直线与圆的位置关系知识点及练习—精品文档

直线与圆的位置关系
一．自主归纳，自我查验
1.自主归纳
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系．
d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．
(2)代数法：――→判别式
Δ＝b 2
－4ac
⎩⎪⎨⎪⎧
>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.
2．圆与圆的位置关系
设圆O 1：(x －a 1)2
＋(y －b 1)2
＝r 2
1(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2
＋(y －b 2)2
＝r 2
2(r 2>0).
【知识拓展】
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x 2
＋y 2
＝r 2
上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2
.
(2)过圆(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2
.
(3)过圆x 2
＋y 2
＝r 2
外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝
r 2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2
，y 2
项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程． 2.自我查验
1、判断正误
(1)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2
＝1相交”的必要不充分条件．( × ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )
(5)过圆O ：x 2
＋y 2
＝r 2
上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2
.( √ ) 2．(教材改编)圆(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心 D ．相离 答案 B
解析 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|
22
＋1＝5<6且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．
2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2
＋y 2
＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3] C ．[－3,1] D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴
|a －0＋1|12
＋－1
2
≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.
3．(2014·湖南)若圆C 1：x 2
＋y 2
＝1与圆C 2：x 2
＋y 2
－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 等于( ) A ．21 B ．19 C ．9 D ．－11 答案 C
解析 圆C 1的圆心C 1(0,0)，半径r 1＝1，圆C 2的方程可化为(x －3)2
＋(y －4)2
＝25－m ，所以圆心C 2(3,4)，半径r 2＝25－m ，从而|C 1C 2|＝32
＋42
＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.
5．(教材改编)圆x 2
＋y 2
－4＝0与圆x 2
＋y 2
－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________． 答案 2 2
解析 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋y 2
－4＝0，
x 2＋y 2
－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.
又圆x 2
＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22
＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为
4－2＝2，所以，所求弦长为2 2.
二．典型例题
题型一 直线与圆的位置关系
例1：判断以下直线与圆()()4212
2
=-+-y x 的位置关系：
⑴0243=-+y x ⑵2-=x y ⑶0834=--y x
破题思路：（1）几何方法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系．
d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．
(2)代数法：――→判别式
Δ＝b 2
－4ac
⎩⎪⎨⎪⎧
>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.
答案:⑴相交，25
9
=
d ； ⑵相交，25
5
3 =
d ； ⑶相切，2=d ；
变式训练 （1）(2016·湖北七市联考)将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2
＋y 2
＝4的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．相交或相切
解析：选B 依题意得，直线l 的方程是y ＝tan 150°(x －1)＝－
3
3
(x －1)，即x ＋3y －1＝0，圆心(－3,0)到直线l 的距离d ＝|－3－1|
3＋1＝2，因此该直线与圆相切．
（2） 已知圆82
2
=+y x ，定点P ()0,4，问过点P 的直线斜率在什么范围时，直线与圆相
切、相离、相交。

题型二 圆的切线问题
例2 ⑴当 k 为何值时，直线l ：y ＝kx ＋5 与圆 C ：1)1(2
2
=+-y x (1)相交？ (2)相切？ (3)相离？ 答案：当512
k 时，相交；当512=k 时，相切；当5
12 k 时，相离；
⑵求经过点(1，－7)且与圆252
2=+y x 相切的切线方程 答案：02534=--y x 或02543=-+y x 。

解析：设过点(1，－7)的直线方程为()17-=+x k y ，圆心()0,0到直线的距离
5172
==++=
r k k
d ，解得:43
-34或=k .
变式训练（1）求由下列条件所决定的圆42
2
=+y x 的切线方程： (1)经过点P (3，1)； (2)经过点 Q(3,0)； (3)斜率为－1.
⑵求过点A(3，－3)且与圆4)1(2
2=+-y x 相切的直线l 的方程.
方法规律：圆的切线方程的2种求法
(1)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .
(2)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .
[提醒] 若点M (x 0，y 0)在圆x 2
＋y 2
＝r 2
上，则过M 点的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2
. 题型三 圆的弦长问题
例3：⑴圆截直线所得弦长为（ )
A
B 、 C
、1 D 、5 【答案】A
【解析】将配方得：22
(2)(2)2x y -++=，所以圆心到直线
的距离为2
d =
=
，弦长为l ===A ．
⑵已知点⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--23,3P ，圆，求过点P 并满足下列条件的直线方程：
①弦长为8； ②弦长最大； ③弦长最小；
22
4460x y x y +-++=50x y --=2
224460x y x y +-++=22
:25C x y +=
题型四 圆与圆的位置关系
例4：⑴圆(x ＋2)2
＋y 2
＝4与圆(x －2)2
＋(y －1)2
＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 答案 B
解析 (1)两圆圆心分别为(－2,0)和(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42
＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．
⑵已知圆，圆，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长． 【答案】3460x y -+=,
245
.
变式训练：⑴若圆与圆相切，求实数的值．
【答案】1m =±或11m =±
【解析】将配方得：22
(3)(4)36x y ++-=.由于两圆相切，故
d R r =-或d R r =+.圆心间的距离5d =，所以56m =-或56m =+，解之得
1m =±或11m =±.
⑵已知圆：和圆：，则当它们圆心之间的距离最短时，两圆的位置关系如何? 【答案】两圆相交
【解析】将配方得： 22
()1x k y -+=.将
配方得：22[(1)]1x y k +-+=.两圆心间的距离为
222112
[0(1)]2()22d k k k =+-+=++≥，其最小值等于22
.因为两圆的半径都
为1，2
11112
-<
<+，所以两圆相交. 221:2610C x y x y ++-+=2
2
2:42110C x y x y +-+-=222
x y m +=2268x y x y ++-110-=m 2268x y x y ++-110-=1C 2
2
2
210x y kx k +-+-=2C 2
2
2
2(1)20x y k y k k +-+++=2
2
2
210x y kx k +-+-=2222(1)20x y k y k k +-+++=
错例分析（宋体小四加粗）
例5例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2
＋(y －1)2
＝1的切线，求此切线的方程． 错解： 因为(4－3)2
＋(－3－1)2
＝17>1， 所以点A 在圆外． (1)设切线斜率为k ，
则切线方程为y ＋3＝k (x －4)．即kx －y －3－4k ＝0， 因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1，
所以|3k －1－3－4k |k 2
＋1
＝1，即|k ＋4|＝k 2
＋1， 所以k 2＋8k ＋16＝k 2
＋1.解得k ＝－158
.
所以切线方程为y ＋3＝－15
8(x －4)，
即15x ＋8y －36＝0.
正解：15x ＋8y －36＝0或4=x 。

高分跨越
例6 设圆上有且仅有两个点到直线的距离
等于1，则圆半径r 的取值范围是 ． 【答案】
222
(3)(5)(0)x y r r -
++=>4320x y --=46r <<。