第六章第三节 区间估计

§6.3 区间估计
一、概念
定义6.3.1 设总体X 含有未知参数θ，对于给定的数)10(<<αα，若由样本,,(21X X ),n X 可确定两个统计量
),,(ˆˆ2111n
X X X θθ=和),,(ˆˆ2122n
X X X θθ=，使得 αθθθ-=<<1}ˆˆ{21P 则称)ˆ,ˆ(2
1θθ为参数θ的置信度为α-1的置信区间，α-1称为置信度（置信水平），α显著性水平，1ˆθ和2
ˆθ分别称为置信下限和置信上限。

例 6.3.1 巳知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布
)108.0,(2μN ，现测量五炉铁水，其平均含碳量为364.4=x ，试求铁水平均含碳
量μ的置信度为95.0的置信区间。

解 由于样本均值X 是总体均值μ的一个点估计，由
~(0,1)X U N μ
σ
-=
2{||}1P U U αα<=-， 即
2{|
|}1X P U αμ
ασ
-<=-。

图6,3.1
由于不等式
2U α<
与不等式22X X ααμ<<+
是等价
的，
因此
2{}1p X X ααμα<<=-，
由定义6.3.1，我们得到了μ的置信度为α-1的置信区间为
2,X X αα⎛⎫ ⎪⎝
⎭。

将95.01=-α，0.025 1.96U U α==，5=n 代入，得
2 4.364 1.96 4.269X α-
=-=，
2 4.364 1.96 4.459X α+
=+=。

所以，μ的一个置信度为95.0置信区间为)459.4,269.4(。

由此例，我们可以归纳出求未知参数θ的置信区间的一般方法：
（1） 构造一个随机变量),,,,(21θn X X X T T =，它只含待估参数θ，而
不含其它未知参数，并且T 的分布巳知且与θ无关。

（2） 对给定的置信度α-1，由T 的分布找出二个数值21,t t ，使得 α-=<<1}{21t T t P 。

（3） 将不等式2211),,,,(t X X X T t n <<θ 转化为等价的不等式形式
),,,(ˆ),,,(ˆ212211n
n X X X X X X θθθ<<， 则有
αθθθ-=<<1)},,,(ˆ),,,(ˆ{212211n n X X X X X X P ， 由定义6.3.1，则)ˆ,ˆ(2
1θθ就是θ的置信度为α-1的置信区间。

二、正态总体数学期望的区间估计
（1） 单个正态总体数学期望的区间估计
设总体),(~2σμN X ，),,,(21n X X X 为取自总体X 的一个样本，2,S X 分别为样本均值和样本方差。

（i ）2
σ巳知，求μ的置信区间
由例6.3.1，取仅含有待估参数μ
的随机变量X U μ
σ
-=
，)1,0(~N U ，于是
对给定的置信度α-1，μ的置信度为α-1的置信区间为
2,X X αα⎛⎫
⎪⎝
⎭
例6.3.2 从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为（单位：cm ）
2 .14, 2 .10, 2 .13, 2 .15 ,
2 .1
3 ,2 .12 ,2 .13 ,2 .10 ,2 .15 ,2 .12 ,2 .1
4 ,2 .10 ,2 .13 ,2 .11 ,2 .14 ,2 .11。

设钉长服从正态分布),(2σμN ，巳知01.0=σcm ，试求μ的置信度为0.90的置信区间。

解 因为)01.0,(~2μN X ，所以方差2
σ巳知，求数学期望μ的置信区间。

2.125X =，01.0=σ，16=n ，1.0=α。

查标准正态分布表，得
05.02u u =α=645.1，由式（6.2.2），有 置信上限为
0.05 2.125 1.645 2.121X ==，
置信下限为0.05 2.125 1.645 2.129X +
==， 因此，μ的置信区间为)129.2,121
.2(。

（ii ）2
σ未知，求μ的置信区间
由于μ和2
σ
均未知，X U μ
σ
-=
含有两个未知参数，因此式（6.3.1）含有未
知参数2σ而求不出μ的置信区间。

由于样本方差2S 是总体方差2
σ的无偏估计量，很自然想到用2
S 代替2
σ。

考虑随机变量X T μ
-=
，它只含一个未知参数μ，由
~(1)X T t n S μ
-=
-， 对给定的置信度α-1，查t 分布表，得到)1(212-=-=n t t t α， 则有（见图6.3.2）
2{|
|(1)}1X P t n αμ
α-<-=-。

由不等式变形，得 图6.3.2 αμεα-=-+
<<--
1)}1()1({22n t n
S X n t n
S X p ，
于是，μ的置信度为α-1的置信区间为
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-+
--
)1(),1(22n t n S
X n t n
S X αα，
（6.3.3）
例6.3.3 在例6.2.2中，若2
σ未知，试求μ的置信度为0.90的置信区间。

解 因为2
σ未知，故只用t 分布。

此时，125.2=x ，01713.0=s ，16=n
，
1.0=α。

查t 分布表，得7531.1)15()1(05.02==-t n t α，由式（6.
2.3），有
置信上限为：
0.05(15) 2.125 1.7531 2.118X ==，
置信下限为：0.05(15) 2.125 1.7531 2.133X =+=。

因此，μ的置信区间为)133.2,118.2(。

(2) 两个正态总体数学期望差的区间估计
设总体),(~2
11σμN X ，1,,,21n X X X 为来自总体X 的一个容量为1n 的样本，X 、
21S 分别为样本均值和样本方差；总体),(~2
2
2σμN Y ，2,,,21n Y Y Y 为来自总体Y 的一个容量为2n 的样本，Y ，2
2S 分别为样本均值和样本方差。

