【必考题】高三数学上期末模拟试题(含答案)

【必考题】高三数学上期末模拟试题(含答案)
一、选择题
1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则21
2
a a
b -的值是 ( ) A ．
12
B ．12
-
C ．
1
2或12- D ．
1
4
2．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+
D
<
a b <
3．若正实数x ，y 满足141x y +=，且2
34
y x a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为
（ ） A ．[]1,4-
B ．()1,4-
C ．[]4,1-
D ．()4,1-
4．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65
B ．184
C ．183
D ．176
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32x
y =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*
()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）
A ．2n n S T =
B ．21n n T b =+
C ．n n T a >
D ．1n n T b +<
6．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =
，a =
7
cos 8
A =
，则ABC ∆的面积为（ ） A
B ．3
C
D
7．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 2
2n n S T n +=，则7
7a b =（ ） A ．
41
26
B ．
2314
C ．
117 D ．
116
8．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
9．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．12
D ．13
10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）
A ．2a b =
B ．2b a =
C ．2A B =
D ．2B A =
11．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪
≤⎨⎪>-⎩
，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A ．
32
B ．5
C ．5
D ．
92
12．在中，，，
，则
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知数列{}n a 的前n 项和为21n
n S =-，则此数列的通项公式为___________．
14．设函数2
()1f x x =-，对任意2,3
x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣
⎭
，2
4()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+
⎪⎝⎭
恒成立，则实数m 的取值范围是 .
15．已知数列{}n a 满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()
*
n ∈N ，记数列{}n a 的前n
项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M 、最小值为m ，则
M m +=______.
16．设{}n a 是公比为q 的等比数列，1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有连续四项在集合
{}53,23,19,37,82--中，则6q = .
17．已知数列{}n a 中，45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b a =，则12n b b b +++=L __________．
18．若x ，y 满足约束条件1300
x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是__________．
19．已知数列{}{}n n a b 、满足ln n n b a =，*n ∈N ，其中{}n b 是等差数列，且
431007e a a ⋅=，则121009b b b +++=L ________．
20．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则
4
2
S a =______. 三、解答题
21．已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =. （1
）若b =30A =︒，求角B 的值； （2）若ABC ∆的面积3ABC S ∆=，cos 4
5
B =
，求,b c 的值. 22．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c
向量()
2m a =u r
，向量s )(co ,n B cosC =r ，且//m n u r r .
（1）求角C 的大小； （2
）求()3
y sinA B π
=-
的最大值.
23．已知函数()21f x x =-. （1）若不等式121(0)2f x m m ⎛⎫
+
≥+> ⎪⎝⎭
的解集为][(),22,-∞-⋃+∞，求实数m 的值； （2）若不等式()2232
y y a
f x x ≤+++对任意的实数,x y R ∈恒成立，求正实数a 的最小值.
24．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21
n
n n S a S =-．
（1）求证：数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列；
（2）证明：222
1274
n S S S +++<
L ． 25．在ABC ∆中,,A B C 的对边分别,,a b c ，若()2sin(2)()26
f x x f C π
=+
=-，
，
c =sin B =2sin A ，
（1）求C （2）求a 的值．
26．在公差不为0的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，9a 成公比为3a 的等比数列，又数列{}
n b 满足*2,21,
()2,2,
n a n n k b k N n n k ⎧=-=∈⎨
=⎩． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ， 则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.
∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ， 则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2. 则
212211
22
a a
b --==. 本题选择A 选项.
2．D
解析：D 【解析】
选项A 中，当c=0时不符，所以A 错．选项B 中，当2,1a b =-=-时，符合22a b >，不满足a b >，B 错．选项C 中, a c b c +>+,所以C 错．选项D
中，因为0≤
<
，由不等式的平方法则，
2
2
<，即a b <．选D.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】 根据1444y y x x x y ⎛⎫⎛⎫+
=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合基本不等式可求得44
y
x +≥，从而得到关于a 的不等式，解不等式求得结果. 【详解】 由题意知：1442444y y x y
x x x y y x
⎛⎫⎛⎫+
=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0x Q >，0y > 40x y ∴>，04y
x
>
424x y y x ∴
+≥=（当且仅当44x y y x =，即4x y =时取等号）
44
y
x ∴+
≥ 234a a ∴-<，解得：()1,4a ∈- 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.
4．B
解析：B 【解析】
分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：
81187
8828179962
S a d a ⨯=+
=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意可得：332,323n n
n n S S +=⨯=⨯- ，
由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项
公式：1
32n n a -=⨯ ，
设11n n
b b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，
数列{}n b 的通项公式12n n
b -= ，
由等比数列求和公式有：21n
n T =- ，考查所给的选项：
13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .
本题选择D 选项.
6．D
解析：D 【解析】
【分析】
三角形的面积公式为1
sin 2
ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】
解：在ABC ∆中，2227
cos 28b c a A bc +-==
将2b c =
，a =222
467
48
c c c +-=， 解得：2c =
由7cos 8A =
得sin A ==
所以，11sin 242282
ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=
故选D. 【点睛】
三角形的面积公式常见形式有两种：一是
12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助1
2
（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1
sin 2
bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.
7．A
解析：A 【解析】
依题意，113
713113713132412226
132a a a S b b b T +⋅===+⋅.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】
画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≥-⎩
的可行域，如图，
画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，
由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，
2z x y =+的最大值为9.
故选D. 【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
由约束条件可得可行域，将问题变成11
22
y x z =-+在y 轴截距最大问题的求解；通过平移直线可确定最大值取得的点，代入可得结果. 【详解】
由约束条件可得可行域如下图所示：
当2z x y =+取最大值时，11
22
y x z =-+在y 轴截距最大 平移直线12
y x =-
，可知当直线11
22y x z =-+过图中A 点时，在y 轴截距最大
由240y x
x y =⎧⎨--=⎩
得：()4,4A max 42412z ∴=+⨯=
故选：C 【点睛】
本题考查线性规划中最值问题的求解，关键是能够将问题转化为直线在y 轴截距最值问题的求解，属于常考题型.
10．A
解析：A 【解析】
sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+
所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.
【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到
2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 11．C 解析：C 【解析】
由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB .
【详解】 由内角和定理知，
所以，
即，
故选D. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，属于中档题.
二、填空题
13．【解析】【分析】由数列的前项和为得时得出;验证时是否满足即可【详解】当时当时又所以故答案为:【点睛】本题考查了由数列的前项和公式推导通项公式的计算问题;解题时需验证时是否满足是基础题
解析：1
2
n n a -=
【解析】 【分析】
由数列{}n a 的前n 项和为23n n S =-，得2n >时1
123n n S --=-,，得出1n n n a S S -=-;
验证1n =时11a S =是否满足n a 即可. 【详解】
当1n =时,11211a S ==-=, 当2n ≥时,(
)1
11212
12n
n n n n n a S S ---=-=---=,
又1121-=,所以1
2n n a -=. 故答案为:1
2n n a -=.
【点睛】
本题考查了由数列{}n a 的前n 项和公式n S 推导通项公式n a 的计算问题;解题时，需验证
1n =时11a S =是否满足n a ，是基础题.
14．【解析】【分析】【详解】根据题意由于函数对任意恒成立分离参数的思想可知递增最小值为即可知满足即可成立故答案为
解析：33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭
【解析】 【分析】 【详解】
根据题意，由于函数2
()1f x x =-，对任意2,3
x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，
24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫
-≤-+ ⎪⎝⎭
恒成立，22222()4(1)(1)11x
m x x m m
--≤--+-，分离参数的思想可知，
,
递增，最小值为
53
，
即可知满足33
,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
即可成
立故答案为33
,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭
．
15．1078【解析】【分析】根据数列的递推关系求出数列的前四项的最大最小值得出何时和最大何时和最小进而求得结论【详解】解：因为数列{an}满足：即解得；或或；或所以最小为4最大为8；所以数列的最大值为时
解析：1078
【分析】
根据数列的递推关系，求出数列的前四项的最大，最小值，得出何时和最大，何时和最小，进而求得结论． 【详解】
解：因为数列{a n }满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()
*
n ∈N ，
{}211a a a ∴-∈即211a a a -=解得22a =；
{}3212,a a a a ∴-∈
321a a ∴-=或322a a -= 33a ∴=或34a =；
{}43123,,a a a a a ∴-∈
431a a ∴-=或432a a -=，433a a -=，434a a -=
所以4a 最小为4，4a 最大为8；
所以，数列10S 的最大值为M 时，是首项为1，公比为2的等比数列的前10项和：
()
10112102312
M ⨯-=
=-；
10S 取最小值m 时，是首项为1，公差为1的等差数列的前10项和：
()
101011011552
m ⨯-=⨯+
⨯=； ∴1078M m +=． 故答案为：1078． 【点睛】
本题考查了数列的递推关系式，等比数列以及等差数列的通项公式与前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．本题的关键在于观察出数列的规律．
16．【解析】【分析】【详解】考查等价转化能力和分析问题的能力等比数列的通项有连续四项在集合四项成等比数列公比为=-9 解析：9-
【解析】 【分析】 【详解】
考查等价转化能力和分析问题的能力,等比数列的通项,{}n a 有连续四项在集合
{}54,24,18,36,81--，四项24,36,54,81--成等比数列，公比为3
2
q =-
，6q = -9. 17．【解析】【分析】【详解】所以所以故答案为 解析：41n -
【分析】 【详解】
()()145[415]4n n q a a n n -=-=-+---+=-，124253b a ==-⨯+=-，
所以()
1
1134n n n b b q --=⋅=-⋅-，()
1
13434n n n b --=-⋅-=⋅，
所以2
1
1214334343434114
n n n n b b b --++⋯+=+⋅+⋅+⋯+⋅=⋅=--，
故答案为41n -.
