数学建模：投资收益和风险的模型

投资收益和风险的模型
摘要
在现代商业、金融的投资中，任何理性的投资者总是希望收益能够取得最大化，但是他也面临着不确定性和不确定性所引致的风险。

而且，大的收益总是伴随着高的风险。

在有很多种资产可供选择，又有很多投资方案的情况下，投资越分散，总的风险就越小。

为了同时兼顾收益和风险，追求大的收益和小的风险构成一个两目标决策问题，依据决策者对收益和风险的理解和偏好将其转化为一个单目标最优化问题求解。

随着投资者对收益和风险的日益关注,如何选择较好的投资组合方案是提高投资效益的根本保证。

传统的投资组合遵循“不要将所有的鸡蛋放在一个蓝子里”的原则, 将投资分散化。

一问题的提出
某公司有数额为M（较大）的资金，可用作一个时期的投资，市场上现有5种资产（Si）(如债券、股票等)可以作为被选的投资项目，投资者对这五种资产进行评估，估算出在这一段时期内购买Si的期望收益率（ri）、交易费率(pi)、风险损失率(qi)以及同期银行存款利率r0（r0=3%）在投资的这一时期内为定值如表1，不受意外因素影响,而净收益和总体风险只受ri,pi,qi影响，不受其他因素干扰。

现要设计出一种投资组合方案, 使净收益尽可能大, 风险尽可能小.
表1
投资项目Si 存银行S0
S1 S2 S3 S4 S5
期望收益率ri(%) 风险损失率qi(%)
3 27 22 25 23 21
0 2.4 1.6 5.2 2.2 1.5
交易费率pi(%)
0 1 2 4.5 6.5 2
其中i=0,1,2,3,4,5.
二问题假设及符号说明
2.1 问题假设
(1)总体风险可用投资的这五种中最大的一个风险来度量；
(2)在投资中,不考虑通货膨胀因素, 因此所给的Si的期望收益率ri为实际的平均收益率；
(3)不考虑系统风险, 即整个资本市场整体性风险, 它依赖于整个经济的运行情况, 投资者无法分散这种风险, 而只考虑非系统风险, 即投资者通过投资种类的选择使风险有所分散；
(4)不考虑投资者对于风险的心理承受能力。

2.2 符号说明
xi：购买第i
种资产的资金数额占资金总额的百分比；种资产的资金数额； Mx0：存银行的金额；：净收益；
Mxi：购买第i
f(xi)：交易费用； R
Q
：总体风险；ρi：第i种投资的净收益率。

三模型的分析与建立
令交易费用
f(xi)=⎨
则净收益为
5
⎧Mxipi,⎩0,
xi>0xi=0
(i=0,1, ,5)
R=
∑M(1+r)x
i
i=0
i
-M
总体风险为
Q= maxMxiqi
0≤i≤5
约束条件为
5
5
∑
i=0
f(xi)+
∑Mx
i=0
i
=M
可以简化约束条件为
5
∑(1+
i=0
pi)xi=1
同时将M=M
5
∑(1+
i=0
pi)xi代入，得
55
i
i
5
R=
∑M(1+r)x
i=0
-M
∑(1+
i=0
pi)xi=M
∑(r
i=0
i
-pi)xi
略去M,原问题化为双目标决策问题: 5
max R=
∑x(r
i
i=00≤i≤5
i
-pi)
minQ= maxxiqi （3.1）
⎧5
⎪∑(1+pi)xi=1⎪i=0
s. t .⎨
x≥0⎪i⎪⎩i=0,1, ,5
以下设ri-pi>0，否则不对该资产投资。

四模型的求解
4.1 固定R使Q最小的模型
固定R使Q最小，将模型（3.1）化为
minQ= maxqixi，
0≤i≤5
⎧5
⎪∑(ri-pi)xi=R,(1)⎪i=0⎪5
s. t . ⎨∑(1+pi)xi=1,(2)
⎪i=0
⎪xi≥0⎪
⎩i=0,1, ,5
（4.1）
此模型又可改写为
min
y
⎧(r0-p0)x0+(r1-p1)x1+ +(r5-p5)x5=R⎪
⎪(1+p0)x0+(1+p1)x1+ +(1+p5)x5=1⎪s. t . ⎨xiqi≤y
⎪xi≥0,y≥0⎪⎪i=0,1, ,5⎩
令ρi=(ri-pi)(1+pi)，则ρi必大于ρ0,否则, ρi表示第i种投资的净收益率，若ρ1≤ρ0, 则不对Si投资, 因为对该项目投资纯收益率不如存银行, 而风险损失率又大于存银行。

