高中数学 平面解析几何ppt课件

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(2)设直线 l：y－1＝k(x－2)(k＜0)， 得 A(2－1k，0)，B(0,1－2k)． 由|PA|·|PB|＝ 4＋4k21＋k12 ＝ 8＋4k2＋k12≥4. 当且仅当 k2＝k12，即 k＝±1 时，|PA|·|PB|取最小值． 又 k＜0，∴k＝－1，这时直线 l 的方程是 x＋y－3＝0.
解得 k＝－34，∴y＋1＝－34(x－1)， 即 3x＋4y＋1＝0. 综上可知，所求直线的方程为 x＝1 或 3x＋4y＋1＝0.
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考点 3 直线方程的综合应用 例3 如图，过点 P(2,1)作直线 l，分别交 x、y 轴正半轴于 A、
B 两点． (1)当△AOB 的面积最小时，求直线 l 的方程； (2)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线 l 的方程．
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【规律总结】 用待定系数法求直线方程的步骤： (1)设所求直线方程的某种形式； (2)由条件建立所求参数的方程(组)； (3)解这个方程(组)求参数； (4)把所求的参数值代入所设直线方程．
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跟踪训练 2．求适合下列条件的直线方程：
(1)过点 A(－1，－3)，斜率是直线 y＝3x 的斜率的－14；
基础梳理 1．平面直角坐标系中的基本公式 (1)两点的距离公式 已知平面直角坐标系中的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 d(A， B)＝____x_1－__x_2_2_＋__y_1_－_y_2_2__. (2)中点公式 已知平面直角坐标系中的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，点 M(x， y)是线段 AB 的中点，则 x＝x1＋2 x2，y＝y1＋2 y2.
1.基本公式、直线的斜率、 方程以及两直线的位置关系 是高考的重点． 2.常和圆锥曲线综合命题， 重点考查函数与方程、数形 结合思想． 3.多以选择题和填空题的形 式出现，属于中低档题目.
4.掌握两点间的距离公式.
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本节目录
教
考
名
知
材
点
师
能
回
探
讲
演
顾
究
坛
练
夯
讲
精
轻
实
练
彩
松
双
互
呈
闯
基
动
现
关
教材回顾夯实双基
(2)过点 A(1，－1)与已知直线 l1：2x＋y－6＝0 相交于 B 点 且|AB|＝5. 解：(1)设所求直线的斜率为 k，依题意得， k＝－14×3＝－34. 又直线经过点 A(－1，－3)， 因此所求直线方程为 y＋3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y＋15＝0.
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(2) 过 点 A(1 ， － 1) 与 y 轴 平 行 的 直 线 为 x ＝ 1. 解 方 程 组
的斜率是( )
A. 3
B．－ 3
C.
3 3
D．－
3 3
答案：D
4．过点 A(2,3)，倾斜角为π3的直线的点斜式方程为 ________．
答案：y－3＝ 3(x－2)
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5．若直线l过点P(－4，－1)，且横截距是纵截距的2倍， 则直线l的方程是________． 答案：x－4y＝0或x＋2y＋6＝0
第八章 平面解析几何
第1课时 直线及其方程
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考纲展示
备考指南
1.在平面直角坐标系中，结合
具体图形，掌握确定直线位置 的几何要素．
2.掌握确定直线位置的几何要 素，掌握直线方程的三种形式( 点斜式、两点式及一般式)，了 解斜截式与一次函数的关系．
3.理解直线的倾斜角和斜率的 概念，掌握过两点的直线斜率 的计算公式．
截 距
_____xa_＋__yb_＝__1_____
不包括垂直于 的非零截距，b 是
x 轴和 y 轴及过
直线在 y 轴上的
式
原点的直线
非零截距
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名 方程的形式
称
已知条件
局限性
一 Ax＋By＋C＝
无限制，可表
___________________
般 __0_(_A__2＋___B_2_≠__0_)_____ A，B，C 为系数 示任何位置的
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(2)法一：设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a， 若 a＝0，即 l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为 y＝23x，即 2x－3y＝0. 若 a≠0，则设 l 的方程为xa＋ya＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a＋2a＝1， ∴a＝5，∴l 的方程为 x＋y－5＝0， 综上可知，直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
③若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tanθ.
