第九章习题答案高数下

作 业 9—1
一.填空:
1.已知D 是长方形域：,10;≤≤≤≤y b x a 且⎰⎰=D
d x yf 1)(σ，则
⋅=b a
dx x f )(
2 .
解：
⎰⎰=
D
d x yf σ)(⎰
⎰⋅=
b
a
ydy dx x f 1
)(2
1⎰
⋅b
a
dx x f )( 故⎰⋅=b
a
dx x f )( 2
2.若D 是由1=+y x 和两个坐标轴围成的三角形域,且
⎰⎰
⎰⋅=D
dx x dxdy x f 1
)()(ϕ,那么.
=)(x ϕ)()1(x f x -
解：
⎰⎰
=D
dxdy x f )(⎰
⎰-⋅=x
dy x f xdx 10
10
)(⎰⋅-10
)()1(dx x f x ⎰⋅=1
)(dx x ϕ
二、单项选择题：
1． 设1D 是正方形域，2D 是1D 的内切圆，3D 是1D 的外接圆，1D 的中心在（-1，1）
处，记1I =
⎰⎰---1
2222D x
y x y dxdy e
;2I =⎰⎰---2
2222D x
y x y dxdy e
;3I =⎰⎰---3
2222D x
y x y dxdy e
.
则1I ，2I ，3I 大小顺序为（ B ）。

A ．1I ≤2I ≤3I B.2I ≤1I ≤3I C. 3I ≤2I ≤1I D. 3I ≤1I ≤2I
解：因为三个被积函数一样，均为正值，213D D D ⊃⊃，故2I ≤1I ≤3I 2. 设D 是第二象限的一个有界闭区域,且10<<y ，记
1I =⎰⎰D
d yx σ3;2I =⎰⎰D
d x y σ32;3I =⎰⎰D
d x y σ32
1
.1I ,2I ,3I 的大小顺序是( )。

A ．1I ≤2I ≤3I B.2I ≤1I ≤3I C. 3I ≤1I ≤2I D. 3I ≤2I ≤1I 解：因10<<y ，故2
12
y y y <<，而03
<x ，从而32332
1
x y yx x y <<，选（C ）。

三．利用二重积分定义证明： 1．
σσ=⎰⎰D
d （其中σ为D 的面积）
解：
i
n
i i
i
D
f d σηξσλ
∑⎰⎰=→∆=⋅10
),(lim 1i n
i σλ∑=→∆⋅=1
1lim
σσσ
λλ==∆=→=→∑0
1
lim lim
i
n
i
故 σσ=⎰⎰D
d （其中λ是各i
σ
∆的最大直径）
2．
k d y x kf D
=⎰⎰σ),(⎰⎰D
d y x f σ),( （其中k 为常数）
解：
=⎰⎰D
d y x kf σ),( i
n
i i
i
f σηξλ
∑=→∆1
),(lim i n
i i i f k σηξλ∑=→∆=1
),(lim
i n
i i i f k σηξλ∑=→∆=1
),(lim ⎰⎰=D
d y x f k σ),( （k 为常数）
四．利用二重积分的性质估计下列积分的值： 1．}10,10|),{(,)(⎰⎰≤≤≤≤=+=
D
y x y x d y x xy I 其中Ｄσ
解： 10,10≤≤≤≤y x
∴
2)(0≤+≤y x xy
∴
⎰⎰⎰⎰≤≤+≤D
D
d d y x xy 22)(0σσ
2．}4|),{(,)49(22⎰⎰
≤+=++=
D
y x d y x I ２
２ｙｘ其中Ｄσ 解： 中在D ,422
ππσ=⋅=,
(
)2
22
2
2
2
49499y
x y x y x ++≤++≤++
254992
2
≤++≤y x
∴ σσσ25)49(922≤++≤⎰⎰⎰⎰D
D
d y x d
即 ππ10036≤≤I
五．根据二重积分的性质比较下列积分的大小： 1．⎰⎰⎰⎰
++D
D
d y x d y x σσ32
)()(与
其中积分区域D 是由圆周2)1()2(2
2=-+-y x 所围成。

