2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用学案新人教A

1．7.1 定积分在几何中的应用
1．7.2 定积分在物理中的应用
1.应用定积分求平面图形的面积、变速直线运动的路程及变力做功．
2．将实际问题抽象为定积分的数学模型，然后应用定积分的性质来求解．
1．定积分与平面图形面积的关系
(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：
f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系
f(x)≥0S＝
⎠⎛
a
b f(x)d x
f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系
f(x)<0 S＝－
⎠⎛
a
b f(x)d x
＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝
⎠⎛
a
b[f(x)－g(x)]d x．
2．定积分在物理中的应用
(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间
区间[a，b]上的定积分，即s＝
⎠⎛
b
a v(t)d t．
(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所做的功为W＝Fs；而若是变力所做的功，W等于其力函数F(x)在位
移区间[a，b]上的定积分，即W＝
⎠⎛
b
a F(x)d x．
1．由一条曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b，y＝0(b>a)所围图形的面积
(1)如图①所示，f (x )>0，⎠⎛a b f (x )d x >0，所以所求面积S ＝⎠⎛a
b f (x )d x .
(2)如图②所示，f (x )<0，⎠⎛a
b f (x )d x <0，所以所求面积S ＝－⎠⎛a
b f (x )d x .
(3)如图③所示，当a ≤x ≤c 时，f (x )≥0，⎠⎛a c f (x )d x ≥0；当c ≤x ≤b 时，f (x )≤0，⎠⎛c
b
f (x )d x ≤0.
所以所求面积S ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋|⎠⎛c
b f (x )d x |
＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛c
b f (x )d x .
2．由两条曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )和直线x ＝a ，x ＝b (b >a )所围图形的面积 (1)如图④所示，f (x )>g (x )>0，所以所求面积S ＝⎠⎛a
b [f (x )－g (x )]d x .
(2)如图⑤所示，f (x )>0，g (x )<0，所以所求面积S ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋|⎠⎛a b g (x )d x |＝⎠⎛a
b [f (x )
－g (x )]d x .
(3)如图⑥所示，所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛a c [f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛c b [g (x )－f (x )]d x ＝⎠⎛a
b |f (x )
－g (x )|d x .
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当f (x )＜0时，f (x )与x ＝a ，x ＝b (a <b )及x 轴所围图形的面积为
⎪⎪⎪
⎪⎠⎛a b
f （x ）d x .( ) (2)在求变速直线运动的路程时，物体运动的速度一定为正．( ) (3)在计算变力做功时，不用考虑力与位移的方向．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×
由直线x ＝1
2，x ＝2，曲线y ＝1
x
及x 轴所围图形的面积为( )
A. 15
4
B. 174
C. 1
2ln 2 D ．2ln 2
答案：D
已知一质点做自由落体运动，其速度v ＝gt ，则质点从t ＝0到t ＝2所经过的路程
为( )
A ．g
B ．2g
C ．3g
D ．4g
答案：B
一物体在F (x )＝5x ＋3(单位：N)的作用下，沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动
到x ＝5(单位：m)处，则F (x )做的功等于________J.
答案：77.5
探究点1 不需分割型图形面积的求法
由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.10
3 B ．
4 C.
163
D ．6 【解析】 作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎨
⎧y ＝x ，
y ＝x －2
可得x ＝4，所以由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形
的面积为⎠⎛04
(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x 32－12x 2＋2x |40＝16
3.
【答案】 C
图形面积不需分割求解的解题技巧
对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义．先确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标，再确定被积函数，一般是上方曲线与下方曲线对应函数的差．这样求面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分问题了．
[注意] 注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零，而平面图形的面积总是非负的．
求曲线y ＝2x －x 2
，y ＝2x 2
－4x 所围成图形的面积．
解：画出图形如图中阴影部分所示，由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2
，
y ＝2x 2
－4x 得x 1＝0，x 2＝2，故阴影部分的面
积S ＝⎠⎛02[(2x －x 2
)－(2x 2
－4x )]d x ＝⎠⎛0
2(6x －3x 2
)d x ＝(3x 2
－x 3
)|2
0＝4.
探究点2 需分割型图形面积的求法
求由曲线y ＝x 2
＋1，直线x ＋y ＝3，x 轴，y 轴所围成的平面图形的面积． 【解】 作出曲线y ＝x 2＋1，直线x ＋y ＝3的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部
分的面积，由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，
y ＝x 2
＋1得第一象限中交点的横坐标为1，
故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛0
1(x 2
＋1)d x ＋⎠
⎛1
3(3－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －12x 2|31＝103.
