精品解析：四川省泸县第二中学2020-2021学年高三上学期一诊模拟考试理科数学试题(解析版)

四川省泸县第二中学高2021届一诊模拟考试
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I 卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合{
}2
0,2,A m m =-，{}|15B x Z x =∈<<，若{4}A B ⋂=，则实数m 构成的集合是（ ）
A. {2,6}
B. {2,6}-
C. {2,2}-
D. {2,2,6}-
【答案】B 【解析】 【分析】
由题知24m -=或24m =，又根据集合元素的
互异性即可得出m 的值.
【详解】{}{}|152,3,4B x Z x =∈<<=， 因为{4}A B ⋂=，所以4A ∈，
则有24m -=或24m =，解得：6m =或2m =±， 当6m =时，集合{}0,4,36A =满足题意；
当2m =时，集合{}0,0,4A =，不满足互异性，故舍去； 当2m =-时，集合{}0,4,4A =-满足题意， 综上，实数m 构成的集合是{}2,6-. 故选：B
【点睛】本题考查交集的概念，考查集合元素的互异性，属于基础题.
2. 函数sin(2)3
y x π
=+图象的对称轴方程可能是（ ）
A. 6
x π
=-
B. 12
x π
=-
C. 6
x π
=
D. 12
x π
=
【答案】D 【解析】
【详解】函数的对称轴方程满足：()23
2
x k k Z π
π
π+=+
∈ ,
即：()212
k x k Z ππ
=
+∈ ,令0k = 可得对称轴方程为12x π= .
本题选择D 选项.
3. 函数()()
31
1x x
e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ） A. B. C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据函数的奇偶性排除A 、C,再由x →+∞时,()f x 的趋向性判断选项即可 【详解】由题,()
f x 的
定义域为{}|0x x ≠,
因为()()()()3311
11x x x
x e e f x f x x e x e --++-===---,所以()f x 是偶函数,图象关于y 轴对称,故排除A 、C ； 又因为()()()
333112
11x x x
e f x x x e x e +==+--,则当x →+∞时,3x →+∞,1x e -→+∞,所以()0f x →, 故选：D
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象
4. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2
()2f x x x =-，则(1)f =
A. 3-
B. 1-
C. 1
D. 3
【答案】A 【解析】
【详解】试题分析：因为当时，2()2f x x x =-，所以
. 又因为()f x 是
定义在R 上的奇函数，所以. 故应选A.
考点：函数奇偶性的性质.
5. α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 如果m n ⊥，m α⊥，n β⊥，那么αβ⊥ B. 如果m α⊂，//αβ，那么//m β C. 如果l α
β=，//m α，//m β，那么//m l
D. 如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么αβ⊥ 【答案】D 【解析】
【分析】A. 由面面垂直的判定定理判断；B. 由面面平行的性质定理判断；C.由线面平行的性质定理判断；D.由平面与平面的位置关系判断；
【详解】A. 如果m n ⊥，m α⊥，n β⊥，由面面垂直的判定定理得αβ⊥，故正确； B. 如果m α⊂，//αβ，由面面平行的性质定理得//m β，故正确； C.如果l α
β=，//m α，//m β，由线面平行的性质定理得//m l ，故正确；
D.如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么,αβ相交或平行，故错误； 故选：D
【点睛】本题主要考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，还考查了理解辨析和逻辑推理的能力，属于中档题.