解：在由x 轴、y 轴、直线1=+y x 所围成的三角形区域上，10≤+≤y x ∴
23)()(0y x y x +≤+≤
∴ ⎰⎰⎰⎰+≥+D
D
d y x d y x σσ32)()(
2．
⎰⎰⎰⎰++D
D
d y x d y x σσ2
)][ln()ln(与，}10,53|),{(≤≤≤≤=y x y x 其中Ｄ 解： 10,53≤≤≤≤y x ，y x e +≤≤3
[]2
)ln()ln(,1)ln(y x y x y x +≤+>+
∴ ⎰⎰⎰⎰+≤+D
D
d y x d y x σσ2)][ln()
ln(
作 业 9—2
一. 填空:
1.若
⎰⎰
⎰
⎰
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=1
0)
()(1
212),(),(dx y x f dy dy y x f dx y x y x x
x ，则=))(),((21y x y x ),(y y .
解：
⎰⎰
⎰
⎰
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=10
1
),(),(2
dx y x f dy dy y x f dx y
y
x
x ，故=))(),((21y x y x ),(y y
2. 若
⎰⎰
⎰
⎰⎰⎰
⋅⋅⋅--+=+1
)
()
(0
1
10
10
10
21),(),(),(dx y x f dy dy y x f dx dy y x f dx y x y x x x
，则
=))(),((21y x y x )1,1(y y --.
解：
⎰⎰
⎰
⎰⎰
⎰
⋅-⋅-⋅--+=+10
11
1
10
10
10
),(),(),(dx y x f dy dy y x f dx dy y x f dx y
y x
x
故=))(),((21y x y x )1,1(y y -- 3. 积分
=+⎰⎰
≤+1
2
)(y x dxdy y x 3
2
. 解： 由积分区域的对称性知，
01
=⎰⎰≤+y x xydxdy ，
⎰⎰⎰⎰⎰⎰==
≤+≤+1
2
1
21
24D y x y x dxdy x dxdy y dxdy x ，
其中积分区域1D 是D 在第一象限部分， 故原积分8
=⎰
⎰
=
-1
10
2dy x dx x
3
2
)(1
32⎰
=
-dx x x 4. 设D 由x 轴和]),0[(sin π∈=x x y 所围成，则积分
⎰⎰=D
yd σ
4
π 解：
⎰⎰=D
yd σ⎰⎰=D
ydxdy ⎰
⎰
=π
sin 0
dy y dx x
4
sin 2102ππ⎰=xdx
5. 积分
⎰
⎰=
-1
1
2
dy e dx x
y ()
112
1
--e 解：
⎰⎰=-10
1
2
dy e dx x
y
()
10
1
1
12
1
2
2
----=
=⎰⎰
⎰e dy ye dx dy e y
y y
6. 积分
=+⎰⎰≤+1
2
22)2(y x dxdy y x
4
5π 解：由对称性知：
01
22=⎰⎰≤+y x xydxdy ，
⎰⎰≤+1222y x dxdy x ⎰⎰≤+=
1
2
22y x dxdy y
故原积分⎰⎰⎰⎰≤+≤++=
+=
1
221
2
22222)(25
)4(y x y x dxdy y x dxdy y x 2
5
=
4
520
1
3π
θπ
⎰
⎰=
dr r d
二、单项选择题
1. 记D 是由10),0(==>=x y k kx y 和围成的域，且
⎰⎰=D
dxdy xy ，
1512
=k 则（ A ）。

A ．1 B ．3
54 C ．3151 D ．315
2
解：原积分⎰
⎰⎰==
=
kx
k dx x k dy y xdx 0
1
03
4
3
21
153
，1=k
2. 将极坐标下的二次积分I=⎰⎰
2
/4
/sin 20
)sin ,cos (ππ
θ
θθθdr r r rf d 化为直角坐标下的
二次积分,则 I = ( C ) . A ． ⎰⎰
-1
12
),(x x
dy y x f dx
B . ⎰⎰
--10
112
),(x
x dy y x f dx
C. ⎰⎰
100
),(y
dx y x f dy +
⎰
⎰
-2
1
20
2
),(y y dx y x f dy
D.
⎰⎰
-10
22
),(y y y
dx y x f dy
解：先对y 积分的正确结果是⎰⎰
-+=1
112
),(x x
dy y x f dx I ,交换积分次序即为（C ）。

