二次函数

二次函数
一、基础知识
1．二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．二次函数的图象与性质
二次函数系数的特征
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小；
(2)－b
2a的值决定图象对称轴的位置；
(3)c的取值决定图象与y轴的交点；
(4)b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数．
(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)
二、常用结论
1．一元二次不等式恒成立的条件
(1)“ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a >0，且Δ<0”． (2)“ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a <0，且Δ<0”． 2．二次函数在闭区间上的最值
设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，闭区间为[m ，n ]． (1)当－b
2a
≤m 时，最小值为f (m )，最大值为f (n )；
(2)当m <－b 2a ≤m ＋n
2时，最小值为f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，最大值为f (n )； (3)当
m ＋n 2<－b
2a
≤n 时，最小值为f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，最大值为f (m )； (4)当－b
2a >n 时，最小值为f (n )，最大值为f (m )．
考点一 求二次函数的解析式
求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同.
[典例] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
[解] 法一：利用二次函数的一般式 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，
4ac －b 2
4a ＝8，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－4，
b ＝4，
c ＝7.
故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：利用二次函数的顶点式 设f (x )＝a (x －m )2＋n .
∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝1
2.
∴m ＝1
2
，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，
∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭
⎫x －1
22＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－1
22＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －1
22＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：利用零点式
由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.
又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 2
4a ＝8.
解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，
故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.
[题组训练]
1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.
解析：法一：设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
由已知得⎩⎨⎧
－b
2a
＝－2，4ac －b
2
4a
＝－1，a ＋b ＋c ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝19
，b ＝49，
c ＝－59
，
所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －5
9
.
法二：设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
－b
2a ＝－2，
4a －2b ＋c ＝－1，
a ＋
b ＋
c ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝19
，b ＝4
9，
c ＝－59
，
所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －5
9.
法三：设所求解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k . 由已知得f (x )＝a (x ＋2)2－1，
将点(1,0)代入，得a ＝1
9，
所以f (x )＝1
9(x ＋2)2－1，
即f (x )＝19x 2＋49x －5
9.
答案：19x 2＋49x －5
9
2．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则函数的解析式f (x )＝____________.
解析：∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2.
又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3.
设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)． 又∵f (x )的图象经过点(4,3)， ∴3a ＝3，a ＝1.
∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3. 答案：x 2－4x ＋3
考点二 二次函数的图象与性质
考法(一) 二次函数图象的识别
[典例] 若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )
[解析] 因为一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，所以a <0，b <0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x ＝－b
2a
<0，只有选项C 适合．
[答案] C
考法(二) 二次函数的单调性与最值问题
[典例] (1)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________．
(2)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．
[解析] (1)函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a . 当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， 所以1－a ＝2，所以a ＝－1. 当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1， 所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0， 所以a ＝1±5
2
(舍去)．
当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.
(2)依题意a ≠0，二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 图象的对称轴是直线x ＝1，因为函数f (x )在区间[0,1]上单调递减，所以a >0，即函数图象的开口向上，所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.
[答案] (1)－1或2 (2)[0,2]
[解题技法]
1．二次函数最值问题的类型及解题思路 (1)类型：
①对称轴、区间都是给定的； ②对称轴动、区间固定； ③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．
2．二次函数单调性问题的求解策略
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．
考法(三) 与二次函数有关的恒成立问题
[典例] (1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________；
(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为
________．
[解析] (1)作出二次函数f (x )的草图如图所示，对于任意x ∈[m ，m ＋
1]，都有f (x )<0，
则有⎩
⎪⎨⎪⎧
f (m )<0，f (m ＋1)<0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2
＋m (m ＋1)－1<0， 解得－
2
2
<m <0. (2)由题意得x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]， 则g (x )在[－3，－1]上递减． ∴g (x )min ＝g (－1)＝1.
∴k <1.故k 的取值范围为(－∞，1)． [答案] (1)⎝
⎛⎭
⎫
－
22，0 (2)(－∞，1)
[解题技法]
由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .
[题组训练]
1．(2019·杭州模拟)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( )
A.5
4 B ．1或5
4
C ．－1或5
4
D ．－5或5
4
解析：选D f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －a 22－4a ，对称轴为直线x ＝a 2. ①当a
2≥1，即a ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递增，
∴f (x )max ＝f (1)＝－4－a 2.