6. 在ABC 中，已知sin cos sin A B C =， 那么ABC 一定是 A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 正三角形
【答案】A 【解析】
【分析】先化简sin Acos B ＝sin C=()
sin A B +，即得三角形形状. 【详解】由sin Acos B ＝sin C 得()sin cos sin sin cos cos sin ,A B A B A B A B =+=+ 所以sinBcosA=0,因为A,B∈（0，π）， 所以sinB ＞0，所以cosA=0,所以A=2
π, 所以三角形是直角三角形. 故答案为A
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
7. 设0a >，0b >
，是lg 4a
与lg 2b
的等差中项，则
21
a b
+的最小值为
A. B. 3 C. 4
D. 9
【答案】D 【解析】
【详解】∵lg4a 与lg2b
的
等差中项，
∴lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2a
b
a b
+=⋅=，
∴21a b +=． 所以
212122()(2)559b a a b a b a b a b
+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21
a b
+的最小值为9． 8. 若函数()223,1
23,1
x ax x f x x a x ⎧-+-<-=⎨
-≥-⎩在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. [)1,--∞ B. (],2-∞-
C. []1,2-
D. []0,2
【答案】C 【解析】
【分析】根据二次函数的性质，以及函数的单调性，由题意列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】因为223y x ax =-+-的图象的对称轴为直线x a =， 所以要使()f x 在定义域上单调递增，则1,
12323a a a
≥-⎧⎨---≤--⎩，解得[]1,2a ∈-．
故选：C.
【点睛】本题主要考查由分段函数的单调性求参数，属于常考题型.
9. 已知长方体所有棱的长度之和为28，一条对角线的长度为17，则该长方体的表面积为（ ） A. 32 B. 20
C. 16
D. 12
【答案】A 【解析】
【分析】设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，根据长方体所有棱的长度之和为28，一条对角线的长度为17，由7a b c ++=和22217a b c ++=求解. 【详解】设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ， 由题意可知，7a b c ++=…①，
22217a b c ++=…②，
由2-①②可得()232ab bc ac ++=， 所以该长方体的表面积为32． 故选：A
【点睛】本题主要考查长方体的几何特征以及表面积的求法，属于基础题.
10. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P
平面1A BM ，则1C P 的最小值是
A.
305 B.
230
C. 27
5
D.
47
5
【答案】B 【解析】
【分析】在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值.
【详解】如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD
//DN BM ，1//DQ A M 且DN
DQ D =，1BM
A M M =
∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）
又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值
此时，22512CP ==+ 2
21230255C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭
本题正确选项：B
【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.
11. 已知球O 是正四面体A BCD -的外接球，2BC =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球
O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ）
A.
8
9
π B.
1118
π
C.
512
π D.
49
π 【答案】A
【解析】 【分析】
由题可得,当OE ⊥截面时,截面面积最小,设正四面体棱长为a ,先求得正四面体的外接球半径为4
a ,再求得OE ,进而求得截面圆的半径,从而得到截面圆面积
【详解】由题,设平面α为过E 的球O 的截面,则当OE ⊥平面α时,截面积最小, 设截面半径为r ,球的半径为R ,则222r R d =-,
因为正四面体棱长为a ,设过点A 垂直于平面BCD 的直线交平面BCD 于点M ,则DM =
,令AM h =,OM x =,则x h R =-,
在Rt AMD 中,222AM DM AD +=,即2
22
3h a a ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
,则h a =,
在Rt OMD 中,222
DM OM R +=,即2
22x R ⎫+=⎪⎪⎝⎭,则2
2213a R R ⎫+-=⎪⎪⎝⎭
,
解得4R a =
,则3412
x a a =-=, 在Rt OED △中,222OE OM EM =+,
因为点E 在线段BD 上,3BD BE =,设BC 中点为N ,则2DM MN =, 所以211333
EM BN BC a =
==,
在Rt OED △中,222OE OM EM =+,即2
2
2
211112372d a a a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭,
所以2
2
22
112729r a a ⎫=-=⎪⎪⎝⎭
,
因为2a BC ==, 所以2
89
r =
, 所以截面面积为2
89
S r ππ==, 故选：A
【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题,考查空间想象能力与转化思想,考查运算能力
12. 设1x ， 2x 分别是函数()x
f x x a -=-和()lo
g 1a g x x x =-的零点（其中1a >）
，则124x x +的取值范围是（ ） A. [
)4,+∞ B. ()4,+∞
C. [)5,+∞
D. ()5,+∞
【答案】D 【解析】
【详解】由12,x x 分别是函数()x
f x x a -=-和()lo
g 1a g x x x =-的零点，
所以1
10x x a
--=，即11
1
x
a x =
，因为11,0a x >>，所以11x a >，则101x <<， 所以22log 10a x x -=，即22
1log a x x =，所以2
12
1
1x a x =
，且21>x 所以121x x =
，则12
22
1
445x x x x +=+>， 即124x x +的取值范围是(5,)+∞，故选D.
