人教版数学高二-重庆市田家炳中学高二(下)第一次月考数学试卷(文科)

2015-2016重庆市江津区田家炳中学高二（下）第一次月考
数学试卷（文科）
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分
1．若复数z=3﹣i，则z在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（）
A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=﹣1，b=﹣1
3．设有一个回归方程为=2﹣2.5x，则变量x增加一个单位时（）
A．y平均增加2.5个单位B．y平均增加2个单位
C．y平均减少2.5个单位D．y平均减少2个单位
4．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的
5．为研究变量x和y的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程l1和l2，两人计算知相同，也相同，下列正确的是（）
A．l1与l2一定重合B．l1与l2一定平行
C．l1与l2相交于点（，）D．无法判断l1和l2是否相交
6．用反证法证明命题“若a2+b2+c2=0，则a=b=c=0”时，第一步应假设（）
A．a≠0且b≠0且c≠0 B．abc≠0
C．a≠0或b≠0或c≠0 D．a+b+c≠0
7．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为（）
A．0.72 B．C．0.8 D．0.5
8．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）
A．0.2，0.2 B．0.2，0.8 C．0.8，0.2 D．0.8，0.8
9．如图所示，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF：FD为（）
A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．5：1
10．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（）
A．B．C．D．
11．在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB=30°，AP=，则CP=（）
A．B．2C．2﹣1 D．2+1
12．如图给出的是计算+++…+的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）
A．i＞5 B．i＜5 C．i＞10 D．i＜10
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．如图所示，有5组（x，y）数据，去掉组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．
14．如图，在△ABC中，MN∥DE∥BC，若AE：EC=7：3，则DB：AB的值为．
15．若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数=．
16．从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n个等式为．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分）
17．实数m取什么值时，复数z=（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
（4）表示复数z的点在第三象限？
18．已知x，y∈R+，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2．
19．调查某桑场采桑员和辅助工患桑毛虫皮炎病的情况，结果如下表：
采桑不采桑合计
患者人数18 12 30
健康人数 5 78 83
合计23 90 113
利用2×2列联表的独立性检验估计，“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关？认为两者有关系会犯错误的概率是多少？附表：
P（K≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．某种产品的广告费用支出x万元与销售额y万元之间有如下的对应数据：
x 24 5 6 8
y 20 30 50 50 70
（1）画出上表数据的散点图；
（2）根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（3）据此估计广告费用为10万元时，所得的销售收入．（参考数值：，，）21．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；
（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．
22．如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6，BC=4，求AE．
2015-2016重庆市江津区田家炳中学高二（下）第一次月考数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，满分60分
1．若复数z=3﹣i，则z在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】直接由给出的复数得到对应点的坐标，则答案可求．
【解答】解：因为复数z=3﹣i，所以其对应的点为（3，﹣1），
所以z在复平面内对应的点位于第四象限．
故选D
2．若a，b∈R，i为虚数单位，且（a+i）i=b+i则（）
A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=﹣1，b=﹣1
【考点】复数相等的充要条件．
【分析】根据所给的关于复数的等式，整理出等式左边的复数乘法运算，根据复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等，得到a，b的值．
【解答】解：∵（a+i）i=b+i，
∴ai﹣1=b+i，
∴a=1，b=﹣1，
故选C．
3．设有一个回归方程为=2﹣2.5x，则变量x增加一个单位时（）
A．y平均增加2.5个单位B．y平均增加2个单位
C．y平均减少2.5个单位D．y平均减少2个单位
【考点】线性回归方程．
【分析】回归方程y=2﹣2.5x，变量x增加一个单位时，变量y平均变化﹣（2﹣2.5x），及变量y平均减少2.5个单位，得到结果．
【解答】解：回归方程y=2﹣2.5x，变量x增加一个单位时，
变量y平均变化﹣（2﹣2.5x）=﹣2.5，
∴变量y平均减少2.5个单位，
故选C．
4．用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的
【考点】演绎推理的基本方法．
【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．
【解答】解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，
大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．
故选A．
5．为研究变量x和y的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程l1和l2，两人计算知相同，也相同，下列正确的是（）
A．l1与l2一定重合B．l1与l2一定平行
C．l1与l2相交于点（，）D．无法判断l1和l2是否相交
【考点】线性回归方程．
