微积分作业对外经济贸易大学远程教育

一、导数的运算
1， 已知2
211
x x y +-=，则y '=（ ）。

A, )1(22x x + B, 2)1(4x x + C, 22)1(2x x + D, 2
2)
1(4x x
+ 解 2
2)1(4x x
+=。

2 x
x y cos 22
=，则y '=（ ）。

A, x x x x x cos sin 2cos 42+ B, x x x x x 2cos sin 2cos 4+
C, x x x x x 22cos sin 2cos 4+ D, x
x
x x 2
2cos sin 2cos 4+ 解 )cos /2(2
'='x x y
x
x
x x x 22cos sin 2cos 4+=。

3 2
sin x y =，则y '=（ ）。

A, 2
cos x B, 2
cos 2x x C, 2
cos 2x D, x x cos 2 令 2x u =，则u y sin =，
u y u
cos ='， x u x 2='，
所以 x u x u y y ''='
2
cos 2x x =。

4 )1ln(2x x y ++=，则y '=（ ）。

A,
2
11x
+ B,
2
11x
x ++ C,
2
12x
x + D,
2
12x
x ++
令 y=lnu ，21
v x
u +=，v=1+x 2
则 u y u
1
=
'， 1
21
2
11-+='v u v
，x v x
2='
所以 x v u x
v u y y '''='
2
11x
+=。

今后可约定y y x '='，省略下x 标。

5 3
)sin(ln x y =，则y '=（ ）。

A, 2
3
)(ln )cos(ln x x ⋅ B, ⋅3
)cos(ln x C,
)(ln )cos(ln 33x x x ⋅⋅ D, 23)(ln )cos(ln 3
x x x
⋅⋅ 令 v y
sin =, 3u v =, x u ln =，，
则 x u v u v y y '⋅'⋅'='
23)(ln )cos(ln 3
x x x
⋅⋅=。

6：x
y 2sin 3
=,则y '=（ ）。

A, x
x 2sin 32cos 2⋅ B, 3ln 2cos 2⋅x
C, 3ln 32cos 22sin x
x ⋅ D, 3ln 32cos 2sin x x ⋅
解 3ln 22cos 3
2sin ⋅⋅='x y x
3ln 32cos 22sin x
x ⋅=。

7, 设函数)
2arccos(x e
y =，则
dx
dy
等于（ ） A ．2
)2arccos(41x
e x --
B ． 2
)2arccos(412x
e x --
C ．2
)2arccos(212x
e x --
D ．2
)
2arccos(12x
e x --
解答：)()
2arccos('='x e
y =])2[arccos()2arccos('x e x
=)2(412
)2arccos('--
x x
e x =2
)2arccos(412x
e x --
8，导数是3
1x 的函数是( )
A ，3212+-x
B ，2414
+-x
C ，1414+x
D ，4212+x 解答: )321(2'+-
x =)(2
12
'--x =x -3
9，函数
3
1
x 的导数是( ) A ， 2
3x - B ，4
3x C ，2
3x D ， 4
3x -
解答: )
1(
3
'x =)(3
'-x =-3x -4 10,设x y 2
sin =，则y '=（ ）。

A, 2x 2sin B, 2xdx 2sin C, x 2sin D, xdx 2sin 11, 设x y ln 1+=，则 y ' =（ ）
A,
x
x ln 11+ B,
x
x ln 121+
C, x
ln 11+ D,
x
ln 12+
12, bx e y ax
sin -=，则y ' =（ ）
A, )sin cos (bx a bx b e
ax
-- B, )sin cos (bx a bx b e ax +-
C, )sin cos (bx a bx b e ax
- D, )sin cos (bx a bx b e ax
+
bx bx d e ax sin )(sin +=-·ax de -
ax
e
-=·bx bx bxd sin )(cos +·)(ax d e
ax
--
dx bx a bx b e
ax
)sin cos (-=-。