第II 卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知实数x ，y 满足10,240,20,x y x y z x y x -+≤⎧⎪
+-≥=+⎨⎪≥⎩
则的最小值为___________．
【答案】5 【解析】
【分析】
由题意可得可行域为如图所示（含边界），11
222
z x y y x z =+⇒=-+， 则
点A 处取得最小值5.
联立10240x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩，解得：1
,(1,2)2x A y =⎧∴⎨
=⎩
代入2z x y =+得最小值5. 答案为：5.
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 【详解】
14. 计算2
()x
e x dx +=⎰
_______________.
【答案】2e 1+ 【解析】
【分析】由微积分基本定理直接计算即可. 【详解】
()2
222020
21121022x
x e x dx e x e e e ⎛⎫+=+=+-=+ ⎪⎝⎭⎰, 故答案为21e +.
【点睛】本题主要考查微积分基本定理，根据基本初等函数的导函数，即可求解，属于基础题型.
15. 已知2cos 265πα⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭，则sin 23πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭___________
【答案】
2
5
【解析】
【分析】利用诱导公式三和诱导公式五可求得结果.
【详解】sin 23πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭sin(2)62ππα+-sin[(2)]26ππα=--+
22
cos(2)()655πα=-+=--=.
故答案为：2
5
16. 已知函数()2sin cos 4f x x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，给出以下四个命题：
①函数()f x 的最小正周期为2π；
②函数()f x 的图象的一个对称中心是,82π⎛- ⎝⎭
；
③函数()f x 在,04π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上为减函数； ④若()()12f x f x =，则()1211Z 4
x x k k π
π+=
+∈或()1222Z x x k k π-=∈．
其中真命题的序号是__________．（请写出所有真命题的序号） 【答案】②④ 【解析】
【分析】先将解析式化简整理，得到()sin 242
f x x π⎛
⎫
=++ ⎪
⎝
⎭，根据正弦型函数的性质，逐项判断，即可得出结果.
【详解】由已知()2sin cos 4f x x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，可得
())
2cos 21cos 2sin 24f x x x x x x x π⎛⎫==
+=+ ⎪
⎝
⎭，所以函数()f x
的最小正周期为π，所以①错；
又8f π⎛⎫-
= ⎪⎝⎭()f x 的图象的一个对称中心是,82π⎛- ⎝⎭
，所②正确； 若,04x π⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
，则2,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，函数()f x 在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，故③错；
由()()12f x f x =，得12sin 2sin 244x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1211222Z 44x x k k ππππ⎛⎫+=-++∈ ⎪⎝
⎭或
()1222222Z 4
4
x x k k π
π
π+
=+
+∈，所以()1211Z 4
x x k k π
π+=
+∈或()1222Z x x k k π-=∈，所以④正
确．
故答案为：②④.
【点睛】本题主要考查判断与三角函数有关命题的真假，考查正弦型三角函数的性质，属于常考题型.
三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分
17. 已知函数3
()ln 42
x a f x x x =
+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于1
2
y x =
. （1）求a 的值；
（2）求函数()f x 的单调区间与极值. 【答案】（1）5
4
a =；（2）单调递增区间()5,+∞，单调递减区间()0,5，()f x 的极小值为 ()5ln5f =-. 【解析】
【分析】（1）由()2311
()ln 424x a a f x x f x x x x
'=+--⇒=--，而曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于1
2
y x =
，所以(1)2f '=-，解方程可得a 的值； （2）由（1）的结果知()222
5315145
()ln 442444x x x f x x f x x x x x
--'=+--⇒=--=于是可用导函数求()f x 的单调区间；
【详解】（1）对()f x 求导得()2114a f x x x
=
--'， 由()f x 点()()1,1f 处切线垂直于直线1
2
y x =，
知()3
12,4f a '=--=-解得54
a =；
（2）由（1）知53
()ln 442
x f x x x =+--， 则()222
15145
,444x x f x x x x --'=--=
令()0f x '=，解得1x =-或5x =.