【分析】由题意知，两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，所以两组数据的样本中心点是（，），回归直线经过样本的中心点，得到直线l1和l2都过（，）．
【解答】解：∵两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，
∴两组数据的样本中心点是（，）
∵回归直线经过样本的中心点，
∴l1和l2都过（，）．
故选C．
6．用反证法证明命题“若a2+b2+c2=0，则a=b=c=0”时，第一步应假设（）
A．a≠0且b≠0且c≠0 B．abc≠0
C．a≠0或b≠0或c≠0 D．a+b+c≠0
【考点】反证法与放缩法．
【分析】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出与题设或与已知条件或与事实相矛盾，从而肯定命题的结论正确．
【解答】解：用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，
所以用反证法证明命题“若a2+b2+c2=0，则a=b=c=0”时，第一步应假设a≠0或b≠0或c≠0，
故选C．
7．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为（）
A．0.72 B．C．0.8 D．0.5
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】由条件利用相互独立事件的概率乘法公式求得这粒种子能成长为幼苗的概率．
【解答】解：由于种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，
则这粒种子能成长为幼苗的概率为0.9×0.8=0.72，
故选：A．
8．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）
A．0.2，0.2 B．0.2，0.8 C．0.8，0.2 D．0.8，0.8
【考点】程序框图．
【分析】计算循环中a的值，当a≥1时不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．
【解答】解：若第一次输入的a的值为﹣1.2，满足上面一个判断框条件a＜0，
第1次循环，a=﹣1.2+1=﹣0.2，
第2次判断后循环，a=﹣0.2+1=0.8，
第3次判断，满足上面一个判断框的条件退出上面的循环，进入下面的循环，
不满足下面一个判断框条件a≥1，退出循环，输出a=0.8；
第二次输入的a的值为1.2，不满足上面一个判断框条件a＜0，退出上面的循环，进入下面的循环，满足下面一个判断框条件a≥1，
第1次循环，a=1.2﹣1=0.2，
第2次判断后不满足下面一个判断框的条件退出下面的循环，输出a=0.2；
故选C．
9．如图所示，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF：FD为（）
A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．5：1
【考点】平行线分线段成比例定理．
【分析】要求AF：FD的比，需要添加平行线寻找与之相等的比．
【解答】解：过D作DG∥AC交BE于G，∵D是BC的中点，则DG=EC，
又AE=2EC，故AF：FD=AE：DG=2EC：EC=4：1．
故选：A．
10．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（）
A．B．C．D．
【考点】数列的求和．
【分析】由于数列中，1有一项，和为1，有两项，和为1，前100项中，有13项，和为1，，代入求出前100项的和．
【解答】解：
=1×
故选A．
11．在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB=30°，AP=，则CP=（）
A．B．2C．2﹣1 D．2+1
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】画出图象，利用边角关系即可求出CP的长度．
【解答】解：结合图象，
由题意∠APB=30°，因为AP为圆的切线，所以∠APO=90°，所以∠BPO=60°，
又CB为直径，所以∠CPB=90°，所以∠CPO=30°，所以∠APC=120°，
又PO=BO，所以∠BPO=∠PBO=∠POB=60°，所以∠PAC=30°，所以∠PCA=30°，所以PC=PA=．故答案选：A．
12．如图给出的是计算+++…+的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）
A．i＞5 B．i＜5 C．i＞10 D．i＜10
【考点】程序框图．
【分析】由本程序的功能是计算+++…+的值，由S=S+，故我们知道最后一次进行循环时的条件为i=5，当i＞5应退出循环输出S的值，由此不难得到判断框中的条件．
【解答】解：∵S=+++…+并由流程图中S=S+故循环的初值为1，
终值为5、步长为1．
故经过5次循环才能算出S=+++…+的值，
故i＞5，应满足条件，退出循环．
应填入“i＞5”．
故选：A．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．如图所示，有5组（x，y）数据，去掉D组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．
【考点】两个变量的线性相关．
【分析】根据线性相关的意义知，当所有的数据在一条直线附近排列时，这些事件具有很强的线性相关关系，在条件中所给的五组数据中只有D不在这条线附近，故去掉D点．
【解答】解：∵A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，
D点离得远．
∴去掉D点剩下的4组数据的线性相关性最大
故答案为：D．
14．如图，在△ABC中，MN∥DE∥BC，若AE：EC=7：3，则DB：AB的值为3：10．
【考点】平行线分线段成比例定理．
【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得出答案．
【解答】解：∵MN∥DE∥BC，
∴DB：AB=EC：AC，
∵AE：EC=7：3，
∴DB：AB=3：10．
故答案为：3：10．
15．若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数=i．
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．
【分析】本题考查的知识点是共轭复数的定义，由复数z满足z（1+i）=1﹣i，我们可能使用待定系数法，设出z，构造方程，求出z值后，再根据共轭复数的定义，计算
【解答】解：设z=a+bi，
则∵（a+bi）（1+i）=1﹣i，
即a﹣b+（a+b）i=1﹣i，
由，
解得a=0，b=﹣1，
所以z=﹣i，
=i，
故答案为i．
16．从1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，推广到第n个等式为1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1•n2=（﹣1）n+1•（1+2+3+…+n）．
【考点】归纳推理．
【分析】本题考查的知识点是归纳推理，解题的步骤为，由1=1，1﹣4=﹣（1+2），1﹣4+9=1+2+3，1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4），…，中找出各式运算量之间的关系，归纳其中的规律，并大胆猜想，给出答案．
【解答】解：∵1=1=（﹣1）1+1•1
1﹣4=﹣（1+2）=（﹣1）2+1•（1+2）
1﹣4+9=1+2+3=（﹣1）3+1•（1+2+3）
1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）=（﹣1）4+1•（1+2+3+4）
