奥数提高班第四讲 绝对值(2)
小升初衔接班讲义第4讲 绝对值(二)
小升初衔接班讲义第4讲绝对值（二）姓名：___________纪律等级：___________作业等级：___________-----------------------------------------------------------------------------------------【知识导航】1、正数的绝对值是它本身．负数的绝对值是它的相反数．零的绝对值是零．字母a 可以代表任意的数，若a>0，则│a│=a 若a<0，则│a│=-a 若a=0，则│a│=0【课前测】1、下列计算中，正确的是（）A．－3＋2＝1B．|－2|＝－2C．3×(－3)＝9D．1-3-=2÷（）（6）2、符号语言“|a |＝－a （a ≤0）”所表达的意思是（）A．正数的绝对值等于它本身B．负数的绝对值等于它的相反数C．非正数的绝对值等于它的相反数D．负数的绝对值是正数3、比较大小（填写“＞”或“＜”）：87-________98-)43(--________)]54([-+-4、的相反数是它本身,的绝对值是它本身，的绝对值是它的相反数，绝对值最小的数是________．5、若a+3的相反数是-3，则a=______;若21b -=，则b=____6、若|a|=4，|b|=2，且a b a b +=+，求a b -的值.【例题精选】例1、（2019武昌10月）已知a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|-|b|+|c-b|+|a-c|-|b+a|【巩固练习】、已知数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,化简：|a ＋b |－|a －b |＋|a ＋c |例2、（2019第三寄宿10月）若|a －2|与(b ＋3)2互为相反数，c ，d 互为相反数，求a ＋b －c-d 的值【巩固练习】、已知│a+2│+│b-3│=0,求2a-3b 的值.例3、（2019武汉六中10月）已知0a <，0ab <，且a b >，试在数轴上简略地表示出a ，b ，-a 与-b 的位置，并用“<”号将它们连接起来．【巩固练习】、若a＜0、ab＞0且|a|<|b|，试在数轴上简略地表示出a，b，-a与-b的位置，并用“<”号将它们连接起来．例4.（2019武昌10月23）数轴上两点间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值．例：点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB＝|a﹣b|．根据以上知识解题：（1）数轴上表示3和5两点之间的距离是______，数轴上表示2和－5两点之间的距离是____。
《绝对值》 讲义
《绝对值》讲义一、引入在数学的世界里，绝对值是一个非常重要的概念。
它看似简单，却有着广泛的应用，能帮助我们解决许多数学问题。
那么，什么是绝对值呢？二、绝对值的定义绝对值指的是一个数在数轴上所对应点到原点的距离。
用符号“｜｜”来表示。
例如，数字 5 的绝对值表示为｜5|，数字－5 的绝对值表示为｜－5|。
需要注意的是，绝对值总是非负的。
也就是说，对于任意实数 a，其绝对值｜a| 总是大于或等于 0。
三、绝对值的性质1、正数的绝对值是它本身比如，｜3| ＝ 3 ，因为 3 是正数，它的绝对值就是它本身。
2、 0 的绝对值是 0即｜0| ＝ 0 ，这是很明确的。
3、负数的绝对值是它的相反数例如，｜－7| ＝ 7 ，因为－7 是负数，它的绝对值是它的相反数 7 。
4、互为相反数的两个数的绝对值相等若 a 和 a 互为相反数，那么｜a| ＝｜a| 。
5、绝对值具有非负性即｜a| ≥ 0 ，这是绝对值非常重要的一个性质。
四、绝对值的计算计算绝对值时，我们只需要判断这个数的正负。
如果是正数，绝对值就是它本身；如果是 0，绝对值就是 0；如果是负数，绝对值就是它的相反数。
例如，计算｜8| ，因为 8 是正数，所以｜8| ＝ 8 。
计算｜－12| ，因为－12 是负数，所以｜－12| ＝ 12 。
再比如，计算｜0| ，结果就是 0 。
五、绝对值方程在数学中，我们还会遇到绝对值方程，例如｜x 3| ＝ 5 。
要解决这样的方程，我们需要分情况讨论：当x 3 ≥ 0 时，即x ≥ 3 ，方程变为 x 3 ＝ 5 ，解得 x ＝ 8 。
当 x 3 ＜ 0 时，即 x ＜ 3 ，方程变为（x 3) ＝ 5 ，即 x ＋ 3 ＝ 5 ，解得 x ＝－2 。
所以，方程｜x 3| ＝ 5 的解为 x ＝ 8 或 x ＝－2 。
六、绝对值不等式绝对值不等式也是常见的数学问题，比如｜x| ＜ 5 。
这意味着 x 到原点的距离小于 5 ，所以－5 ＜ x ＜ 5 。
初中奥数绝对值讲解教案
初中奥数绝对值讲解教案教学目标：1. 理解绝对值的概念及性质；2. 掌握绝对值的运算规律；3. 能够运用绝对值解决实际问题。
教学内容：1. 绝对值的概念及性质；2. 绝对值的运算规律；3. 绝对值在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入绝对值的概念：在数轴上，一个数的绝对值表示这个数与原点的距离。