三. 改变累次积分的次序: 1.
⎰
⎰2
22;),(y
y
dx y x f dy
解：
⎰⎰
20
22
),(y
y dx y x f dy ⎰⎰=40
2
),(x
x dy y x f dx
2.
⎰
⎰
e
x
dy y x f dx 1
ln 0;),(
解： ⎰⎰
⎰⎰
--=e
x x dy y x f dx dy y x f dx 1ln 0
1
1
10
2
),(),(
3. ⎰
⎰-+=
22
422
0),(x x dy y x f dx I .
解： ⎰
⎰-+=
22
422
),(x x dy y x f dx I
-
=⎰
⎰-+22
421
0),(x x dy y x f dx ⎰
⎰+-22
242
1
),(x x dy y x f dx
-=⎰⎰1
),(D d y x f σ⎰⎰=2
),(D d y x f σ
⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰
------+22
63
2430
40
23
2
32
22
2
2),(),(),(),(y y y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy
4. ⎰
⎰
=
x dy y x f dx I sin 0
20
),(π
.
解：⎰
⎰=
x
dy y x f dx I sin 0
),(π
⎰
⎰-0
sin 2),(x
dy y x f dx ππ
-=⎰⎰1
),(D d y x f σ⎰⎰2
),(D d y x f σ
⎰
⎰⎰
⎰+----=y
y
y
aec y
aec dx y x f dy dx y x f dy arcsin 2arcsin 01
sin sin 10
),(),(πππ
四. 计算: 1. ⎰⎰
-=
1
21
2
x y dy e x dx I .
解：由于2
y e
-的原函数不是初等函数，故交换积分顺序计算
⎰⎰-=y
x
y dx e x dy I 2
21
⎰-=
1032
3
1dy e y y ⎰-=10
31dt te t
)(2y t = ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e 2161
2. 计算积分⎰⎰
=
D
dxdy xy I ,其中D 是圆2
22R y x ≤+. 解：由积分区域的对称性知只要在第一象限计算 方法一：()4
220
2124
2
2R dx x R x xydy dx I R x R R
=
-==⎰⎰
⎰
- 方法二：极坐标：40
320
2
1cos sin 4R dr r d I R
=
=⎰⎰
θθθπ
3. 计算积分()⎰⎰+≤++=
y
x y x dxdy y x I 22.
解：极坐标：⎰
⎰+-+=
θθππθθθcos sin 0
2434
)cos (sin dr r d I
θθθπ
π
d 44
34
)cos (sin 31+=⎰- 2
)2sin 2sin 1(312434π
θθθπ
π
=++=⎰-d 4. 计算由四个平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=o 及2x+3y+z=6截得的立
体的体积. 解：该立体可看作以 }10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x Ｄ 为底，
以y x z 326--=为顶面的曲顶柱体，其体积
},)326(⎰⎰--=D
d y x V 其中σ⎰⎰--=1
10)326(dy y x dx
⎰--=10)2326(dx x 2
72316=--= 五．化下列二次积分为极坐标的二次积分： 1．⎰⎰
=
1
1
),(dy y x f dx I
解：40:1π
θ≤
≤D ，θsec 0≤≤r ；2
4:2πθπ≤≤D ，θcsc 0≤≤r ⎰⎰=1
1
),(dy y x f dx I
⎰⎰=D
dxdy y x f ),(⎰⎰+=
2
1),(D D dxdy y x f
⎰
⎰⎰
⎰
+=4
2
csc 0
sec 0
)sin ,cos ()sin ,cos (πππθ
θ
θθθθθθrdr r r f d rdr r r f d
2．⎰
⎰
+=
x
x
dy y x f dx I 3222
)(
解：3
4
:π
θπ
≤
≤D ，θsec 20≤≤r
⎰
⎰
+=
x
x
dy y x f dx I 3222
)(
⎰⎰+=D
dxdy y x f )(22⎰⎰
=4sec 20
)(ππθ
θrdr r f d
六．选用适当的坐标系计算下列各题： 1．
⎰⎰
D
d y x σ2
2
，其中D 是由直线2,==x x y 以及1=xy 所围成的闭区域。