18．﹣33【解析】分析：由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数得答案详解：由约束条件作出可行域如图：联立解得化目标函数为直线方程的斜截式
解析：[﹣3，3] 【解析】
分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案. 详解：由约束条件作出可行域如图：
联立13x y x y -=-+=，解得12
x y ==，()1,2B ，
化目标函数2z x y =-为直线方程的斜截式22
x z
y =-. 由图可知，当直线22
x z
y =
-过()1,2B ，直线在y 轴上的截距最大，z 最小，最小值为1223-⨯=-；
当直线22
x z
y =
-过()3,0A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 最大，最大值为3203-⨯=. ∴2z x y =-的取值范围为[﹣3，3].
故答案为：[﹣3，3].
点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
19．2018【解析】【分析】数列{an}{bn}满足bn ＝lnann∈N*其中{bn}是等差数列可得bn+1﹣bn ＝lnan+1﹣lnan ＝ln 常数t 常数et ＝q ＞0因此数列{an}为等比数列由可得a1
解析：2018 【解析】 【分析】
数列{a n }、{b n }满足b n ＝lna n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，可得b n +1﹣b n ＝lna n +1﹣lna n ＝ln
1n n a a +=常数t ．1n n
a
a +=常数e t ＝q ＞0，因此数列{a n }为等比数列．由431007e a a ⋅=， 可得a 1a 1009＝a 2a 10084
31007a a e =⋅==L ．再利用对数运算性质即可得出．
【详解】
解：数列{a n }、{b n }满足b n ＝lna n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列， ∴b n +1﹣b n ＝lna n +1﹣lna n ＝ln
1
n n
a a +=常数t ． ∴1
n n
a a +=常数e t ＝q ＞0， 因此数列{a n }为等比数列．
且4
31007e a a ⋅=，
∴a 1a 1009＝a 2a 10084
31007a a e =⋅==L ．
则b 1+b 2+…+b 1009＝ln （a 1a 2…a 1009
）==lne 2018＝2018． 故答案为：2018． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与性质、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．【解析】由等比数列的定义S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q ＋a2q2得＋1＋q ＋q2=
解析：
152
【解析】
由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2
a q
＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，
得
42S a =1q ＋1＋q ＋q 2=152
.
三、解答题
21．（1）60B =︒或120︒. (2) b =【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理，求得sin B =
，进而可求解角B 的大小； （2）根据三角函数的基本关系式，求得3
sin 5
B =，利用三角形的面积公式和余弦定理，即可求解。

【详解】
（1）根据正弦定理得，sin sin b A B a =
==
b a >Q ，30B A ∴>=︒，60B ∴=︒或120︒.
（2）4cos 05B =>Q ，且0B π<<，3
sin 5B ∴=.
1sin 32ABC S ac B ∆==Q ，13
2325
c ∴⨯⨯⨯=，5c ∴=.
∴由正弦定理2222cos b a c ac B =+-，得b =.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．其中在ABC ∆中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解. 22．（1）6
π
（2）2 【解析】 【分析】
（1）转化条件得()2sin cos A C B C =+，进而可得cos 2
C =，即可得解； （2）由56A B π+=化简可得2sin 3y A π+=⎛
⎫ ⎪⎝⎭，由50,
6
A π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
结合三角函数的性质即可得解. 【详解】
（1）Q //m n u r r
，∴()
2cos cos a C B ，
由正弦定理得2sin cos cos cos A C B C C B ，
∴)2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+
即()2sin cos A C B C =+，
又 B C A +=π-，
∴2sin cos A C A ， 又 ()0,A π∈，∴sin 0A ≠，
∴cos 2
C =， 由()0,C π∈可得6
C π
=
.
