定积分的应用(证明与自然数相关的不等式)

点评：本题相对例 1 增加了一点难度，最后一步进行了一个 n ln 2＞ 的放缩，但 基本思路也是与例 1 相同.
n 2
1 1 1 5 3 3 ＜ （n≥2 且 n∈N*）. 3 2 3 n 4 1 证明：令 f ( x ) 3 ，如右图所示， x
例 3 求证： 1
k 1 1 ＜ dx ， 3 k 1 x 3 k 1 1 1 1 3 3 3 2 3 n 1 1 1 1 3 1 3 1 3 2 3 n 3 1 4 1 n 1 n 1 1 9 9 1 n ＜1 3 3 dx 3 dx dx 3 dx 2 | 1 3 2 x 3 x n 1 x 2 8 2 x 8 2x 9 1 1 5 2＜ . 8 8 2n 4 1 1 1 1 3 ＜ （n≥2 且 n∈N*）. 例 4 求证： n 1 n 2 n 3 2n 4 1 证明：令 f ( x ) ，如右图所示， x
2 2 由于 an＞0，a＞0，两边取对数，得 lg an 1 lg an lg an lg
即 lg an 1 lg a 2(lg an lg a) . ∴数列{ lg an lg a }是以 lg a1 lg a 为首项，2 为公比的等比数列
a ∴ lg an lg a lg a1 lg a 2 lg 1 ， a n 1 2n1 2n1 a 2 a1 a1 1 ∴ lg an lg lg a lg a ，即 an a . a a a 式
证明与自然数有关的不等式
f (k )＜g (n) 是高考数学中的一类常见问题，也是高
i 1
n
考的一个难点. 而对于这一类问题，如果我们使用了我们所学习过的定积分的知识，证 明这类问题便可做到化繁为简、化难为易，收到事半功倍的效果. 下面举例说明. 例 1 求证： 1 证明：令 f ( x )
－
k 1 1 1 1 ＞ dx ， k k x 1 1 1 1 n 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n 2 3 2 1 21 31 2n 1 2n 1 n 2n ＞ dx dx n dx dx ln x |1 n ln 2＞ . 1 x 2 x 2 1 x 1 x 2
k 1
1
＜
k
1
个不等式的一个关键突破口，当然算定积分时从哪一个小矩形开始算面积也是关键.
1 1 1 n n ＞ （n≥2 且 n∈N*）. 2 3 2 1 2 1 证明：令 f ( x ) ，如右图所示， x
例 2 求证： 1 则 f(x)在区间[k，k＋1]（k＝1，2，···，2n 1）满足
1
2 1 x

1
3

1
n
＜2 n 1 （n≥2 且 n∈N*）.
，如右图所示，
则 f(x)在区间[k－1，k]（k＝2，3，···，n）满足
dx ， k x 1 1 1 1 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 2 3 n 2 1 3 1 n n 1 1 n ＜1 dx dx dx 1 dx 1 2 x | 1 2 n 1 . 1 2 n 1 1 x x x x 1 点评：本题难点在于观察不等式左边与右边的几何意义， 1 表示 f(x)在区间[k k k 1 －1，k]的小矩形的面积， dx 表示由直线 x＝k－1，x＝k，y＝0 与曲线 y＝f(x)围 k 1 x k 1 1 成的曲边梯形的面积，观察图形显然可得 1 ＜ dx . 而这一层关系正是证明这 k 1 k x 1
2
k 1 1 1 ＜ dx ， k 1 x k 1 1 1 1 n 1 n 2 n 3 2n n 1 1 n2 1 n 3 1 2n 1 ＜ dx dx dx dx n n 1 x n 2 x 2n 1 x x 2n 1 3 n dx ln x |2 ln 2＜ n n x 4 1 1 1 1 1 1 例 5 求证： ＜ ln n＜1 （n≥2 且 n∈N*）. 2 3 n 2 3 n 1 k 1 1 1 dx ， 证明：令 f ( x ) ，则 f(x)在区间[k－1，k]（k＝2，3，···，n）满足 1 ＜ k 1 x x k 21 31 41 n 1 n1 1 1 1 1 n ＜ dx dx dx dx dx ln x |1 lnn 1 2 3 n 1 1 2 3 4 n x x x x x k 1 1 1 又 f(x)在区间[k，k＋1]（k＝1，2，···，n－1）满足 1 ＞ dx ， k k x 21 31 41 n 1 n1 1 1 1 n 1 ＞ dx dx dx dx dx ln x | 1 ln n 2 x 3 x n 1x 1 x 2 3 n 1 x 1 1 1 1 1 1 综上所述， ＜ ln n＜1 （n≥2 且 n∈N*）. 2 3 n 2 3 n 1
则 f(x)在区间[k－1，k]（k＝3，4，···，n）满足
1
满足
例 6 （2003 江苏高考第 22 题）设 a＞0，如图，已知直线 l：y＝ax 及曲线 C： y＝x ，C 上的点 Q1 的横坐标为 a1(0＜a1＜a). 从 C 上的点 Qn(n≥1)作直线平行于 x 轴， 交直线 l 于点 Pn＋1，再从点 Pn＋1 作直线平行于 y 轴，交曲线 C 于点 Qn＋1. Qn（n＝1，2， 3，···）的横坐标构成数列{an}. （Ⅰ）试求 an＋1 与 an 的关系，并求{an}的通项公式；
2n1
22
1 2 2 2
2 an 3 2n1
3
a12
n 1
1 a
n 1
2 n1 1
a12
a a 1 a
a ，即 an a 1 a
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当 a＝1 时， an a12 .
n 1
a12 (a12 1)＜0 ，即 an 1＜an . 1 1 1 由 a1 ，得 a2 a12 ， a3 a14 ， 2 4 16 n n 1 1 n (ak ak 1 )ak 2 (ak ak 1 ) (ak ak 1 ) 16 i 1 i 1 i 1 16 1 1 1 1 (a1 an 1 )＜ 16 16 2 32
（Ⅲ）如右图所示，
∴ an 1 an a12 a12
n
n 1
n 1
(a
i 1 1
n
k
ak 1 )ak 2 表示各个红色小矩形
面积之和，显然，它小于由直线 x＝0，x＝1，y＝0 与曲线 y＝x2 围成的曲边梯形的面积. ∴
(ak ak 1)ak 2＜ x 2dx
n 1
2n1
（法二）迭代法
1 2 1 1 2 2 1 an an ( an 2 ) 1 a a a a 1 a
1 2 2 2 2 n2
1 2
a
22 n 2
1 a
n 1
1 2
1 2 1 an 3 a a
则 f(x)在区间[k－1，k]（k＝n＋1，n＋2，···，2n）
n 1 1 时，证明 ( ak ak 1 ) ak 2＜ ； 2 32 i 1 n 1 （Ⅲ）当 a＝1 时，证明 ( ak ak 1 ) ak 2＜ . 3 i 1 1 2 解： （Ⅰ）由题意知，Qn(an，an2)，Pn＋1 ( an ，an2)， a 1 2 1 4 Qn＋1 ( an ， 2 an )， a a 1 2 an 1 an a
（Ⅱ）当 a＝1， a1
（法一）取对数构造等比数列（一般取常用对数 lg 或自然对数 ln）
1 1 2 lg an lg a a a 令 lg an 1 t 2(lg an t ) ，得 lg an 1 2 lg an t ，解得 t lg a .
i 1 0
n
x3 1 1 |0 . 3 3