吉林省部分学校2022-2023学年高三年级12月大联考数学试卷

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容(除圆锥曲线与概率统计)。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ={x|y =√x −2+√2−x},B ={1,k },,若A∪B=B,则k=
A.-1
B.0
C.2
D.4
2.已知灯塔A 在观察站B 的正东方向，相距10千米，灯塔C 在灯塔A 的北偏西15°方向上，且灯塔C 在观察站B 的东偏北60°方向上，则灯塔A ，C 之间的距离是
A.5√6千米
B.5√3千米
C.10√6千米
D.10√3千米
3.已知 a>b>0，则下列不等式中一定成立的是
A.ac²>bc²
B.aᵇ>bᵃ
C.aᵇ>1
D.ln a b >0 4.已知函数f (x )=x 3+b x +3(b ∈R ), 若f(-5)=2,则f(5)= A.−2 B.2 C.-4 D.4
5.“tanα=-2”是 “cos2α=−35”的 A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知函数 f (x )={(3a −2)x +3,x ≤1,log a x +5a,x >1
(a ⟩0, 且a≠1)是R 上的单调函数，则a 的取值范围是 A.(0,23)∪(1,+∞) B.(0,12
]∪(1,+∞) C.(23,1)∪(1,+∞) D.[12,1)∪(1,+∞) 【高三数学 第1页(共4页)】 · 23-207C·
高三数学试卷
7.在平行四边形ABCD 中,E,F 分别在AB,CD 上,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF, DE 交于点P,若 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13
AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= A.14 B.13 C.25 D.12 8.如图,在梯形ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=BC=2,∠ABC=60°,将△ACD沿边AC 翻折，使点D 翻折到P 点，且PB =2√2,则三棱锥P —ABC 外接球的表面积是
A.12π
B.20π
C.48π
D.80π
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设等差数列{a ₙ}的前n 项和为Sn,其公差d>1,且a ₇+a ₉=16,则
A.a ₈=8
B.S₁₅=120
C.a ₁< 1
D.a ₂>2
10.已知复数 z ₁=2-i,z ₂=1+ai(a∈R),若z ₁·z ₂是纯虚数，则
A.a=2
B.|z ₁|=|z ₂|
C.z 22的实部是-3
D.z ₁+z ₂的实部与虚部互为相反数
11.2022年9月钱塘江出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图象近似函数f (x )=Asin (ωx +φ)(A,ω∈N +,|φ|<π3) 的图象，而破碎的涌潮的图象近似 f ′(x )(f ′(x )是函数f(x)的导函数)的图象.已知当x=2π时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为-4，则
A.ω=2
B.f (π3
)=√6+√2 C.f ′(x −π4)是偶函数 D.f ′(x )在区间(−π3,0)上单调 12.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，在堑堵ABC —A ₁B ₁C ₁中,P 是棱BB ₁的中点,AA ₁=AC=BC=2,若平面α过点P,且与AC ₁平行,则
D.当平面α截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于2√2
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A.异面直线AC ₁与CP 所成角的余弦值为√1010
B.三棱锥C ₁-ACP 的体积是该“堑堵”体积的
13 C.当平面α截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于3√32
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.已知向量a,b 的夹角为60°,且|b |=2|a |=2,则|t a+b |(t∈R)的最小值是 ▲ .
14.若f(2x-1)=x²-x+3,则f(3)= ▲ .
15.已知圆C ₁:x²+y²+4x -2y-4=0与圆C ₂:x²+y²-6x+2y+6=0,点A,B 在圆C ₂上,且 |AB|=2√2,线段AB 的中点为D ，则直线OD(O 为坐标原点)被圆C ₁截得的弦长的取值范围是 ▲ .
16.若关于x 的不等式 2eˣ+x⁻−2ax ≥3−a² 恒成立,则a 的取值范围是_▲ .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
在△ABC中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且asinAcosB +bsinAcosA =√3acosC.
(1)求角C 的大小;
(2)若a=3,且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =−1,求△ABC的面积. 18.(12分)
已知数列aₙ的前n 项和为Sₙ,a₁=1,aₙ₊₁=(λ+1)Sₙ+1(n ∈N₊,λ≠−2)且3a ₁,4a ₂,a ₃+13成等差数列.
(1)求 aₙ的通项公式；
(2)若aₙbₙ−log₄aₙ₊₁,求数列 bₙ的前n 项和Tn.
19.(12分)
已知函数f (x )=2cos (ωx +)(ω⟩1,||<π2) 的图象经过A (π4,−2),B (5π4,2) 两点，且f(x)在[−3π4,−π2
]上单调. (1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意的x ∈[π6,π2
],不等式2m²-5m+1≤f(x)恒成立,求m 的取值范围. 【高三数学 第3页(共4页)】 · 23-207C·
20.(12分)
如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是正方形，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD,E,F 分别是棱PC,AB 的中点.
21.(12分)
已知函数f(x)=2ax²-lnx+(4a-1)x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若对任意的x>0，不等式f (x )+e 2≥0 恒成立，求a 的取值范围. 22.(12分)
已知函数f (x )=eˣ−ax −a.
(1)当a=1时,证明:f(x)≥0.
(2)若f(x)有两个零点x ₁,x ₂(x ₁＜x ₂)且 x 2+1
x 1+1∈[2,e 2], 求x ₁十x ₂的取值范围.
【高三数学 第4页(共4页)】 · 23-207C · (1)证明:BE∥平面PDF.
(2)求平面PBC 与平面PDF 夹角的余弦值.。