图形面积需分割求解的解题技巧
由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线可能不同．求解时，根据图形，求出需用到的曲线交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是“上减下”．
求由曲线y ＝1
x
及直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积．
解：作出曲线y ＝1
x
(在第一象限)，直线y ＝x ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分
的面积．
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝3得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，或⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝－1y ＝－1(舍去)，故B (1，1)；
由⎩⎪⎨
⎪
⎧y ＝x y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝3
，故C (3，3)．
故所求面积S ＝S 1＋S 2＝⎠⎜⎛1
3
1⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x d x ＋⎠⎛1
3(3－x )d x ＝(3x －ln x ) ⎪⎪⎪⎪1
13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －12x 2|31＝4－
ln 3.
探究点3 利用定积分求变速直线运动的路程、位移
一点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2
－4t ＋3(m/s)运动，求： (1)在t ＝4 s 时的位置； (2)在t ＝4 s 时运动的路程． 【解】 (1)在t ＝4 s 时该点的位置为
⎠
⎛0
4(t 2
－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t |40＝43(m)， 即在t ＝4 s 时该点距出发点43
m.
(2)因为v (t )＝t 2
－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， 所以在区间[0，1]及[3，4]上，v (t )≥0，
在区间[1，3]上，v (t )≤0，所以在t ＝4 s 时运动的路程为
s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋|⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t |＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛1
3
(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛3
4(t 2
－4t ＋3)d t ＝4(m)．
求变速直线运动物体的路程(位移)的方法
(1)用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v (t )在时间区间内是否为正值，若v (t )>0，则运动物体的路程为s ＝⎠⎛a b v (t )d t ；若v (t )<0，则运动物体的路程为s ＝⎠⎛a
b
|v (t )|d t ＝－⎠⎛a
b v (t )d t .
(2)若已知做直线运动物体的速度—时间图象，可以先求出速度—时间函数式，再转化为定积分计算路程；也可以直接计算曲边梯形的面积得到路程；若速度—时间函数是分段函数，要利用定积分的性质进行分段积分再求和．
(3)注意路程与位移的区别．
1.一质点运动的速度与时间的关系为v (t )＝t 2
－t ＋2，质点做直线运
动，则它在t ∈[1，2]内的位移为________．
解析：由定积分的意义知，质点在t ∈[1，2]内的位移为
⎠
⎛1
2(t 2
－t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t |21＝176. 答案：176
2.一物体做变速直线运动，其v ­t 曲线如图所示，求该物体在1
2～6 s 间的运动路程．
解：v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t （0≤t ≤1），2（1<t <3），
13t ＋1（3≤t ≤6），
由变速直线运动的路程公式，得s ＝
⎠⎜⎛12
6v (t )d t ＝⎠⎜⎛1
2
12t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36⎝ ⎛⎭⎪⎫13
t ＋1d t ＝t 2⎪⎪⎪⎪1
12＋2t |3
1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16t 2＋t |63＝
494(m)． 探究点4 利用定积分求变力做功问题
一物体在变力F (x )＝36
x
2(N )作用下沿坐标平面内x 轴正方向由x ＝8(m )处运动到
x ＝18(m )处，求力F (x )所做的功．
【解】 如图，阴影部分的面积即F (x )所做的功．
因为W ＝⎠⎛81836
x
2d x
＝－36x －1⎪⎪⎪18
8
＝(－36×18－1)－(－36×8－1
)
＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝5
2
.
所以F (x )所做的功为5
2
J.
求变力做功的方法步骤
(1)首先要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛a
b F (x )d x 计算．
(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
1.一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F (x )相同的
方向从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )
A ．8 J
B ．10 J
C ．12 J
D ．14 J
解析：选D.由变力做功公式，得到W ＝⎠⎛1
3(4x －1)d x ＝(2x 2
－x )|3
1＝14(J)．故应选D.
2．设有一长25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．
解：设x 表示弹簧伸长的量(单位：m)，F (x )表示加在弹簧上的力(单位：N)． 由题意，得F (x )＝kx ，
且当x ＝0.05 m 时，F (0.05)＝100 N ，
即0.05k ＝100，所以k ＝2 000.所以F (x )＝2 000x . 所以使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功为
W ＝⎠⎛0
0.152 000x d x ＝1 000x 2⎪⎪⎪
0.15
0＝22.5(J)．
1．如图所示，阴影部分的面积是( )
A ．2 3
B ．2－2 3 C.32
3
D.353
解析：选C.S ＝⎠⎛－3
1(3－x 2
－2x )d x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 3－x 2|1－3＝53＋9＝323， 故应选C.
