自主招生试题中常用的解题策略

自主招生试题中常用的解题策略
李保荣
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2018(000)014
【总页数】2页(P15-16)
【作者】李保荣
【作者单位】河北省邯郸市第一中学
【正文语种】中文
自主招生作为高校选拔的有益补充，受到越来越多学生及家长的重视,自主招生选拔出具有学科特长和创新潜质的优秀学生,其题目相对于高考在知识及方法上有其独到的考查视角.为了使学生适应自主招生考试,通过对近几年自招题的研究,下面几个解题策略值得重视．
1 观察、归纳与猜想及数学归纳法
例1 已知
(1)求an；
(2)设求证:{bn}的前n项和
(1)由a1=2,依次可得a2=3,a3=4,a4=5,…,故猜an=n+1.下面用数学归纳法证明: 当n=1时,a1=2=1+1,假设当n=k时,ak=k+1,则当n=k+1时,
当n=k+1时,命题也成立.
综上,对任意n∈N*, an=n+1.
(2)由(1)可得
所以
2 变量代换法
例2 已知
(1)求an；
(2)求证:2n+1·an<7.
(1)令则
由于所以所以
(2)令则f′(x)=1-cos x≥0,所以f(x)在区间内单调递增，f(x)≥f(0)=0，故对任意恒成立,证毕.
例3 已知x,y,z>0,且x2+y2+z2+2xyz=1,求证:
证明由条件易知x,y,z∈(0,1),x=cos A,y=cos B,z=cos 代入条件以cos A为主元配方，化简得cos A=-cos (B+C)，即A+B+C=π,此时
在△ABC中,
所以证毕.
3 变更主元法
例4 设k≥9,解关于x的方程
x3+2kx2+k2x+9k+27=0.
若以x为主元,则方程是关于x的一元三次方程，求解方程有些困难.若以k为主元,则方程是关于k的一元二次方程
xk2+(2x2+9)k+x3+27=
xk2+(2x2+9)k+(x+3)(x2-3x+9)=
[k+(x+3)][kx+(x2-3x+9)] .
所以x1=-k-3或x2+(k-3)x+9=0,
Δ=(k-3)2-36=k2-6k-27=k(k-6)-27≥9×3-27=0,
所以一元二次方程的解为
综上原方程的解为x1=-k-3,
4 逆向思维法
例5 试求一个整系数多项式f(x),使f(x)=0有一根为
从方程的根入手逐步去掉根号,由得所以
(x3+6x-3)2=2(3x2+2)2,
x6-6x4-6x3+12x2-36x+1=0.
即f(x)=x6-6x4-6x3+12x2-36x+1满足题意.
5 构造法
例6 已知存在正实数x,y,z满足则xy+2yz+3zx=________.
题目中3个等式隐含余弦定理的结构,可以尝试构造三角形来解决.
构造直角△ABC,AB=4,BC=3,CA=5,在△ABC内取一点P,使得以上构造满足题中所
有条件，且
S△ABC=S△APB+S△BPC+S△APC，
即
所以
在具体问题的求解过程中可以更快地掌握自主招生考试的考查重点及解题策略,为解决新问题提供了思路．这些策略并不是常规的解法,但是即使简单几步的尝试,就可能打开你的思路,本文列举的几种常用策略,希望能对大家的自主招生及高考有所帮助!。