2. 提问：为什么绝对值是非负数？二、讲解绝对值的概念及性质（15分钟）1. 绝对值的性质：性质1：|a| = |-a|性质2：|a| = a（a≥0）性质3：|a| = -a（a<0）2. 举例说明绝对值的性质：例如：|5| = 5，|-5| = 5，|0| = 0，|-3| = 3三、讲解绝对值的运算规律（15分钟）1. 绝对值的加法：规律1：|a| + |b| = |a + b|（a、b同号或其中一个是0）规律2：|a| + |b| = |a - b|（a、b异号）2. 绝对值的减法：规律3：|a - b| = |a| - |b|（a、b同号）规律4：|a - b| = |b| - |a|（a、b异号）3. 绝对值的乘法：规律5：|a| × |b| = |a × b|四、讲解绝对值在实际问题中的应用（15分钟）1. 例题解析：题目1：已知数轴上两点A、B之间的距离为5，求点A到点B的距离。
解答：设点A的坐标为x，点B的坐标为y，则有|x - y| = 5。
由于题目没有给出具体坐标，所以无法确定点A和点B的具体位置，但可以确定的是，点A到点B的距离为5。
2. 练习：练习1：已知数轴上两点C、D之间的距离为8，求点C到点D的距离。
练习2：已知一个正方形的边长为6，求这个正方形的对角线长度。
五、总结（5分钟）1. 回顾绝对值的概念及性质；2. 总结绝对值的运算规律；3. 强调绝对值在实际问题中的应用。
教学评价：1. 课后作业：巩固绝对值的概念和运算规律；2. 课堂练习：解决实际问题，提高运用绝对值的能力；3. 期末考试：考察学生对绝对值的掌握程度。
初中数学绝对值奥数题
初中数学绝对值奥数题初中数学绝对值奥数题________________________数学绝对值奥数题是初中数学考试当中的重要组成部分。
绝对值奥数题不仅可以检验学生的计算能力，还可以检验学生是否具备正确的概念。
本文将介绍初中数学绝对值奥数题的解题思路以及常见的绝对值奥数题。
一、绝对值奥数题的解题思路1.明确绝对值的概念：绝对值是一个正值，它表示一个数距离原点的距离，即一个数的绝对值就是它的正值。
2.理解题意：在解题之前，我们需要先弄清楚题目的意思，读懂题意，明确出具体要求。
3.根据题意选择解题方法：根据题意，我们可以选择一些常用的解题方法，如图形法、代数法、几何法、分类法等。
4.运用所选方法解题：运用上述解题方法，将问题分解，分步解决。
二、常见绝对值奥数题1.如图所示，已知|x|=8，求x的值？根据绝对值的定义，可以得出x=8或x=-8。
2.已知|3x+2|=10，求x的值？根据绝对值的定义，可以得出3x+2=10或3x+2=-10，即x=4或x=-4。
3.已知|2x-5|=7，求x的值？根据绝对值的定义，可以得出2x-5=7或2x-5=-7，即x=6或x=-3。
4.已知|3-2x|=4，求x的值？根据绝对值的定义，可以得出3-2x=4或3-2x=-4，即x=1或x=-2。
5.已知|7-3x|=11，求x的值？根据绝对值的定义，可以得出7-3x=11或7-3x=-11，即x=4或x=-4。
三、总结以上就是初中数学绝对值奥数题的解题思路及常见的绝对值奥数题。
在解决这些问题时，学生应该先弄清楚题意，然后运用正确的概念去分析问题，最后再选择合适的方法去解决问题。
在平时的学习中，要多加练习并归纳总结。
只有不断地加强自己的解题能力，才能在考试中取得优异的成绩。
绝对值ppt课件
同学们再见！
汇报：AiPPT
时间：20XX.X
(1) 一辆汽车停在距离收费站8公里的位置，向东走到距离收费站3公里处， 又向西行驶5公里。问此时汽车到收费站的距离是多少公里？
假设向东为正方向，起始位置为-8公里，向东行驶到-3公里处。 然后向西（负方向）走5公里，到达：-3 - 5 = -8公里。 所以汽车回到了-8公里处，距离收费站：|-8| = 8公里。
公式表示
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫 作数a的绝对值，记作|a|
10 和 -10到原点的距离 都是10，所以 10 和 -10 的绝对值都是10，即
｜10｜ ＝｜10｜， ｜-10｜ ＝10 显然｜0｜＝ 0
02
绝对值的性质
非负性
绝对值的第一个性质是非负性，即对于任何实数 a，都有 ( ｜a｜ ≥ 0 )。这意味着 绝对值总是非负的，它不会小于零。
(2) 如果|x - 3| = 7，求x的值。
根据绝对值的定义，x - 3 = 7 或 x - 3 = -7。 解得： x = 10 或 x = -4。
04
总结
复习定义和性质
1. 绝对值的定义 绝对值表示一个数到数轴上原点的距离，无论该数是正数、负数还是零。 •形式上表示为：|a|，当 a ≥ 0 时，|a| = a；当 a < 0 时，|a| = -a。 •例如：|5| = 5，|-5| = 5，|0| = 0。 2. 绝对值的性质 •非负性：|a| ≥ 0，绝对值永远是非负的。 •零点：|a| = 0 当且仅当 a = 0
(1) |-8| = _
答案：8 解析：绝对值的定义，|-8| = -(-8)= 8。(2) 已知|x| = 1源自，则x的取值为 ___ 和 ___。
初一年级奥数知识点：绝对值
初一年级奥数知识点：绝对值
1.绝对值的几何意义
一个数的绝对值，•就是在数轴上该数所对应的点与原点的距离.
2.绝对值的代数意义
(1)正数的绝对值是它的本身.
(2)负数的绝对值是它的相反数.
(3)0的绝对值是0.
掌握有理数绝对值的概念，给一个数能求出它的绝对值.
掌握求绝对值的方法：根据绝对值的代数定义来解答.