令－4－a 2＝－5，得a ＝±1(舍去)．
②当0<a
2<1，即0<a <2时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－4a . 令－4a ＝－5，得a ＝54
.
③当a
2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]上单调递减，
∴f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2.
令－4a －a 2＝－5，得a ＝－5或a ＝1(舍去)． 综上所述，a ＝5
4
或－5.
2．若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤
74，4，则m 的取值范围为( ) A ．(0,4] B.⎣⎡⎦⎤
32，4 C.⎣⎡⎦⎤32，3
D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞
解析：选C y ＝x 2－3x ＋4＝⎝⎛⎭⎫x －322＋7
4的定义域为[0，m ]，显然，在x ＝0时，y ＝4，又值域为⎣⎡⎦⎤74，4，根据二次函数图象的对称性知3
2
≤m ≤3，故选C. 3．已知函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．
解析：令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1
a ≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，显
然g (t )在⎣⎡⎦⎤
1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以a 的最大值为2.
答案：2
[课时跟踪检测]
A 级
1．(2019·重庆三校联考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1，并且过点P (－1,7)，则a ，b 的值分别是( )
A ．2,4
B ．－2,4
C ．2，－4
D ．－2，－4
解析：选C ∵y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴是x ＝1，∴－b
2a ＝1. ①
又图象过点P (－1,7)，∴a －b ＋1＝7，即a －b ＝6. ②
由①②可得a ＝2，b ＝－4.
2．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1
D ．－2
解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 的对称轴为直线x ＝2，开口向下，f (x )＝－x 2＋4x ＋a 在[0,1]上单调递增，则当x ＝0时，f (x )的最小值为f (0)＝a ＝－2.
3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )
解析：选C 若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b
2a <0，而二次函
数的对称轴在y 轴的右侧，故可排除B.故选C.
4．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0
D ．a <0,2a ＋b ＝0
解析：选A 由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b
2a ＝2，∴4a ＋b
＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，∴f (x )先减后增，于是a >0，故选A.
5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)
D ．(－∞，－6)
解析：选A 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ， 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)， 所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2.
6．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．
解析：由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ， 所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数， 应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. 答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)
7．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝⎛⎭
⎫－3
2，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于
7，则此二次函数的解析式是________．
解析：设f (x )＝a ⎝⎛⎭
⎫x ＋3
22＋49(a ≠0)， 方程a ⎝⎛⎭⎫x ＋3
22＋49＝0的两个实根分别为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|＝2
－49
a
＝7， 所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40. 答案：f (x )＝－4x 2－12x ＋40
8．(2018·浙江名校协作体考试)y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________．
解析：当a ＝0时，y ＝4x －1，值域为[0，＋∞)，满足条件；当a ≠0时，要使y ＝
2ax 2
＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，只需⎩
⎪⎨⎪⎧
2a >0，Δ＝16－8a (a －1)≥0，解得0<a ≤2.综上，
0≤a ≤2.
答案：[0,2]
9．求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．
解：函数f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 2
4的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2<－1，－1≤a 2≤1，a
2>1，即a <－2，－2≤a ≤2和a >2三种情形讨论．
(1)当a <－2时，由图①可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ＝－(a ＋1)． (2)当－2≤a ≤2时，由图②可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a
2
4. (3)当a >2时，由图③可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1.
综上可知，f (x )max
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－(a ＋1)，a <－2，
a
2
4，－2≤a ≤2，a －1，a >2.
10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；
(2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋
m 的图象的上方，求实数m 的
取值范围．
解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)， 由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x . 所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1， 因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.
(2)因为当x ∈[－1,1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方， 所以在[－1,1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立； 即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1,1]上恒成立． 所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －322－54， 因为g (x )在[－1,1]上的最小值为g (1)＝－1， 所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．
B 级
1.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，
对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：
①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③
D ．①③
解析：选B 因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确； 对称轴为x ＝－1，即－b
2a ＝－1,2a －b ＝0，②错误；
结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误； 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .
又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．
2．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－1
2时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )
A.1
3 B.1
2
C.34 D ．1
解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－1
2，所以f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，所以m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.所以m －n 的最小值是1.
3．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.
