微分中值定理及其证明及应用

定理及其证明
费马定理：设)(f x 在c 的某邻域
）
（δδ+−c c ,内有定义，而且在这个领域上有)
()(c f x f ≤（其中)c (f 为局部最大值）或者)()(c f x f ≥（其中)c (f 为局部最小值），当)(f x 在c 处可导时，则有0)c ('
=f ．
证明：因为假设)c ('
f 存在，由定义可得左导数)('
-x f 和右导数)(f '
c +均存在且满足：
)(f )()('''-c c f c f ==+
当c x <时，0)
()(≥−−c x c f x f ，所以0)(f )(lim
)(f '≥−−=−→c x c x f c c x 当c >x 时，
0)
()(≤−−c x c f x f ，所以0)(f )(lim
)(f '≤−−=+
→c x c x f c c
x 所以0)c ('
=f
以上是对于)()(c f x f ≤这种情况进行的证明，同理也可证明)()(c f x f ≥这种情形 罗尔定理：设)(f x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，若)()a (b f f =，则必有一点()b a ,c ∈使得0)c ('
=f ．
证明：分两种情况，若)(f x 为常值，结论显然成立．若)(f x 不为常值，根据最大、最小值定理（有界闭区间[]b ,a 上的连续函数)(f x 具有最大值和最小值）可知，)(f x 必在()b ,a 内某一点c 处达到最大值或最小值，再有费马定理可得，0)c ('
=f ．
拉格朗日中值定理：设)(f x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，则一定有一点()b ,a ∈ξ使
a
b a f −−=
)
(f )b ()(f 'ξ．
证明：分两种情况，若)(f x 恒为常数，则0)x ('
=f 在()b ,a 上处处成立，则定理结论明显成立．若)(f x 在[]b ,a 不恒为常数时，由于)(f x 在[]b ,a 上连续，由闭区间连续函数的性质，
)(f x 必在[]b ,a 上达到其最大值M 和最小值m ，有一种特殊情况)()a (b f f =时，定理成
立，这就是上面所证明过的罗尔定理．考虑一般情形，)()a (b f f ≠．做辅助函数
x )
(f )b ()(f )x (a
b a f x −−−
=ϕ．由连续函数的性质及导数运算法则，可得)x (ϕ在[]b ,a 上连
续，在()b ,a 上可导，且()a a
b b a bf ϕϕ=−−=)
(f )a ()b (，
这就是说)x (ϕ满足刚刚的特殊情况，因此在()b ,a 内至少有一点ξ，使得()0)(f )b (f )('
'=−−−=a
b a f ξξϕ．即
()a
b a f −−=
)
(f )b (f 'ξ．定理得证． 柯西中值定理：若)(f x 和)(g x 在[]b ,a 上连续，在()b ,a 上可导，且0)x (g '
≠，则一定存在
()b ,a ∈ξ使
()()()()
ξξ''g )(f )b (g f a g b a f =−−． 证明：首先能肯定)()a (g b g ≠，因为如果)()a (g b g =，那么由拉格朗日中值定理，)x (g '
在()b ,a 内存在零点，因此与假设矛盾． 还是做辅助函数()()
()()()a g a g b a f x F −−−−
=x g g )
(f )b ()(f )x (．由()()b F F =a ，再由拉格朗日
中值定理，可以证明定理成立．
泰勒中值定理：若)(f x 在0x =点的某个邻域内有直到1n +阶连续导数，那么在此邻域内
有()()()()()()()x R x n f x f f f x n n
n +++++=!
0...!20x 00f 2'''
．其中
()()()()1
1n x !
1+++=n n n f x R ξ．ξ是介于0与x 之间的某个值．
证明：做辅助函数()()()()()()()()()()n n t x n t f t x t f t x t f t f x f −−−−−−−+=!
...!2t 2
'''
ϕ．由假设容易看出()t ϕ在[]x ,0或[]0,x 上连续，且()()x R n 0=ϕ，()0x =ϕ，
()()()()()[
]
()()()()()()()()()()()()()()()
−−−−−−−−−−−
−−−−−−=−+11n 2'''
''2''''
'''
'
!1!...!2...f -!2-f n n n t x n t f t x n t f t x t f t x t f t x t t x t f t f t x t f t t ϕ
化简后有()()()()n 1n '
!
-t x n t f t −=+ϕ．在引进一个辅助函数()()1t +−=n t x ψ．
对函数()t ϕ和()t ψ利用柯西中值定理得到()()()()()()ξψξϕψψϕϕ''00x =
−−x ，ξ是介于0与x 之间的某个值，此时有()()x R n 0=ϕ，()0x =ϕ，()()()()n x n f ξξξϕ−=+!
-1n '
，()1n x 0+=ψ，()0x =ψ，()()()n
x ξξψ−+=1n -'
，代入上式，即得()()()()1
1n x !