理解绝对值的概念，利用绝对值比较两负数的大小.比较方法是先比较它们绝对值的大小，再根据“两个负数，绝对值大的反而小”来解答.掌握了绝对值的概念后，判断有理数的大小就不一定要依赖于比较数轴上的点的位置了.
注意
(1)任何一个数的绝对值均大于或等于0(即非负数).
(2)互为相反数的两数的绝对值相等;反之，当两数的绝对值相等时，•这两数可能相等，可能互为相反数.
练习题
1. -3的绝对值是( )
(A)3 (B)-3 (C)13 (D)-13
2. 绝对值等于其相反数的数一定是
A.负数
B.正数
C.负数或零
D.正数或零
3. 若│x│+x=0，则x一定是( )
A.负数
B.0
C.非正数
D.非负数
4.某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为0.1kg、0.2kg、0.3kg的字样，从中任意拿出2袋，它们的质量最多相差( )
A.0.8kg
B.0.6kg
C.0.5kg
D.0.4kg
5.正式比赛时，乒乓球的尺寸要有严格的规定，已知四个乒乓球，超过规定的尺寸为正数，不足的尺寸记为负数，为选一个乒乓球用于比赛，裁判对这四个乒乓球进行了测量，得到结果:A 球+0.2mm，B球-0.1mm，C球+0.3mm，D球-0.2mm，你认为应选哪一个乒乓球用于比赛?为什么?。
七年级奥数竞赛——绝对值
七年级奥数竞赛——绝对值1、绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数。
符号表示：|a|={a,a>0 0,a=0−a,a<0或者|a|={a,a≥0−a,a<0或者|a|={a,a>0−a,a≤0辨析：如果一个数的绝对值是它本身，则这个数是；如果一个数的绝对值是它的相反数，则这个数是 .2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
显然，任何数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.想一想：有理数a,b,c的大小关系如图所示，则下列式子中一定成立的是（）A. a+b+c>0B. |a+b|<cC. |a−c|=|a|+cD. |b−c|>|c−a|3、化简含有绝对值是式子，关键是去绝对值符号。
而要去绝对值符号，关键是看绝对值符号内的数a的正负性，即a>0,a<0,还是a=0. 如果已知条件没有给出a的的正负性，那么就应该对a的正负进行分类讨论。
当a>0时，|a|a =；当a<0时，|a|a= .例1 计算：（1）|13−12|+|14−13|−|14−12|=;(2) 已知|a|=1,|b|=2,|c|=3,且a>b>c, 那么a+b−c= .练习1（1）|12004−12003|+|12003−12002|+|12002−12001|+|12001−12004||=;（2）已知|a|=3,|b|=5,那么|a+b|−|a−b|的绝对值等于 .（3）已知a的相反数是最大的负整数，b的绝对值是最小的正整数，则a+b= .（4）设a,b,c 分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且a≤b≤c, 则|a−b|+|b−c|+|c−a|可能取得的最大值是 .例2 若x<−2, 则y=|1−|1+x||等于（）A. 2+xB. −2−xC. xD. −x练习2：若0<a<1,−2<b<−1, 则|a−1|a−1−|b+2|b+2+|a+b|a+b的值是（）A. 0B. -1C. -2D. -3练习3：已知x=|a|a +|b|b+|c|c+|abc|abc，且a,b,c都不等于0，则x的所有可能值有 .练习3‘：已知a,b,c都不等于0，a+b+c=0, x=|a|a +|b|b+|c|c+|abc|abc，那么x的所有可能值有 .练习4：已知三个数a,b,c的积为负数，和为正数，且x=|a|a +|b|b+|c|c+|ab|ab+|ac|ac+|bc|bc,则ax3+bx2+cx+1的值为 .例3 (1) 如果|m−3|+(n+2)2=0,那么方程3mx+1=x+n的解是 . (2) 已知a,b,c是整数，且|a−b|+|c−a|=1, 则|c−a|+|a−b|+|b−c|= . 练习5：（1）若|a+b+1|与(a−b+1)2互为相反数，则a与b的大小关系是 . （2）求满足|a−b|+ab=1的非负整数对（a, b）的值.（3）已知|ab−2|+|a−2|=0, 求1ab +1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2006)(b+2006)的值.例4 (1)已知y=|x+1|+|x−1|，则y的最小值是（）A. 2B. 0C. 1D. -1变式：已知y=|2x+1|+|x−1|，则y的最小值是(2) y=|x+1|+|x−2|+|x−3|的最小值是, 此时x= .一般化：设a≤b≤c,则y=|x−a|+|x−b|+|x−c|在x= 时取到最小值 .练习6：已知y=|x−b|+|x−20|+|x−b−20|, 其中0<b<20, b≤x≤20, 那么y的最小值为 .练习7：已知(|x+1|+|x−2|)(|y−2|+|y+1|)(|z−3|+|z+1|)=36，求x+2y+ 3z的最大值和最小值.【参考答案】1、辨析：正数和0 负数和02、想一想：C3、1 ；-1例1（1）0（2）2或0练习1（1）32005002（2）6（3）2或0（4）16例2 B练习2：D练习3：±4、0练习4：1例3（1）−38(2) 2练习5（1）a<b（2）(1,0), (0,1), (1,1)（3）20072008例4（1）A变式：1.5(2) 4, 2一般化：b；c-a练习6：20练习7：最大值是15，最小值是-6。
奥数-绝对值-第4讲
第四讲 绝对值绝对值是初一代数中一个重点内容，它是一种新的运算符。
很多同学对于求解绝对值问题感到很繁琐，这主要是因为求解绝对值问题涉及到了一个重要的数学思想——分类讨论。
分类讨论在数学分析中是经常遇到的，今天我们通过对绝对值的化简、求方程根、解不等式、分析极值等来练习分类讨论，一定要熟练掌握！为今后利用分类讨论思想解题打下基础。
一、基础知识●绝对值的定义与性质（注意它的非负性）定义：绝对值的定义用文字叙述为：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