（2）由（1）可得56A B π+=
，∴56
B A π
=
-，
∴5()()3632()y sinA B sinA A sinA A ππππ
=-+=---=
2sin 3sinA A A π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭=，
Q 50,
6
A π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，∴7,336A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
，∴(]2sin 1,23A π⎛
⎫+∈- ⎪⎝⎭，
∴()3
y sinA B π
=-的最大值为2.
【点睛】
本题考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等变换的应用，考查了三角函数的性质，属于中档题. 23．(1) 3
2
m =
；(2)4. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据绝对值定义解不等式解集为][()
,22,-∞-⋃+∞，再根据解集相等关系得122m +=，解得3
2m =．（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即
()
max
2123
22y y
a
x x --+≤+
，根据绝对值三角不等式可得()
max
21234x x --+=，再利用变量分离转化为对应函数最值问题：
(
)
max
242y y
a ⎡⎤≥-⎣⎦，根据基本不等式求最值： ()
()
2
24224242y y
y y ⎡⎤
+-⎢
⎥-≤=⎢⎥⎣
⎦
，因此4a ≥，所以实数a 的最小值为4．
试题解析：（Ⅰ）由题意知不等式221(0)x m m ≤+>的解集为][()
,22,-∞-⋃+∞． 由221x m ≤+，得11
22
m x m --≤≤+， 所以，由122m +
=，解得3
2
m =．
（Ⅱ）不等式()2232y y a f x x ≤+++等价于212322y
y
a x x --+≤+
， 由题意知()
max
2123
22y y
a
x x --+≤+
． 因为()()212321234x x x x --+≤--+=， 所以242
y y a +
≥，即()
242y y a ⎡⎤≥-⎣⎦对任意y R ∈都成立，则()max 242y y
a ⎡⎤≥-⎣⎦．而()
()
2
24224242y y
y y
⎡⎤
+-⎢
⎥-≤=⎢⎥⎣
⎦
，当且仅当242y y =-，即1y =时等号成立， 故4a ≥，所以实数a 的最小值为4． 24．(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）当n ≥2时，S n ﹣S n ﹣121
n
n S S =-⇒S n ﹣S n ﹣1＝S n •S n ﹣1（n ≥2），取倒数，可得
111n n S S --=1，利用等差数列的定义即可证得：数列{1n
S }是等差数列； （2）利用2
22111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭
进行放缩并裂项求和即可证明 【详解】
（1）当2n ≥时，2
11
n
n n n S S S S --=-，
11n n n n S S S S ---=，即
1
111n n S S --= 从而1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
构成以1为首项，1为公差的等差数列． （2）由（1）可知，
()111
11n n n S S =+-⨯=，1n S n
∴=． 则当2n ≥时2
22111111
211n S n n n n ⎛⎫
=
<=- ⎪--+⎝⎭
．
故当2n ≥时222
12111111111123224211n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L 1111137
111221224
n n ⎛⎫=++--<+⋅= ⎪
+⎝⎭ 又当1n =时，2
1714S =<
满足题意，故222
1274
n S S S +++<L ．
法二：则当2n ≥时2
2211111n S n n n n n
=
<=---， 那么222
121111111717142334144
n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+
+-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 又当1n =时，2
1714S =<
，当时，2
1714
S =<满足题意， 【点睛】
本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查，属于难题． 25．（1）23
C π
=；（2）1a =. 【解析】 【分析】
（1）由()2f C =，结合特殊角的三角函数值，求得C .
（2）利用正弦定理得到2b a =，利用余弦定理列方程，解方程求得a 的值. 【详解】
（1）由()2f C =-,得sin(2)16
C π
+
=-,且(0,)C π∈,所以326
2c π
π+
=
，23C π
=
- （2）因为sin 2sin B A =,由正弦定理得2b a =
又由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得：22
27422cos
,3
a a a a π=+-⨯ 解得1a = 【点睛】
本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.
26．（1）n a n =；（2）22(41)
2(1)3
n n T n n -=
++ 【解析】 【分析】
（1）根据条件列方程组解得公差与首项，即得数列{}n a 的通项公式；（2）根据分组求和法得结果. 【详解】
（1）公差d 不为0的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，9a 成公比为3a 的等比数列，
可得2
319a a a =，313a a a =，可得2111(2)(8)a d a a d +=+，11a =，化简可得11a d ==，
即有n a n =；
（2）由（1）可得2,21
2,2n n n k b n n k
⎧=-=⎨=⎩，*k N ∈；
前2n 项和212(28322)(48124)n n T n -=+++⋯+++++⋯+
2(14)12(41)(44)2(1)1423
n n n n n n --=++=++-． 【点睛】
本题考查等差数列通项公式以及分组求和法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.。