解：直角坐标系：
⎰⎰
D
d y x σ22⎰⎰=x x dy y
dx x 12212
1⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21121dx y x x x ⎰
--
=2
1
3
)(dx x x 49
124242=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=x x
2.
⎰⎰
+++D
d y x 在＝１极作标轴所围成的ｙ其中Ｄ是由圆周ｘ２
２,)1ln(22σ
第一象限内的闭区域；
解：极坐标系：
⎰⎰
++D
d y x σ)1ln(22
⎰
⎰
⋅+=
1
2)1ln(πθrdr r d
⎰++⋅=
1
22
)1()1ln(2
21r d r
π
[
]⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
-++=
⎰
1
02
2
201
)1ln()1(4rdr r r π
()12ln 24
-=
π
作 业 9—3
一. 填空:
1. 已知立体Ω是椭球体：3242
2
2
≤-++z z y x ，记
,,,321⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
Ω
===zdv I ydv I xdv I
（321,,I I I ）= .
解：Ω是椭球体：()14142
22
≤-++z y x ，体积π3
16=V ，形心为()1,0,0 故π3
16,0321===I I I 2. 积分
=+⎰⎰⎰
≤++1
2
222)(z y x dv by ax 解：由积分区域对称性知：
()
dv z y x dv z dv y dv x xydv ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
++====2
222
2231,0 =+⎰⎰⎰
≤++1
2
222)(z y x dv by ax (
)()
d v z y x
b a ⎰⎰⎰Ω
+++222
22
3
1
⎰⎰⎰
+=
1
40
20
22sin 3
ρρϕϕθππ
d d d b a )(15
22b a +=
π
二．单项选择题：
1. 设1Ω由o z R z y x ≥≤++,2
2
2
2
确定。

2Ω由
0,0,0,2222≥≥≥≤++z y x R z y x 所确定，则（ C ）.
A ．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1
2
4υυxd xd B. ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1
2
4υυyd yd
C.
⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1
2
4υυzd zd D. ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1
2
4υ
υxyzd xyzd
解：被积函数中只有z 而不含有y x ,时，在1Ω中是y x ,的偶函数，故选（C ）。

2．将在直角坐标下的三次积分：I=⎰
⎰
⎰
-----+---π
2
22
22
222
22).,(x a x a y x a a y x a a dz z y x f dy dx 化为球坐标
下的三次积分，则I=（ ）. A ．⎰
⎰⎰ϕ
π
πρϕρϕθρϕθρϕρϕθcos 20
20
)cos ,sin sin ,sin cos (sin a d f d d B ．⎰
⎰⎰
-ϕ
πππρϕρϕθρϕθρϕρϕθcos 20
22
/2
/2
/0
)cos ,sin sin ,sin cos (sin a d f d d
C ．⎰
⎰
⎰-ϕ
ππρϕρϕθρϕθρϕρϕθcos 20
22
/2
/0
)cos ,sin sin ,sin cos (sin a n d f d d
D ．
⎰
⎰
⎰
-ϕ
π
ππρϕρϕθρϕθρϕρϕθcos 20
20
2
/2
/)cos ,sin sin ,sin cos (sin a d f d d
解：由直角坐标下三次积分知相应三重积分的积分域是半球Ωaz z y x 22
2
2
≤++
0≥z
，因此θ的取值为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,0πϕ。

而()ϕρc o s 2,0a ∈，故选（B ）。

三．化三重积分⎰⎰⎰Ω
=
dxdydz z y x f I ),,(为三次积分：
1． 由双曲抛物面z xy =及平面0,01==-+z y x 所围成的闭区域； 解：闭区域Ω为：,0,10,10xy z y x ≤≤≤≤≤≤ ∴ ⎰⎰⎰Ω
=
d x d y d
z z y x f I ),,(⎰⎰⎰-=xy
x
dz z y x f dy dx 0
10
10),,(
2． 曲面222y x z +=及2
2x z -=所围成的闭区域； 解：2
2
2y x z +=22x -=，即 12
2=+y x
此为交线所在的投影柱面，故Ω在xoy 面的投影域为：
122≤+y x )0(=z ，
∴
⎰⎰⎰Ω
=dxdydz z y x f I ),,(=
⎰
⎰⎰----+-2
2
2
2
2
11221
1
),,(x x x y x dz z y x f dy dx
四．计算： 1． 计算
⎰⎰⎰Ω
+++3)1(z y x dxdydz
，其中Ω为平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的四面体。