绝对值的定义用公式表示为：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩性质： ① 非负性：|a|≥0；②|ab|=|a||b|；③|b a |=||||b a （b ≠0）； ④222||||a a a ==；⑤|a+b|≤|a|+|b|；⑥||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.● 绝对值的几何意义一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
①) a 表示a 点到0点的距离②) a b -表示a 点到b 点的距离③) a b +表示a 点到-b 点的距离● 分类讨论思想（零点分段法）利用绝对值的定义，讨论绝对值符号内代数式值与0的大小关系，将绝对值符号打开，再进行运算。
例 设a 是有理数，求a a +的值二、例题第一部分 定义和性质例1. 若a,b 为有理数，那么，下列判断中：（1）若|a|=b ，则一定有a=b ； (2)若|a|>|b|，则一定有a>b ； (3)若|a|>b,则一定有|a|>|b|； (4)若|a|=b ，则一定有22)(b a -=。
正确的是________。
（填序号）例2. （1）已知|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=_______．(北京市“迎春杯”竞赛题)(2)已知a 、b 、c 、d 是有理数，|a-b|≤9，|c-d|≤16，且|a-b-c+d|=25,那么|b-a|-|d-c|=_______． (第14届“希望杯”邀请赛试题)例3. 如果a 、b 、c 是非零有理数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ．1或一1C ．2或一2D ．0或一2(2003年山东省竞赛题)例4. 已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，试求代数式)2002)(2002(1)2)(2(1)1)((11+++++++++b a b a b b a ab 的值.例5. 已知m 、n 为整数，且21m m n -+-=，那么m n +的值为多少？例6. 已知|11-x |+|22-x |+|33-x |+…+|20022002-x |+|20032003-x |=0,求代数式2003200232122222x x x x x +---- 的值。
奥数-绝对值-2
解：2或3或5或6
补充题2已知 ，如果 ， ，那么y的最大值是多少？
解：当x=96时，y取最大值211
补充题3已知 ，且 ，那么 _______
解：
初中数学竞赛真题选讲
——绝对值
绝对值的题型主要包括绝对值方程，绝对值不等式，最值，几何意义等几类。
例题部分
例4解方程
解：零点分段法，x=7/3
C)解不等式
例5解下列不等式1、
2、
解：1，x<-1或x>9；2，x>2或x<-3
例6解不等式
解：零点分段法，x〉17/13
例7解不等式
解：不等式的解集为任意数
D)最值问题
例8已知 ，求 的最大值与最小值
解：当 时，取最大值为5；当 时，取最小值为-3
例9已知 ，求 的最大值与最小值
11.（同步，P114）（1997，希望杯）有理数a和b满足 ，则（）
A B C D
12.（同步，P120）（第10届，希望杯）已知 ，那么 的最大值等于（）
A 1 B5 C8 D 3
13.（同步，P127）（1999，武汉市）若 ，则方程 的解集是________.
14.（同步，P133）（1997，希望杯）有理数a和b满足 ，则（）
18.（同步，P209）（2001，北京市初二决赛）在6张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意写上1~6这六个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，请你证明：所得的六个数中至少有两个是相同的。
练习部分
19.（同步，P77）（南京市竞赛题）讨论关于x的方程 的解的情况
奥数知识之绝对值
奥数知识之绝对值(总2页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除初一之绝对值一、知识要点：1. 绝对值的代数意义：x (x>0) |x|= 0 (x=0) -x (x<0)3. 绝对值的常用性质：(1)0||≥a(2) 222||||a a a == (3)||||||b a ab ⋅= (4) )0(||||||≠=b b a b a (5) ||||||b a b a +≤+ (6) ||||||b a b a -≥- 4. 解决含绝对值问题的常用方法：（1）零点分段法； （2）数形结合法；二、例题精选及相应练习：例1. 已知._____||,3||,5||=+-=-==b a a ，b b a b a 则且变式：1. 若的值是则且b a b a b a ->+==,0,5||,8||( )A. 3或13B. 13或-13C. 3或-3D. -3或-13练习：已知a,b,c 满足(a+b)(b+c)(c+a)=0,且abc<0，则代数式||||||c c b b a a ++的值为________. 例2. 若a,b,c 为整数，且1||||20092009=-+-a c b a ，计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值。
练习1. 求满足|a-b|+ab=1的非负整数对（a,b ）的值。
练习2. 若a,b,c,d 为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1,则|a-d|=________.练习3. 已知a,b,c,d 为有理数，,16||,9||≤-≤-d c b a ,25||=+--d c b a 且。
c d a b 的值求||||--- 例3. 化简：|x+2|+|x-1| 变式1. 解方程：|x+2|+|x-1|=7 变式2. 解不等式：|x+2|+|x-1|>7 例4. 求|x+2|+|x-1|的最小值。
数学-奥数竞赛-初一奥数-绝对值
②
• 由①有 a=b 且 c=a±1, 于是|b-c |=|c-a|=1;
• 由②有 c=a 且 a=b±1, 于是|b-c|=|a-b|=1.