…
所以猜想：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1•n2=（﹣1）n+1•（1+2+3+…+n）
故答案为：1﹣4+9﹣16+…+（﹣1）n+1•n2=（﹣1）n+1•（1+2+3+…+n）
三、解答题（本大题共6小题，满分70分）
17．实数m取什么值时，复数z=（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
（4）表示复数z的点在第三象限？
【考点】复数的基本概念．
【分析】（1）若复数z为实数，则m2﹣3m=0，解得m 的值．
（2）复数z为虚数，则m2﹣3m≠0，解得m满足的关系式．
（3）复数z为纯虚数，则，求得m的值．
（4）复数z对应点在第三象限，则，解得m 的范围．
【解答】解：（1）若复数z为实数，则m2﹣3m=0，解得m=0，或m=3．
（2）复数z为虚数，则m2﹣3m≠0，解得m≠0且m≠3．
（3）复数z为纯虚数，则，解得，∴m=2．
（4）复数z对应点在第三象限，则，解得2＜m＜3．
18．已知x，y∈R+，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2．
【考点】反证法与放缩法；不等式．
【分析】本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立．
【解答】解：用反证法．假设与都大于或等于2，
即，
∵x，y∈R+，故可化为，
两式相加，得x+y≤2，
与已知x+y＞2矛盾．
所以假设不成立，即原命题成立．
19．调查某桑场采桑员和辅助工患桑毛虫皮炎病的情况，结果如下表：
采桑不采桑合计
患者人数18 12 30
健康人数 5 78 83
合计23 90 113
利用2×2列联表的独立性检验估计，“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关？认为两者有关系会犯错误的概率是多少？附表：
P（K≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【考点】独立性检验的应用．
【分析】根据所给的表格中的数据，代入求观测值的公式求出观测值，同临界值进行比较，得到有99.9%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系．
【解答】解：由列联表知：a=18，b=12，c=5，d=78，
a+b=30，c+d=83，a+c=23，b+d=90，n=113．
∴K2==≈39.6＞10.828．
∴有99.9%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系．
认为两者有关系，犯错误的概率不超过0.1%．
20．某种产品的广告费用支出x万元与销售额y万元之间有如下的对应数据：
x 24 5 6 8
y 20 30 50 50 70
（1）画出上表数据的散点图；
（2）根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（3）据此估计广告费用为10万元时，所得的销售收入．（参考数值：，，）【考点】回归分析的初步应用；线性回归方程．
【分析】（1）根据表中所给的三个点的坐标，在坐标系中描出点，得到散点图．
（2）先做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的数据，写出线性回归方程的系数，求出a的值，写出线性回归方程．
（3）把广告费用的值代入线性回归方程，预报出函数的值，求出的值是一个估计值，不是发生一定会出现的值．
【解答】解：（1）根据表中所给的三个点的坐标，在坐标系中描出点，得到散点图．
（2），
因此回归直线方程为；
（3）当x=10时，
预报y的值为y=8.5×10+1.5=86.5．
故广告费用为10万元时，所得的销售收入大约为86.5万元
21．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；
（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．
【考点】相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】根据题意，记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5），
（1）“再赛2局结束这次比赛”包含“甲连胜3、4局”与“乙连胜3、4局”两个互斥的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案，
（2）若“甲获得这次比赛胜利”，即甲在后3局中，甲胜2局，包括3种情况，根据概率的计算方法，计算可得答案．
【解答】解：记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），
“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5）．
（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A3•A4+B3•B4，
由于各局比赛结果相互独立，
故P（A）=P（A3•A4+B3•B4）=P（A3•A4）+P（B3•B4）=P（A3）P（A4）+P（B3）P（B4）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件H，
因前两局中，甲、乙各胜1局，
故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，
甲先胜2局，从而B=A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5，
由于各局比赛结果相互独立，
故P（H）=P（A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5）
=P（A3•A4）+P（B3•A4•A5）+P（A3•B4•A5）
=P（A3）P（A4）+P（B3）P（A4）P（A5）+P（A3）P（B4）P（A5）
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648
22．如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6，BC=4，求AE．
【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．
【分析】（1）在两个三角形中，证明两个三角形全等，找出三角形全等的条件，根据同弧所对的圆周角相等，根据所给的边长相等，由边角边确定两个三角形是全等三角形．
（2）根据角的等量代换得到一个三角形中两个角相等，得到等腰三角形，得到BE=4，可以证明△ABE 与△DEC相似，得到对应边成比例，设出要求的边长，得到关于边长的方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD
又∠BAE=∠EDC
∵BD∥MN
∴∠EDC=∠DCN
∵直线是圆的切线，
∴∠DCN=∠CAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△ABE≌△ACD
（2）解：∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC
∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB
∴BC=BE=4
设AE=x，易证△ABE∽△DEC
∴
∴DE=
又AE•EC=BE•ED EC=6﹣x ∴4×
∴x=
即要求的AE的长是
2016年5月21日。