凤台县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

凤台县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学
一、选择题
1．
已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于
π，则()f x 的一条对称轴是（ ）
A ．12x π=-
B ．12x π=
C ．6x π=-
D ．6
x π
=
2． P
是双曲线
=1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2
的内切圆圆心的横坐标为（ ）
A ．a
B ．b
C ．c
D ．a+b ﹣c 3． 两个随机变量x ，y 的取值表为
若x ，y 具有线性相关关系，且y ^
＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）
A ．x 与y 是正相关
B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6
C ．随机误差e 的均值为0
D ．样本点（3，4.8）的残差为0.65
4． 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线（ ）
A ．只有一条，不在平面α内
B ．只有一条，在平面α内
C ．有两条，不一定都在平面α内
D ．有无数条，不一定都在平面α内
5． 已知正△ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′
C
′的面积为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 在曲线y=x 2上切线倾斜角为的点是（
）
A ．（0，0）
B
．（2，4） C ．（，
） D ．（，）
7． 已知实数x ，y 满足约束条件，若y ≥kx ﹣3恒成立，则实数k 的数值范围是（ ）
A ．[﹣
，0]
B ．[0，
] C ．（﹣∞，0]∪[
，+∞）
D ．（﹣∞，﹣
]∪[0，+∞）
8． 定义在（0
，+∞）上的函数f （x ）满足：＜0，且f （2）=4，则不等式f （x ）﹣
＞0的解集为（ ） A ．（2，+∞） B ．（0，2） C ．（0，4） D ．（4，+∞）
9．
=（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．2
B ．4
C ．π
D ．2π
10．给出以下四个说法：
①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； ②
线性回归直线一定经过样本中心点
，；
③设随机变量ξ服从正态分布N （1，32）则p （ξ＜1）
=；
④对分类变量X 与Y 它们的随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“与X 与Y 有关系”的把握程度越小． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．若变量x y ，满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）
A ．-5
B ．-4 C.-2 D ．3 12．双曲线4x 2+ty 2﹣4t=0的虚轴长等于（ ） A
．
B ．﹣2t C
．
D ．4
二、填空题
13
．设双曲线
﹣
=1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．若∠F 1MF 2=90°，则△F 1MF 2的面积是 ．
14．已知x ，y
满足条件，则函数z=﹣2x+y 的最大值是 ．
15
．向量=（1，2，﹣2
），=（﹣3，x ，y
），且
∥，则x ﹣y= ．
16．设α为锐角，若sin （α
﹣
）
=，则cos2α= ．
17．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝k 1＋k 2·2n （k 1，k 2为常数），且a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________． 18．
已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，
（ +
λ）
⊥，则λ的值为 ．
三、解答题
19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知
tanA=，
c=
．
（Ⅰ
）求；
（Ⅱ）若三角形△ABC
的面积为，求角C ．
20．（本小题满分12分）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知k sin B＝sin A＋sin C（k为正常数），a＝4c.