• 无论①或②都有|b-c|=1 , 且|a-b|+|c-a|=1,
• 所以|c-a|+|a-b|+|b-c |=2.
例 7 、若|x-y+3|与|x+y-1999|互为相反 数, 求 x 2y 的值。
xy
• 解: 依相反数的意义有|x-y+3|=-|x+y-1999|.
• 因为任何一个实数的绝对值是非负数, 所以必 有|x-y+3|=0 且|x+y-1999|=0.即
例 8 、化简:|3x+1|+|2x-1|.
• 分析: 本题是两个绝对值和的问题.解题的关键是 如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个 绝对值符号, 则是很容易的事.
论化简了。
• 说明 :解这类题目, 可先求出使各个绝对值等于零的变数字母 的值, 即先求出各个分界点, 然后在数轴上标出这些分界点, 这样就将数轴分成几个部分, 根据变数字母的这些取值范围 分类讨论化简, 这种方法又称为“零点分段法”.
例 9 、已知 y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|,
a,当a 0时
a 0,当a 0时
a,当a 0时
• 绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识, 它与距离的概念密切相关.在数轴上表示一 个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对 值.
• 结合相反数的概念可知, 除零外, 绝对值 相等的数有两个, 它们恰好互为相反数.反 之, 相反数的绝对值相等也成立.由此还可 得到一个常用的结论:任何一个实数的绝对 值是非负数.
(完整版)七年级奥数：绝对值
七年级奥数：绝对值阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面： 1．去绝对值符号法则(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩2．绝对值的几何意义从数轴上看，即表示数a 的点到原点的距离，即代表的是一个长度，故表示一个非负数．3．绝对值常用的性质222(1) ||0 (2) |||| (3) |||||| (4)(0)||(5) |||||| (6) ||||||a a a a a a ab a b b b b a b a b a b a b ===⋅=≠++-- 例题与求解例1 已知=5，=3，且=b －a ，那么a ＋b = .(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路 由已知求出a 、b 的值，但要注意条件=b －a 的制约，这是解本例的关键．例2 如果0＜p ＜15,那么代数式＋＋在p ≤x ≤15的最小值是( )．(湖北省黄冈市竞赛题)(A )30 (B )0 (C )15 (D )一个与P 有关的代数式解题思路 设法脱去绝对值符号是解绝对值有关问题的基本思路，就本例而言，应结合已知条件判断每一个绝对值符号内代数式值的正负性．例3 已知12320022003123200220030x x x x x -+-+-++-+-=,求代数式3200220031222222x x x x x ----+的值.解题思路 运用绝对值、非负数的概念与性质，先求出x 、x 、x …x 、x 的值，a a a ab b a -b a -p x -15-x 15--p x 12320022003注意2－2的化简规律．例4 设a 、b 、c 是非零有理数，求+++++＋的值．(“希望杯”邀请赛试题)解题思路 根据a 、b 、c 的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键．例5 若a 、b 、c 为整数，且＋=1，试求+＋的值．(北京市“迎春杯”竞赛题)解题思路 1写成两个整数的和的形式有几种可能?1写成两个非负整数的和的形式又有几种可能?这是解本例的突破口．能力训练A 级1．若m 、n 为有理数，那么，下列判断中： (1)若∣m ∣=n ，则一定有m =n ；(2)若∣m ∣>n ，则一定有∣m ∣>∣n ∣； (3)若∣m ∣<∣n ∣，则一定有m <n ；(4)若∣m ∣=n ，则一定有m =(-n )。
初一数学@数学竞赛专题讲座七年级第4讲_解读绝对值(含答案)
绝对值专题绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：l ．去绝对值的符号法则：2．绝对值基本性质 ①非负性：；②；③； ④； ⑤；⑥．3．绝对值的几何意义从数轴上看，表示数的点到原点的距离(长度，非负)；表示数、数的两点间的距离．例题讲解【例1】(1)已知，，，且，那么＝ ． (北京市“迎春杯”竞赛题) (2)已知是有理数，，，且，那么． (“希望杯”邀请赛试题)（3）已知，，那么_________．（北京市“迎春杯”竞赛题） （4）非零整数、满足，所有这样的整数组共有______组． （首届江苏省数学文化节基础闯关题）思路点拨 (1)由已知条件求出的值，注意条件的约束；(2)若注意到9+16＝25这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解；（3）既可以对，的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；（4）从把5拆分成两个正整数的和入手．⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 0≥a ba ab ⋅=)0(≠=b ba b a222a a a ==ba b a +≤+b a b a b a +≤-≤-a a b a -a b 1=a 2=b 3=c c b a >>c b a -+d c b a 、、、9≤-b a 16≤-d c 25=+--d c b a =---c d a b 5=x 1=y =+--y x y x m n 05=-+n m ),(n m c b a 、、c b a >>x y【例2】 如果是非零有理数，且，那么的所有可能的值为( )．A ．0B ． 1或C ．2或D ．0或 (山东省竞赛题) 思路点拨 根据的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键． 【例3】已知互为相反数，试求代数式：的值． (“五羊杯”竞赛题) 思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出的值．【例4】化简(1)； (2)； (3)．思路点拨 (1)就两种情形去掉绝对值符号；(2)将零点1，3在同一数轴上表示出来，就，1≤x<3，x ≥3三种情况进行讨论；(3)由，得．【例5】已知为有理数，那么代数式 的取值有没有最小值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由．