13，)(2
1
'-
x
=（ ）,
A, 21
21-x B, 21
21--x C, 23
21-x D,23
2
1-
-x
14,)(2'-x
e
=（ ）
A, x
e 2-- B, x
e
2- C, x
e
22-- D, dx e
x
22-
15,)(log 2'x =（ ）
A,
e x 2log 2 B, e x 2log 1 C, dx x 1 D, x
1 16,)5('x
=（ ）
A, 5ln 5x
B, x 5 C, dx x
5 D, 5ln 5 17,)2(ln 'x =（ ）
A, Lnx B,
x 2 C, x 21 D,x
1 18,设y=sin7x , 则y ' =（ ）
A,-7cos7x B, 7cosx C, 7cos7x D, cos7x 19,设y = xcos(-x) ,则y '=（ ）
A, cos(-x) - xsin （x ） B, cos(-x)+ xsin(-x) C, cos(-x)+ sin(x) D, cos(-x)- sin(-x) 20,)8('-tgx =（ ）
A,
x 2cos 1
B, x
2
cos 1- C, x cos 1 D, x cos 1- 一、导数的运算答案
1,( D ) 2, ( C ) 3, ( B ) 4, ( A )
5, ( D ) 6, ( C ) 7, ( B ) 8, ( A ) 9, ( D ) 10, ( C ) 11, ( B ) 12, ( A ) 13, ( D ) 14, ( C ) 15, ( B ) 16, ( A ) 17, ( D ) 18, ( C ) 19, ( B ) 20, ( A )
二、函数的微分
1，2
1-
dx
=（ ）,
A, 21
21--x B, 21
21--x dx C, 23
21--x D,23
2
1-
-x dx
2,x
de
2- =（ ）
A, x
e 22-- B, x
e
2- C, dx e
x
22-- D, dx e x 22-
3,x d 2log =（ ）
A,
e x 2log 1 B, edx x 2log 1 C, dx x 1 D, x
1 4,x
d 5 =（ ）
A, dx x
5ln 5 B, 5ln 5x
C, dx x
5 D, x
5 5,x d 2ln =（ ）
A, Lnx dx B,
x 2 dx C, x 21dx D,x
1
dx 6,dsin7x=（ ）
A, 7cosxdx B, 7cosx C, 7cos7xdx D, 7cos7x 7,dcos(-x) =（ ）
A, -sinxdx B, sin(-x)dx C, sin(-x) D, -sin(-x)dx 8,)1(-tgx d =（ ）
A,
dx x 2cos 1 B, x
2cos 1 C, dx
x cos 1 D, x cos 1 9, )2(ctgx d =（ ）
A, x 2sin 2-
B, dx x 2sin 1- C, dx x 2sin 1 D, dx x
2
sin 2
- 10,x d 2arcsin =（ ）
A,
2
412x - B,
,4122
dx x
+ C,
,4122dx x
- D,
,411
2
dx x
-
11,)1arccos(
+x d =（ ）
A,
,)
1(112
dx x +- B, ,)1(112
dx x +--
C, ,112
dx x
--
D, 2
)
1(11
+--
x
12, 2
darctgx
=（ ）
A,
dx x x 412+ B, dx x 2
11
+ C, 412x x + D, 2
11
x
+ 13,x darcctg 3 =（ ）
A, 2913x +-
B, ,11
2
dx x +-
C, ,9132dx x + D, ,913
2
dx x
+- 14,设x y 2
sin =，则 dy =（ ）
A, 2x 2sin B, 2xdx 2sin C, xdx 2sin D, x 2sin 15, 设x y ln 1+=，则 dy =（ ）
A, x
x dy ln 121+=
B, dx x
x dy ln 121+=
C, dx x
dy ln 121
+=
D, dx x
dy ln 11
+=
16, bx e y ax
sin -=，则 dy =（ ）
A, dx bx a bx b e
ax
)sin cos (-- B, dx bx a bx b e ax )sin cos (+- C, )sin cos (bx a bx b e
ax
-- D, )sin cos (bx a bx b e ax +-
bx bx d e ax sin )(sin +=-·ax de -
ax
e -=·bx bx bxd sin )(cos +·)(ax d e
ax
--
dx bx a bx b e
ax
)sin cos (-=-。