因1x =-不在()f x 的定义域()0,∞+内，故舍去. 当()0,5x ∈时，()0,f x '<故()f x 在()0,5内为减函数； 当()5,x ∈+∞时，()0,f x '>故()f x 在()5,+∞内为增函数； 由此知函数()f x 在5x =时取得极小值()5ln5f =-.
18. 设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
()()sin sin sin sin sin sin A B C A B C +--+3
sin sin 2
B C =
． （1）求sin A 的值
（2）若3a =，求ABC 的面积的最大值．
【答案】（1；（2. 【解析】
【分析】（1）将已知等式利用平方差公式得222
1
sin sin sin sin sin 2
A B C B C --=-，由正弦定理化简得
2221
2
b c a bc +-=，然后由余弦定理可得答案.
（2）由余弦定理和基本不等式可得6bc ≤，从而可得到面积的最值. 【详解】（1）因为()()3
sin sin sin sin sin sin sin sin 2
A B C A B C B C +--+=
．
得222
1sin sin sin sin sin 2
A B C B C --=-．
由正弦定理得2
2
2
12b c a bc +-=，即2221
24
b c a bc +-=
得1cos 4A =．
因为0A π<<，所以sin A ． （2）因为2222cos a b c bc A =+-，所以2
2
1
92
b c bc =+-
．
所以1
922
bc bc ≥-
，解得6bc ≤，当且仅当b c ==
所以1sin 2ABC S bc A =
≤
△．
ABC . 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查利用基本不等式求解三角形面积的最值问题，属于基础题.
19. 已知向量()cos ,1m x =-，13sin ,2n x ⎛⎫
=- ⎪⎭
，设函数()()f x m n m =+⋅ （1）求函数f (x )的最小正周期；
（2）已知a 、b 、c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长，A 为锐角，a =1，3c =，且f (A )恰是函数f (x )
在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值，求A ，b 和三角形ABC 的面积． 【答案】（1）π；（2）答案见解析． 【解析】
【分析】（1）先利用三角恒等变换化简函数得f(x)=
s in 226x π⎛
⎫
++ ⎪⎝
⎭
,再求函数的最小正周期.
（2）由()f A 恰是函数()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上的最大值，A 为锐角，可得6
A π
=
，再由余弦定理可求得b=1或b=2，再求三角
形的面积得解.
【详解】（1）由题意可得
()()221
cos 13sin cos 2f x m n m m m n x x x =+⋅=+⋅=+++
1cos231
1sin222
x x +=
+++ 13cos2sin22sin 22226x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝
⎭. ∴函数()f x 的最小正周期22
T π
π=
=； （2）由（1）知()sin 226f x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
， 又()f A 恰是函数()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上的最大值，A 为锐角，可得6
A π
=
，
由余弦定理可得223
1323b b =+-⨯⨯
，解得b=1或b=2 当b=1时，三角形ABC 的面积13
sin 2S bc A =
=
， 当b=2时，三角形ABC 的面积13
sin 2S bc A =
=
. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查余弦定理解三角形和三角形的面积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
20. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，90ABD ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，//EF AB ，
2AB =，3EB =，1EF =，13BC =，且M 是BD 的中点.
（1）求证：//EM 平面ADF ；
（2）求二面角A FD B --的余弦值的大小.
【答案】（1）见解析（23
【解析】
【分析】试题分析：（1）取AD的中点N，连接MN、NF．由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EM∥FN，结合线面平行的判定定理，证出EM∥平面ADF；（2）求出平面ADF、平面BDF的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角A FD B
--的大小.