2．一物体在力F (x )＝3x 2
－2x ＋5(力的单位：N ，位移单位：m)的作用下沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 运动到x ＝10 m ，则F (x )做的功为( )
A ．925 J
B ．850 J
C ．825 J
D ．800 J
解析：选C.依题意F (x )做的功是
W ＝⎠⎛510F (x )d x ＝⎠⎛5
10(3x 2－2x ＋5)d x
＝(x 3－x 2
＋5x )⎪⎪⎪10
5
＝825(J)．
3．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________．
解析：由速度—时间曲线得 v (t )＝⎩⎪⎨⎪
⎧3t ，0≤t ≤10，－35t ＋36，10<t ≤60，
所以汽车在1分钟内行驶的路程为
⎠⎛010
3t d t ＋⎠⎛10
60
⎝ ⎛⎭⎪⎫－35t ＋36d t ＝32t 2⎪⎪⎪100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－310t 2＋36t ⎪⎪⎪60
10 ＝150＋750＝900 m. 答案：900 m
4．如图所示，曲线y ＝x 与直线y ＝2－x ，y ＝－1
3
x 所围成的图形的面积为________．
解析：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，⎩
⎪⎨⎪
⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨
⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ， 得交点坐标分别为(1，1)，(0，0)，(3，－1)，
所以S ＝⎠⎛0
1⎣
⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x
＋⎠⎛1
3⎣
⎢⎡⎦⎥⎤（2－x ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝⎠⎛0
1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛1
3⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－23x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23
x 32＋16x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2|3
1
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋16＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－3）－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13＝136
. 答案：136
[注意] 一般地，若以x 为积分变量，需要把图形分割求解时，则可考虑以y 为积分变量时，计算是否简便.
[A 基础达标]
1．曲线y ＝x 3
与直线y ＝x 所围成图形的面积等于( ) A.⎠⎛－1
1(x －x 3)d x
B.⎠⎛－1
1(x 3
－x )d x
C ．2⎠⎛0
1(x －x 3
)d x
D ．2⎠⎛－1
0(x －x 3
)d x
解析：选C.由⎩⎪⎨
⎪⎧y ＝x y ＝x
3
求得直线y ＝x 与曲线y ＝x 3
的交点分别为(－1，－1)，(1，1)，
由于两函数都是奇函数，根据对称性得S ＝2⎠⎛0
1(x －x 3
)d x .
2．已知自由落体运动的速度v ＝gt (g 是常数)，则做自由落体运动的物体从时刻t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( )
A.gt 2
3 B ．gt 2
0 C.
gt 20
2
D.
gt 20
6
解析：选C.由定积分的物理意义，得所走的路程为s ＝⎠
⎛0
t
0gt d t ＝12gt 2⎪⎪⎪t 0
0＝12gt 20.
3．如图所示，阴影区域是由函数y ＝cos x 的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是(
)
A ．1
B ．2 C.π
2
D ．π
解析：选B.这个阴影区域的面积是S ＝－⎠
⎜⎜⎛π2
3π
2 cos x d x ＝2.
4.如图中阴影部分的面积是( ) A ．e ＋1e
B ．e ＋1e －1
C ．e ＋1e －2
D ．e －1e
解析：选C.阴影部分的面积S ＝⎠
⎛0
1(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －x )|1
0＝e ＋1e －2.
5．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3
围成的封闭图形面积为( ) A.112
B.14
C.13
D.
712
解析：选A.作出曲线y ＝x 2
，y ＝x 3
的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝x 2
，y ＝x 3
得曲线y ＝x 2，y ＝x 3
交点的横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛0
1
(x 2
－x 3
)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4|10＝13－14＝112.
6．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所做的功为________． 解析：弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F ＝kx ，求得k ＝50，所以F (x )＝50x ， 所以W ＝⎠⎛0
0.1250x d x ＝25x 2|0.12
0＝0.36(J)．
答案：0.36 J
7．如图，在边长为2的正方形ABC D 中，M 是AB 的中点，则过C ，M ，D 三点的抛物线与C D 围成的阴影部分的面积是________．
解析：由题意，建立如图所示的平面直角坐标系， D (2，1)，设抛物线方程为y 2
＝2px (p >0)，则p ＝1
4
，所以y ＝±
x
2
，所以S ＝2⎠⎛
2
x
2d x ＝2×23×x 32|2
0＝83
.
答案：8
3
8．如图，已知点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，14，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2
上，若阴影部分面积与△OAP
面积相等，则x 0＝________．
解析：由题意得⎠
⎛0
x 0x 2
d x ＝12×14×x 0，即13x 30＝18x 0，
解得x 0＝6
4
. 答案：
64
9．求由抛物线y 2
＝8x (y ＞0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积．
解：法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2
＝8x ，y ＞0，
x ＋y －6＝0，解得交点坐标为(2，4)，如图，所以所求面积为A ＝⎠⎛0
28x
d x ＋⎠
⎛2
6(6－x )d x ＝22×23x 32|20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －12x 2|62＝423×23
2＋(36－18)－(12－2)＝40
3.
