2018版高考数学文人教A版大一轮复习配套讲义：第七章

第1讲 不等式的性质与一元二次不等式
最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图
.
知 识 梳 理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法⎩⎨⎧a －b ＞0⇔a ＞b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b ＜0⇔a ＜b ；
(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧a
b ＞1⇔a ＞b （a ∈R ，b ＞0），
a
b ＝1⇔a ＝b （a ∈R ，b ＞0），a b ＜1⇔a ＜b （a ∈R ，b ＞0）.
2.不等式的性质
(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；
(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0
n ∈N ，n ≥2). 3.三个“二次”间的关系
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示
(1)a ＞b ⇔ac 2＞bc 2.( )
(2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( )
(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为R .( )
(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a ＜0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) 解析 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2⇒a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞b
ac 2＞bc 2.
(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根.则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为∅. (4)当a ＝b ＝0，c ≤0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0也在R 上恒成立. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b
c
B.a d ＜b c
C.a c ＞b d
D.a c ＜b d
解析 因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d ，两边同乘－1，得－1d ＞－1
c ＞0，又a ＞b ＞
0，故由不等式的性质可知－a d ＞－b c ＞0.两边同乘－1，得a d ＜b
c .故选B. 答案 B
3.设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N 等于( ) A.(0，4]
B.[0，4)
C.[－1，0)
D.(－1，0]
解析 ∵M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，
∴M ∩N ＝[0，4). 答案 B
4.当x ＞0时，若不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则a 的最小值为( ) A.－2
B.－3
C.－1
D.－32
解析 当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立，当Δ＝a 2
－4＞0，则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＞0，－a 2＜0，解得a ＞2，所以使不等式x 2＋ax ＋1≥0
对任意x ＞0恒成立的实数a 的最小值是－2. 答案 A
5.(必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________.
解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0， 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2.
答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)
考点一 比较大小及不等式的性质的应用
【例1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >a
D.a >c >b
(2)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1
b ；
④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④
B.②③
C.①③
D.②④
解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2
－a ＋1＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫a －122＋34>0，
∴b >a ，∴c ≥b >a .
(2)法一 因为1a ＜1
b ＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2.
显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D.
法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b
＜0，1
ab
＞0.故有1a ＋b ＜1
ab ，即①正确；
②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1
b ＞0， 所以a －1a ＞b －1
b ，故③正确；
④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2＞ln a 2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 答案 (1)A (2)C
规律方法 (1)比较大小常用的方法： ①作差法；②作商法；③函数的单调性法.
(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.
【训练1】 (1)(2017·松滋市校级期中)已知p ＝a ＋1a －2
，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2
，其中a >2，
x ∈R ，则p ，q 的大小关系是( ) A.p ≥q
B.p >q
C.p <q
D.p ≤q
(2)设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞c
b ；②a
c ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b
－c ).其中所有的正确结论的序号是( ) A.①
B.①②
C.②③
D.①②③
解析 (1)由a ＞2，故p ＝a ＋
1a －2＝(a －2)＋1a －2
＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时取等号.因为x 2
－2≥－2，所以q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2
－2≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－2＝4，当且仅当x ＝0时取
等号，所以p ≥q .
(2)由不等式性质及a ＞b ＞1知1a ＜1b ，又c ＜0，所以c a ＞c
b ，①正确；构造函数y ＝x
c ，∵c ＜0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数，又a ＞b ＞1，∴a c ＜b c ，知②正确；
∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴a －c ＞b －c ＞1，
∴log b (a －c )＞log a (a －c )＞log a (b －c )，知③正确. 答案 (1)A (2)D
考点二 一元二次不等式的解法(多维探究) 命题角度一 不含参的不等式
【例2－1】 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集. 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1，x 2＝3
2，
∴不等式2x 2
－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，＋∞，即原不等式的解集为
(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，＋∞.
命题角度二 含参不等式
【例2－2】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R ). 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.
①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －2a (x ＋1)≥0，
解得x ≥2
a 或x ≤－1.
③当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －2a (x ＋1)≤0.
当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2
a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即－2＜a ＜0，解得2
a ≤x ≤－1.
综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}； 当a ＞0
时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≥2a ，或x ≤－1；
当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫
2a ≤x ≤－1；
当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a ＜－2
时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：
(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.
