高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.1 指数函数 2.1.1 第2课时 指数幂及运算讲义教案

学习资料
第2课时指数幂及运算
学习目
标核心素养
1．理解分数指数幂的含义,掌握根式与分数指数幂的互化．（重点、难点)
2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)1．通过分数指数幂、运算性质的推导,培养逻辑推理素养．
2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值,提升数学运算素养.
1．分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂规定：a错误!＝错误!(a〉0，m，n∈N＊，且n〉1)
负分数指数幂规定：a错误!＝错误!＝错误!(a〉0，m，n∈N＊,且n>1) 0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义
提示：①若a＝0，0的正分数指数幂恒等于0,即错误!＝a错误!＝0，无研究价值．
②若a<0，a错误!＝错误!不一定成立，如（－2）错误!＝错误!无意义，故为了避免上述情况规定了a>0。

2．有理数指数幂的运算性质，
(1)a r a s＝a r＋s（a>0，r,s∈Q）．
(2)(a r)s＝a rs（a〉0，r，s∈Q）．
（3)（ab）r＝a r b r（a〉0，b>0，r∈Q）．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a〉0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
1．下列运算结果中，正确的是(）
A．a2a3＝a5B．(－a2)3＝(－a3)2
C．（错误!－1)0＝1 D．(－a2）3＝a6
A[a2a3＝a2＋3＝a5；（－a2)3＝－a6≠（－a3)2＝a6；（a－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]
2．4错误!等于（）
A．25 B.错误!C。

错误!D。

错误!
B［4错误!＝错误!＝错误!，故选B。

］
3．已知a〉0,则a错误!等于(）
A.错误!B。

错误!
C.错误!D．－错误!
B[a错误!＝错误!＝错误!。

]
4．（m错误!)4＋（－1）0＝________.
m2＋1[（m错误!）4＋（－1)0＝m2＋1。

]
根式与分数指数幂的互化
A。

错误!＝错误!
B。

错误!＝（x＋y)错误!
C。

错误!＝错误!
D.错误!＝a错误!
(2)已知x错误!＝4，则x等于（)
A．±错误!B．±8
C.错误!D．±2错误!
(3)将下列根式化成分数指数幂的形式：
①错误!；②a·错误!;③错误!。

（1）CD（2）A[(1)错误!＝3错误!＝3错误!＝错误!，故A错误．4
x3＋y3＝(x3＋y3）错误!，故B错误．
错误!＝（9错误!）错误!＝(3错误!)错误!＝3错误!＝错误!，故C正确．错误!＝错误!＝错误!＝(a错误!）错误!＝a错误!，故D正确．
(2)由x错误!＝4得错误!＝4,即错误!＝错误!，
∴x2＝错误!,∴x＝±错误!，故选A。

]
（3）解:①错误!＝错误!＝（a错误!)错误!＝a错误!×错误!＝a错误!.
②由题意知错误!,∴a＜0，
∴a＝－错误!，
∴a·错误!＝－错误!＝－错误!＝－（－a)错误!.
根式与分数指数幂互化的规律
（1)根指数分数指数的分母，
被开方数（式）的指数分数指数的分子．
(2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
错误!
1．用分数指数幂的形式表示a·错误!为(）
A．－a错误!B．－(－a）错误!
C．－(－a）错误!D．－a错误!
B［由题意知－a≥0，∴a≤0.
∴a＝－错误!，
∴a·错误!＝－错误!＝－错误!
＝－（－a）错误!，故选B］
2。

将下列根式与分数指数幂进行互化：
（1)a3·错误!;（2)错误!(a>0,b〉0）．
利用分数指数幂的运算性质化简求解
（2)（a－2b－3)·(－4a－1b）÷(12a－4b－2c);
(3）2错误!÷4错误!×3错误!.
指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数，先要化成分数;底数是带分数，要先化成假分数,然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数。

错误!
指数幂运算中的条件求值
[探究问题］
1．错误!错误!和错误!错误!存在怎样的等量关系？
提示：错误!错误!＝错误!错误!＋4.
2．已知错误!＋错误!的值,如何求a＋错误!的值？反之呢？
提示:设错误!＋错误!＝m，则两边平方得a＋错误!＝m2－2；反之若设a＋错误!＝n，则n＝m2－2，∴m＝错误!。

即错误!＋错误!＝错误!。

【例3】（1)若2x＝7,2y＝6，则4x－y等于(）
A.错误!
B.错误!
C.错误!
D.错误!
（2）已知a错误!＋a错误!＝4，求下列各式的值：
①a＋a－1;②a2＋a－2.
(1)D［由2x＝7，2y＝6得
4x－y＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!,故选D.]
(2）[解］①将a错误!＋a错误!＝4两边平方,得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14。

②将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
1．在本例（2)条件不变的条件下，求a－a－1的值．
[解］令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8错误!，即a－a－1＝±8错误!。

2．在本例（2)条件不变的条件下，求a2－a－2的值．
[解]由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)（a＋a－1）＝±8错误!×14＝±112错误!。

解决条件求值的思路
(1)在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值。

(2)在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.
1．核心要点：(1）根式与分数指数幂的互化．
（2）对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可方便使用同底数幂的运算律．
2．数学思想：解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．
1。

思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”）
(1）0的任何指数幂都等于0. （) (2）5错误!＝错误!. （）(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如错误!＝a错误!。

（）（4)a错误!可以理解为错误!个a.( ）
［答案］（1）×(2）×（3)×(4)×
2．把根式a错误!化成分数指数幂是(）
A．（－a) 错误!B．－（－a) 错误!
C．－a错误!D．a错误!
D[由题意可知a≥0,故排除A、B、C选项，选D。

]
3．已知x错误!＋x错误!＝5，则错误!的值为(）
A．5B．23
C．25D．27
B[∵x错误!＋x错误!＝5，∴x＋x－1＝23,即错误!＝23.］。