（1）当k＝5
4
时，求cos B；
（2）若△ABC面积为3，B＝60°，求k的值．
21．（本小题满分12分）椭圆C：x2
a2＋y2
b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，A，B
是C的长轴上的两个顶点，已知|PF|＝1，k P A·k PB＝－1
2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的中心O的直线l交椭圆于M，N两点，求三角形PMN面积的最大值，并求此时l的方程．
22．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．
（1）求A∪B；
（2）求（∁U A）∩B；
（3）求∁U（A∩B）．
23．解关于x的不等式12x2﹣ax＞a2（a∈R）．
245
（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．
25．已知函数f（x）=．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断并证明f（x）的奇偶性；
（3）求证：f（）=﹣f（x）．
26．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（）=f（x1）﹣f（x2）．
（1）求f（1）的值；
（2）若当x＞1时，有f（x）＜0．求证：f（x）为单调递减函数；
（3）在（2）的条件下，若f（5）=﹣1，求f（x）在[3，25]上的最小值．
凤台县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D 【解析】
试题分析：由已知()2sin()6
f x x π
ω=+
，T π=，所以22π
ωπ=
=，则()2sin(2)6
f x x π
=+，令 2,62x k k Z ππ
π+
=+
∈，得,26
k x k Z ππ
=
+∈，可知D 正确．故选D ．
考点：三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的对称性． 2． 【答案】A
【解析】解：如图设切点分别为M ，N ，Q ， 则△PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标与Q 横坐标相同．
由双曲线的定义，PF 1﹣PF 2=2a ． 由圆的切线性质PF 1﹣PF 2=F I M ﹣F 2N=F 1Q ﹣F 2Q=2a ，
∵F 1Q+F 2Q=F 1F 2=2c ，
∴F 2Q=c ﹣a ，OQ=a ，Q 横坐标为a ． 故选A ．
【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义．
3． 【答案】
【解析】选D.由数据表知A 是正确的，其样本中心为（2，4.5），代入y ^＝bx ＋2.6得b ＝0.95，即y ^
＝0.95x ＋
2.6，当y ^
＝8.3时，则有8.3＝0.95x ＋2.6，∴x ＝6，∴B 正确．根据性质，随机误差e 的均值为0，∴C 正确．样
本点（3，4.8）的残差e ^
＝4.8－（0.95×3＋2.6）＝－0.65，∴D 错误，故选D. 4． 【答案】B
【解析】解：假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n
∴m ∥l 且n ∥l
由平行公理4得m ∥n
这与两条直线m 与n 相交与点P 相矛盾 又因为点P 在平面内
所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内
所以假设错误．
故选B．
【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．
5．【答案】D
【解析】解：∵正△ABC的边长为a，∴正△ABC的高为，
画到平面直观图△A′B′C′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，
∴△A′B′C′的高为=，
∴△A′B′C′的面积S==．
故选D．
【点评】本题考查平面图形的直观图的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
6．【答案】D
【解析】解：y'=2x，设切点为（a，a2）
∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1，
∴a=，
在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（，）．
故选D．
【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
7．【答案】A
【解析】解：由约束条件作可行域如图，
联立，解得B（3，﹣3）．
联立，解得A（）．
由题意得：，解得：．
∴实数k的数值范围是．
故选：A．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．8．【答案】B
【解析】解：定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：＜0．
∵f（2）=4，则2f（2）=8，
f（x）﹣＞0化简得，
当x＜2时，
⇒成立．
故得x＜2，
∵定义在（0，+∞）上．
∴不等式f（x）﹣＞0的解集为（0，2）．
故选B．
【点评】本题考查了构造已知条件求解不等式，从已知条件入手，找个关系求解．属于中档题．
9．【答案】A
【解析】解：∵（﹣cosx﹣sinx）′=sinx﹣cosx，
∴==2．
故选A．
10．【答案】B
【解析】解：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故①错；
②线性回归直线一定经过样本中心点（，），故②正确；
③设随机变量ξ服从正态分布N（1，32）则p（ξ＜1）=，正确；
④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故④不正确．
故选：B．
【点评】本题考查统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X，Y的关系，属于基础题．
11．【答案】B 【解析】
试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系31
y 22
x z =
+，直线系在可行域内的两个临界点分别为)2,0(A 和)0,1(C ，当直线过A 点时，32224z x y =-=-⨯=-，当直线过C 点
时，32313z x y =-=⨯=，即的取值范围为]3,4[-，所以Z 的最小值为4-.故本题正确答案为B.