【训练2】 (1)已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( ) A.－3
B.1
C.－1
D.3
(2)不等式2x 2－x ＜4的解集为________.
解析 (1)由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由题意知，－1，2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.
(2)因为4＝22且y ＝2x 在R 上单调递增，所以2x 2－x ＜4可化为x 2－x ＜2，解得－1＜x ＜2，所以2x 2－x ＜4的解集是{x |－1＜x ＜2}. 答案 (1)A (2){x |－1＜x ＜2}
考点三 一元二次不等式的恒成立问题(多维探究) 命题角度一 在R 上恒成立
【例3－1】 若一元二次不等式2kx 2＋kx －3
8＜0对一切实数x 都成立，则k 的取
值范围为( ) A.(－3，0]
B.[－3，0)
C.[－3，0]
D.(－3，0)
解析 2kx 2＋kx －3
8＜0对一切实数x 都成立， 则必有⎩⎪⎨⎪
⎧2k ＜0，Δ＝k 2
－4×2k ×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－38＜0，解之得－3＜k ＜0.
答案 D
命题角度二 在给定区间上恒成立
【例3－2】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，则m 的取值范围是________. 解析 要使f (x )＜－m ＋5在[1，3]上恒成立， 则mx 2－mx ＋m －6＜0，
即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立.
有以下两种方法：
法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4m －6，x ∈[1，3].
当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜6
7.
当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述，m
的取值范围是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二 因为x 2
－x ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋3
4＞0，
又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜
6
x 2－x ＋1
.
因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3
4在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜6
7即可.
因为m ≠0，所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67
或m ＜0 . 答案
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫m ⎪
⎪⎪0＜m ＜
6
7或m ＜0 命题角度三 给定参数范围的恒成立问题
【例3－3】 已知a ∈[－1，1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的
取值范围为( ) A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞) C.(－∞，1)∪(3，＋∞)
D.(1，3)
解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4， 则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1，1]恒成立， 所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，
且f (1)＝x 2
－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎨⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，
得x ＜1或x ＞3.
答案 C
规律方法 恒成立问题求解思路
(1)一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解.
(2)一元二次不等式在x ∈[a ，b ]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围.
(3)一元二次不等式对于参数m ∈[a ，b ]恒成立确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.
【训练3】 (1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，4]
B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)
D.[－2，5]
(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是______.
解析 (1)由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4. (2)二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]， 都有f (x )＜0成立，
则⎩
⎨⎧f （m ）＝m 2＋m 2
－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2
＋m （m ＋1）－1＜0，
解得－2
2＜m ＜0.
答案 (1)A (2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2
2，0
[思想方法]
1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.
2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.
3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.
4.(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. [易错防范]
1.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形.
2.当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别.
3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x )
C.f (x )＜g (x )
D.随x 的值变化而变化
解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ).
答案 B
2.已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1
b 成立的有( ) A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1
b ，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C. 答案 C
3.(2017·河北省三市联考)若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |2x <2}，则A ∩B 等于( ) A.(1，3) B.(－∞，－1) C.(－1，1)
D.(－3，1)
解析 依题意，可求得A ＝(－1，3)，B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1，1). 答案 C
4.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0＜a ＜4} B.{a |0≤a ＜4} C.{a |0＜a ≤4}
D.{a |0≤a ≤4}
解析 由题意知a ＝0时，满足条件.
a ≠0时，由⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝a 2
－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 答案 D
5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A.(－1，0)
B.(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D.不能确定
解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a
2＝1，解得a ＝2. 又因为f (x )开口向下，
所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，
所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，
f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立， 解得b ＜－1或b ＞2. 答案 C 二、填空题
6.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2
＋2x ，x ≥0，
－x 2＋2x ，x ＜0，
则不等式f (x )＞3的解集为________.
解析 由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎨⎧x ＜0，
－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x
＞1}.
答案 {x |x ＞1}
7.(2016·重庆模拟)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等
式ax 2＋bx －4
5a ＞0的解集为________.
解析 由已知ax ＞b 的解集为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx
－45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故
不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－1，45.
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45 8.不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________.
解析 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立， 由二次不等式的性质可得，
Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 答案 [－8，4] 三、解答题
9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6.
(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；
(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.
解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.
所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，
∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）
3，
（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，
b ＝－3.
即a 的值为3±3，b 的值为－3.
10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加8
5x 成.要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围. 解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1＋850x .