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3．直线方程的几种形式
名称 方程的形式
已知条件
局限性
点斜式
y_－__y_1_＝__k_(_x_－__x_1)
(x1，y1)为直线 上一定点，k 为斜率
不包括垂直于x轴 的直线
斜截式
___y_＝__k_x_＋__b___
k为斜率，b是 直线在y轴上 的截距
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由 A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于 x 轴，则
y2－y1
y1－y2
k＝____x_2_－__x_1____＝____x_1_－__x_2____ (x1≠x2)．
(3)直线的倾斜角 ①定义：x轴__正__向____与直线__向__上___的方向所成的角叫做
这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜 角为__零__度__角__．_______ ②倾斜角的范围：___[_0_°__，__1_8_0_°__)_．_____
k0
k＞0
不存在
k＜0
提醒：对于直线的倾斜角α，斜率k＝tanα(α≠90°)，若已 知其一的范围可求另一个的范围．
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3．直线方程有以下几种主要形式 点斜式、两点式、一般式、斜截式和截距式．重点应理解和掌握直 线方程的点斜式，并在此基础上研究直线方程的其他几种形式，掌 握它们之间的联系和区别，并能根据条件熟练地求出直线方程． 4．求直线方程的常用方法 (1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出 方程中的系数，写出直线方程． (2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件 构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．
解：设所求的直线方程为xa＋by＝1(a＞0，b＞0)，
由已知得2a＋1b＝1，
∴|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)(2a＋1b)
＝3＋2ab＋ab≥3＋2 2.
当且仅当2b＝a时取等号， ab
此时可得 a＝2＋ 2，b＝ 2＋1，
∴所求直线
l
的方程为 x 2＋
＋ 2
2y＋1＝1，
即 x＋ 2y－2－ 2＝0.
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【解】 (1)法一：设直线 l 的方程为 y－1＝k(x－2)(k＜0)， 则 A(2－1k，0)，B(0,1－2k)， ∴S△AOB＝12(2－1k)(1－2k)＝2＋12(－4k－1k)
≥2＋12×2
－4k－1k＝4，
当且仅当－4k＝－1k，即 k＝±12时取等号．
∵k＜0，∴k＝－12，
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法二：由题意，所求直线的斜率存在且 k≠0， 设直线方程为 y－2＝k(x－3)， 令 y＝0，得 x＝3－2k，令 x＝0，得 y＝2－3k， 由已知 3－2k＝2－3k，解得 k＝－1 或 k＝23， ∴直线 l 的方程为： y－2＝－(x－3)或 y－2＝23(x－3)， 即直线 l 的方程为 x＋y－5＝0 或 2x－3y＝0.