思路点拨 在有理数范围变化，的值的符号也在变化，解本例的关键是把各式的绝对值符号去掉，为此要对的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值．链接：①我们把大于或等于零的数称为非负数，现阶段、是非负数的两种重要形式，非负数有如下常用性质： (1)≥0，即非负数有最小值为0；(2)若，则②形如(2)的问题称为多个绝对值问题，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．请读者通过本例的解决，仔细体会上述解题步骤．【例6】已知，求的最大值和最小值． （“希望杯”邀请赛试题） 思路点拨 解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的取值范围．c b a 、、0=++c b a abcabc c c b b a a +++1-2-2-b a 、12--b •ab 与)2002)(2002(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab b a 、12-x 31-+-x x 121++--x x 012012<-≥-x x ，1<x 02101=--=+x x ，3,11==-=x x x ，a 4321-+-+-+-a a a a a 4321----a a a a 、、、a a n a 2a 0=+++h b a 0====h b a 36)13)(12)(21(=++-++--++z z y y x x z y x 32++基础训练1．若有理数、满足，则 ． 2．已知，，且，那么= ． 3．已知有理数在数轴上的对应位置如图所示：则化简后的结果是 ． （湖北省选拔赛题) 4．若为有理数，那么，下列判断中：(1)若，则一定有； (2)若，则一定有； (3)若，则一定有；(4)若，则一定有．正确的是 (填序号) ．5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数，1，，那么表示( )． A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和 (江苏省竞赛题) 6．已知是任意有理数，则的值是( )．A ．必大于零B ．必小于零C 必不大于零D ．必不小于零7．若与互为相反数，则与的大小关系是( )． A ． B ． C ． D ．8．如图，有理数在数轴上的位置如图所示，则在，，，，，中，负数共有（ ） A ． 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．化简：(1)； (2)．10．求满足的非负整数对的值． (全国初中联赛题) 11．若，则 ；若，则 ． 12．能够使不等式成立的的取值范围是 ． l3．与互为相反数，且，那么＝ ． 14．设分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且，则可能取得的最大值是 ． (江苏省竞赛x y +-2)1(2002x 0112=+-y x =+22y x 5=a 3=b a b b a -=-b a +c ba 、、b ac a c -+-+-1b a 、b a =b a =b a >b a >b a >b a >b a =22)(b a -=a 1-1+a a a a --1++b a 2)1(+-b a a b b a >b a =b a <b a ≥b a 、b a +a b 2-a b -b a -2+a 4--b 3223++-x x 1331++--x x 1=+-ab b a ),(b a 2-<x =+-x 11a a -==---21a a 0)1)((<+-x x x x a b 54=-b a 12+++-ab a bab a c b a 、、c b a ≤≤a c c b b a -+-+--232ba1-1题) 15．使代数式的值为正整数的值是( )．A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．不存在的16．如果，则等于（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 17．如果，那么代数式在的最小值是（ ）．A ．30 B ．0 C ．15 D ．一个与有关的代数式 18．设，，则的值是（ ）． A ． B ．1 C ．3或 D ．或1 19．有理数均不为零，且，设，试求代数式的值．20．若为整数，且，求的值．21．已知，设，求M 的最大值与最小值．22．已知， 求代数式的值．xx x 43-x 02=+b a 21-+-bab a 150<<p 1515--+-+-p x x p x 15≤≤x p p 0=++c b a 0>abc cba b a c a c b +++++3-1-3-c b a 、、0=++c b a ba c ac b cb a x +++++=20029919+-x x c b a 、、19919=-+-ac b a c b b a a c -+-+-1,1≤≤y x 421--++++=x y y y x M 02003200232120032002321=-+-++-+-+-x x x x x 20032002212222x x x x+---答案： 1.2.-2或-83.1-2c+b4.(4)5.D6.D7.C8.A9.(1)原式= (2)原式= 10.(a,b)=(1,0),(0,1),(1,1) 提示:由条件得 或11.-2-x 、-1 12.x<-1 提示:因│x │≥x,│x │-x ≥0,故1+x<0. 13.提示:ab=-b 2=-│b │2=- 14.16 15.D16.B 提示:原式=17.C 18.B19.提示:a 、b 、c 中不能全同号,必一正二负或二正一负,得a=-(b+c),b=-(c+a),c=-(a+b),即=-1, =-1, =-1, 所以,, 中必有两个同号,另一个符号与其相反,• 即其值为两个+1,一个-1或两个-1,一个+1,x=1,原式=1904. 20.提示:a 、b 、c 都为整数,则a-b 、c-a 均为整数,则│a-b │、│c-a•│为两个非负整数,│a-b │19+│c-a │99=1, 只能│a-b │19=0且│c-a │99=1…………① 或│a-b │19=1且│c-•a │99=0……………②, 由①得a=b,且│c-a │=1,│b-c │=│c-a │=1; 由②得c=a,且│a-b │=1,•│b-c │=│a-b │=1, 无论①或②,都有│a-b │+│c-a │=1,且│b-c │=1, 故│c-a │+•│a-b │+│b-c │=2.21.