福建诗山县第二中学2019届高三数学上学期第三次月考试题文201901160134

8 15
；（2）直线 l 的方程为 x＝1.
【解析】试题：(1)利用椭圆和抛物线有一个公共焦点和点在椭圆上进行求解；(2) 联立直线 和椭圆的方程，得到关于 的一元二次方程，再利用根与系数的关系、弦长公式和基本不等式 进行求解. 试题解析：(1)因为抛物线 y2＝4 即 a2－b2＝3. ① 把点 Q 代入 ＋ ＝1，得 ＋ ＝1. ②
Sn＝3n＋
nn－1
2
×2＝n2＋2n.
a －1
n 2
＝
1 1 1 1 1 1 ＝ · ＝ · － ， 2 2n＋1 －1 4 nn＋1 4 n n＋1
(
)
1 1 1 1 1 1 1 1 n 所以 Tn＝ ·(1－ ＋ － ＋…＋ － )＝ ·(1－ )＝ ， 4 2 2 3 n n＋1 4 n＋1 4n＋1 即数列{bn}的前 n 项和 Tn＝ 18、 【答案】(1)见解析；（2） 【解析】：（1）取 中点 ，连接 面
，
，连接
并取线段
的中点 ，
15 4
12、已知函数 则实数 的取值范围是（ ） A. B. C.
若函数
有 个零点，
D.
-2-
二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13、在复平面内，复数 和 对应的点分别是
和
，则
z1 1 1 z2
14、设 ， 满足约束条件
，则
的最小值为__________． 的概率为________. ．
n 2
a －1
(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
18、 （本小题满分 12 分） 在多面体 形， 平面 平面 ， ； 距离. ， . 中， 为等边三角形，四边形 为菱
（1）求证： （2）求点 到平面
19、 （本小题满分 12 分） 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对 30 名小学六年级学生进行了问卷调查, 并得到如下列联表.平均每天喝 500ml 以上为“常喝”,体重超过 50kg 为“肥胖”. 常喝 肥胖 不肥胖 不常喝 2 18
-4-
在平面直角坐标系
中，曲线 的参数方程是
( 为参数)，以原点 为极点， .
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 (Ⅰ)求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程； (Ⅱ)已知直线 与曲线 交于 ， 两点，与 轴交于点 ，求 .
23． （本小题满分 10 分）[选修 4-5：不等式选讲] 已知 （1）若 （2）若 ， ，求不等式 时， . 的解集； 的解集为空集，求 的取值范围.
x2 4 ,解得 x 6 . 30 15
2.有;
30 6 18 2 4 8.522 7.879 , 理由:由已知数据可求得 K 10 20 8 22
2 2
因此有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关. 3.根据题意,可设常喝碳酸饮料的肥胖男生为 A, B, C , D ,女生为 E , F ,则任取两人, 可能的结果有 AB, AC , AD, AE , AF , BC , BD, BE , BF , CD, CE , CF , DE , DF , EF , 共 15 种,其中一男一女有 AE , AF , BE , BF , CE , CF , DE , DF , 共 8 种. 故正好抽到一男一女的概率为 20、 【答案】 （1）
)
6、执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输
出的
-1-
的值为（ A. B.
） C. D.
7、已知函数 右平移 个单位长度后，得到函数 则下列是函数
的图象向 的图象，
的图象的对称轴方程的为( )
A.
B.
C.
D.
8、已知函数 则当 A. 时，函数 B. 的值域是（ C. ） D.
的最小正周期为 ，
n
4n＋1 . ，
.
,由正三角形的性质可得 ；（2）由面 ，从而求得 ，从而可得结果. ， .∵ 为等边三角形，∴ ， 面
，由 ， ，设点
线面垂直的判定定理可得 面 到面 ，从而得
， ，从而可得 ，由勾股定理可得 即
的距离为 ，由
试题解析：（1）证明：取 ∵四边形 又∵ （2）∵面 ∴ ∵ 由（1）得 且 设点 到面 ∵ 的距离为 . 即 面 为菱形， ，∴ 面 ，∵ 在 ，因为
故 x 3,
(2) 由题意可知，即为 当 当 时， 时，
a , 4
．
-9-
PK2 k
0.15 2.072
0.10 2.706
0.05 3.841
0.025 5.024
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
k
参考公式：K2＝
nad－bc2 ，其中 n＝a＋b＋c＋d a＋bc＋da＋cb＋d
20、 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 : 点 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且过点 .过
福建省东山县第二中学 2019 届高三数学上学期第三次月考试题 文
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题只有一个正确选项，每小题 5 分，共 60 分） 1、已知集合 A. B. ， C. D. ，则 （ ）
2、某校初三年级有 400 名学生，随机抽查了 40 名学生，测试 1 分钟仰卧 起坐的成绩（次数） ，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图. 用样本估计总体，下列结论正确的是（ A. 该校初三年级学生 1 分钟仰卧起坐 的次数的中位数为 25 次 B. 该校初三年级学生 1 分钟仰卧起坐 的次数的众数为 25 次 C. 该校初三年级学生 1 分钟仰卧起坐的 次数少于 20 次的人数约为 8 人. D. 该校初三年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 次的人数约有 80 人 ）
21、 【答案】(1)
【解析】：（1）求出 恒成立等价于 研究函数的单调性，讨论可证明证明当 从而可得结果. 试题解析：（1）函 把 又因为 代入方程 ，∴ 的定义域为 中，得 ，故 . ，当
， ，即 ，∴
， ，
（2）由（1）可知 恒成立等价于 设 由于 当 当 又由 当 当 时， 时， 时， 时，设 .即 ， ，则 ,则 在 在 ， 则
中点 ，连接 ∴ 面 ，∵ ，面 ，∴
，
为等边三角形，∴ 面 ，∴ 面 . ， ， ， . 面
， 面 中，
，
，∵
，
.