跟踪训练
1．(2013·贵阳质检)直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取
值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )
A．－1＜k＜15B．k＞1 或 k＜2C．k＞15或 k＜1
D．k＞12或 k＜－1
解析：选 D.设直线的斜率为 k，则直线方程为 y－2＝k(x－1)，
直线在 x 轴上的截距为 1－2k，令－3＜1－2k＜3，解不等式可
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课前热身
1．已知 m≠0，则过点(1，－1)的直线 ax＋3my＋2a＝0 的
斜率为( )
A.13
B．－13
C．3
D．－3
答案：B
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2．已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的
方程是( )
A．4x＋2y＝5
B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5
D．x－2y＝5
答案：B
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3．已知两点 A(－3， 3)，B( 3，－1)，则直线 AB
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2．直线方程的概念及直线的斜率 (1)直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直 线上点的__坐__标____都是这个方程的解，那么这个方程叫做这 条__直__线__的__方__程_____，这条直线叫做__这__个__方__程__的__直__线__．___ (2)直线的斜率 ①把直线y＝kx＋b中的__系__数__k____叫做这条直线的斜率， __垂__直___于x轴的直线不存在斜率． ②斜率的坐标计算公式
x＝1
2x＋y－6＝0
，求得 B 点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，
即 x＝1 为所求．
设过 A(1，－1)且与 y 轴不平行的直线为 y＋1＝k(x－1)，解方程组
2x＋y－6＝0
，
y＋1＝kx－1
x＝kk＋ ＋72
得两直线交点为
y＝4kk＋－22
.(k≠－2，否则与已知直线平行)．
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则 B 点坐标为kk＋＋27，4kk＋－22. 由已知kk＋ ＋72－12＋4kk＋－22＋12＝52，
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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 直线的倾斜角与斜率
例1 直线 2xcosα－y－3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角的变化范围 是( )
A．[π6，π3]
B．[π4，π3]
C．[π4，π2]
D．[π4，23π]
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【解析】 直线 2xcosα－y－3＝0 的斜率为 k＝2cosα，由于 α∈[π6，π3]，所以12≤cosα≤ 23，因此 k＝2cosα∈[1， 3]． 设直线的倾斜角为 θ，则有 tanθ∈[1， 3]，由于 θ∈[0，π)， 所以 θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]． 【答案】 B
不包括垂直于x轴 的直线
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名 方程的形式
称
已知条件
局限性
两 点
__y_y2_－－__yy_11_＝__xx_2－－__xx_11_____ __(_x_1_≠__x_2_且__y_1_≠__y_2)___
(x1，y1)，(x2，y2) 是直线上两定点
不包括垂直于 x 轴和 y 轴的直
式
线
a 是直线在 x 轴上
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【名师点评】 在研究最值问题时，可以从几何图形入 手，找到最值时的情形，也可以从代数角度考虑，构建 目标函数，进而转化为研究函数的最值问题，这种方法 常常随变量的选择不同而运算的繁简程度不同，解题时 要注意选择．
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跟踪训练
3．例 3 条件不变，求|OA|＋|OB|最小时，直线 l 的方程．
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【名师点评】 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不 是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，
要分0，π2 与π2，π 两种情况讨论．由正切函数图象可以 看出当 α∈0，π2时，斜率 k∈[0，＋∞)；当 α＝π2时，斜 率不存在；当 α∈π2，π时，斜率 k∈(－∞，0)．
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式
直线
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思考探究 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式 方程表示？ 提示：不一定．(1)若x1＝x2且y1≠y2，直线垂直于x轴，方 程为x＝x1. (2)若x1≠x2且y1＝y2，直线垂直于y轴，方程为y＝y1. (3)若x1≠x2且y1≠y2，直线方程可用两点式表示．
故所求直线方程为 y－1＝－12(x－2)， 即 x＋2y－4＝0.
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法二：设所求的直线方程为xa＋by＝1(a＞0，b＞0)， 2＋1
由已知得2a＋1b＝1，于是2a·1b≤(a 2 b)2＝14. 当且仅当2a＝1b＝12，即 a＝4，b＝2 时，2a·1b取最大值14，此时 S△AOB＝12ab 取最小值 4. 故所求的直线 l 的方程为x4＋2y＝1，即 x＋2y－4＝0.
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方法感悟 1．斜率的求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角 α 或 α 的某种三角函数值， 一般根据 k＝tanα 求斜率； (2)公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由斜 率公式 k＝xy22－－yx11(x1≠x2)求斜率．
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2．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系 α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
得 k＞12或 k<－1.
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考点 2 直线的方程 例2 求适合下列条件的直线的方程：
(1)在 y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35； (2)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等． 【解】 (1)设直线的倾斜角为 α，则 sinα＝35， ∴cosα＝±45，直线的斜率 k＝tanα＝±34. 又直线在 y 轴上的截距是－5， 由斜截式得直线方程为 y＝±34x－5.