解析：
（1）解法一：取AD的中点N，连接,
MN NF.
在DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，
所以
1 /
/,
2
MN AB MN AB
=，又因为
1
//,
2
EF AB EF AB
=，
所以//
MN EF且MN EF
=.
所以四边形MNFE为平行四边形，所以//
EM FN，
又因为FN⊂平面,
ADF EM⊄平面ADF，故//
EM平面ADF. 解法二：因为EB ⊥平面,
ABD AB BD
⊥，
故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz
-.
由已知可得()
(
3
,0,3,3,2,0,0,3
2
EM AD AF
⎛⎫
=-=-=-
⎪
⎝
，设平面ADF的一个法向量是()
,,
n x y z
=.
由
n AD
n AF
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
得
320
30
x y
y z
-=
⎧⎪
⎨
-+=
⎪⎩
令3
y=，则(2,3,3
n=.
又因为0
EM n⋅=，所以EM n
⊥，又EM⊄平面ADF，
故//
EM平面ADF.
（2）由（1）可知平面ADF 的一个法向量是(2,3,3n =. 易得平面BFD 的一个法向量是()
0,3,1m =- 所以3
cos ,||m n m n m n ⋅=
=-⋅，又二面角A FD B --为锐角，
故二面角A FD B --【详解】
21. 已知函数()()20x
f x e
mx x =+∈+∞，，（其中e 为自然对数的底数）．
（1）求()f x 的单调性； （2）若()222
x
a m g x x e =-=
，，对于任意()01a ∈，，是否存在与a 有关的正常数0x ，使得
()0012x f g x ⎛⎫
-> ⎪⎝⎭
成立？如果存在，求出一个符合条件的0x ；否则说明理由． 【答案】（1）当2m ≥-时,()f x 在0,
上的单调递增；当2m <-时,()f x 在10,
ln 22m ⎛⎫
⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上单调递减,()f x 在1ln ,22m ⎛⎫
⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上单调递增；（2）存在与a 有关的正常数()0ln 01x a a =-<< 【解析】 【分析】
（1）求导可得()2'2x
f x e
m =+,分别讨论0m ≥,20m -≤<,2m <-时的情况,进而判断单调性即可；
（2）存在与a 有关的正常数0x 使得()0012x f g x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭
,即0
020012x x a e x x e -->,则02001102x x a x e ++-<,设()21
12x a x t x x e
+=
+-,满足()min 0t x <即可,利用导数可得()()()2min
ln ln ln 112a t x t a a a a =-=+-+-,再设()()2ln ln 12
a
a a a a ϕ=+-+,利用导函数判断函数性
质即可求解
【详解】（1）()2'2x
f x e
m =+,
①当0m ≥时,()'0f x >恒成立,所以()f x 在0,
上的单调递增；
②当20m -≤<时,()0x ∈+∞，
,()'0f x >,所以()f x 在0,上的单调递增；
③当2m <-时,令()'0f x =,得1ln 022m x ⎛⎫
=
-> ⎪⎝⎭
, 当10,ln 2
2m x ⎛⎫
⎛⎫∈-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
时,()'0f x <,()f x 单调递减； 当1ln ,22m x ⎛⎫
⎛⎫∈-+∞ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
时,()'0f x >,()f x 单调递增； 综上所述：当2m ≥-时,()f x 在0,上的单调递增；
当2m <-时,()f x 在10,
ln 22m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减,()f x 在1ln ,22m ⎛⎫
⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
上单调递增 （2）存在,
当2m =-时,()22x
f x e
x =-,
设存在与a 有关的正常数0x 使得()0012x f g x ⎛⎫->
⎪⎝⎭
,即0
020012x x a e x x e --> 02
00112x x a x e +∴-
>, ()0200110*2x x a
x e +∴+-< 需求一个0x ,使()*成立,只要求出()21
12x a x t x x e
+=+-的最小值,满足()min 0t x <, ∵()1'x
t x x a e ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
,∴()t x 在()0,ln a -上单调递减,在()ln a -+∞，
上单调递增, ∴()()()2
min ln ln ln 112
a t x t a a a a =-=+-+-, 只需证明
()2