考点：线性规划约束条件中关于最值的计算. 12．【答案】C
【解析】解：双曲线4x 2+ty 2
﹣4t=0可化为：
∴
∴双曲线4x 2+ty 2
﹣4t=0的虚轴长等于
故选C ．
二、填空题
13．【答案】 9 ．
【解析】解：双曲线
﹣=1的a=2，b=3，
可得c 2=a 2+b 2
=13，
又||MF
1|﹣|MF 2||=2a=4，|F 1F 2|=2c=2，∠F 1MF 2=90°，
在△F 1AF 2中，由勾股定理得： |F 1F 2|2=|MF 1|2+|MF 2|2
=（|MF 1|﹣|MF 2|）2+2|MF 1||MF 2|，
即4c 2=4a 2
+2|MF 1||MF 2|， 可得|MF 1||MF 2|=2b 2
=18，
即有△F1MF2的面积S=|MF1||MF2|sin∠F1MF2=×18×1=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
14．【答案】4．
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时，
直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．【答案】﹣12．
【解析】解：∵向量=（1，2，﹣2），=（﹣3，x，y），且∥，
∴==，
解得x=﹣6，y=6，
x﹣y=﹣6﹣6=﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目．
16．【答案】﹣．
【解析】解：∵α为锐角，若sin（α﹣）=，
∴cos（α﹣）=，
∴sin=[sin（α﹣）+cos（α﹣）]=，
∴cos2α=1﹣2sin2α=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．
17．【答案】
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝k1＋2k2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（k1＋k2·2n）－（k1＋k2·2n－1）＝k2·2n－1，∴k1＋2k2＝k2·20，即k1＋k2＝0，①
又a2，a3，a4－2成等差数列．
∴2a3＝a2＋a4－2，
即8k2＝2k2＋8k2－2.②
由①②联立得k1＝－1，k2＝1，
∴a n＝2n－1.
答案：2n－1
18．【答案】﹣．
【解析】解：+λ=（1+λ，2λ），∵（+λ）⊥，∴（+λ）•=0，即3（1+λ）+8λ=0，解得λ=﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，是基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意知，tanA=，
则=，即有sinA﹣sinAcosC=cosAsinC，
所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
由正弦定理，a=b，则=1；…
（Ⅱ）因为三角形△ABC的面积为，a=b、c=，
所以S=absinC=a2sinC=，则，①
由余弦定理得，=，②
由①②得，cosC+sinC=1，则2sin （C+）=1，sin （C+）=，
又0＜C ＜π，则C+
＜
，即C+
=
，
解得C=
…．
【点评】本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系、两角和的正弦公式等，注意内角的范围，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵54sin B ＝sin A ＋sin C ，由正弦定理得5
4
b ＝a ＋
c ，
又a ＝4c ，∴5
4b ＝5c ，即b ＝4c ，
由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（4c ）2＋c 2－（4c ）22×4c ·c ＝1
8.
（2）∵S △ABC ＝3，B ＝60°.
∴1
2
ac sin B ＝ 3.即ac ＝4. 又a ＝4c ，∴a ＝4，c ＝1.
由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝42＋12－2×4×1×1
2＝13.
∴b ＝13，
∵k sin B ＝sin A ＋sin C ，
由正弦定理得k ＝a ＋c b ＝513
＝513
13，
即k 的值为513
13.
21．【答案】 【解析】解：
（1）可设P 的坐标为（c ，m ）， 则c 2a 2＋m 2
b
2＝1， ∴m ＝±b 2
a ，
∵|PF |＝1 ，
即|m |＝1，∴b 2＝a ，①
又A ，B 的坐标分别为（－a ，0），（a ，0），
由k P A ·k PB ＝－1
2
得
b 2a
c ＋a ·b 2a
c －a
＝－12，即b 2＝1
2a 2，②
由①②解得a ＝2，b ＝2，
∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2
2
＝1.
（2）当l 与y 轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P 的坐标为P （2，1），此时S △PMN ＝1
2
×22×2＝
2.