17, 函数)5ln(tgx y =的微分是（ ）
A ，dx x tgx dy
cos 1=
B ， dx x dy )
2sin(1
=
C ，dx tgx
dy 5
= D ，
dx x dy )2sin(2=
解答：)5ln(tgx d dy ==]5ln )[ln(+tgx d =5ln )ln(d tgx d +
=)ln(tgx d =
dtgx tgx 1=dx x tgx 2cos 11=dx x x cos sin 1=dx x )
2sin(2
18, 设)21ln(1)(x x
x f --= ，则=)('x f ( )。

（A ）
x x 21112-- （B ） x x
21112-+- （C ）x x 21212-+- （D ）x x 212
12--- 19, 设函数)2arccos(x y =，则
=x dx
dy
等于（ ）
A ．-1
B ．-2
C ．-3
D ．
-4
''09. |( ).3311. . . .
2222x y y A B C D ===--设则
二、函数的微分答案
1,( D ) 2, ( C ) 3, ( B ) 4, ( A )
5, ( D ) 6, ( C ) 7, ( B ) 8, ( A ) 9, ( D ) 10, ( C ) 11, ( B ) 12, ( A ) 13, ( D ) 14, ( C ) 15, ( B ) 16, ( A ) 17, ( D ) 18, ( C ) 19 ( B ) 20, ( A )
20,
三、隐函数的导数
1, y=f(x)由方程 0sin 2
=++y x y 决定，则x y '=（ ）。

A, y x y x cos 12--=
' B, y
x
y x
cos 1+=' C, y x y x cos 12+=
' D, y
x
y x
cos 12+-=' 解 将二元方程 两边对x 求导，得
0cos 2='⋅++'x x y y x y ，
由此解得
y
x
y x cos 12+-=
'。

2，已知x y xy x 222
2
=-+，则由此方程决定的隐函数)(x f y =的导数是（ ）。

A,
y x y x dx dy ++-=1 B, y x y
x dx dy ---=1 C,
y x y x dx dy +--=1 D, y
x y
x dx dy +-+=1 对方程两边取微分，
)2()2(2
2
x d y xy x d =-+， 即 dx y d xy d x d 2)()2()(2
2
=-+， 亦即 dx ydy ydx xdy xdx 22222=-++， 或 dx y x dy y x )222()22(--=-， 于是 y
x y
x dx dy y ---==
'1。

3，)(y x arctg y +=，则y '等于（ ）
A ．)
(sin 12y x +-
B ， 2)(-+y x
C ，
)
(cos 12
y x + D ， 2)(11y x ++
解答：dy=darctg(x+y)=(dx+dy)/[1+(x+y)^2],即：dy=(dx+dy)/[1+(x+y)^2],
等式两边合并dy=2)(-+y x dx,故：y '=dy/dx=2)(-+y x
4，已知x 2
+ y 2
= 1，则由此方程决定的隐函数)(x f y =的导数是（ ）。

A ．y x -
B ， y x
C ，x y -
D ， x
y
5, 设方程2ln =+y
e xy 确定y 是x 的函数，则
=dx
dy
( )。

（A ）y e x y + （B ）x e y y
+- （C ）y
e
x y
+-21 （D ）y e x y +- '110. ln ln (),|( ).
. 1 . 1 . 1 . 1x x y y x y y x y A B e C D e ====--++设确定函数 则
解：两边取微分：
d(xlny)=d(ylnx) 然后按微分的乘法公式： lnydx+ xd(lny )=lnxdy+ y d( lnx) lnydx+ x/ydy =lnxdy+ y/x dx x/ydy- lnxdy = y/x dx- lnydx (x/y- lnx)dy =( y/x – lny)dx dy / dx =( y/x – lny)/ (x/y- lnx) 把x=1,y=1代入即可：dy / dx =1
四、高阶导数
1 求y ＝a
x 的2阶导数， A ．1
-='αax
y B ， a
x y )1(-=''αα C ，2
-=''a x
y α D ， 2
)1(--=''a x
y αα
2 求y ＝sinx 的2阶导数。

A ． x y cos -=''
B ， x y cos =''
C ，x y sin -=''
D ， x y sin =''
3, 函数2
)12ln(-=x y 的二阶导数为：（ ）
6,
A ． 2)12(4--=''x y
B 。

