山东省济南市章丘区第四中学2019_2020学年高二数学12月第二次阶段测试试题

山东省济南市章丘区第四中学2019-2020学年高二数学12月第二次阶段测试试
题
第Ⅰ卷（选择题共52分）
一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1.命题“32
,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是( )
A ．32000,10x R x x ∃∈-+≥
B ．32
000,10x R x x ∃∈-+>
C ． 不存在32
000,10x R x x ∈-+≤ D ．32
,10x R x x ∀∈-+>
2.在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =( ) A. 5
B. 14
C. 10
D. 8
3.椭圆2
2
22kx y +=的一个焦点是(1,0)，那么k =( )
A. B. -1
C. 1
4.已知24(0,0)x y x y +=>>，则xy 的最大值是( ) A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
5.设数列{}n a 满足,11=a 且)(11++∈+=-N n n a a n n ，则数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n a 1前10项和为( ) A.
911 B. 922 C. 1110 D. 11
20
6．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，则其渐近线方程为( )
A ．y = B. y x = C. y x = D. y = 7.关于x 的不等式2
40x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则实数a 的取值范围是( )
A ． )5,(-∞
B ．]5,(-∞
C ．)4,(-∞
D ．]4,(-∞
8.
2:2(0)C y px p =>的焦点，与C 交于,A B 两点，且16
||3
AB =
，则p =( )
A.
1
2
B. 1
C. 2
D. 4 9.在等比数列{}n a 中，12812
80,9,81n a a a a a a a >+++==，则
12
8
111
a a a ++的值为( )
A ． 3
B ． 6
C ． 9
D ． 27
10.已知 21,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF 2 |>| PF 1 |，椭圆的离心率为
1e ，双曲线的离心率为2e ，的最小值为，则
3
3||||2
1211e e F F PF +=( ) A ． 4 B ． 6
C
．
D ．8
二、多项选择题：（本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 4 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.） 11.下列叙述中不正确的是( )
A.“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 B ．若,,a b c R ∈,则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”
C. “1a >”是“
1
1a
<”的充分不必要条件 D ．若,,a b c R ∈,则“20ax bx c ++≥”的充要条件是“240b ac -≤
12.已知12,F F 分别是双曲线2
2
:1C x y -=的左右焦点，点P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量
120PF PF ∙=,则下列结论正确的是( )
A.双曲线C 的渐近线方程为y x =±
B.以12F F 为直径的圆的方程为2
2
1x y += C. 1F 到双曲线的一条渐近线的距离为1 D. 12PF F ∆的面积为1
13.设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，
01
1
,
17676<-->a a a a ，则下列结论正确的是( ) A.10<<q B.186>a a C.7S S n 的最大值为 D.6T T n 的最大值为
第Ⅱ卷（非选择题共 98 分）
三、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.)
14.函数()(1)()f x ax x b =-+，若不等式()0f x >的解集为()-1,2，那么a b +=
；
15.已知{}n a 数列的通项公式为1
,(2)7n n n n a n n ⎧⎪
+=⎨⎪-⎩
是奇数，是偶数，则数列{}n a 前15项和15S 的值为
__________________．
16.22
12,=1169
x y F F +设分别是椭圆的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则
|
||
|21PF PF =______． 17.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中的实心点个数 1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第 1个五角形数记作11a =，第 2个五角形数记作25a =，第 3个五角形数记作
312a =，第 4 个五角形数记作422a =，… ，若按此规律下去可得数列{}n a ，则=--1n n a a ______
（2≥n ）；对,*
N n ∈=n a ________．
四、解答题：（本大题共 6 小题，共 82 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 18.（10分）
已知集合{
}{
}
2
2
lg(12),280,A x y x x B x x x ==--+=+-≤{}
6C x x a =-<. （1）求A B ⋂；
（2）若“x C ∈”是“x A B ∈⋂”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.
19.（14分）设椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的短轴长为4，离心率为23
.
（1）直线 y = x + m 与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；
（2）设点(1,2)M 是直线l 被椭圆所截得的线段AB 的中点，求直线l 的方程.
20.（14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)(22*N n a S n n ∈-=. （1）证明：数列{}n a 是等比数列，并求它的通项公式； （2）设n
n a n
b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
21.（14 分）某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用x 万元，满足1
3+-
=x k
m （k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）. （1）将2020年该产品的利润y （万元）表示为年促销费用x （万元）的函数； （2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
22.(15分)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1442
1--=+n a S n n ，*N n ∈.且1452,,a a a 构
成等比数列. （1）证明：5412+=
a a ；
（2）求数列{}n a 的通项公式； (3)设21
28+=n n n a a n
b ，数列
{}n b 的前n 项和n T ，若12-<a T n 恒成立，求实数a 的取值范围.
23.(15分)已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率等于1
2
，它的一个长轴端点恰好是抛物线x y 162=的焦点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知(2,)P m 、(2,)Q m -（0m >）是椭圆上的两点，,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，且直线AB 的斜率为
12
. ①求四边形APBQ 的面积的最大值； ②
求
证
：
B A P Q
∠=∠.
章丘四中2018级第二次阶段性测试数学答案（12月）选择题：
填空题：
14. 3-； 15. 17127
； 16. 9
23； 17. 23,232
n n n --
解答题： 18.【解析】由得
,
得
,即
,
..........................2分
,
..........................4分 则
；
..................