当l 不与y 轴重合时，设其方程为y ＝kx ，代入C 的方程得x 24＋k 2x 22＝1，即x ＝±2
1＋2k
2
，
∴y ＝±2k
1＋2k 2
，
即M （21＋2k
2
，
2k 1＋2k
2
），N （
－21＋2k
2
，
－2k 1＋2k
2
），
∴|MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫41＋2k 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k 1＋2k 22 ＝4
1＋k 21＋2k 2
，
点P （2，1）到l ：kx －y ＝0的距离d ＝|2k －1|k 2＋1，∴S △PMN ＝12|MN |d ＝1
2
·
4
1＋k 21＋2k 2·|2k －1|
k 2＋1
＝2·|2k －1|
1＋2k 2
＝2
2k 2＋1－22k
1＋2k 2
＝2
1－22k 1＋2k 2
， 当k ＞0时，22k 1＋2k 2≤22k
22k ＝1，
此时S ≥0显然成立， 当k ＝0时，S ＝2.
当k ＜0时，－22k 1＋2k 2≤1＋2k 2
1＋2k 2＝1，
当且仅当2k 2＝1，即k ＝－
2
2
时，取等号． 此时S ≤22，综上所述0≤S ≤2 2.
即当k ＝－22时，△PMN 的面积的最大值为22，此时l 的方程为y ＝－2
2x .
22．【答案】
【解析】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．
（1）A∪B={1，2，3，4，5，7}
（2）（∁U A）={1，3，6，7}
∴（∁U A）∩B={1，3，7}
（3）∵A∩B={5}
∁U（A∩B）={1，2，3，4，6，7}．
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．
23．【答案】
【解析】解：由12x2﹣ax﹣a2＞0⇔（4x+a）（3x﹣a）＞0⇔（x+）（x﹣）＞0，
①a＞0时，﹣＜，解集为{x|x＜﹣或x＞}；
②a=0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③a＜0时，﹣＞，解集为{x|x＜或x＞﹣}．
综上，当a＞0时，﹣＜，解集为{x|x＜﹣或x＞}；
当a=0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，﹣＞，解集为{x|x＜或x＞﹣}．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）解法一：
依题意有，
答案一：∵∴从稳定性角度选甲合适．
（注：按（Ⅱ）看分数的标准，5次考试，甲三次与乙相当，两次优于乙，所以选甲合适．
答案二：∵乙的成绩波动大，有爆发力，选乙合适．
解法二：因为甲5次摸底考试成绩中只有1次90，甲摸底考试成绩不低于90的概率为；
乙5次摸底考试成绩中有3次不低于90，乙摸底考试成绩不低于90的概率为．
所以选乙合适．
（Ⅱ）依题意知5次摸底考试，“水平相当”考试是第二次，第三次，第五次，记为A，B，C．“水平不相当”考试是第一次，第四次，记为a，b．
从这5次摸底考试中任意选取2次有ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10种情况．
恰有一次摸底考试两人“水平相当”包括共aA，aB，aC，bA，bB，bC共6种情况．
∴5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，恰有一次摸底考试两人“水平相当”概率．
【点评】本题主要考查平均数，方差，概率等基础知识，运算数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查化归转化思想、或然与必然思想．
25．【答案】
【解析】解：（1）∵1+x2≥1恒成立，∴f（x）的定义域为（﹣∞，+∞）；
（2）∵f（﹣x）===f（x），
∴f（x）为偶函数；
（3）∵f（x）=．
∴f（）===﹣=﹣f（x）．
即f（）=﹣f（x）成立．
【点评】本题主要考查函数定义域以及函数奇偶性的判断，比较基础．
26．【答案】
【解析】解：（1）令x1=x2＞0，
代入得f（1）=f（x1）﹣f（x1）=0，
故f（1）=0．…（4分）
（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，
由于当x＞1时，f（x）＜0，所以f（）＜0，
即f（x1）﹣f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．…（8分）
（3）因为f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，
所以f（x）在[3，25]上的最小值为f（25）．
由f（）=f（x1）﹣f（x2）得，
f（5）=f（）=f（25）﹣f（5），而f（5）=﹣1，
所以f（25）=﹣2．
即f（x）在[3，25]上的最小值为﹣2．…（12分）
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关键．。