(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；
(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴为x ＝－3
2∈[－2,3]，
∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，
∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－21
4，15. (2)∵函数f (x )的对称轴为x ＝－2a －1
2.
①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，
f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，
∴6a ＋3＝1，即a ＝－1
3，满足题意；
②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，
f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，
∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意． 综上可知，a ＝－1
3
或－1.
4．求函数y ＝x 2－2x －1在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值．
解：函数y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2的图象的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，－2)，函数图象如图所示，对t 进行讨论如下：
(1)当对称轴在闭区间右边，即当t ＋1<1，即t <0时，函数在区间[t ，t ＋1]上单调递减，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －1.
(2)当对称轴在闭区间内时，0≤t ≤1，有两种情况： ①当t ＋1－1≤1－t ，即0≤t ≤1
2时，
f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －1；
②当t ＋1－1>1－t ，即1
2<t ≤1时，
f (x )max ＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2－2(t ＋1)－1＝t 2－2.
(3)当对称轴在闭区间左侧，即当t >1时，函数在区间[t ，t ＋1]上单调递增， f (x )max ＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2－2(t ＋1)－1＝t 2－2.
综上所述，t ≤12时，所求最大值为t 2－2t －1；t >1
2
时，所求最大值为t 2－2.
第七节幂函数
一、基础知识
1．幂函数的概念
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．幂函数的特征
(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；
(2)xα的系数为1；
(3)只有一项．
2．五种常见幂函数的图象与性质
R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 二、常用结论
对于形如f(x)＝x n
m(其中m∈N
*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：
(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；
(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；
(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．
考点一幂函数的图象与性质
[典例](1)(2019·赣州阶段测试)幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3
3)，则f(x)是()
A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 (2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x 23－n n
(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是
减函数，则n 的值为( )
A ．－3
B ．1
C ．2
D ．1或2 [解析] (1)设f (x )＝x α
，将点(3，3
3)代入f (x )＝x α
，解得α＝1
3，所以f (x )＝x 1
3，可知函
数f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C.
(2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x
23－n n
在(0，＋∞)上是减函数，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1， 又n ＝1时，f (x )＝x
－2
的图象关于y 轴对称，故n ＝1.
[答案] (1)C (2)B
[解题技法] 幂函数y ＝x α的主要性质及解题策略
(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．
(2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．
(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．
(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．
[题组训练]
1.[口诀第3、4、5句]下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为( ) A ．y ＝x －
4
B ．y ＝x －
1
C ．y ＝x 2
D ．y ＝x 1
3
解析：选A 函数y ＝x －
4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x －
1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y ＝x 2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数y ＝x 1
3
为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．
2.[口诀第2、3、4句]已知当x ∈(0,1)时，函数y ＝x p 的图象在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是________．
解析：当p >0时，根据题意知p <1，所以0<p <1；当p ＝0时，函数为y ＝1(x ≠0)，符合题意；当p <0时，函数y ＝x p 的图象过点(1,1)，在(0，＋∞)上为减函数，符合题意．综上所述，p 的取值范围是(－∞，1)．
答案：(－∞，1)
考点二 比较幂值大小
[典例] 若a ＝⎝⎛⎭⎫122
3
，b ＝⎝⎛⎭⎫152
3，c ＝⎝⎛⎭⎫121
3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <a
D ．b <a <c
[解析] 因为y ＝x 2
3在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫122
3>b ＝⎝⎛⎭⎫152
3，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫122
3
<c ＝⎝⎛⎭
⎫121
3，所以b <a <c . [答案] D
[题组训练]
1．若a ＝⎝⎛⎭⎫352
5，b ＝⎝⎛⎭⎫253
5，c ＝⎝⎛⎭⎫252
5，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b
D ．b >c >a
解析：选B 因为y ＝x 25
在第一象限内为增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫352
5>c ＝⎝⎛⎭⎫252
5，因为y ＝⎝⎛⎭
⎫25x
是减函数，所以c ＝⎝⎛⎭⎫2525>b ＝⎝⎛⎭
⎫253
5，所以a >c >b . 2．若(a ＋1)12
<(3－2a )12
，则实数a 的取值范围是________． 解析：易知函数y ＝x 1
2
的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋1≥0，3－2a ≥0，
a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <2
3
.