1+++=
n n n f x R ξ． 定理证明完毕．
这是函数()x f 在0x =点的泰勒公式，同理推导可得()x f 在0x x =点附近的泰勒公式
()()()()()()()()()()x R x x n x f x x x f x x x f x f x n n o n +−++−+
−+=02
00''00'
0!...!
2f ．其中()()()()()101n !
1++−+=
n n x x n f x R ξ．ξ是介于0x 与x 之间的某个值．
定理间关系：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。

这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理.
应用
（判别函数单调性、求不定式极限、证明不等式和等式、证明终止点的存在性、证明方程根的存在性与唯一性、利用泰勒公式求近似值） 证明方程根的存在性
把要证明的方程转化为()0=x f 的形式.对方程()0=x f 用下述方法： （1） 根的存在定理若函数()x f 在区间[]b a ,上连续，且()()0<⋅b f a f ，则至少
存在一点()b a ,∈ξ，()0=ξf .
（2） 若函数()x f 的原函数()x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件，则()x f 在()
b a ,内至少有一个零值点.
（3） 若函数()x f 的原函数()x F 在0x 处导数也存在，由费马定理知()00'=x F 即
()00=x f .
（4） 若()x f 在区间[]b a ,上连续且严格单调，则()x f 在[]b a ,内至多有一个零值
点.若函数在两端点的函数（或极限）值同号，则()x f 无零值点，若函数在两端点的函数（或极限）值异号，则()x f 有一个零值点.
（5） 用泰勒公式证明根的存在性. （6） 反证法.
（7） 在证明方程根的存在性的过程中，经常用到拉格朗日定理，积分中值定理，
有时也用到柯西中值定理来证明满足方程的存在性所需的条件，然后利用上的方法来证明方程根的存在性.
例1 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导()0>a ，证明：在()b a ,内方程()()[]()
()x f a b a f b f x '222−=−至少存在一个根.
证明：令()()()[]()
()x f a b x a f b f x F 222−−−= 显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，而且
()()()()b F a f b a b f a F =−=22
根据罗尔定理，至少存在一个ξ，使
()()[]()
()x f a b a f b f '222−=−ξ
至少存在一个根. 证明不等式
不等式是数学中的重要内容和工具。

在微分学中,微分中值定理在证明不等式中起着很大的作用.
(1) 拉格朗日定理适用于已知函数导数的条件，证明涉及函数（值）的不等式
(2) 泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数（值）或低阶导函数（值）的不等式.
例2 求证()x x ≤+1ln ()1−>x
分析：根据不等式两边的代数式选取不同的()x F ,应用拉格朗日中值定理得出一个等式后,对这个等式根据x 取值范围的不同进行讨论,得到不等式.
证明：当0=x 时，显然()01ln ==+x x
设0≠x 对()t t f ln =在以1与x +1为端点的闭区间上用拉格朗日中值定理，有介于1与x +1之间的ξ，使
()()()()1111'−+=−+x f f x f ξ,
即
()ξ
x
x =
+1ln 当0<x 时，10<<ξ，
11
>ξ
，
但此时注意()1ln +x 与x 均为负值，所以仍有()x x ≤+1ln ， 即对1−>x 不等式恒成立. 当0>x 时，0>ξ，11
0<<
ξ
，所以有()x x ≤+1ln .
注：学会把隐藏的条件找出来，即01ln =，然后就可以利用定理，这个结果以后可以作为结论用.
例3 证明当e a b >>时，a b b a >
证法一 分析：要证a b b a >成立，只要证
a b b a ln ln > 成立，只要证
b a a b ln ln >成立，只要证 b b
a a ln ln >
成立，只要证 0ln ln <−b
b
a a 成立， 证明：设 ()x
x
x f ln = []b a x ,∈
由()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导,且
()0ln 1ln 1
2
2'
<−=−=x
x x x
x x x f ，知()x f 在[]b a ,上严格递减， 由()()b f a af >，即b
b
a a ln ln >
成立，知b a a b ln ln >成立， 即
a b b a ln ln >成立，所以a b b a >成立.
证法二
证明：要证a b b a >，只要证 b
b
a a ln ln >
成立 (1)
设()x
x
x f ln =
[]b a x ,∈，由()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导, 且()0'<x f 于是
()()()()0ln ln '<−=−=−a b f a f b f b
b
a a ξ， 即
b
b
a a ln ln >
故原式成立. 注：证明某些不等式时，可转化为区间两端点函数值大小的比较或化为右边为0的不等式，转化为区间内任意一点函数值与端点函数值或与趋于端点极限值的比较，然后利用单调性证明.能用单调性定理证明的不等式，都可用拉格朗日中值定理证明，因为单调性定理就是拉格朗日中值定理证明的.相同的一道题可以有多种解法.