将ρi从小到大排序,设ρk最大, 则易见对模型（4.1）的可行解必有
0.03≤R≤ρk.
当R=0.03时, 所有资金都存银行,Q=0; 当R=ρk时, 所有资金用于购买Si , Q=
qk1+pk
；当0.03<R<ρk时,有如下结论[7]。

x1q1= =x5q5
[7]。

而对于固定收益使风险最小的模型来说，这结论也可换句话说：在前5项投资总额一定的前提下，各项投资的风险损失相等即x1q1=x2q2= =x5q5时，总体风险
最小。

证：设y1,y2, ,y5是满足x1q1=x2q2= =x5q5的一组解，即
y1q1=y2q2= =y5q5=Q
*
[8]
显然此时Q*为总体风险。

由于前5项投资总额M是一定的，只要改变其中一项的值，便会导致总体风险增加。

（比如说将y1的值增加为y1*会使得y1*q1>Q*，总体风险显然增加；反之，若减小y1的值，必然会导致另外一项或几项的值，总体风险自然增加。

）因此,当R∈(0.03,ρk)时，可按以下步骤求出最优解：1）将（1）式和（2）式消去x0；2）将xi=求出最优解。

所以，我们算得如下结果:
（1）R=0.03时，x0=1,x1=x2=x3=x4=x5=0,Q=0；
Qqi
代入解出Q；3）由xi=
Qqi
5
，1≤i≤5，x0=1-∑(1+pi)xi
i=1
（2）R=0.26时，x0=x2=x3=x4=x5=0,x1=1Q=0.024；（3）R∈(0.03,0.26时，Q= R-0.03
40.1721
R-0.03R-0.03R-0.03
，x4=，x5=x3=
, x1=
，x2=
，
，
x0=1-1.01x1-1.02x2-1.045x3-1.065x4-1.02x5。

事实上应用Lingo软件可算得如下结果:
表1
最小风
收益R
险度Q
x0
投资Si的资金百分比xi （i=0,1,2,3,4,5.）
x1
x3
x4
x5
0.0300 0.0400 0.0500 0.0600 0.0700 0.0800 0.0900 0.1000 0.1100 0.1200 0.1300 0.1400 0.1500 0.1600 0.1700 0.1800 0.1900 0.2000 0.2100
0.0000 1.0000 0.0000 0.0002
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.9397 0.0104 0.0156 0.0048 0.0113 0.0166
0.0311 0.0096 0.0226 0.0332 0.0467
0.0144
0.0339
0.0498
0.0005 0.8793 0.0207 0.0007 0.8190
0.0311
0.0010 0.7587 0.0415 0.0622 0.0191 0.0453 0.0664 0.0012
0.6984 0.0519 0.0778 0.0239 0.0566 0.0830
0.0015 0.6380 0.0622 0.0933 0.0287 0.0679 0.0996 0.0017
0.5777 0.0726 0.1089 0.0335 0.0792 0.1162
0.0020 0.5174 0.0830 0.1245 0.0383 0.0905 0.1328 0.0022
0.4571 0.0933 0.1400 0.0431 0.1018 0.1494
0.0025 0.3967 0.1037 0.1556 0.0479 0.1131 0.1660 0.0027
0.3364 0.1141 0.1711 0.0527 0.1245 0.1825
0.0030 0.2761 0.1245 0.1867 0.0574 0.1358 0.1991 0.0032
0.2158 0.1348 0.2023 0.0622 0.1471 0.2157
0.0035 0.1554 0.1452 0.2178 0.0670 0.1584 0.2323 0.0037
0.0951 0.1556 0.2334 0.0718 0.1697 0.2489
0.0040 0.0348 0.1660 0.2489 0.0766 0.1810 0.2655 0.0046
0.0000 0.1897 0.2846 0.0876 0.1097 0.3036
0.2589 0.3884 0.1195 0.0000
0.2132
0.0062 0.0000
0.2200 0.2300 0.2400 0.2500 0.26/1.01
0.0093 0.0000 0.3858 0.4160 0.1781 0.0000
0.5471 0.1800 0.2525 0.0000 0.7084 0.0000
0.2722 0.0000 0.1160 0.0000 0.0000
0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0131 0.0000 0.0170
0.0000
0.0209 0.0000 0.8701 0.0000 0.0238 0.0000 0.9901
0.0000
最小风险度Q随收益R的变化趋势图
最小风险度Q
收益R
4.2 固定Q使R最大的模型
5
max R=
∑(r
i=0
i
-pi)xi
，
xiqi≤Q,⎧⎪5⎪
s. t .⎨∑(1+pi)xi=1,
⎪i=0⎪⎩xi≥0,(i=0,1, ,5.)
xi=Qqi。

