
2．(2010·浙江)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2
＝________. 3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和S 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5＝________.
4．(2011·无锡模拟)等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是________．
5．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则
S 10
S 5
＝________. 6．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为________． 7．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝
________.
8．(2010·福建)在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.
二、解答题(共42分)
9．(12分)(2010·陕西)已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项；
(2)求数列{2a n }的前n 项和S n .
10．(14分)已知数列{log 2(a n －1)}为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5. (1)求证：数列{a n －1}是等比数列；
(2)求1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1
a n ＋1－a n
的值．
11．(16分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．
(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
(2)设数列{c n }对n ∈N *
均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n
＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 010.
答案 自主梳理
1．公比 q 2.a 1·q n －1 4.(1)q n －m
(2)a k ·a l ＝a m ·a n
(4)递增 递减 常 摆动 6.q n
自我检测 1．－3
解析 由等比数列的性质可得ac ＝(－1)×(－9)＝9，b 2＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3.
2．8·⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1
解析 因为{a n }为等比数列，所以(a ＋2)2
＝(a －2)(a ＋8)，解得a ＝10，a －2＝8，q ＝
a ＋2a －2＝3
2
， ∴a n ＝a 1q
n －1
＝8·⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1
.
3．－9
解析 由题意：等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知：四项是两个正数、两个负数，
故－24,36，－54,81，符合题意，则q ＝－3
2
，∴6q ＝－9.
4．1
解析 可用特殊值法，由S n 得a 1＝3－a ，a 2＝6，a 3＝18，由等比数列的性质可知a ＝1. 5.27
(8n ＋1
－1) 解析 由题意可知，f (n )即为一个以2为首项，公比q ＝23
＝8，项数为n ＋1的等比数列的和．
由公式可得f (n )＝S n ＋1＝a 11－q n ＋1
1－q
＝2×1－8n ＋1
1－8＝27
(8n ＋1－1)．
课堂活动区
例1 解题导引 (1)在等比数列的通项公式和前n 项和公式中共有a 1，a n ，q ，n ，S n
五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；
(2)本例可将所有项都用a 1和q 表示，转化为关于a 1和q 的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．
解 方法一 由已知得：
⎩
⎪⎨⎪⎧ a 21q 4
＋2a 21q 6
＋a 21q 8
＝100，a 21q 4
－2a 21q 6＋a 21q 8
＝36.
①②
①－②，得4a 21
q 6
＝64，∴a 21
q 6＝16.③
代入①，得16q
2＋2×16＋16q 2
＝100.
解得q 2＝4或q 2
＝14
.
又数列{a n }为正项数列，∴q ＝2或1
2
.
当q ＝2时，可得a 1＝1
2
，
∴a n ＝12×2n －1＝2n －2，S n ＝121－2n
1－2＝2n －1
－12；
当q ＝1
2
时，可得a 1＝32.
∴a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝26－n
.
S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝64－26－n
.
方法二 ∵a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，a 2a 6＝a 3a 5，a 3a 7＝a 4a 6＝a 2
5，
由⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36，
可得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
3＋2a 3a 5＋a 2
5＝100，a 23－2a 3a 5＋a 2
5＝36，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
a 3＋a 52＝100，a 3－a 5
2
＝36.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 3＋a 5＝10，a 3－a 5＝±6.解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 3＝8，
a 5＝2，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 3＝2，
a 5＝8.
当a 3＝8，a 5＝2时，q 2
＝a 5a 3＝28＝14
.
∵q >0，∴q ＝12
，由a 3＝a 1q 2
＝8，
得a 1＝32，∴a n ＝32×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＝26－n
.
S n ＝32－26－n
×
121－12
＝64－26－n
.
当a 3＝2，a 5＝8时，q 2
＝82＝4，且q >0，∴q ＝2.
由a 3＝a 1q 2，得a 1＝24＝12.∴a n ＝12
×2n －1＝2n －2
.
S n ＝122n
－12－1＝2n －1
－12
.
变式迁移1 解 由题意得 ⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2·a n －1＝a 1·a n ＝128，a 1＋a n ＝66， 解得⎩⎪⎨
⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2
或⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 1＝2，a n ＝64.
若⎩
⎪⎨
⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，则S n ＝
a 1－a n q 1－q ＝64－2q
1－q
＝126， 解得q ＝12，此时，a n ＝2＝64·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1
，∴n ＝6.
若⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝2，
a n ＝64，则S n ＝2－64q
1－q
＝126，∴q ＝2.
∴a n ＝64＝2·2
n －1
.∴n ＝6. 综上n ＝6，q ＝2或1
2
.
例2 解题导引 (1)证明数列是等比数列的两个基本方法：
①
a n ＋1a n ＝q (q 为与n 值无关的常数)(n ∈N *
)． ②a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (a n ≠0，n ∈N *
)．
(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法．
解 (1)由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N *
， 可得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，
两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1， 即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5， 所以a 2＋a 1＝2a 1＋6， 又a 1＝5，所以a 2＝11， 从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，
故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N *
，
又a 1＝5，a 1＋1≠0，从而a n ＋1＋1
a n ＋1
＝2，
即数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．
(2)由(1)得a n ＋1＝6·2n －1
，
所以a n ＝6·2n －1
－1，
于是S n ＝6·1－2n
1－2
－n ＝6·2n
－n －6.