讨论函数的单调性,并利用函数的单调性求极值
利用拉格朗日中值定理能够很方便的判断出函数的单调性, 其方法是:若函
数()x f 在[]b a ,上连续, 在()b a ,内可导, 则有:如果在()b a , 内()0'>x f ,则()x f 在[]b a ,上单调增加;如果在()b a , 内()0'<x f , 则()x f 在[]b a ,上单调减少. 另外, ()x f 在()b a ,内除有个别点外,仍有()0'>x f (或()0'<x f ) ,则()x f 在
[]b a ,上仍然是单调增加(或减少) 的,即连续函数在个别点处无导数并不影响函
数的单调性.再利用函数的单调性及函数图像上峰值点与各值点的性质, 便可以很方便地求出函数的极值。

其方法为:确定函数的定义域,并求出()x f ' ,然后求出定义域内的所有驻点,并找出()x f 连续但()x f '不存在的所有点,讨论所有驻点和不可导点左右两侧附近()x f ' 的符号变化情况,从而确定函数的极值点,并求出相应的极大值或极小值.
例4 求证0>x 时,()2
1ln 2
x x x −>+
证明：令()()
−−+=21ln 2x x x x f
因为()x f 在[]+∞,0上连续, 在()+∞,0内可导,且
()x f '
=x
x x x +=
+−+11112
当0>x 时,()012
'
>+=x
x x f , 所以当0>x 时,()x f 是单调增加的.
故当0>x 时,()()00=>f x f , 即
()00>f ,从而()2
1ln 2
x x x −>+ 例5 求x
x
y ln =
的极值. 解：函数的定义域为()()+∞,11,0 .而
x x y 2'ln 1ln −=
,令0'
=y ,即0ln 1ln 2=−x
x ,
解得驻点e x =,且该函数在定义域内没有导数不存在的点.而
当e x <时,0'<y ;当e x >时,0'>y .
所以,e x =是函数()x f 的极小值点, 其极小值为()e e f =.
利用函数的单调性可证明某些不等式
注：在求极值时，若极值的怀疑有导数不存在的点时，只能用列表法. 求极限
对于有些求极限的题， 如果使用洛必达法则,则求导数的计算量很大.微分中值定理为求这样一些较难的极限提供了一种简单而有效的方法.其方法是对极限题中的某些部分构造辅助函数,使用微分中值定理,然后求出极.
例6 求
−+∞
→11
12
lim n n n a a n ,其中0>a . 解：对()x a x f =应用拉格朗日中值定理,有
−+∞
→11
12
lim n n n a a n =()
+−×=∞
→111
lim ;2n n a n x x
n ξ
=()1ln lim 2+∞→n n a
a n n ξ =a ln
其中
+∈n n 1,11ξ
泰勒公式
泰勒公式事实上就是含有高阶导数的微分中值定理. 它不仅在理论分析中
具有很重要的作用,下面的例子说明它的应用.
例7 求x ln 在2=x 处的泰勒公式.
解 由于x ln =()[]22ln −+x =
−++221ln 2ln x ，
因此
()()+−⋅−−+
=2222
21221
2ln ln x x x
+()
()
−+−⋅−−n n
n n x x n 2222111
ο 求近似值
微分中值定理为我们提供了一种计算近似值的方法,只要构造出一个适当的
函数,应用微分中值定理就可以得出其近似值.
例8 求97.0的近似值.
解：97.0是函数()x x f =在97.0=x 处的值.
令x x x x ∆+==00,1,即03.0−=∆x .由微分中值定理得
()
()03.0197.01
'−×+
≈=x x
=()985.003.02
1
1=−×+
. 用来证明函数恒为常数
导数是研究函数性态的重要工具, 但用导数研究函数性态的着眼点在局部范围. 而在整体上或比较大的范围运用导数这一工具来研究函数性态, 主要工具还是微分中值定理,它是应用导数研究整体性问题的重要工具. 证明函数恒为常数这是函数的整体性质,在这个应用中微分中值定理很实用.
例9 设()x f '在[]1,0上连续, ()0'=c f ,()1,0∈c 且在()1,0内恒有
()()x f k x f '''≤.
其中k 为小于1 的常数,试证:()x f 为常数函数.
证明：[]1,0∈∀x ,不妨设x c <,则1<−c x ,而()0'=c f , 所以有
()()()c f x f x f '''−=
=()()c x f −1''ξ
()1'ξf k ≤, 其中x c <<1ξ.
同理 ()()()c f f k k k −=+ξξξ1'''
()1'+≤k f k ξ, k k c ξξ<<+1, 其中
n k ,,2,1 = 所以
()()()2'21''ξξf k f k x f ≤≤()n n f k ξ'≤≤ ,
其中1<<n c ξ.又()x f '在[]1,0上连续, 从而()x f '有界. 故
()0lim '=∞
→n n n f k ξ
()()0lim ''==∞
→x f x f n .
即()0'=x f (当x c >时同样成立) , 从而, ()0'=x f ，()1,0∈x . 故在[]1,0上()x f 为常数函数.
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