河北省衡水第二中学高三数学上学期期中试题 理

衡水市第二中学15--16学年上学期考试
高三年级数学(理科)试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求。

） 1.复数i
ai
z -=
3在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．设集合A={x|x 2
﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x 2
﹣5x+4=0}，集合A ∪B 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为 （ ）
A ．{0}
B ．{0，3}
C ．{1，3，4}
D ．{0，1，3，4}
3．已知命题p ：函数f （x ）=|sin 2
x ﹣|的最小正周期为π；命题q ：若函数f （x+1）为偶函数，则f （x ）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p∨q C ．（￢p ）∧（￢q ） D ．p∨（￢q ） 4．某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为 A ．4π
B ．
28
3
π
C ．
44
3
π D ．20π
5.已知两条不重合的直线m 、n 和两个不重合的平面α、β，有下列命题： ①若m⊥n，m⊥α，则n∥α； ②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β； ③若m 、n 是两条异面直线，m ⊂α，n ⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β=m，n ⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4
6..函数)0,0x y a a a a =->≠的定义域和值域都是[]0,1，则548
log log 65
a
a +=（ ）
A.1
B.2
C.3
D. 4
7．下列三个数：33
ln
,ln ,ln 3322
a b c ππ=-=-=-，大小顺序正确的是（ ） A.a c b >> .B a b c >> .C a c b << .Db a c >>
8.函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象如下图所示，为了得到x A x g ωcos )(-=的图像，可以将)(x f 的图像 （）
侧视图
俯视图
正视图2
2
1
13
A．向右平移
12
π
个单位长度 B．向右平移
12
5π
个单位长度
C ．向左平移
12
π
个单位长度 D．向左平移
12
5π
个单位长度
9．在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）
A．132 B．299 C．68 D．99
10. 如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， BC=AC ，AC1⊥A1B,M,N分别是A1B1,AB的中点，
给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1,②A1B⊥NB1 ,③平面AMC1⊥平面CBA1 , 其中正确结论的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
11.设,a b
r r
为单位向量，若向量c
r
满足()
c a b a b
-+=-
r r r r r
，则c
r
的最大值是（）
A.22
B.2
C.2 D．1
12．已知()
f x是定义在R上的偶函数，其导函数为()
f x
'，若()()
f x f x
'<，且
(1)
f x+(3)
f x
=-，(2015)2
f=，则不等式1
()2x
f x e-
<的解集为（）
A. (1,)
+∞ B.(,)
e+∞ C. (,0)
-∞ D.
1
(,)
e
-∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.设α为锐角,若
4
cos
65
α
π
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
,则)
12
2
sin(
π
+
a的值为______
14.已知x y
、满足约束条件
1
1,
22
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪-≤
⎩
若目标函数()
0,0
z ax by a b
=+>>的最大值
为7，则
34
a b
+的最小值为_________.
15．在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为．
16. 3
22()13
f x x x ax =
-+-己知曲线存在两条斜率为3的切线，
且切点的横坐标都大于零， 则实数a 的取值范围为
三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
17. (本小题满分10分)（1）已知函数f （x ）＝｜x －1｜＋｜x －a ｜．若不等式f （x ）≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．
（2）．如图，圆O 的直径为AB 且BE 为圆O 的切线，点C 为圆O 上不同于A 、B 的一点，AD 为∠BAC 的平分线，且分别与BC 交于H ，与圆O 交于D ，与BE 交于E ，连结BD 、CD ．
（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC ； （Ⅱ）若HE=4，求ED ．
18. (本题满分12分) 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
22()(23)a b c bc --=-，2
sin sin cos
2
C A B =，（1）求角B 的大小；
（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且B a 2cos 1=1，且842a a a 、、成等比数列，求
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+14n n a a 的前n 项和n S
19．(本小题满分12分)已知数列{a n }是等比数列，首项a 1=1，公比q ＞0，其前n 项和为S n ，且S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足a n+1=n n b a )2
1(，T n
为数列{b n
}的前n 项和，若T n
≥m 恒成立，求m 的最大值．
20. (本小题满分12分)已知函数f （x ）=2sinxcosx ﹣3sin 2
x ﹣cos 2
x+3．
（1）当x ∈)2
,
0(π时，求f （x ）的值域；
（2）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足=，
=2+2cos
（A+C ），求f （B ）的值．
21. (本小题满分12分) 已知函数1
()(2)ln 2 f x a x ax x
=-+
+． (Ⅰ)当2a =时，求函数()f x 的极值； (Ⅱ)当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；
(Ⅲ)若对任意的[]12(3,2),, 1.3a x x ∈--∈恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围．
22、(本题满分12分)已知函数1ln(1)
()(0)x f x x x
++=
>． （I ）函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数还是减函数？证明你的结论； （II ）当0x >时，()1
k
f x x >
+恒成立，求整数k 的最大值；
（III ）试证明：23(112)(123)(134)(1(1))n n n e -+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅++>L .
衡水市第二中学15--16学年上学期考试
高三年级数学(理科)试题答案 ADBBC CABBD AA 13.
172
50
14.7 15.解答： 解：由a ﹣2csinA=0及正弦定理，得﹣2sinCsinA=0
（sinA ≠0）， ∴
，∵△ABC 是锐角三角形，∴C=
．∵c=2，C=
，由余弦定理，
，即a 2
+b 2
﹣ab=4，∴（a+b ）2
=4+3ab
，化为（a+b ）
2
≤16，∴a+b ≤4，当且仅当a=b=2取“=”，故a+b 的最大值是4．故答案为：4． 16. )2
7
,3(
17.【解析】（1）由不等式的性质得：()1f x a ≥-，要使不等式a x f ≥)(恒成立，则只要
a a ≥-1，解得：21≤
a ，所以实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝
⎛
∞-21, …4分
（2）．（Ⅰ）证明：∵BE 为圆0的切线，BD 为圆0的弦，∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB …
由AD 为∠DAB=∠DAC 的平分线知∠DAB=∠DAC ，又∠DBC=∠DAC ，∴∠DBC=∠DAB ∴∠DBE=∠DBC …（7分）
（Ⅱ）解：∵⊙O 的直径AB ∴∠ADB=90°，又由（1）得∠DBE=∠DBH ，∵HE=4，∴ED=2．…10分
18、【解】：（1）由22222
()(23),3a b c bc a b c bc --=---=-所以
2223
cos 22
b c a A bc +-==
，又
0,6
A A π
π<<∴=
由
211cos sin sin cos ,sin 222
c C
A B B +==
，sin 1cos B C =+，cos 0C ∴<，则C 为钝角。

