2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算学案含解析新人教

3．1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
内容标准学科素养
1.理解空间向量的概念．
2.掌握空间向量的加法、减法运算.
利用直观抽象
提升逻辑推理授课提示：对应学生用书第51页
[基础认识]
知识点一空间向量的概念
预习教材P84－85，思考并完成以下问题
如图，一块均匀的正三角形的钢板质量为500 kg，在它的
顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边
之间的夹角都是60°，且|F1|＝|F2|＝|F3|＝200 kg.这块钢板在这些
力的作用下将会怎样运动？这三个力至少为多大时，才能提起这
块钢板？
图中的三个力F1，F2，F3是既有大小又有方向的量，它们是
不在同一平面内的向量．因此，解决这个问题需要空间向量的知
识．事实上，不同在一个平面内的向量随处可见．例如，正方体
中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA→，OB→，OC→就是不
同在一个平面内的向量(如图)．
知识梳理(1)空间向量的定义
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．
(2)空间向量及其模的表示方法
空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记为AB→，其模记为|a|或|AB→|.
(3)特殊向量
名称定义及表示
零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量模为1的向量叫做单位向量
相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
预习教材P85－86，思考并完成以下问题
平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？
提示：加法有三角形法则和平行四边形法则，减法有三角形法则．
空间中任意两个向量都可以平移到一个平面内，成为同一平面内的两个向量．
已知空间向量a，b，我们可以把它们移到同一个平面α内，以任意点O为起点，作向量OA→＝a，OB→＝b.那么a＋b和a－b如图所示．
知识梳理(1)空间向量的加法、减法
类似于平面向量，定义空间向量的加法和减法运算(如图)：
OB→＝OA→＋AB→＝a＋b；
CA→＝OA→－OC→＝a－b.
(2)空间向量加法的运算律
空间向量的加法运算满足交换律及结合律：
①交换律：a ＋b ＝b ＋a ；
②结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．
[自我检测]
1．下列命题正确的是( )
A ．若向量a 与b 的方向相反，则称向量a 与b 为相反向量
B ．零向量没有方向
C ．若a 是单位向量，则|a |＝1
D ．若向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则不一定有m ＝p
答案：C
2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( )
A ．a ＋b －c
B ．c －a －b
C ．c ＋a －b
D ．c ＋a ＋b
答案：B
授课提示：对应学生用书第52页
探究一 空间向量及相关概念的理解
[例1] 给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；
③在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AD 1→与BC 1→是相等向量；④在空间四边形ABCD 中，AB →与CD
→是相反向量；⑤在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，与AA 1→的模一定相等的向量一共有4个．其中正确
命题的序号为________．
[解析]①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；
②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；
③正确，AD 1→与BC 1→的模相等，方向相同；
④错误，空间四边形ABCD 中，AB →与CD →的模不一定相等，方向也不一定相反；
⑤错误，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，与AA 1→的模一定相等的向量是A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，
C 1C →
，一共有5个．
[答案]②③
方法技巧 解决空间向量相关概念的问题时，注意以下几点：
(1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可；
(2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；
(3)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．
跟踪探究 1.下列说法正确的是( )
A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反
B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |
C ．两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不一定相同
D ．若|a |>|b |，|b |>|c |，则a >c
解析：对于A ，由|a |＝|b |可得a 与b 的长度相同，但方向不确定；对于B ，a 与b 是相反向量，则它们的模相等，故B 正确；对于C ，两向量相等，若它们的起点相同，则它们的终点一定相同，故C 错；对于D ，向量不能比较大小，故D 错．
答案：B
探究二 空间向量的加法与减法运算 [教材P 86练习3]在图中，用AB →，AD →，AA ′→表示A ′C →，BD ′→及DB ′→.
解析：A ′C →＝A ′A →＋AC →＝A ′A →＋AB →＋AD →＝AB →＋AD →－AA ′→；
BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋BC →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→
；
DB ′→＝DB →＋BB ′→＝DA →＋DC →＋AA ′→＝－AD →＋AB →＋AA ′→.
[例2] 如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结
果为BD 1→的是( )
①A 1D 1→－A 1A →－AB →；
②BC →＋BB 1→－D 1C 1→；
③AD →－AB →－DD 1→；
④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→.
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
[解析]①A 1D 1→－A 1A →－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；
②BC →＋BB 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；
③AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→；
④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→，故选A.
[答案]A
方法技巧 1.空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
2．化简空间向量的常用思路
(1)分组：合理分组，以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简．
(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则，若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．
(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)． 跟踪探究 2.如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算
结果为向量AC 1→的是________(填序号)．
①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；
④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.
解析：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以所给
四个式子的运算结果都是AC 1→.
答案：①②③④
授课提示：对应学生用书第53页
[课后小结]
空间向量的加法、减法运算法则与平面向量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：
(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；
(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.
[素养培优]
1．对空间向量的有关概念理解不清致误
下列说法中，错误的个数为( )
(1)若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同．
(2)若向量AB →，CD →满足|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向，则AB →>CD →.
(3)若两个非零向量AB →，CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →互为相反向量．
(4)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
易错分析 向量相等，则向量的方向相同，模相等，但表示它们的有向线段的起点未必相同，终点也未必相同．
故(1)(4)错误．
反过来，方向相同，模相等的向量是相等向量，只能用“＝”连接，故(2)错误．
自我纠正 (1)错误，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关．
(2)错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．
(3)正确，由AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，所以AB →，CD →互为相反向量．
(4)错误，由AB →＝CD →，|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合．
故一共有3个错误命题，正确答案为C.
答案：C
2．对向量减法的三角形法则理解记忆不清致误
在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，化简DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →.
易错分析 DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →＝AB →＋CB →＋B 1B →＝DC →＋DA →＋B 1B →＝
DB →＋D 1D →＝D 1B →
.
自我纠正 DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD →＋DD 1
→＝BD 1→.。