-6-
即
，∴
.
19、答案：1.设全部 30 人中的肥胖学生共 x 名,则 ∴常喝碳酸饮料且肥胖的学生有 6 名.列联表如下: 常喝 肥胖 不肥胖 合计 6 4 10 不常喝 2 18 20 合计 8 22 30
9、已知正四棱锥 则球 的表面积为( ) A. B.
的顶点均在球 上，且该正四棱锥的各条棱长均为 ，
C.
D.
10、已知命题 ：椭圆 命题 ：函数 A. B.
与双曲线 的最小值为 . C.
有相同的焦点；
下列命题为真命题的是( ) D.
11、已知三角形 则 A. 的值为（ B. -
中， ） C. D.
.令
＝m(m≥
)．易知函数 y＝m＋ 在[
，＋∞)上单调递增，
则
＋
≥
＋
＝
，当且仅当 m＝
，即 t＝0 时，取等号． ＝ ，
所以|y1－y2|≤ 所以 Smax＝
.所以△AMN 的面积 S＝ |AP||y1－y2|≤ ×3×
，此时直线 l 的方程为 x＝1. , ;(2) 实数 的取值范围是 ，由 ， . 设 时， 恒成立，当 . 可求得 ， 的值；（2） ，利用导数 时，不合题意，
x 的焦点为(
，0)，所以椭圆 C 的半焦距 c＝
，
由①②解得 a2＝4，b2＝1.所以椭圆 C 的标准方程为 ＋y2＝1. (2)设直线 l 的方程为 x＝ty＋1，代入 ＋y2＝1，
-7-
得(t2＋4)y2＋2ty－3＝0. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有 y1＋y2＝－ 则|y1－y2|＝ ＝ ，y1y2＝－ ＝ . ＝ ＝
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的直线 交椭圆 于 ， 两点， 为椭圆的左顶点.
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程； (Ⅱ)求 面积的最大值，并求此时直线 的方程.
21、 （本小题满分 12 分） 已知函数 （1）求 ， 的值； （2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围. ，曲线 在点 处的切线方程为 .
请考生在 22、23、二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22、 （本小题满分 10 分）[选修 4-4：坐标系与参数方程]
时， . ，
上单调递增， .则 上存在 ，使得 为 ，
恒成立. 上单调递增函数，
单调递减， 单调递增；
-8-
则
，不合题意，舍去. .
综上所述，实数 的取值范围是
22、 【答案】 （1）直线 l 的直角坐标方程为 x－y－2＝0；（2）3. 【解析】试题：(1)消参得到曲线的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式求得直 线的直角坐标方程；(2)先得到直线的参数方程，将直线的参数方程代入到圆的方程，得到关 于 的一元二次方程，由根与系数的关系、参数的几何意义进行求解. 试题解析：(1)由曲线 C 的参数方程 数)， 两式平方相加，得曲线 C 的普通方程为(x－1)2＋y2＝4； 由直线 l 的极坐标方程可得 ρcosθcos 即直线 l 的直角坐标方程为 x－y－2＝0. －ρsinθsin ＝ ρcosθ－ρsinθ＝2， (α 为参数) (α 为参
-5-
2019 届高三（上）文月考 3 数学参考答案 DDCA BCBD CBBA 13、 i 14、
1 3
15、
3 4
16、 3 3
17. 解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d. 因为 a3＝7，a5＋a7＝26， 所以Error! 解得Error! 所以 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， (2)由(1)知 an＝2n＋1， 所以 bn＝ 1
-3-
合计
合计
30
已知在全部 30 人中随机抽取 1 人,抽到肥胖的学生的概率为 1.请将上面的列联表补充完整
4 . 15
2.是否有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?请说明你的理由 3.已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有 2 名女生,现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽 取 2 人参加一个有关健康饮食的电视节目,求恰好抽到一名男生和一名女生的概率. 参考数据:
3、设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，若 Sn＝2an－3，则 Sn＝( )
A．2n＋1
B．2n＋1－1
C．3·2n－3
D．3·2n－1
4、已知双曲线
的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为（
）
A.
B.
C.
D.
5、某几何体的三视图如图，则几何体的体积为( A. 8π+16 B. 8π-16 C. 16π﹣8 D. 8π+8
(2)由题意可得 P(2，0)，则直线 l 的参数方程为
(t 为参数)．
设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，
将
(t 为参数)代入(x－1)2＋y2＝4，得 t2＋
t－3＝0，
则 Δ>0，由韦达定理可得 t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3. 23、试题解析：(1)当 当 当 当 所以 ，不等式化为 时，不等式化为 ，不等式化为 解集为 时， 化为 ，解得 ，解得 ，解得 或 时， ，得 ，得 ． 恒成立． ； ，综上， 或 或 或 ，故 ， ，故 ； ；
15、在半径为 的圆 内任取一点 ，以点 为中点的弦的弦长小于 16、△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 若 c= ，则△ABC 的周长的最大值是 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、 （本小题满分 12 分） 已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn； (2)令 bn＝ 1