解：先一后二法：
⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x dxdydz ()⎰⎰⎰--+++=y x D
z y x dz
dxdy 103
1
()⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=
D dxdy y x 4111212()⎰⎰--++=y y x dx dy 1021016
1121 165
2ln 211612*********-=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=⎰⎰-y dx x dy
2． 利用柱面坐标计算三重积分
⎰⎰⎰
Ω
zdv 其中Ω为曲面222y x z --=及2
2y x z +=所围成的闭区域；
解：联立Ω的两曲面方程，得交线：12
2=+y x ，)1(=z ；
投影柱面：12
2=+y x ；Ω在xoy 面的投影域为：1:2
2
≤+y x D xy )0(=z ，
用柱面坐标：Ω：,2,20,1022
r z r r -≤
≤≤≤≤≤πθ
⎰⎰⎰Ω
zdv =⋅=⎰⎰⎰Ωdz rdrd z θ⎰⎰⎰
-⋅=2
2
21
20
r r
zdz r dr d π
θ
()4
21
02212r r rdr --⋅⋅=⎰π()
12
721053ππ=
--⋅=⎰dr r r r
3． 利用球面坐标计算三重积分
⎰⎰⎰Ω
zdv 其中Ω由不等式
2222222,)(z y x a a z y x ≤+≤-++所围成。

解：联立Ω的两曲面方程，得交线：()2
2
2
a a z z =-+⇒a z =即2
22a y x =+
Ω在xoy 面的投影域为：222:a y x D xy ≤+)0(=z ，
球面和锥面与yoz 平面的交线分别为：
()22
2a a z z =-+与()022==x z y
,,40,cos 20π
ϕϕ≤
≤≤≤r a
⎰⎰⎰Ω
zdv ⎰⎰⎰Ω
⋅=ϕθϕϕd drd r r sin cos 2
⎰⎰⎰⋅=ϕ
π
π
ϕϕϕθcos 2340
20
2
cos sin a r
dr r d d ()
⎰
⋅
⋅
=40
44cos 164
1
cos sin 2π
ϕϕϕϕπd a ⎰
=⋅⋅
=40
454
7sin cos 8π
πϕϕϕπa d a
五．选用适当的作标计算三重积分： 1．
⎰⎰⎰
Ω
++dv z y x 222其中Ω为球面z z y x =++222所围成的闭区域。

解： 球面方程为： ()()2
2
2
2
2121=-++z y x ,cos 10,2
0,20ϕπ
ϕπθ⋅≤≤≤≤≤≤r
⎰⎰⎰
Ω
++dv z y x 222⎰⎰⎰Ω
⋅=ϕθϕd drd r r sin 2
⎰
⎰⎰
=
ϕ
π
π
ϕϕθcos 0
320
20
sin dr r d d
10
cos 10sin cos 41225
20
4πϕπϕϕϕππ
π
=-=⋅⋅=⎰
o d 2．
⎰⎰⎰
Ω
+dv y x )(2
2 ，其中Ω是由曲面)(254222y x z +=及平面5=z 所围成的闭区域。

