新人教版九年级数学上册同步提升训练：22.1.1 二次函数

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新人教版九年级数学上册同步提升训练：22.1.1 二次函数
———提优清单———
提优点1：二次函数的概念及一般形式 提优点2：根据实际问题列二次函数关系式
———典型例题———
【例1】下列一定是二次函数的有（ ）
①y =2x 2－4xz ＋3；②y =4－3x ＋7x 2；③y=（2x －3）（3x
－2）－6x 2；④y =2
1
x
－3x ＋5；⑤y =ax 2＋bx ＋c （a ，b ，
c 为常数）；⑥y =（m 2＋1）x 2－2x －3（m 为常数）；⑦y =m 2x 2＋4x －3（m 为常数）．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【方法总结】判断一个函数是不是二次函数，先把关系式
化简整理，再分三个步骤来判断：（1）看它是否是整式，如果不是整式，则必不是二次函数；（2）当它是整式时，再看它是否是自变量的二次式，如果是自变量的二次式，那就是二次函数，否则就不是；（3）看它的二次项系数是否为0，如果不为0，那就是二次函数．
【例2】（2011•山东青岛）某商场经营某种品牌的童装，
购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．
（1）写出销售量y 件与销售单价x 元之间的函数关系式； （2）求销售该品牌童装获得的利润w 元与销售单价x 元之间的函数关系式．
【方法总结】列具体问题中的函数关系式，一般采取三步
走的策略：第一步认真审题，弄清题意，找出具体问题中的已知量和未知量，并分析出它们之间的关系；第二步套关系，列出函数关系式；第三步根据题意，确定自变量的取值范围．
变式：（2015•黑龙江哈尔滨期中）如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （米2）与x
（米）的关系式为 ．（不要求写出自变量x 的取值范围）
【例3】（2015•四川成都模拟）如图，已知等腰直角△ABC
的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时点A 与点N 重合，让△ABC 以每秒2cm 的速度向左运动，最终点A 与点M 重合． （1）求重叠部分面积y （cm 2）与时间t （s ）之间的函数
关系式；
（2）当t =5时，求y 的值； （3）当y =128时，求t 的值．
【方法总结】已知x 求函数y 的值，实质上是求代数值的
值；已知y 求自变量x 的值，实质上是解方程求方程的根．
———分层提优——— 复习巩固提优
1．（☆2013•湖南怀化）下列函数是二次函数的是（ ） A ．y =2x ＋1 B ．y =－2x ＋1 C ．y =x 2＋2 D ．y =
2
1
x －2 2．（☆2014•浙江杭州模拟）二次函数y =2x （x －3）的二次项系数与一次项系数的和为（ ）
A ．2
B ．－2
C ．－1
D ．－4 3．（☆☆ 2014•安徽省）某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y （元）关于
x的函数关系式为y= ．
4
．（☆☆2015•四川南充模拟）二次函数y=x2＋2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是．
5．（☆☆）已知函数y=（m2－m）x2＋（m－1）x＋m＋1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应满足什么条件？
6．（☆☆☆）在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．
（1）求y与x之间的关系式；
（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．
综合运用提优
7．（☆2015•浙江杭州期中）下列函数关系中，可以看做二
次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系
8．（☆☆2015•浙江丽水模拟）如图，四边形ABCD中，
∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）
A．y=2
25
x2B．y=
4
25
x2C．y=
2
5
x2D．y=
4
5
x2
9．（☆☆☆2014•湖北武汉联考）某商品现在的售价为每件
60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨1元，每星期要少卖8件；每降价1元，每星
期可多卖12件．已知商品的进价为每件40元．
（1）设每件涨价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式；
（2）设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，求出y关于x的函数关系式；
（3）问如何定价才能使每星期售出商品的利润达到6248元．
10．（☆☆☆）如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ 的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．
拓广探究提优
11．（☆☆☆☆☆2011•吉林省）如图，梯形ABCD中，
AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．从初始时刻开始，动点P，Q分别从点A，B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿
A→B→C→E的方向运动，到点E停止；动点Q沿B→C→E→D的方向运动，到点D停止，设运动时间为x s，△PAQ的面积为y cm2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）
解答下列问题：
（1）当x=2s时，y= cm2；当x=
9
2
s时，y= cm2．（2）当5≤x≤14 时，求y与x之间的函数关系式．
（3）当动点P在线段BC上运动时，求出y=
4
15
