2019年高考数学真题分类汇编专题04：数列(基础题)

2019年高考数学真题分类汇编专题04：数列（基础题）
一、单选题(共4题；共8分)
1．（2分）设a ，b ∈R ，数列{a n }，满足a 1 =a ，a n+1= a n 2+b ，b ∈N *，则（ ）
A ．当b= 12 时，a 10>10
B ．当b= 14 时，a 10>10
C ．当b=-2时，a 10>10
D ．当b=-4时，a 10>10
2．（2分）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=（ ）
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
3．（2分）古希腊吋期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
√5−12
(√5−1
2
≈0.618 ，称为黄金分割比例）
，著名的“断臂维纳斯“便是如此。

此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是 √
5−12。

若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为
105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）
A ．165cm
B ．175cm
C ．185cm
D ．190cm
4．（2分）记S n 为等差数列 {a n } 的前n 项和。

已知 S 4 =0， a 5 =5，则（ ）
A ．a n =2n-5
B ．a n =3n-10
C ．S n =2n 2-8n
D ．S n = 12
n 2-2n
二、填空题(共6题；共7分)
5．（1分）已知数列 {a n }(n ∈N ∗) 是等差数列， S n 是其前n 项和.若 a 2a 5+a 8=0,S 9=27 ，则
S 8 的值是 .
6．（1分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若 a 3=5,a 7=13 ，则 S 10= . 7．（1分）记S n 为等差数列{a n }项和，若a 1≠0，a 2=3a 1，则 S 10S
5
= 。

8．（2分）设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3，S5=-10，则a5=，S n的最小值为.
9．（1分）记S n为等比数列{a n}的前n项和。

若a1= 1
3，S3=3
4，
则S4=
10．（1分）记S n为等比数列{a n}的前n项和。

若a1= 1
3
，a42=6，则S5=
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】 【解答】选项B ：不动点满足 x 2
−x +14=(x −12)2
=0 时，如图，若 a 1=a ∈
(0,12), a n <12 ，
排除
如图，若 a 为不动点 12 则 a n =12
选项C ：不动点满足 x 2−x −2=(x −12)2
−94
=0 ，不动点为 ax−12 ，令 a =2 ，则 a n =2<
10 ， 排除
选项D ：不动点满足 x 2−x −4=(x −12)2−174
=0 ，不动点为 x =√172±12 ，令 a =√172±12 ，
则 a n =√
172±12
<10 ，排除.
故答案为：A
【分析】遇到此类问题，可以利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论 a 的可能取值，利用“排除法”求解.
2．【答案】C
【解析】 【解答】解：∵a 5=3a 3+4a 1，则 a 1q 4=3a 1q 2+4a 1 ，∵a 1≠0 ，∴q 4−3q 2−4=0 ，
解得 q 2=4 或 q 2=−1 （舍），∵各项均为正数，∴q =2 ，又∵等比数列{a n }的前4项为和为15，
∴a 1(1−q 4)
1−q
=15 ，解得 a 1=1 ，∴a 3=a 1q 2=4 ， 故答案为：C.
【分析】由已知利用等比数列的通项公式列式，得到q=2，再由前4项为和为15列式，解得 a 1=1 ，即可求出 a 3 的值.
3．【答案】B
【解析】 【解答】因为头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 √5−12 (√
5−12≈0.618 ，成为
黄金分割比例），此外，头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是 √
5−12
，所以设咽喉到肚脐的长
度为 x 厘米，肚脐到腰的长度为 y 厘米，依题意得： 26x =26+x y+105=√5−12≈0.618, ∴260.618
≈42，
所以身高为 26+x +y +105=26+42+26+42
0.618
≈178(厘米)， 所以最接近的身高是175厘米。