........5分
,
若“”是“
”的必要不充分条件,
则
, ...................
.......7分 即
,得
..........................9分
即,
即实数a 的取值范围是
．
..........................10分
19.【解析】（1）由题意2232,,24
c b c a a ===所以2216,4a b ==, 即椭圆方程为
22
1164x y +=,
..........................3分
22
221584160164
x y x mx m y x m ⎧+
=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩
..........................5分
0∆≥,
即
220,m m ≤-≤≤ .........................
.7分
（2）设1122(,),(,)A x y B x y
法一：①当斜率不存在时,1=x ，弦的中点（1,0）不符合题意，舍去.. ..........................8分
②当斜率存在时，设直线方程为
1(2)y k x -=- . ..........................9分
2222
2
1(2)(41)8(12)+16-161201164
y k x k x k k x k k x y -=-⎧⎪⇒++--=⎨+=⎪
⎩ ............11分
0>∆恒成立
2121222
8(21)161612
==4141
k k k k x x x x k k ---+++， 122
4(21)1
2,2412
x x k k k k +-∴
===-+,所以直线l 的方程为240x y +-= ............14分
法二：①当斜率不存在时,1=x ，弦的中点（1,0）不符合题意，舍去 ..........................8分 ②当斜率存在时，设),(),(2211y x B y x A
22111212121222
22416
()()4()()0416
x y x x x x y y y y x y ⎧+=⇒-++-+=⎨+=⎩ 12
k =-,
所以直线l 的方程为
240x y +-= ............14分
20. 【解析】（1）当2n ≥时, 11122
222n n n n n n S a a a S a ---=-⎧⇒=⎨=-⎩
21
=∴
-n n
a a ...................3分 当1n =时,
12a =, ...................4分
所以数列{}n a 是以2为首项,以2为公比的等比数列. ...................5分
2n n a = ..............
......6分 （2）
n n n
b 2=
，
....................7分
n n n n n T 2
21232221132+-++++=
- 14322
2123222121++-++++=n n n n
n T ...................9分
两式做差得：2111122222
n n n T n
+=++⋅⋅⋅+- 化简
1111112211222212
n n n n n T n n +++-=-=--- (13)
分
所以
2
22
n n n T +=-
...................14分
21. 【解析】（1）由题意知,当0x =时,1,m = 所以
2
13,2,31
k k m x =-==-
+, ...........................2分
每件产品的销售价格为8161.5m
m
+⨯元. 所以2020年的利润
81616
1.581628(0)1
m y m m x x x m x +=⨯
---=--+≥+.........7分 (2)由(1)知,161628(1)292111y x x x x =--+=--++≤++ ........................11分 当且仅当
16
(1)1
x x =++,即3x =时取等号, ........................13分 该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,为21万元. .......................14分 22. 【解析】（1）当1n =时
,
22
122124545a a a a a =-⇒=+⇒= ...........3分
(2) 当2n ≥时,
222112
14414444(1)1n n n n n n n S a n a a a S a n ++-⎧=--⇒=--⎨=---⎩ ...................4分 222144(2)n n n n a a a a +=++=+
又各项为正，所以
1122n n n n a a a a ++=+⇒-= ...................6分
因为2514,,a a a 构成等比数列,所以22
5214222(6)(24)a a a a a a =⇒+=+
23a =,由21245a a =-,所以
11a = ...................8分
212a a ∴-=,
所以数列}{n a 是11a =为首项，2为公差的等差数列.
21n a n ∴=- ...................10分 (3)
22222218811(21)(21)(21)(21)
n n n n n b a a n n n n +=
==--+-+ ..................12分 222222111111113355(21)(21)
n T n n =-+-++⋅⋅⋅-=-++ ..................14分
1n T <2111a a ∴-≥∴≥， .................15分
23.解：（1）由题意设椭圆C 的方程为)0(,122
22>>=+b a b
y a x ， 因为抛物线x y 162
=的焦点坐标为)0,4(，则4=a ……………………………2分 由222,2
1c b a a c +==122=b ， ………………4分 ∴椭圆C 的方程为112
162
2=+y x ． ……………5分 （2）①当2=x 时，解得3=m ，6=∴PQ ……………………………6分 设),(),,(2211y x B y x A ，直线AB 的方程为t x y +=
21， ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+==+t x y y x 21112162
2
01222=-++t tx x ……………………………8分 由0>∆，解得44<<-t ， ………………………9分 由韦达定理得12,22121-=⋅-=+t x x t x x .
2
222122121348)12(44)(t t t x x x x x x -=--=⋅-+=-∴，……………………11分
由此可得：四边形APBQ 的面积221348362
1t x x S -=-⨯⨯=， ∴当0=t 时，312max =S ． ……………………………12分 ②2
3,232211--=--=x y k x y k BP AP )
2()2()2(3)2(3(23232112212211-⋅--⋅-+-⋅-=--+--=+∴x x x y x y x y x y k k BP AP ）（） 0124))(4(12124))(4(12)(2)(3)2(3)2(3(22121212121121221=+---+-=+-+-+=++-+-+=-⋅-+-⋅-t t t t t x x t x x y y x x y x y x x y x y ）（） BP AP BP AP k k k k -==+∴，即0 ……………………14分 ∴APQ BPQ ∠=∠． ………………………15分。