(i) 若2
221,σσ巳知，求21μμ-的置信区间
由第五章式(5.2.22)可知，)1,0(~)
(2
22
1
2
1
21N n n Y X U σ
σ
μμ+
---=
，且它只含未知参
数21μμ-，不含其它未知参数。

与单个正态总体中2
σ巳知，求μ的置信区间类似，对给定的置信度α-1，容易得到21μμ-的置信度为α-1的置信区间为
22,X Y u X Y u αα⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
， （6.3.4）
(ii) 若2
22
1σσ=且未知，求21μμ-的置信区间
取随机变量2
12111)(n n S Y X T w
+---=
μμ，其中22
21122
12(1)(1)2
w
n S n S S n n -+-=+-，
由第五章式(5.2.23)，有)2(~21-+n n t T ，与单个正态总体中2
σ未知，求μ的置信区间类似，对给定的置信度α-1，容易得到21μμ-的置信度为α-1的置信区间为
121222(2),(2)X Y S t n n X Y S t n n αα⎛⎫--+--++- ⎪ ⎪⎝⎭
，
（6.3.5）
例6.3.4 为了比较两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取甲型子弹10发进行试验，得枪口速度的均值507X =/m s ，标准差1 1.04S =米/秒；乙型子弹15发，得枪口速度498Y =/m s ，标准差2 1.17S =/m s 。

设两总体服从正态分布，并且方差相等，求两总体均值差21μμ-的置信度为0.95的置信区间。

解 这是一个在两个正态总体方差未知且相等的情况下，求两总体均值差的置信区间问题。

本题中，101=n ，152=n ，507X =，1 1.04S =，498Y =，
2 1.17S =，计算 w S ，得
1.121w S =
==
4082.015
1
1011121=+=+n n 查t 分布表，得0687.2)23()2(025.0212==-+t n n t α，由（6.2.5）式，得置信限
为
0.025(23)507498 1.1210.4082 2.06878.053X Y S t --=--⨯⨯=，
0.025(23)507498 1.1210.4082 2.06879.947X Y S t -+=-+⨯⨯=， 于是，21μμ-的置信度为0.95的置信区间为)947.9,053.8(。

若21μμ-的置信下限大于零，在实际中我们就认为21μμ>；若21μμ-的置信限大于零，在实际中我们就认为21μμ<；若21μμ=,实际中我们认为两种类型子弹的速度没有显著性的差别。

在本例中，21μμ-的置信区间不包含零，因而认为甲型子弹的速度大于乙型子弹的速度。

三、正态总体方差的区间估计
(1) 单个正态总体方差的区间估计
现考虑μ未知，2
σ的区间估计问题。

由第五章可知，随机变量 )1(~)1(22
2
2--=
n S n χσ
χ，
它只含一个未知参数，并且上式右端的分布与参数2
σ无关。

故由置信度α-1，有（见图6.2.3）
αχσ
χ
αα-=-<-<
--1)}1()1()1({222
2
22
1n S n n P ，
即 αχσχαα-=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--<<---1)1()1()1()1(22122
222n S n n S n P ，
所以2
σ的置信度为α-1的置信区间为 图
6.3.3
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--<<---)1()1()1()1(2
2122222n S n n S n ααχσχ 由上述推导，我们还容易得到σ的置信度为α-1的置信区间为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--<<---)1(1)1(122122n n S n n S ααχσχ 。

例6.3.5 从一批钢索中抽取10根，测得其折断力（单位：公斤）为
578 572 570 568 572 570 570 596 584 572
若折断力),(~2σμN X ，试求方差2
σ、均方差σ的置信度为0.95 的置信区间。

解 10=n ，275.73S =，05.0=α，查2χ分布表，有023.19)9(2
025.0=χ，
700.2)9(2
975.0=χ，由式（6.2.6）
，2σ的置信限为 置信下限：829.35023.1973
.759)9()1(2025.02=⨯=-χS n ，
置信上限：433.252700.273
.759)
9()1(2975.02=⨯=-χS n ，
于是，2
σ的置信度为0.95的置信区间为)433.252,
829.35(。

由式（6.2.7），易得σ的置信度为0.95的置信区间为)888.15,986.5(。

(ii) 两个正态总体方差比的区间估计
由第五章(5.2.23)知，随机变量)1,1(~2122
212
2
212
2222121--==n n F S S S S F σσσσ，与单个正态总体中μ未知，求2
σ的置信区间类似，对给定的置信度α-1，可得两个总体方差比2
2
2
1
σσ的置信区间为 ⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-----)1,1(,)1,1(212122
2121222
21n n F S S n n F S S αα，
例6.3.6 两台机床加工同一种零件，分别抽取6个和9个零件，测零件长度
计算得210.245S =，2
20.375S =。

假定各台机床零件长度服从正态分布，试求两个
总体方差比2
2
2
1σσ的置信度为0.95的置信区间。

解
210
.
245S =，2
20.375
S =，
6
1=n ，
9
2=n ，
)8,5()1,1(025.021F n n F =--α
=82.4，76
.61
)5,8(1)8,5()1,1(025.009752121=
=
=---F F n n F α，置信限为 置信上限 22
122120.245
0.136(1,1)0.375 4.82S S F n n α==--⨯，
置信下限 22
1212120.245 6.76
4.417(1,1)0.375
S S F n n α-⨯==--，
故2
2
21σσ的置信度为0.95的置信区间为)417.4,136.0(。

若2
2
2
1σσ的置信下限大于1，在实际中我们就认为总体X 的波动性较大；若22
21σσ的置信下限小于1，在实际中我们就认为总体X 的波动性较小；若2
221σσ的置信区间包含1，则我们认为两个总体的波动大小无显著性差别。

在本例中，由于2
2
21σσ的置信区间包含1，则认为两台机床生产零件长度的精度无显著性的差别。

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