变式迁移2 解 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *
)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；
当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4； 当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.
(2)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *
)，① ∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②
①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.
∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．
∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2
S n －1＋2
＝2，
故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
例3 解题导引 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．
解 由已知得
1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝a 1＋a 5a 1a 5＋a 2＋a 4a 2a 4＋a 3a 23
＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5a 23
＝8a 23＝2，
∴a 2
3＝4，∴a 3＝±2.若a 3＝－2，设数列的公比为q ，
则
－2q 2＋
－2q
－2－2q －2q 2
＝8， 即1q 2＋1q ＋1＋q ＋q 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＋122＋12
＝－4. 此式显然不成立，经验证，a 3＝2符合题意，故a 3＝2.
变式迁移3 解 (1)∵a 3a 11＝a 2
7＝4a 7， ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝4，
∵{b n }为等差数列，∴b 5＋b 9＝2b 7＝8.
(2)a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41q 6
＝1.① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15 ＝a 41·q 54
＝8.②
②÷①：a 41·q 54
a 41·q
6＝q 48＝8⇒q 16
＝2，
又a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43
＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)·(q 16)10
＝1·210
＝1 024. 课后练习区 1.314
解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1，
∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 2
3＝1，即a 3＝1.
∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1
q
＋1＝7，
即6q 2
－q －1＝0.
故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1
q
2＝4.
∴S 5＝41－1
25
1－12
＝8(1－125)＝31
4.
2．－11
解析 由8a 2＋a 5＝0，得8a 1q ＋a 1q 4
＝0，所以q ＝－2，则S 5S 2＝a 11＋25
a 11－22
＝－11.
3．84
解析 由题可设等比数列的公比为q ，
则31－q 3
1－q
＝21⇒1＋q ＋q 2＝7⇒q 2＋q －6＝0
⇒(q ＋3)(q －2)＝0，根据题意可知q >0，故q ＝2.
所以a 3＋a 4＋a 5＝q 2
S 3＝4×21＝84. 4．T 17
解析 a 3a 6a 18＝a 31q 2＋5＋17＝(a 1q 8)3＝a 3
9，即a 9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T 17为定值．
5．33
解析 因为等比数列{a n }中有S 3＝2，S 6＝18，
即S 6S 3＝a 11－q 6
1－q a 11－q 3
1－q
＝1＋q 3
＝182
＝9， 故q ＝2，从而S 10
S 5＝a 11－q 10
1－q a 11－q 5
1－q
＝1＋q 5＝1＋25
＝33. 6．127
解析 ∵公比q 4
＝a 5a 1
＝16，且q >0，∴q ＝2， ∴S 7＝1－27
1－2＝127.
7.1207
解析 ∵S 99＝30，即a 1(299
－1)＝30，
∵数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，
∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝4a 11－8
33
1－8
＝4a 1299
－17＝47×30＝1207.
8．4n －1
解析 ∵等比数列{a n }的前3项之和为21，公比q ＝4，
不妨设首项为a 1，则a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1(1＋4＋16)＝21a 1＝21，∴a 1＝1，∴a n ＝1×4n －1
＝4n －1.
9．解 (1)由题设知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列， 得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d
，…………………………………………………………………………(4
分)
解得d ＝1或d ＝0(舍去)．
故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .……………………………………………………(7分)
(2)由(1)知2a n ＝2n
，由等比数列前n 项和公式，
得S n ＝2＋22＋23＋ (2)
＝21－2n
1－2
＝2n ＋1
－2.………………………………………………………………………………(12分)
10．(1)证明 设log 2(a n －1)－log 2(a n －1－1)＝d (n ≥2)，因为a 1＝3，a 2＝5，所以d ＝log 2(a 2－1)－log 2(a 1－1)＝log 24－log 22＝1，…………………………………………………………(3分)
所以log 2(a n －1)＝n ，所以a n －1＝2n
，
所以a n －1a n －1－1
＝2 (n ≥2)，所以{a n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列．………(6
分)
(2)解 由(1)可得a n －1＝(a 1－1)·2n －1
，
所以a n ＝2n
＋1，…………………………………………………………………………(8分)
所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n
＝122－2＋123－22＋…＋12n ＋1－2n ＝12＋122＋…＋12n ＝1－1
2
n .………………………………………………………………(14分)
11．解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ，
∴(1＋4d )2
＝(1＋d )(1＋13d )． 解得d ＝2(d ＝0舍)．……………………………………………………………………(2分) ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.………………………………………………………………(5分)
又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9， ∴数列{b n }的公比为3，
∴b n ＝3·3n －2＝3n －1
.………………………………………………………………………(8分)
(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n
＝a n ＋1得
当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2
＋…＋c n －1
b n －1
＝a n . 两式相减得：当n ≥2时，c n
b n
＝a n ＋1－a n ＝2.……………………………………………(10
分)
∴c n ＝2b n ＝2·3
n －1
(n ≥2)．
又当n ＝1时，c 1
b 1
＝a 2，∴c 1＝3.
∴c n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3 n ＝12·3n －1
n ≥2
.………………………………………………………………
(12分)
∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 010
＝3＋6－2×32 010
1－3
＝3＋(－3＋32 010)＝32 010
.…………………………………………(16分)。