证明：反证法。

假设ρi>ρj，xj>0，而xi<Qqi。

选取充分小的正数ε，使得(xi+ε)qi<Q，ε(1+pi)<xj(1+pj)。

令xi*=xi+ε，xj*=xj-ε(1+pi)(1+pj)，当k≠i,j时，令xk*=xk，则xk*≥0，且
5
∑x
k=0
5
*k
(1+pk)=
∑
k≠i,j
xk(1+pk)+(xi+ε)(1+pi)+[xj-ε(1+pi)(1+pj)](1+pj)=1，
5
*
*
∑x
k=0
*k
(rk-pk)=
∑
k≠i,j
xk(rk-pk)+(xi+ε)(ri-pi)+[xj-ε(1+pi)(1+pj)](rj-pj)>
∑x
k=0
k
(rk-pk)
由此结论, 我们可将ρi从大到小排序, 使ρi最大的k 应尽量满足xkqk=Q, 若还有多余资金, 再投资ρi次大的, 。

对于不同的Q ,会有不同的投资方案, 我们可以算出Q的临界值, 从而确定各项目的投资值。

因此，设ρ1>ρ2>ρ3>ρ4>ρ5>ρ0 , 则可用下面的方法算出各临界值c1，
c2，c3，c4，c5。

只有一种投资时,
c1(1+p1)=q1,c1=q1(1+p1)=0.023762。

当有两种投资时, 将x1=c2q1,x2=c2q2，代入x1(1+p1)+x2(1+p2)=1，得
c2=q1q2+p1)q2+(1+p2)q1]=0.009449。

同理可得：c3=q1q2q3+p1)q2q3+(1+p2)q1q3+(1+p3)q1q2]=0.007941，
c4=q1q2q3q4+p1)q2q3q4+(1+p2)q1q3q4+(1+p3)q1q2q4+(1+p4)q1q2q3]=0.005736 c5=q1q2q3q4q5+p1)q2q3q4q5+(1+p2)q1q3q4q5+(1+p3)q1q2q4q5+(1+p4)q1q2q3q5 +(1+p5)q1q2q3q4]=0.004131
于是得最优解：
当Q=0.000000时，x0=1,x1=x2=x3=x4=x5=0。

当0<Q≤0.004131时，
5
x1=Qq1,x2=Qq2,x3=Qq3,x4=Qq4,x5=Qq5,x0=1-
∑(1+
i=1
pi)xi。

当0.004131<Q≤0.005736时，
4
x1=Qq1,x2=Qq2,x3=Qq3,x4=Qq4,x5=[1-∑(1+pi)xi](1+p5),x0=0。

i=1
当0.005736<Q≤0.007941时，
3
x1=Qq1,x2=Qq2,x3=Qq3,x4=[1-∑(1+pi)xi](1+p4),x5=x0=0
i=1。

当0.007941<Q≤0.009449时，
2
x1=Qq1,x2=Qq2,x3=[1-∑(1+pi)xi](1+p3),x4=x5=x0=0
I=1。

当0.009449<Q≤0.023762时，
x1=Qq1,x2=[1-(1+p1)x1](1+p2),x3=x4=x5=x0=0。

当Q>0.023762时，
x1=(1+p1),x2=x3=x4=x5=x0=0。

当然，我们也可以换个角度来考虑上面这个模型。

为了能够给不同风险承受能力的投资者提供某种风险水平下的最优投资组合的决策方案，我们必须确定最优收益值R和最小风险度Q的值之间的对应关系。

maxR=(r0-p0)x0+(r1-p1)x1+ +(r5-p5)x5，
⎧x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4+1.02x5=1,⎪
0.024x1≤Q,
⎪⎪0.016x2≤Q,⎪
0.052x3≤Q, s.t.⎨
⎪0.022x4≤Q,⎪
0.015x5≤Q,⎪
⎪
xi≥0,(i=0,1,2,3,4,5.)⎩
为此编写MATLAB程序（见附录），从风险度Q=0开始，以每次增加0.001的风险度进行搜索[5]。