S梯形ABCD 时x的值．
———参考答案———
例1．【答案】B
【解析】①y =2x 2－4xz ＋3，含有两个自变量，不是二次函数；③y =（2x －3）（3x －2）－6x 2=－13x ＋6，是一次函数；
④y =
2
1
x －3x ＋5，分母中含有自变量，不是二次函数；⑤y =ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数），不一定是二次函数；⑦y =m 2x 2
＋4x －3（m 为常数）不一定是二次函数．
②y =4－3x ＋7x 2，是二次函数；⑥y =（m 2＋1）x 2－2x －3（m 为常数），m 2＋1≠0，一定是二次函数．∴只有②⑥一定是二次函数．
例2．【解析】（1）根据题意，得y =200＋（80－x ）×20=－20x ＋1800，
所以销售量y 件与销售单价x 元之间的函数关系式为y =－20x ＋1800（60＜x ≤80）； （2）w =（x －60）y =（x －60）（－20x ＋1800）=－20x 2＋3000x －108000，
所以销售该品牌童装获得的利润w 元与销售单价x 元之间的函数关系式w =－20x 2＋3000x －108000． 变式：【答案】y =－
2
1x 2
＋15x 【解析】∵AB 边长为x 米，而ABCD 是矩形，∴BC =21（30－x ），菜园的面积=AB ×BC =21（30－x ）•x ，∴y =－2
1x 2＋15x ．
例3．【解析】（1）△ABC 是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，AM =20－2t ，则重叠部分面积y =1
2
×AM 2=
12
（20－2t ）2=2t 2－40x ＋200； （2）当t =5时，y =
1
2
（20－2×5）2=50； （3）当y =128时，
1
2
（20－2t ）2=128，解得t 1=2，t 1=18（舍去），∴t =2． 1．【答案】C
【解析】y =2x ＋1，y =－2x ＋1，y =
2
1
x －2都是一次函数，y =x 2＋2是二次函数．
2．【答案】D
【解析】y =2x （x －3）=2x 2－6x ，所以二次项系数与一次项系数的和=2＋（－6）=－4． 3．【答案】a （1＋x ）2
【解析】根据增长后的量=增长前的量×（1＋增长率），可知今年二月份新产品的研发资金为a （1＋x ）元，则三月份新产品的研发资金为a （1＋x ）（1＋x ）=a （1＋x ）2． 4．【答案】3和－5
【解析】根据题意，得x 2＋2x －7=8，即x 2＋2x －15=0，解得x =3或－5． 5．【解析】（1）根据一次函数的定义，得m 2－m =0， 解得m =0或m =1， 又∵m －1≠0即m ≠1．
∴当m =0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义，得m 2－m ≠0， 解得m 1≠0，m 2≠1．
∴当m ≠0且m ≠1时，这个函数是二次函数．
6．【解析】（1）y =（2x ＋2x ＋x ＋x ）×30＋45＋2x 2×120=240x 2＋180x ＋45； （2）由题意可列方程240x 2＋180x ＋45=195，
整理得8x 2＋6x －5=0，即（2x －1）（4x ＋5）=0，解得x 1=0.5，x 2=－1.25（舍去）， ∴x =0.5，∴2x =1．
答：镜子的长和宽分别是1m 和0.5m ． 7．【答案】C
【解析】A 、距离一定，汽车行驶的速度与行驶的时间的积是常数，即距离，速度与时间成反比例关系；B 、设原来的人口是a ，x 年后的人口数是y ，则y =a （1＋1%）x ，不是二次函数关系；D 、设半径是r ，则周长C =2πr ，是一次函数关系． 8．【答案】C
【解析】作AE ⊥AC ，DE ⊥AE ，两线交于E 点，作DF ⊥AC 垂足为F 点，
∵∠BAD =∠CAE =90°，即∠BAC ＋∠CAD =∠CAD ＋∠DAE ，∴∠BAC =∠DAE ，又∵AB =AD ，∠ACB =∠E =90°，∴△ABC ≌△ADE （AAS ），∴BC =DE ，AC =AE ．设BC =a ，则DE =a ，DF =AE =AC =4BC =4a ，CF =AC －AF =AC －DE =3a ，在Rt △CDF 中，由勾股定理，得CF 2＋DF 2=CD 2，即（3a ）2＋（4a ）2=x 2，解得a =
5
x
，∴y =S 四边形ABCD
=S
梯形ACDE
=
2
1×（DE ＋AC ）×DF =
21×（a ＋4a ）×4a =10a 2=5
2
x 2．
9．【解析】（1）y ＝（60＋x －40）（300－8x ）＝－8x 2＋140x ＋6000； （2）y ＝（60－x －40）（300＋12x ）＝－12x 2－60x ＋6000； （3）当涨价时，－8x 2＋140x ＋6000＝6248，解得x 1=2，x 2=
2
31
（舍去）； 当降价时，－12x 2－60x ＋6000=6248，解得x 1=2，x 2=
3
31
（舍去）． 因此，售价为每件62元或58元时，每星期售出商品的利润达到6248元． 10．【解析】∵PB =6-t ，BE +EQ =6+t ，
∴S =
12PB •BQ =12PB •（BE +EQ ）=12（6-t ）（6+t ）=-1
2t 2+18， ∴S =－
12
t 2
＋18（0≤t ＜6）． 11．【解析】（1） 2；9． （2） 当5≤x ≤9时，如图：
C
Q
y = S 梯形ABCQ －S △ABP –S △PCQ =
21（5＋x －4）×421-×5（x －5）21
-（9－x ）（x －4）=
12x 2－7x ＋
65
2
， 所以y =
12x 2－7x ＋652
； 当9＜x ≤13时，如图：
C
P
y =
2
1
（x －9＋4）（14－x ）=－12x 2＋192x －35，
所以y =－
12x 2＋19
2
x －35； 当13＜x ≤14时
C
P
Q )
y =
2
1×8（14－x ）=－4x ＋56， 所以y =－4x ＋56．
（3） 当动点P 在线段BC 上运动时， ∵
15
4=
y S 梯形ABCD
154=
×2
1
（4＋8）×5 = 8，
即x ²－14x ＋49 = 0， 解得x 1 =x 2 = 7， ∴当x =7时，15
4
=
y S 梯形ABCD
．。