解：联立Ω的两曲面方程，得交线：2
224=+y x ,)5(=z
Ω在xoy 面的投影域为：4:2
2≤+y x D xy )0(=z ，
,25=
r
z r z 2
5= ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22⎰⎰⎰
Ω
⋅=dz rdrd r θ2
8
5
2
52
320π
θπ==⎰⎰⎰r
dz dr r d
作 业 9—4
一. 填空:
1. 设Ω由2210y x z +-
≤≤所确定，则其形心坐标是 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
41,0,0
解：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰-≤+Ω
=2
22)1(1
z y x zdxdy dz
zdv ()12
11
2
π
π=
-=⎰dz z z
413
12
=
=
π
π
z ，形心为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
41,0,0
2. 密度为1的旋转抛物体：12
2
≤≤+z y x （记为Ω）绕Z 轴的转动惯量=
I 6
π
. 解：()
d v y x
I ⎰⎰⎰Ω
+=
22
()
⎰⎰⎰
≤++=
z
y x dxdy y x
dz
2222
1
6
821
2π
π
=
=
⎰
dz
二． 单项选择题：
1．计算旋转抛物面212
12
2≤≤++=z y x z 在那部分的曲面面积S=（ B ）. A ．
dxdy y x y x ⎰⎰
≤+--2
22221 B.
dxdy y x y x ⎰⎰
≤+++2
22221
C.
dxdy y x y x ⎰⎰
≤+--4
22221 D.
dxdy y x y x ⎰⎰
≤+++4
22221
解：σ
d y x dS 2
21++=，当抛物面在xoy 面投影为22
2
≤+y x ，应选（B ）
2．设Ω由0,10,10,≥≤≤≤≤≤++z y x K z y x 所确定，其中K 是大于2的常数及
⎰⎰⎰Ω
=
4
7
xdxdydz ，则K=（ C ）. A ．5 B. 13 C.
314 D. 3
8
解：
⎰⎰⎰Ω
=xdxdydz ⎰
⎰⎰--y
x K dz dy xdx 0
1010()⎰⎰--=10
1
dy y x K xdx
⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10221dx x K x 1272314121-=--=K K 解得 3
14
=
K ，选（C ）。

三．重积分的应用计算：
1． 求：2
2
2
2
2
2
,R z x R y x =+=+所围成立体的表面积。

解：由对称性所求表面积为位于第一卦限表面积()1212S S S =+的八倍
即：dxdy z z dA S S D
y x D
⎰⎰
⎰⎰++===2
211161616
20
2
22
2
21616116
2
2R dy x R Rdx dxdy x R x R
x R D
=-=-+
=⎰
⎰
⎰⎰
-
2． 求平面区域0,0),0(,:2
2
2
2
2
≥≥>≥+≤+y x a ax y x a y x D 形心。

解： ⎪⎭
⎫
⎝⎛-==
=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2138cos 2
cos
2
cos 2
πθθθ
σ
σ
π
θ
π
θ
a
a a
a D
D
rdr
d dr r d d xd x a rdr
d dr
r
d d yd y a
a a
a D
D
π
θθθσ
σπ
θ
π
θ
2
sin 2
cos
2
0cos
2
=
=
=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
3． 求均匀球体z z y x V 2:2
2
2
≤++绕oz 轴的转动惯量（体密度为1）。

解： ()
d xdydz y x
I V
⎰⎰⎰+=
22
()
⎰⎰⎰-≤++=2
22222
2
z z y x dxdy y x
dz
()⎰
⎰
⎰⎰
+-=
=
-20
432
20
3
20
2
4422
dz z z z dr r d dz z z π
θπ
4． 求心脏线)cos 1(θ+=a r 围成的图形关于极点的转动掼量（面密度为1）。

解： ⎩
⎨⎧==θρθρsin cos y x ，
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=1
)
cos 1(0
3
3
2222)(D a D
d d d d dxdy y x I π
θρρ
θ
θρρ
404416
35)cos 1(21a d a πθθπ
⎰=+= 5． 设面密度为常量μ的匀质半圆环型薄片占有闭区域
）处〉）（，，
（轴上点求它对000},0,|)0,,{(02221a a M z x R y x R y x D ≥≤+≤=F 单位质量的质点的引力。

解： 引力},,{z y x F F F F =
，在半环内取σd ，在σd 内任取)0,,(y x Q ，产生引力大
小为
2
22a y x d G dF ++=σ
μ
,引力方向与},,{a y x -一致。