答案：⎣
⎡⎭⎫－1，23
[课时跟踪检测]
1．若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)的值为( ) A ．4 B. 2 C ．2 2
D ．1
解析：选C 设f (x )＝x n ，由条件知f (4)＝2，所以2＝4n ，n ＝1
2，
所以f (x )＝x 12
，f (8)＝812
＝2 2.
2．若幂函数f (x )＝x k 在(0，＋∞)上是减函数，则k 可能是( ) A ．1 B ．2 C.12
D ．－1
解析：选D 由幂函数的性质得k <0，故选D. 3．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1
为偶函数，则m ＝( )
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．3
解析：选A ∵函数f (x )为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．故选A.
4．(2018·邢台期末)已知幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，则函数g (x )＝f (x )＋x 2
4的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
解析：选A 设幂函数f (x )＝x α.
∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，∴2α＝1
4，解得α＝－2. ∴函数f (x )＝x －
2，其中x ≠0.
∴函数g (x )＝f (x )＋x 24＝x －2＋x 2
4
＝1x 2＋x 2
4
≥21x 2·x 2
4
＝1， 当且仅当x ＝±2时，g (x )取得最小值1. 5．(2019·安徽名校联考)幂函数y ＝x |m －1|
与y ＝x
2
3－m m (m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，
则满足条件的整数m 的值为( )
A ．0
B ．1和2
C ．2
D ．0和3
解析：选C 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
|m －1|>0，3m －m 2
>0，
m ∈Z ，
解得m ＝2.
6．已知a ＝34
5
，b ＝425
，c ＝1215
，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．c <b <a
D ．c <a <b
解析：选C 因为a ＝8115
，b ＝1615
，c ＝1215
，由幂函数y ＝x 15
在(0，＋∞)上为增函数，知a >b >c ，故选C.
7．设x ＝0.20.3，y ＝0.30.2，z ＝0.30.3，则x ，y ，z 的大小关系为( ) A ．x <z <y B ．y <x <z C ．y <z <x
D ．z <y <x
解析：选A 由函数y ＝0.3x 在R 上单调递减，可得y >z .由函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x <z .所以x <z <y .
8．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x
242
－＋m m 在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k ，当x
∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，则实数k 的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．[0,1)
C ．(0,1]
D ．[0,1]
解析：选D ∵f (x )是幂函数，∴(m －1)2＝1，解得m ＝2或m ＝0.若m ＝2，则f (x )＝x
－
2
在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．若m ＝0，则f (x )＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，满足
条件，即f (x )＝x 2.当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，即A ＝[1,4)；当x ∈[1,2)时，g (x )∈[2－k,4－k )，即B ＝[2－k,4－k )．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴2－k ≥1且4－k ≤4，解得0≤k ≤1.
9．若f (x )是幂函数，且满足
f (9)
f (3)
＝2，则f ⎝⎛⎭⎫19＝________. 解析：设f (x )＝x α
，∵f (9)f (3)＝9α3α＝3α
＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫19＝⎝⎛⎭⎫19α＝⎝⎛⎭⎫132α＝132α＝122＝14. 答案：14
10．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是________．
解析：由f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3.又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3.
答案：3
11．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2
，g (x )＝x 12
，h (x )＝x －
2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是
________________．
解析：分别作出y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝h (x )的图象如图所示，可知h (x )＞g (x )＞f (x )．
答案：h (x )＞g (x )＞f (x )
12．(2019·银川模拟)已知幂函数f (x )＝x 1
2
-
，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是
________．
解析：由题意得，幂函数f (x )＝x －1
2的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上单
调递减，由f (a ＋1)<f (10－2a )，得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋1>10－2a ，a ＋1>0，
10－2a >0，
解得3<a <5.
答案：(3,5)
13．已知幂函数f (x )＝x ()21
－＋m m (m ∈N *)的图象经过点(2，2)．
(1)试确定m 的值；
(2)求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 解：(1)∵幂函数f (x )的图象经过点(2，2)， ∴2＝2
()21
－＋m m ，即212
＝2
()21
－＋m m .
∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1. (2)由(1)知f (x )＝x 12
，
则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )>f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪
⎧
2－a ≥0，a －1≥0，
2－a >a －1，解得1≤a <3
2
.
∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32.。