根据附录中程序一，最优收益值R和最小风险度Q以及投资额分配之间的对应关系计算结果列表如下：
风险度
Q
最优收益
R
投资Si的资金百分比xi （i=0,1,2,3,4,5.）
x0
x1
x2
x3
x4
x5
0 0.0010 0.0020 0.0030 0.0040 0.0050 0.0060 0.0070 0.0080 0.0090 0.0100 0.0110 0.0120 0.0130 0.0140 0.0150 0.0160
0.0300 0.0702 0.1103 0.1505 0.1907 0.2044 0.2092 0.2130 0.2167 0.2193 0.2219
0.2245 0.2271 0.2297 0.2322 0.2348 0.2374
1.0000 0.7577 0.5153 0.2730 0.0306 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0417 0.0833 0.1250 0.1667 0.2083 0.2500 0.2917 0.3333 0.3750 0.4167
0.4583 0.5000 0.5417 0.5833 0.6250 0.6667
0.0000 0.0625 0.1250 0.1875 0.2500 0.3125 0.3750 0.4375 0.4927 0.4317 0.3708 0.5266 0.2489 0.1879 0.1269 0.0660 0.0051
0.0000 0.0192 0.0385 0.0577 0.0769 0.0962 0.1154 0.1346 0.1538 0.1731 0.1923 0.0000 0.2308 0.2500 0.2692 0.2885 0.3077
0.0000 0.0455 0.0909 0.1364 0.1818 0.0285 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0667 0.1333 0.2000 0.2667 0.3333 0.2396 0.1162 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0170 0.0180 0.0190 0.0200 0.0210 0.0220 0.0230 0.0240 0.0250 0.0990
0.2400 0.2426 0.2451 0.2477 0.2503 0.2529 0.2555 0.2574 0.2574 0.2574
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.7083 0.7500 0.7917 0.8333 0.8750 0.9167 0.9583 0.9901 0.9901 0.9901
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.2723 0.2321 0.1918 0.1515 0.1112 0.0710 0.0307 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
最优收益R随风险度Q的变化趋势图
最优收益R
0.01
0.02
0.03
0.04
风险度Q
0.07
0.08
0.09
0.1
按照收益—风险最大原则, 可取模型
maxR，
5
⎧
(1+pi)xi=1,⎪
s.t.⎨∑ i=0
⎪x≥0,(i=0,1, ,5.)⎩i
由于q0=0，因而取x0=1,x1=x2= =x5=0时，maxRQ=+∞。

当然，也可取模型minQR，
5
⎧
⎪∑(1+pi)xi=1,
s.t.⎨i=0
⎪x≥0,(i=0,1, ,5.)⎩i
同上，由于q0=0，因而取x0=1,x1=x2= =x5=0时，minQR=0，从而可知, 全部钱存银行是最优解。

对于此问题, 其他投资的收益与风险损失率都不影响该最优解, 故这种模型不够好。

由偏好系数法, 我们选取偏好系数μ(0≤μ≤1),建立模型
max[(1-μ)R-μy]，
5
⎧
∑xi(1+pi)=1,⎪
i=0
⎪⎪
xiqi≤y, s.t.⎨
⎪x≥0,(i=0,1,2,3,4,5.)⎪i⎪⎩
具体数据可应用参数规划法进行计算。