因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－x 10－80≥0.
所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )， 定义域为x ∈[0，2].
(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤13
4. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，2.
能力提升题组 (建议用时：20分钟)
11.下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( )
A.a ＞b ＋1
B.a ＞b －1
C.a 2＞b 2
D.a 3＞b 3
解析 A 项：若a ＞b ＋1，则必有a ＞b ，反之，当a ＝2，b ＝1时，满足a ＞b ，但不能推出a ＞b ＋1，故a ＞b ＋1是a ＞b 成立的充分而不必要条件；B 项：当a ＝b ＝1时，满足a ＞b －1，反之，由a ＞b －1不能推出a ＞b ；C 项：当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2＞b 2，但a ＞b 不成立；D 项：a ＞b 是a 3＞b 3的充要条件，综上所述答案选A. 答案 A
12.(2017·湛江调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x <1
2或x >3，则
f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是( )
A.{x |x <－ln 2或x >ln 3}
B.{x |ln 2<x <ln 3}
C.{x |x <ln 3}
D.{x |－ln 2<x <ln 3}
解析 法一 依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x
)＝a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3，故选D.
法二 由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <3，令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3，故选D.
答案 D
13.若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是________. 解析 设f (x )＝x 2＋ax －2，由题知：Δ＝a 2＋8＞0， 所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负两根，
于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)＞0，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－235，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－235，＋∞
14.解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ). 解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.
(1)当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个
不等式等价于(x －2)·
⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，
所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝1
2时，原不等
式的解集是∅；
当a ＞12时，1
a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. (2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2， 即原不等式的解集是{x |x ＞2}.
(3)当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个
不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －1a ＞0， 由于1
a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫x ＜1a 或x ＞2.
综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1
a 或x ＞2；
当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜1
2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞1
2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. 第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
知 识 梳 理
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.
(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，使得Ax ＋By ＋C 的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax ＋By ＋C >0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax ＋By ＋C <0.
(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
2.线性规划的有关概念
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示
(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.()
(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()
(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.()
(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.()
(5)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.()
解析(1)不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方.
(4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是z b.
答案(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√
2.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是()
A.(0，0)
B.(－1，1)
C.(－1，3)
D.(2，－3) 解析把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C.
答案 C
3.(必修5P86T3)不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，
x －y ＋2<0
表示的平面区域是( )
解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B. 答案 B
4.(2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，
x ＋y －3≥0，x －3≤0，
则z ＝x －2y 的最小值为
________.
解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案 －5
5.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，
x ＋y ≤4，y ≥k ，
且z ＝2x ＋y 的最小
值为－6，则k ＝________.
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z .易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ，k )时，z ＝2x ＋y 取得最小值，即3k ＝－6，所以k ＝－2.
答案 －
2
考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
【例1】 (1)(2017·郑州预测)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式
组⎩⎨⎧x －y ≥0，
x ＋y ≥0，y ≥2x －6
表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________.
(2)(2015·重庆卷)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，
x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0
表示的平面区域为三角形，且其面
积等于4
3，则m 的值为( ) A.－3
B.1
C.43
D.3
解析 (1)作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N 的面积为1
2×3×(6＋2)＝12，区域M
在区域N 内的面积为14π(2)2
＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24. (2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－1，
由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩
⎨⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m ，1＋m
).
由⎩
⎨⎧x ＋2y －2＝0，
x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，
即B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23－4
3m ，23＋23m ，所围成的区域为△ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋
2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2
＝
43， 解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.故选B. 答案 (1)π
24 (2)B
规律方法 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.
【训练1】 若不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4
所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋4
3分为面积
相等的两部分，则k 的值是( ) A.73 B.37 C.43 D.34
解析 不等式组表示的平面区域如图所示.
由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平
分平面区域.
因为A (1，1)，B (0，4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，52.
当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，52时，52＝k 2＋43，
所以k ＝7
3. 答案 A
考点二 线性规划相关问题(多维探究) 命题角度一 求目标函数的最值
【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，
x －2y －1≤0，x ≤1，
则z ＝2x
＋3y －5的最小值为________.
(2)(2015·全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，
则y
x 的最大值为________.
解析 (1)画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知，
当直线y ＝－23x ＋53＋z
3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.
(2)作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，
y x 是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，
点A (1，3)与原点连线的斜率最大，故y
x 的最大值为3. 答案 (1)－10 (2)3
命题角度二 求参数的值或范围
【例2－2】 (2015·福建卷)变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0，
x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.