ln ln 1102a a a a +-+-<在()0,1a ∈内成立即可, 令()()2
ln ln 12a a a a a ϕ=+-+,
()21
'ln 02
a a φ∴=>,
∴()a ϕ在()0,1a ∈单调递增, ∴()()()2
11ln 1ln11102
a ϕϕ<=
+⨯-+-=, 所以()min 0t x <,故存在与a 有关的正常数()0ln 01x a a =-<<使()*成立
【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用导函数处理函数的恒成立问题,考查运算能力与转
化思想
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. 平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为131121x y λλ
λλ-+⎧=⎪⎪+⎨
-⎪=⎪+⎩
（λ为参数，且1λ≠-）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为212cos 320ρρθ++=. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）已知点P
的极坐标为4π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到曲线1C 的距离的最大值. 【答案】（1）()34103x y x +-=≠，2
2
12320x y x +++=.（2）8
5
【解析】
【分析】（1）化简得到341x y +=，再考虑4
331x λ
=-
≠+，利用极坐标方程公式得到答案. （2）P 的直角坐标为()2,2，设点()00,M x y ，故()0022,22Q x y --，代入圆方程得到M 在圆心为()2,1-，半径为1的圆上，计算得到最大距离.
【详解】（1）因为13,112,1x y λλ
λλ-+⎧
=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
①②，所以3×①+4×②，得341x y +=.
又133(1)4433111x λλλλλ
-++-=
==-≠+++，
所以1C 的普通方程为()34103x y x +-=≠，
将cos x ρθ=，222
x y ρ=+代入曲线2C 的极坐标方程，得曲线2C 的直角坐标方程为
2212320x y x +++=.
（2）由点P
的极坐标4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，可得点P 的直角坐标为()2,2. 设点()00,M x y ，因为M 为PQ 的中点，所以()0022,22Q x y -- 将Q 代入2C 的直角坐标方程得()()2
2
00211x y ++-=，
即M 在圆心为()2,1-，半径为1的圆上. 所以点M 到曲线1C 距离的最大值为|23141|8
155d -⨯+⨯-=
+=，
由（1）知1C 不过点()3,2N -，且31239
1423420MN k +⎛⎫⎛⎫⋅-=
⋅-=≠- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
， 即直线MN 与1C 不垂直.
综上知，M 到曲线1C 的距离的最大值为
85
. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 23. 已知函数()2f x x =+.
（1）求不等式()()21x x f f x +-<+的解集：
（2）若x ∀∈R ，使得()()()2f x a f x f a ++≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）∅；（2）22,3
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦
.
【解析】
【分析】（1）由题意可得21x x x ++<+，由绝对值的定义，对x 讨论去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；
（2）由题意可得2222x a x a ++++≥+恒成立，等价为()
min
22||22x a x a ++++≥+，由绝对
值不等式的性质可得不等式左边的最小值，由绝对值的解法可得所求范围. 【详解】（1）不等式()()21x x f f x +-<+，即为21x x x ++<+，
等价为021x x x x ≥⎧⎨++<+⎩或2021x x x x -<<⎧⎨+-<+⎩或221x x x x ≤-⎧⎨---<+⎩
，
解得x ∈∅或x ∈∅或x ∈∅， 则原不等式的解集为∅；
（2）若x ∀∈R ，使得()()()2f x a f x f a ++≥恒成立， 即有2222x a x a ++++≥+恒成立，
由2222x a x x a x a ++++≥++--=，当且仅当()()220x x a +++≤时，取得等号，
可得22a a +≤，即为()()3220a a ++≤， 解得223a -≤≤-
， 则a 的取值范围是22,3
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦
.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想和转化思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题.。