法二：由⎩
⎪⎨⎪⎧y 2
＝8x ，y ＞0，
x ＋y －6＝0，
解得交点坐标为(2，4)，如图，所以所求面积为
A ＝⎠⎛04⎝
⎛⎭⎪⎫6－y －18y 2d y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫6y －12y 2－1
24
y 3|40
＝24－8－124×43
＝403
.
10．A 、B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m/s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：
(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．
解：(1)设A 到C 的时间为t 1s ，则1.2t 1＝24，解得t 1＝20.则AC ＝⎠⎛0
201.2t d t ＝0.6t 2|20
＝240(m)．
即A ，C 间的距离为240 m. (2)设D 到B 的时间为t 2 s ，
则24－1.2t 2＝0，解得t 2＝20，
则B D ＝⎠⎛0
20(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2
)|20
0＝240(m)．
即B ，D 间的距离为240 m.
[B 能力提升]
11．如图，求由曲线y ＝－x 2
，4y ＝－x 2
及直线y ＝－1所围图形的面积为( )
A.23
B.43
C.38
D.34
解析：选B.由图形的对称性知，所求图形面积为位于y 轴右侧图形面积的2倍．
法一：由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2
，
y ＝－1得C (1，－1)．同理得D (2，－1)．
则所求图形的面积
S ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫
⎠⎛01[－x 24－（－x 2）]d x ＋⎠⎛12[－x 2
4－（－1）]d x ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫⎠⎛013x 2
4d x －⎠⎛12x 2
4d x ＋⎠⎛121d x
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 3
4|10－x 312|2
1＋x |21
＝4
3
. 法二：同法一得C (1，－1)，D (2，－1)．则所求图形的面积为S ＝2⎠⎛－1
0(2－y －－y )d y
＝2⎠⎛
－1
－y d y ＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23×(－y )3
2|0
－1＝43.
12．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2
－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方
程为________．
解析：设直线l 的方程为y ＝kx ，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2
－2ax 得交点坐标为(0，0)，(2a ＋k ，2ak ＋k 2)，图形面积
S ＝⎠⎛
2a ＋k
[kx －(x 2
－2ax )]d x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33|2a ＋k 0
＝（k ＋2a ）32－（k ＋2a ）3
3＝
（k ＋2a ）3
6＝92
a 3
， 所以k ＝a ，所以直线l 的方程为y ＝ax . 答案：y ＝ax
13．求正弦曲线y ＝sin x 与余弦曲线y ＝cos x 与直线x ＝－3π4，x ＝5π
4围成的图形
的面积．
解：如图，画出y ＝sin x 与y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4
，5π4上的图象，它们共有三个交点，
分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π
4
，－22，
⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4
，－22.
在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4
，π4上，cos x >sin x ，
在⎝
⎛⎭
⎪⎫π4，5π4上，sin x >cos x ， 所以所求的面积S ＝⎠⎜⎜⎛－3π4
π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4
5π4 (sin x －cos x )d x ＝2⎠
⎜⎜⎛π4
5π
4
(sin x －cos x )d x
＝－2(sin x ＋cos x )
⎪⎪⎪⎪5π4π4
＝4
2.
14．(选做题)如图，设点P 在曲线y ＝x 2
上，从原点向A (2，4)移动，记直线OP 与曲线
y ＝x 2所围成的图形的面积为S 1，直线OP
、直线x ＝2与曲线y ＝x 2
所围成的图形的面积为S 2.
(1)当S 1＝S 2时，求点P 的坐标；
(2)当S 1＋S 2有最小值时，求点P 的坐标和最小值．
解：(1)设点P 的横坐标为t (0<t <2)，则P 点的坐标为(t ，t 2
)，直线OP 的方程为y ＝
tx .
S 1＝⎠⎛0t (tx －x 2)d x ＝16t 3，
S 2＝⎠⎛t
2(x 2－tx )d x ＝83
－2t ＋1
6
t 3.
因为S 1＝S 2，
所以t ＝43.点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169. (2)令S ＝S 1＋S 2＝16t 3＋83－2t ＋16t 3
＝13t 3－2t ＋8
3
， S ′＝t 2－2，
令S ′＝0得t 2
－2＝0. 因为0<t <2， 所以t ＝2，
因为0<t <2时，S ′<0； 2<t <2时，S ′>0.
所以当t ＝2时，S 1＋S 2有最小值83－42
3，此时点P 的坐标为(2，2)．。