若z ＝2x －y
的最大值为2，则实数m 等于( ) A.－2
B.－1
C.1
D.2
解析 如图所示，目标函数z ＝2x －y 取最大值2，即
y ＝2x －2时，画出⎩
⎨⎧x ＋y ≥0，
x －2y ＋2≥0表示的区域，由于mx
－y ≤0过定点(0，0)，要使z ＝2x －y 取最大值2，则目标函数必过两直线x －2y ＋2＝0与y ＝2x －2的交点A (2，2)，因此直线mx －y ＝0过点A (2，2)，故有2m －2＝0，解得m ＝1. 答案 C
规律方法 线性规划两类问题的解决方法
(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有：①截距型：形如z ＝ax ＋by ；②距离型：形如z ＝（x －a ）2
＋（y －b ）2
.③斜率型：形如z ＝y －b
x －a
.
(2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中.求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解.
【训练2】 (1)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，
x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则
a ＝( ) A.－5 B.3 C.－5或3
D.5或－3
(2)(2017·西安检测)已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，
x －2y ＋3≥0，x ≥0，
则z ＝(
2)2x ＋y 的最大值为
________.
解析 (1)二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a －12，a ＋12.由z
＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋z
a .
由图可知当－1≤－1
a ≤1时，z 可取得最小值，此时a ≥1或a ≤－1.
又直线y ＝－1a x ＋z
a 过A 点时，z 取得最小值，因此a －12＋a ×a ＋12＝7，化简得a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或a ＝－5，
当a ＝3时，经检验知满足题意；当a ＝－5时，目标函数z ＝x ＋ay 过点A 时取得最大值，不满足题意，故选B. (2)
作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.
由⎩⎨⎧2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得⎩
⎨⎧x ＝1，y ＝2， 即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 (1)B (2)4
考点三 实际生活中的线性规划问题
【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.
解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为
⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，
x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *
，
目标函数z ＝2 100x ＋900y .
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案 216 000
规律方法 解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答.
【训练3】 (2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
A.12万元
B.16万元
C.17万元
D.18万元
解析 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有
⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，
x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，
目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分
所示：
可得目标函数在点A 处取到最大值. 由⎩
⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2，3). 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元). 答案 D
[思想方法]
1.求最值：求二元一次目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距z
b 的最值间接求出z 的最值.最优解在顶点或边界取得.
2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题.
3.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题. [易错防范]
1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.
2.在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距z
b 取最大值时，z 也取最大值；截距z
b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z b 取最小值时，z 取最大值.
基础巩固题组 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表
示)，应是下列图形中的( )
解析 法一 不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0等价于⎩⎨⎧x －2y ＋1≤0，
x ＋y －3≥0或
⎩
⎨⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，画出对应的平面区域，可知C 正确. 法二 结合图形，由于点(0，0)和(0，4)都适合原不等式，所以点(0，0)和(0，4)必在区域内，故选C. 答案 C
2.(2016·泰安模拟)不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0
所表示的平面区域的面积为(
)
A.1
B.12
C.13
D.14
解析 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝1
2×(x C －
x B )×12＝14. 答案 D
3.(2017·广州二测)不等式组⎩⎨⎧x －y ≤0，
x ＋y ≥－2，x －2y ≥－2
的解集记为D ，若(a ，b )∈D ，则z ＝2a
－3b 的最小值是( ) A.－4
B.－1
C.1
D.4
解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
当a ＝－2，b ＝0，z ＝2a －3b 取得最小值－4. 答案 A
4.(2017·长春质量监测)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤－x ＋1，
y ≤x ＋1，y ≥0，
则3x ＋5y 的取值范围
是( ) A.[－5，3]
B.[3，5]
C.[－3，3]
D.[－3，5]
解析 作出如图所示的可行域及l 0：3x ＋5y ＝0，平行移动l 0到l 1过点A (0，1)时，3x ＋5y 有最大值5，平行移动l 0至l 2过点B (－1，0)时，3x ＋5y 有最小值－3，故选D.
答案 D
5.x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，
x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.
若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，
则实数a 的值为( ) A.1
2或－1
B.2或12
C.2或1
D.2或－1
解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a ＜0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 答案 D
6.若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最
大值为( ) A.12
B.1
C.32
D.2
解析 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x
的图象及⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，
x －2y －3≤0所表示的平
面区域，如图阴影部分所示
.