=x dF 2
3222)
(a y x xd G ++σμ
，2
3222)
(a y x yd G dF y
++=σμ
，
2
3222)
(a y x ad G dF z ++-=σμ
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
++-=++=++=D
D
z y D
x a y x ad G F a y x yd G F a y x xd G F 2
32222
3
2222
3
222)
(,)
(,)(σμ
σμσ
μ
rdr r a r
d G F R R x ⎰⎰
-
+=2
2
2
3
222
1
)(cos ππ
θθμ
])
(1[22
1
2
12
3
222
2
2
⎰
⎰+-+=R R R R r a dr a
dr r a G μ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++
+-++++=2211
222222112
22
2ln 2a R R a R R a R R a R R G μ 1
2
222
2
23221)
(,02
1R R a r a G dr r a r
d a G F F R R z y ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+--=+-==⎰⎰
-
μθμππ
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+-
+=2212
221
1a R a R Ga μπ F = F x i + F z k =
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-
+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-++++2212222211
222222112
22211,0,ln 2a R a R Ga a R R a R R a R R a R R G μπμ
第九章 重积分 单元测验
一. 填空:
1．已知D 是由直线x y x y 2
1
,=
=以及1=xy 在第一象限围成的区域,将二重积分⎰⎰D
d y x f σ),(表为累次积分 .
解：
⎰⎰D
d y x f σ),(=⎰
⎰
y
y
dx y x f dy 2210
),(+⎰⎰y y
dx y x f dy 11
2
1),(
2．改变累次积分的次序: ⎰
⎰+-2
111
),(y y
dx y x f dy = .
解：
⎰
⎰+-2
111
),(y y
dx y x f dy =⎰
⎰-1
110
),(x
dy y x f dx +⎰
⎰-11
21
),(x dy y x f dx
3. 积分
⎰⎰
⎰
⎰=+-⋅31
)3(21
1
dy e dx dy e dx x y x
y
.
解：原积分()=-==⎰⎰⎰
-dy e y dx e dy y y
y
y
1
10
23133(e-2)
4． 由不等是式)(22
222y x z y x +-≤≤+，所确定形体Ω的体积V=
解：⎰⎰⎰Ω
=
dv V ()
ππθπ6
5221
231
02202
=
--==⎰⎰⎰
⎰-dr r r r rdz dr d r r
5．.设Ω由2210y x z +-≤≤所确定，则积分⎰⎰⎰Ω
+dxdydz y x f )(22在柱坐标下，
可以化为定积分：⎰1
)(dr r φ，那么=)(r φ .
解：
⎰⎰⎰Ω
+dxdydz y x f )(22 ()
()()
dr r f r r dz r f rdr d r
r
⎰
⎰⎰
⎰---==10
210
10
2
20
12πθπ
二、单项选择题 1．
设1D 是正方形域，2D 是1D 的内切圆，3D 是1D 的外接圆，中心在（0，1）点，正方形的边与坐标轴平行，且长为2，记2
2)2(),(2
2
y x e
y x y y x f ----=。

⎰⎰⎰⎰⎰⎰===1
2
3
321321,.),(;),(;),(D D D I I I d y x f I d y x f I d y x f I σσσ的大小顺序是
（ ）.
A ．1I ≤2I ≤3I B.2I ≤1I ≤3I C. 3I ≤1I ≤2I D. 3I ≤2I ≤1I 解：由2
2
2
2
)1(12---=--y x y x y 及02
2>--y x e
知，
在2I 中0),(>y x f ，在1I 中),(y x f 在21\D D 的部分取负值；故1I ≤2I
在3I 中在13\D D 的部分),(y x f 取负值；3I ≤1I ，选（C ）。

2
2x R x
-
2．设D 是以（-1，1）和（-1，-1）为顶点的三角形域，1D 是D 在第1象限部分。

则
⎰⎰--+D
y x
dxdy ye xy )sin (2
2
=（ ）.
A ．⎰⎰--1
2
2sin 2
D y x dxdy ye
B. ⎰⎰1
2D xydxdy
C. ⎰⎰--+1
2
2
)sin (4
D y x
dxdy ye xy D. 0
解：4321D D D D D ⋃⋃⋃=，由对称性知，在21D D ⋃上及43D D ⋃上xy 的积分均为σ，故
⎰⎰
==D
xydxdy 0，在43D D ⋃上2
2
sin y x
ye --是关于y 的奇函数，故积分为0；
在21D D ⋃上2
2sin y x ye
--是关于x 的偶函数，因此应选（A ）。

3. 在极坐标下，与二次积分⎰
⎰
----
222
2),(R
x R x R dy y x f dx 相等的是（ ）。

A ．⎰
⎰-π
θθθ0
)sin ,cos (R
R
dr r r rf d
B ．
⎰⎰-32
)sin ,cos (ππ
θθθR
R
dr r r rf d
C ． ⎰⎰π
θθθ0
)sin ,cos (R
dr r r rf d
D ．
⎰⎰232
)sin ,cos (ππ
θθθR
dr r r rf d
解：积分域是圆2
2
2
R y x ≤+在第2，3象限部分的半圆，故应选（D ）。