权重r
最小风险度Q
x0
投资Si的资金百分比xi （i=0,1,2,3,4,5）
x1
x2
x3
x4
x5
[0,0.7200] 0.0238 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.9901 0.3309 0.2149 0.1719
0.0000 0.4963 0.3223 0.2579
0.0000 0.1527 0.0992 0.0794
0.0000 0.0000 0.0000 0.1876
0.0000 0.0000 0.3438 0.2751
[0.7210,0.7920] 0.0079 [0.7930,0.9070] 0.0052 [0.9090,0.9750] 0.0041
[0.9760,1]
0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 风险度Q随权重r的变化趋势图
附录一模型一Lingo 语句
min y
⎧(r0-p0)x0+(r1-p1)x1+ +(r5-p5)x5=R⎪⎪(1+p0)x0+(1+p1)x1+ +(1+p5)x5=1s. t .
⎨xiqi≤y⎪
⎪xi≥0,y≥0,(i=0,1, ,5.)⎩
min=y;
0.03*x0+(0.27-0.01)*x1+(0.22-0.02)*x2+(0.
25-0.045)*x3+(0.23-0.065)*x4+(0.21-0.02)*x5=0.03;
x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+1.065*x4+1.02
*x5=1;
0.024*x1<=y;
0.016*x2<=y;
0.052*x3<=y;
0.022*x4<=y;
0.015*x5<=y;
模型一Matlab 程序
>> R=0.03
>> while R<0.26/1.01;
C= [0 0 0 0 0 0 1];
A= [0 0.024 0 0 0 0 -1;0 0 0.016 0 0 0 -1;0 0 0 0.052 0 0 -1;0 0 0 0 0.022 0 -1;0 0 0 0 0 0.015 -1];
B= [0;0;0;0;0];
Aeq= [0.03 0.26 0.2 0.205 0.165 0.19 0;1 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02 0]; Beq= [R;1];
Vlb= [0;0;0;0;0;0;0];% or Vlb= zeros(7,1);
Vub= [ ];
[x,fval]= linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);
R
Q=fval
x=x'
plot(R, Q, 'm.')
axis([0 0.3 0 0.03])
xlabel('收益R')
ylabel('最小风险度Q')
title('最小风险度Q随收益R的变化趋势图')
hold on
R=R+0.01;
grid on
end
R=0.26/1.01;
C= [0 0 0 0 0 0 1];
A= [0 0.024 0 0 0 0 -1;0 0 0.016 0 0 0 -1;0 0 0 0.052 0 0 -1;0 0 0 0 0.022 0 -1;0 0 0 0 0 0.015 -1];
B= [0;0;0;0;0];
Aeq= [0.03 0.26 0.2 0.205 0.165 0.19 0;1 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02 0]; Beq= [R;1]; Vlb= [0;0;0;0;0;0;0];% or Vlb= zeros(7,1);
Vub= [ ];
[x,fval]= linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub)
程序二模型二Matlab 程序
>> Q=0
>> while (1.1-Q)>1 % or Q<0.1;
C= [-0.03 -0.26 -0.20 -0.205 -0.165 -0.19];
A= [0 0.024 0 0 0 0;0 0 0.016 0 0 0;0 0 0 0.052 0 0;0 0 0 0 0.022 0;0 0 0 0 0 0.015];
B= [Q;Q;Q;Q;Q];
Aeq= [1 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02];
Beq= [1];
Vlb= [0;0;0;0;0;0];% or Vlb= zeros(5,1);
Vub= [ ];
[x,fval]= linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);
Q
R=-fval
x=x'
plot(Q,R,'m.')
axis([0 0.1 0 0.5])
xlabel('风险度Q')
ylabel('最优收益R')
title('最优收益R随风险度Q的变化趋势图')
hold on
Q=Q+0.001;
grid on
end
a=0;
while(1.1-a)>1
c=[-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.185];
Aeq=[1 1.01 1.02 1.045 1.065];
beq=[1];
A=[0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026]; b=[a;a;a;a];
vlb=[0,0,0,0,0];
vub=[];
[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);
a
x=x'
Q=-val
plot(a,Q,'.')
axis([0 0.1 0 0.5])
hold on
a=a+0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')
模型三Lingo 语句
max[(1-μ)R-μy]，
5⎧∑xi(1+pi)=1,⎪
i=0⎪⎪ s.t.⎨xiqi≤y,
⎪x≥0,(i=0,1,2,3,4,5.)⎪i
⎪⎩
max=((1-0.2)*
(0.03*x0+(0.27-0.01)*x1+(0.22-0.02)*x2+(0.25-0.045)*x3+(0.23-0.065)*x
4+(0.21-0.02)*x5)-0.8*y);
x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+1.065*x4+1.02*x5=1;
0.024*x1<=y;
0.016*x2<=y;
0.052*x3<=y;
0.022*x4<=y;
0.015*x5<=y;
程序三模型三Matlab 程序
r=0
>> while r<1;
C= [-0.03*(1-r) -0.26*(1-r) -0.20*(1-r) -0.205*(1-r) -0.165*(1-r) -0.19*(1-r) r];
A= [0 0.024 0 0 0 0 -1;0 0 0.016 0 0 0 -1;0 0 0 0.052 0 0 -1;0 0 0 0 0.022 0 -1;0 0 0 0 0 0.015 -1];
B= [0;0;0;0;0];
Aeq= [1 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02 0];
Beq= [1];
Vlb= [0;0;0;0;0;0];% or Vlb= zeros(6,1);
Vub= [ ];
[x,fval]= linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);
r
Q=x(7)
x=x'
plot(r,Q,'r-')
axis([0 1 0 0.025])
xlabel('权重r')
ylabel('风险度Q ')
title('风险度Q随权重r的变化趋势图')
hold on
r=r+0.001;
grid on
end
r=0.8;
C= [-0.03*(1-r) -0.26*(1-r) -0.20*(1-r) -0.205*(1-r) -0.165*(1-r) -0.19*(1-r) r];
A= [0 0.024 0 0 0 0 -1;0 0 0.016 0 0 0 -1;0 0 0 0.052 0 0 -1;0 0 0 0 0.022 0 -1;0 0 0 0 0 0.015 -1];
B= [0;0;0;0;0];
Aeq= [1 1.01 1.02 1.045 1.065 1.02 0];
Beq= [1];
Vlb= [0;0;0;0;0;0];% or Vlb= zeros(6,1);
Vub= [ ];
[x,fval]= linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub)。