故答案为：B
【分析】利用黄金比例的概念结合对应边成比例求出某人满足要求最接近的身高。

4．【答案】A
【解析】 【解答】 ∵S 4=0,a 5=5, 利用等差数列通项公式和等差数列前n 项和公式得，
S 4=4a 1+
4×3
2
d =4a 1+6d,a 5=a 1+4d, ∴4a 1+6d =0，① ∴a 1+4d =5,②
①②联立求出: a 1=−3,d =2,
∴a n =a 1+(n −1)d =−3+(n −1)×2=2n −5
故答案为：A
【分析】利用等差数列通项公式和等差数列前n 项和公式结合已知条件求出等差数列的首项和公差，从而求出等差数列的通项公式。

5．【答案】16
【解析】 【解答】∵ 数列 {a n }(n ∈N ∗) 是等差数列，又 ∵ a 2a 5+a 8=0,
∴ 利用等差数列通项公式 a n =a 1+(n −1)d,n ∈N ∗， 得： (a 1+d)(a 1+4d)+a 1+7d =0，①
又∵ S n 是等差数列 {a n }(n ∈N ∗)的 前n 项和，且 S 9=27，
∴ 利用等差数列前n 项和公式 S n =na 1+n(n−1)2
d, 得：
9a 1+9×8
2d =27,②
①②联立，得： {
d=2a 1=−5
,
∴S 8=8a 1+
8×7
2
d =8×(−5)+28×2=−40+56=16 【分析】根据已知条件结合等差数列通项公式和等差数列前n 项和公式求出等差数列的首项和公差，再利用等差数列前n 项和公式求出等差数列前8项的和。

6．【答案】100
【解析】 【解答】解：∵a 3=5,a 7=13 ，∴{a 1
+2d =5
a 1+6d =13 ，∴a 1=1,d =2 ， ∴S 10=10a 1+10×92d =100 ，
故答案为：100.
【分析】由已知列式 {a 1
+2d =5
a 1+6d =13
，得到 a 1=1,d =2 ，代入等差数列的求和公式即可求值. 7．【答案】4
【解析】 【解答】解：∵等差数列{a n }中 a 1≠0，a 2=3a 1 ，∴d =2a 1 ，∴S 10S
5= 10a 1+45d
5a 1+10d =100a 1
25a 1
=4 ， 故答案为：4.
【分析】由已知得到 d =2a 1 ，利用等差数列的求和公式，代入化简即可求值.
8．【答案】0；-10
【解析】 【解答】解： {a 2=a 1+d =−3
S =55a 1+5×4
2d =−10 ， 解得 {a 1
=−4
d =1
，所以 a 5=a 1+4d =0 ， S n =−4n +n×(n−1)2
×1=n 22−9n 2 ，
根据二次函数的性质，当n=4或5时， S n 有最小值-10. 故答案为：0；-10.
【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项和公式，解方程组求出首项和公差，即可求出 a 3 和 S n ，结合二次函数的性质求出最小值即可.
9．【答案】58
【解析】 【解答】设等比数列的公比为q,利用等比数列的前n 项和公式， 当 q =1 时， S n =na 1, ∵a 1=13,∴S 3=3a 1=1,又∵S 3=3
4
≠1,∴q ≠1
当 q ≠1 时， S n =
a 1(1−q n )1−q , ∵a 1=13,∴S 3=13(1−q 3)1−q ,又∵S 3=34,∴13(1−q 3)1−q =34,
由求根公式求出q的值，根据题意，a1=1
3,S3=3
4,
∴q<0,从而确定q的值。

∴S4=S3+a4=S3+a1q3=5 8
【分析】利用分类讨论的方法结合等比数列前n项和公式求出q的值，从而利用S4与S3的关系式结合a1,q的值求出S4的值。

10．【答案】121
3
【解析】【解答】∵a1=1
3
,a42=a6,利用等比数列通项公式得，
(a1q3)2=a1q5,∴a12q6=a1q5，
∴a1q=1,①
∵a1=1
3
，②
①②联立求出: q=3,
∴S5=a1(1−q5)
1−q=
1
3(1−3
5)
1−3=
121
3
【分析】利用等比数列通项公式和等比数列前n项和公式结合已知条件a1=1
3
，求出等比数列的公比，从而利用等比数列的首项和公比求出等比数列的前5项的和。