三. 计算: 1. 计算积分)(⎰⎰+=
D
dxdy y x I ,其中D 为1||||≤+y x .
解：积分区域关于x 轴和y 轴对称，被积函数分别关于y 和x 是偶函数，记1D 为D 在第一象限部分，则 )(⎰⎰+=
D
dxdy y x I )(⎰⎰+=1
4D dxdy y x )(⎰⎰+=1
4D dxdy y x
340
1214)(410210
1
=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰⎰
⎰-dx x
y xy dy y x dx x
2.
⎰⎰=++D
y x y x D d e 所围成的闭区域。

是由圆周其中4,222
2
σ 解：
()142
202
2
2
-==⎰⎰⎰⎰+e rdr e d d e r D
y x πθσπ
3. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x+y=2,y=x 和x 轴所围成,它的面密度
()y x ,μ22y x +=,求该薄片的质量.
解： ⎰⎰⎰⎰-+=+=
D
y
y
d y x dy d y x I 1
22
22
2)()(σ 3
4)}22(])2[(3
1{2
331
=
-+--=⎰
dy y y y y 4．求由平面222y x z +=及2
226y x z --=所围成的立体体积 解：
4. π6
5.利用极坐标计算二重积分
⎰⎰++D d y
x y x σ22，其中D ：1,12
2≥+≤+y x y x 。

解：极坐标：20:πθ≤≤D ，1cos sin 1
≤≤+r θ
θ 故
⎰⎰++D
d y x y x σ22 ⎰⎰+=D rdrd r r r θθ
θ2sin cos ⎰
⎰++=1cos sin 1
20
)sin (cos θ
θπθθθrdr d θθsin cos r r +
22cos sin 11)sin (cos 20
πθθθθθπ
-=⎪
⎭
⎫
⎝⎛+-+=
⎰
d 四. 在极坐标系下将二重积分化为累次积分:
⎰⎰D
d y x f σ),(，其中D 为由圆
ax y x =+22与圆222a y x =+在第一象限内围成的区域。

解： 2
0:π
θ≤
≤D ，a r a ≤≤θcos
⎰⎰D
d y x f σ),(⎰⎰=D
rdrd r r f θθθ)sin ,cos (
⎰
⎰=a
a rdr r r f d θ
π
θθθcos 20
)sin ,cos ( 或 ⎰⎰
=
2
a r c c o s
)s i n ,c o s (π
θθθa
r
a
d r r f r d r
五． 证明：
=⎰
⎰x
a
b
a
dy y f dx )(⎰-b
a
dx x b x f ))((，其中)(x f 为连续函数。

证明：
=⎰⎰
x
a
b
a
dy y f dx )(θ
θsin cos r r +⎰⎰
D dxdy y x f ),(，其中：⎩
⎨⎧≤≤≤≤x y a b
x a D :
交换积分次序：
=
⎰
⎰x
a
b a
dy y f dx )(dx y f dy b y
b a
⎰
⎰)(
⎰
-=b
a
dy y b y f ))((⎰-=b a
dx x b x f ))((
六．计算：三重积分
⎰⎰⎰
-V
dV x y 2
1，其中，V 由1,12222=+---=y x z x y 以及1=y 围成。

解：V 在xoz 面上的投影区域 :D 12
2≤+z x ，所以
⎰⎰⎰-V
dV x y 2
1dy x dxdz z
x D
⎰⎰⎰----=1
122
2
1
⎰⎰⎰⎰
----=+-=+-=
22
112
2112
222
45
282121x x D
dz z x dx x dxdz z x x
七．计算：三重积分
⎰⎰⎰++V
dV z y x z 2
22，其中，V ：222223,1y x z z y x +≥≤++
解： 10,6
0,20:≤≤≤
≤≤≤r V π
ϕπθ
高等数学 作业册 班级 姓名
第 9 章 第 21 页 ⎰⎰⎰++V dV z y x z 222⎰⎰⎰⋅⋅=V
d drd r r r θϕϕϕsin cos 2 20sin cos 1046020πϕϕϕθππ==⎰⎰⎰dr r d d。