提示:-1≤x ≤1,-1≤y ≤1,│y+1│=y+1,│2y-x-4│=4+x-2y,当x+y ≤0时,•M=5-2y,得3≤M ≤7; 当x+y ≥0时,M=2x+5,得3≤M ≤7;又当x=-1,y=1时,M=3;当x=-1,•y=-1时,M=7,3736351()2325()23251()3x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩43(2)121(2)3143(1)325(14)43(4)x x x x x x x x x x --<-⎧⎪⎪-+-≤<-⎪⎪⎪+-≤<⎨⎪+≤<⎪⎪-≥⎪⎪⎩||10a b ab -=⎧⎨=⎩||01a b ab -=⎧⎨=⎩425425|2||||||4|2||a a a a a -++abc +b c a +c a b+||a b c +||b c a +||c a b+故M 的最大值为7,最小值为3. 22.由题意得:x 1=1,x 2=2,… ,x 2003=2003,原式=2-22-23-…22002+22003=22003-22002-…23-22+2提高训练1．计算：=______． (重庆市竞赛题)2．代数式的最小值为______． （北京市“迎春杯”竞赛题） 3．已知，化简式子：得______．4．若、、、为互不相等的有理数，且那么___． 5．设是有理数，则的值（ ）．A ．可以是负数B ．不可能是负数C ．必是正数D ．可以是正数，也可以是负数 （广东省中考题） 6．已知，化简所得的结果是________． 7．若，，那么的绝对值等于________．（“希望杯”邀请赛试题） 8．有理数、、的大小关系如图，则下列式子中一定成立的是（ ）． A ． B ． C ． D ．9．已知，且、、都不等于0，求的所有可能值．（第2届“华罗庚杯”香港中学竞赛题） 10．已知、、满足，且，则代数式的值为______． （四川省竞赛题） 11．若有理数、、满足，则=______．（“希望杯”邀请赛试题）214131412131---+-131211++-++x x x c b a <<<0c b a c b a b a -+--++-2a b c d 1=-=-=-b d c b c a =-d a a a a -m m -=21---m m 3=a 5=b b a b a --+a b c 0>++c b a c b a <+c a c a +=-a c c b ->-abcabc cc bb aa x +++=a b c x a b c 0))()((=+++a c c b b a 0<abc ccb b a a ++m n p 1=++pp nn mm mnpmnp32cb a12．设、、是不为零的有理数，那么的值有（ ）． A ．3种 B ．4种 C ．5种 D ．6种 （“希望杯”邀请赛试题） 13．如图，已知数轴上的点A 、B 、C 所对应的数、、都不为零，且C 是AB 的中点．如果，那么原点的位置在（ ）． A ．线段AC 上 B ．线段CA 的延长线上 C ．线段BC 上 D ．线段CB 的延长线上（江苏省竞赛题） 14．若，则等于（ ）．A ．B ．C ．D ． (四川省竞赛题) 15．已知、、、是有理数，，，且，求的值． （“希望杯”邀请赛试题）16．▲在数轴上把坐标为1,2,3，…，2006的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？说明理由． （山东省竞赛题）a b c ccb b a a x -+=a b c 0222=-+--+--+c b a c b c a b a O 2-<x x y +-=11x +2x --2x x -a b c d 9≤-b a 16≤-d c 25=+--d c b a c d a b ---B C A cba。
《绝对值》 讲义
《绝对值》讲义一、什么是绝对值在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。
绝对值的定义是：一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值。
用符号“｜｜”表示。
例如，数字 5 的绝对值是 5，记作｜5| ＝ 5；数字－5 的绝对值也是 5，记作｜－5| ＝ 5。
从几何意义上看，绝对值表示的是距离，距离是没有方向的，所以绝对值总是非负的。
二、绝对值的性质1、非负性绝对值的最重要的性质就是非负性，即对于任意实数 a，都有｜a|≥ 0。
这是因为距离不可能是负数。
2、互为相反数的两个数的绝对值相等如果 a 和 a 互为相反数，那么｜a| ＝｜a|。
例如｜3| ＝｜－3| ＝ 3。
3、若｜a| ＝ a，则a ≥ 0；若｜a| ＝ a，则a ≤ 0这一性质反映了绝对值与原数之间的关系。
当绝对值等于原数时，原数是非负的；当绝对值等于原数的相反数时，原数是非正的。
4、绝对值的运算性质（1）｜ab| ＝｜a| ｜b|例如，｜2×3| ＝｜2|×｜3| ＝ 6（2）｜a/b| ＝｜a| ／｜b|（b ≠ 0）比如，｜6÷2| ＝｜6|÷｜2| ＝ 3（3）｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b|这就是著名的三角不等式，当且仅当 a 和 b 同号或至少有一个为 0 时，等号成立。
三、绝对值的求解1、当 a 为正数时，｜a| ＝ a例如，已知 a ＝ 7，则｜a| ＝ 72、当 a 为 0 时，｜a| ＝ 0比如，a ＝ 0 时，｜a| ＝ 03、当 a 为负数时，｜a| ＝ a假设 a ＝－8，那么｜a| ＝（－8) ＝ 8对于一个含有未知数的式子求绝对值，需要先判断未知数的取值范围，然后再根据不同情况进行求解。
例如，求｜x 3| 的值，需要分情况讨论：当x 3 ≥ 0 ，即x ≥ 3 时，｜x 3| ＝ x 3 ；当 x 3 ＜ 0 ，即 x ＜ 3 时，｜x 3| ＝（x 3) ＝ 3 x 。
《绝对值》PPT2
练习
(1)|-0.1|=____； (2) |-101|=____； (3)| 3 |=______； (4) |-8|=_____；
100
(5) |+6|=____ ； (6) |0| ______;
(7) -|-7.5|=_____; (8） -|+8|=_____;
a
0
则 | a | =________
3. 一个数的绝对值等于3.5 ，则这个数是___
4. 如果 a 的相反数是 -0.74，那么|a| =____
练习：回答下列问题 ①一个数的绝对值是它本身，这个数是什么数？
（正数和零）
②一个数的绝对值是它的相反数，这个数是什么数？ （负数和零）
③一个数的绝对值一定是正数吗？ （不一定）
( 6 ) 若 a = b ，则 | a | = | b | ( 7 ) 若 |a| = |b| ，则 a = b
(1)求绝对值不大于2的整数； (2)已知x是整数，且2.5＜|x|＜7，
求x．
比5较下.列各足组数球的大小赛： 中对所用足球有严格规定，下面是 5 个足球
(1的) -1 和质-5 量(检2) - 测和 -结2. 果（正数表示超过规定质量的克数，负数
。
5解＜：|x∵|＜17，＜ 5
正求数x． 负数
5（4）绝-对1.值小于3的正整数是_________
②③一个数的绝对值是一它定的是相正反数数吗，？这个数是什么数？
比5 较下列-1各. 组数的大小：
(1) -1 和 -5
(2) - 和 -2.