由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件，故m 的最大值为1. 答案 B
7.(2017·石家庄质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，
y ≥－1，
4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，
若目标函数z ＝y －
mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( ) A.－209
B.1
C.2
D.5
解析 作出可行域，如图所示的阴影部分.
化目标函数z ＝y －mx (m ＞0)为y ＝mx ＋z ，由图可知，当直线y ＝mx ＋z 过A 点时，直线在y 轴的截距最大，由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B. 答案
B
8.(2016·贵州黔东南模拟)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎨y ≤1，x >－1，
则(x －2)2＋y 2
的最小值为( ) A.322
B. 5
C.92
D.5
解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.
设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小.由⎩⎨⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，
y ＝1，即C (0，1)，
此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D. 答案 D 二、填空题
9.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，
x －y －2≤0，y ≥1，
则目标函数
z ＝x ＋2y 的最小值为
________.
解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示).
由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋1
2z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋1
2z 过点A (1，1)时，z 最小，最小值为3. 答案 3
10.(2017·滕州模拟)已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点N (x ，y )为平
面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1
2，y ≥x 上的一个动点，则OM →·ON →的最大值是________.
解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，
其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，32，C (1，1).
设z ＝OM →·ON →＝2x ＋y ，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值3. 答案 3
11.已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示).
解析 法一 设2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )，则由待定系数法可得⎩⎨
⎧a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y ).又⎩⎪⎨⎪⎧－2＜－12（x ＋y ）＜12，5＜52（x －y ）＜152，
所以两式相加可得z ∈(3，8).
法二 作出不等式组⎩⎨⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3表示的可行域，如图中
阴影部分所示.平移直线2x －3y ＝0，当相应直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3，1)时，z 取得最小值，z min ＝2×3－3×1
＝3；当相应直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈(3，8). 答案 (3，
8)
12.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≥0，
x －y ≥0，0≤x ≤a ，
设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最
大值为________.
解析 作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.作出直线l 0：x －2y ＝0，∵y ＝x 2－b
2，
∴当l 0平移至A 点处时b 有最小值，b min ＝－a ， 又b min ＝－2，
∴a ＝2，当l 0平移至B (a ，－2a )时， b 有最大值b max ＝a －2×(－2a )＝5a ＝10. 答案 10
能力提升题组 (建议用时：15分钟)
13.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( ) A.1 800元 B.2 400元 C.2 800元
D.3 100元
解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶，则根据题意得x 、y 的约束条
件为⎩⎨⎧x ≥0，x ∈N ，
y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.
设获利z 元，则z ＝300x ＋400y .
画出可行域如图.画直线l ：300x ＋400y ＝0，即3x ＋4y ＝0. 平移直线l ，从图中可知，当直线过点M 时， 目标函数取得最大值. 由⎩⎨⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩
⎨⎧x ＝4，y ＝4，
即M 的坐标为(4，4)，∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)，故选C. 答案 C
14.(2017·许昌监测)设实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，
则y －1
x －1
的最小值是(
)
A.－5
B.－12
C.12
D.5
解析 作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，则w ＝y －1
x －1的几何意义是区域内的点P (x ，y )与定
点A (1，1)所在直线的斜率，由图象可知当P 位于点⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，43时，直线AP 的斜率最小，此时w ＝y －1x －1的最小值为4
3－113－1＝－12，故选B.
答案 B
15.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，
x ＋3y －3≥0，y －1≤0，
若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)
仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是________. 解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，
要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3，0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >1
2.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
16.(2015·浙江卷)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |
的最大值
是________.
解析 ∵x 2＋y 2≤1，∴2x ＋y －4＜0，6－x －3y ＞0，
∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝10－3x －4y . 令z ＝10－3x －4y ，
如图，设OA 与直线－3x －4y ＝0垂直，∴直线OA 的方程为y ＝4
3x ，
联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x ，x 2＋y 2＝1，
得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3
5，－45，
∴当z ＝10－3x －4y 过点A 时，z 取最大值， z max ＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝15. 答案 15
第3讲 基本不等式及其应用
最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
知 识 梳 理
1.基本不等式：ab ≤a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.
(3)a ＋b
2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 2.几个重要的不等式
(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.。