56B C π+=，则5sin()1cos ,cos()163C C C π
π-=+∴+=- 解得
2,36
C B π
π=∴=。

…6分
(2)设{}n a 的公差为d ， 由已知得11
2cos a A
=
=， 且2
428a a a =g .∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++ ．
又0d ≠, ∴2d =. ∴2n a n =. ……9分 ∴14111
(1)1
n n a a n n n n +==-++. ∴1111111(1)()()()223341n S n n =-+-+-++-
+L 1111
n n n =-=++ …………12分
19.解答： 解：（Ⅰ）法一：由题意可知：2（S 3+a 3）=（S 1+a 1）+（S 2+a 2）∴S 3﹣S 1+S 3﹣S 2=a 1+a 2﹣2a 3，即4a 3=a 1，于是
，∵q＞0，∴
；∵a 1=1，∴
．
（Ⅰ）法二：由题意可知：2（S 3+a 3）=（S 1+a 1）+（S 2+a 2）当q=1时，不符合题意； 当q≠1时，
，∴2（1+q+q 2
+q 2
）=2+1+q+q ，∴4q 2
=1，
∴，
∵q＞0，∴，∵a 1=1，∴
．
（Ⅱ）∵，∴
，∴，
∴
（1）∴
（2）
∴（1）﹣（2）得：
=
∴
∵T n ≥m 恒成立，只需（T n ）min ≥m∵
∴{T n }为递增数列，∴当n=1时，（T n ）min =1，∴m≤1，∴m 的最大值为1． 20.解答： 解：（1）∵f （x ）=2
sinxcosx ﹣3sin 2
x ﹣cos 2
x+3=
sin2x ﹣3•﹣
+3
=sin2x ﹣cos2x+1=2sin （2x+
）+1，∵x ∈)2
,
0(
，∴2x+
∈(，
)
，…6分
∴sin （2x+）∈（，1]，∴f （x ）=2sin （2x+）+1∈（0，3]；…6分
（2）∵
=2+2cos （A+C ），∴sin （2A+C ）=2sinA+2sinAcos （A+C ），
∴sinAcos （A+C ）+cosAsin （A+C ）=2sinA+2sinAcos （A+C ），∴﹣sinAcos （A+C ）+cosAsin （A+C ）=2sinA ，即sinC=2sinA ，由正弦定理可得c=2a ，又由=
可得b=
a ，由余弦定
理可得cosA===，∴A=30°，由正弦定理可得
sinC=2sinA=1，C=90°，由三角形的内角和可得B=60°，∴f （B ）=f （60°）=2 …12分
21.(Ⅰ)函数)(x f 的定义域为(0,)+∞．21() 4 f x x '=-+，令2
1
() 4 =0f x x
'=-+， 得112x =
；21
2
x =-（舍去）． 2分 当x 变化时，(),()f x f x '的取值情况如下：
4分
(Ⅱ) 22
1)()2 f x a x x x '=-+=，令()0f x '=，得112x =，21
x a
=-， 当2a =-时，()0f x '≥，函数)(x f 的在定义域(0,)+∞单调递增； 5分 当20a -<<时，在区间1
(0,)2，1
(,)a
-
+∞，上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11(,)2a
-，上()0f x '>，)(x f 单调递增； 7分
当2a <-时，在区间1(0,)a -，1(,)2
+∞，上()0f x '<，)(x f 单调递减， 在区间11
(,)2
a -
，上()0f x '>，)(x f 单调递增． 8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知当(3,2)a ∈--时，函数)(x f 在区间[]1.3单调递减；所以，当[]1.3x ∈时，
max ()(1)12f x f a ==+，min 1
()(3)(2)ln 36
3
f x f a a ==-++ 10分
问题等价于：对任意的(3,2)a ∈--，恒有1
(ln 3)2ln 312(2)ln 363
m a a a a +->+----成立，即a am 432->
，因为a<0，432-<∴a m ，min )432(-<∴a m 所以，实数m 的取值范围是]3
13
,(--∞． 12分 22.试题解析：分 故()f x 在区间(0,)+∞上是减函数;…………3分。