2)12(8---=''x y
C ．2)12(4---=''x y
D 。

2)12(8--=''x y 解答：])12[ln(2'-='x y =])12[ln(2'-x =
)12()
12(2
'--x x
=
)
12(4-x =1
)12(4--x
])12[(41'-=''-x y =)12()12(42'----x x =2)12(8---x
4, 设)(u ϕ具有二阶导数，)(x x y ϕ=，则''y =( )。

（A ）)('2)(''x x x ϕϕ+ （B ）)(')(''x x x ϕϕ+ （C ）)(')(''x x x x ϕϕ+ （D ）)(x x y ϕ=
5, 函数1
2+=x e y 的二阶导数为：（ ）
A ．1
22+=''x e
y B.1
2)12(++=''x e
x y C ． 1
2)12(2++=''x e x y D. 1
24+=''x e
y
五、求函数的极限
1， 设
)(x f 6
4
22---=x x x 则有( )
A ，∞=-→)(lim 2
x f x B ， 0)(lim 2
=-→x f x
C ，5
4
)(lim 2
-
=-→x f x D ， 54)(lim 2=--→x f x
解答：22lim )(lim -→-→=x x x f 6422---x x x =2lim -→x )6()4(22'--'
-x x x =2lim
-→x 122-x x =5
4--=4/5 2，=--→1
)1sin(lim 21
x x x （ ）
A.1
B.-1
C. -21
D. 2
1
解答：=--→1
)
1sin(lim
21
x x x ='-'
-→)1(])1[sin(lim 21x x x =--→x x x 2)1cos(lim 1=-20cos -21 3，x
x
x 3sin
lim
→ =（ ）
A.0
B.31
C. 2
1 D. 1 解 利用公式 1sin lim
0=→x
x x ，有 4，20cos 1lim x x x -→=（ ） A. 2
1 B.-1 C. -21 D. 0 解
5, 求2
31lim 221+--→x x x x =（ ） A.1 B.-1 C. -2
1 D. -
2 解 显然为0
0型问题 =)23()1(lim 221'
+-'-→x x x x =3
22lim 1-→x x x =-2。

6, 1
ln lim
1-→x x x =（ ） A. -21 B.-1 C.1 D. 2
1 解 11lim 1ln lim 111==-→→x x x x x 。

7 21lim 00x x e x
-+→=（ ） A.1 B. -21 C. -1 D. 2
1 解 21lim 00x x e x
-+→ =x x e x 200(21
lim -+→·2·)21x =2
1-。

8, x
x x x x sin sin lim 20-→=( ) A. 61 B.-1 C. -21 D. 31 解 原式=)0
0(cos sin 2cos 1lim 20x x x x x x +-→
=x x x x x x x x x sin 2cos sin 4cos 6cos lim
20---→ =61 9,142lim 22-→x x x =( ) A.1 B. -154 C. -1 D. 154 解
154)14(lim 2lim 142lim 22
222=-=-→→→x x x x x x x 。

10, 93lim 23--→x x x =( ) A.1 B. -61 C. 61 D. 154
解 因0999lim )9(lim 2323=-=-=-→→x x x x ，故不能应用商的极限定理，但对函数做适当变化后，再用这个定理就可以了，由于3→x 但3≠x ，故有
31)3)(3()3(932+=-+-=--x x x x x x ， 所以 61)3(lim 131lim 93lim 3
323=+=+=--→→→x x x x x x x 。

11, 223
12lim 4---+→x x x =( ) A. 61 B. 322 C.- 61 D. -3
22 解
所以 12, 1
35232lim 23424-+++-∞→x x x x x x =( ) A. 52 B.
32 C. 61 D. 3
1 解 13 6
212lim 232++-+∞→x x x x x =( ) A. 1 B. 3
2 C. 61 D. 0 解 对原式分子分母同时以3x 除之得
三、隐函数的导数答案
1,( D ) 2, ( B ) 3, ( B ) 4, ( A ) 5, ( D ) 6, (C) 四、高阶导数答案
1,( D ) 2, ( C ) 3, ( B ) 4, ( A ) 5, ( D )
五、求函数的极限答案
1,( D ) 2, ( C ) 3, ( B ) 4, ( A )
5, ( D ) 6, (C) 7, ( B ) 8, ( A )
9,( D ) 10, ( C ) 11, ( B ) 12, ( A ) 13,( D )。