5 ，则这个数是___
-12
9
( 7 ) 若 |a| = |b| ，则 a = b
初中奥数提高班第4讲_绝对值(2)
第4讲绝对值（2）
绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．
一、典型例题分析
例1已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．
例2若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
例3化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
二、专项练习
练习1.已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．
练习2.设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．
练习3.若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．
三、巩固练习
1．x是什么实数时，以下等式成立：
(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；
(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．
2．化简以下各式：
(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．
3．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．
4．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？
5．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，假如｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．
(1)在A，C点的右边；
(2)在A，C点的左边；
(3)在A，C点之间；
(4)以上三种情况都有可能．。
绝对值(提高)知识讲解精编版
绝对值（提高）撰稿：孙景艳 审稿：赵炜【学习目标】1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；4. 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|.要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点二、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2.法则比较法：要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3. 作差法：设a 、b 为任意数，若a -b ＞0，则a ＞b ；若a -b ＝0，则a ＝b ；若a -b ＜0，a ＜b ；反之成立．4. 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a b<，则a b <；反之也成立． 若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、绝对值的概念(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩1．计算：（1）145--（2）|-4|+|3|+|0|（3）-|+(-8)|【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.解：(1)111444555⎡⎤⎛⎫--=---=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，(2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，(3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8．【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值．2．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．【答案与解析】解：因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4.举一反三：【变式1】(1)如果|x|＝6，|y|＝4，且x＞y，则x、y的值各是多少?【答案】x＝6，y＝±4【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为．如果｜x－2｜＝1，那么x＝；如果｜x｜＞3，那么x的范围是．【答案】6或-6；1或3；x>3或x<-3【变式3】已知| a |＝3，| b |＝4，若a，b同号，则| a +b |＝_________；若a，b异号，则| a+b |＝________．据此讨论| a+b |与| a | + | b |的大小关系．【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，由此可得：|a+b|≤|a|+|b| .类型二、比大小3．比较下列每组数的大小：(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)45-与34--；(4)π-与| 3.14|--．【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与0、负数与0、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．【答案与解析】解： (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．(3)化简得：3344--=-．这是两个负数比较大小，因为44165520-==，33154420-==，且16152020>．所以4354-<--． (4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断． 举一反三：【高清课堂：绝对值比大小 例（简单举例）】【变式1】比大小：（1） －0.3 31-（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛--91 101--． 【答案】＞；＞【高清课堂：绝对值比大小 典型例题2（最后两个）】【变式2】比大小：（1） 1.38-______－1.384；（2） －π___－3.14．【答案】＞；＜【变式3】若m ＞0，n ＜0，且|m |＞|n |，用“＞”把m ，-m ，n ，-n 连接起来．【答案】解法一：∵ m ＞0，n ＜0，∴ m 为正数，-m 为负数，n 为负数，-n 为正数．又∵ 正数大于一切负数，且|m |＞|n |，∴ m ＞-n ＞n ＞-m ．解法二：因为m ＞0，n ＜0且|m |＞|n |，把m ，n ，-m ，-n 表示在数轴上，如图所示．∵ 数轴上的数右边的数总比左边的数大，∴ m ＞-n ＞n ＞-m ． 类型三、含有字母的绝对值的化简4. 把下列各式去掉绝对值的符号．(1)|a -4|(a ≥4)；(2)|5-b |(b ＞5)．【答案与解析】(1)∵ a ≥4，∴a -4≥0，∴ |a -4|＝a -4．(2)∵ b ＞5，∴ 5-b ＜0，∴ |5-b |＝-(5-b )＝b -5．【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.举一反三：【变式1】已知有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示：化简：. 【答案】 解：由图所示，可得． ∴ 30a c ->，，，∵．∴ 原式． 【变式2】求的最小值． 【答案】解法一：当2x <-时，则 23(2)[(3)]23215x x x x x x x ++-=-++--=---+=-+>当时，则23(2)[(3)]235x x x x x x ++-=++--=+-+= 当时，则23(2)(3)23215x x x x x x x ++-=++-=++-=-> 综上：当时，取得最小值为：5.解法二：借助数轴分类讨论： ①2x <-； ②； ③.的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和．由图明显看出时取最小值． 所以，时，取最小值5.类型四、绝对值非负性的应用5. 已知a 、b 为有理数，且满足：12，则a =_______，b =________．【答案与解析】由，，，可得 ∴【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．举一反三：【变式1】已知，则x 的取值范围是________． 【答案】；提示：将看成整体，即，则，故，． 【变式2】已知b 为正整数，且a 、b 满足，求的值．【答案】解：由题意得 ∴ 所以，2b a类型五、绝对值的实际应用6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案与解析】解：因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【总结升华】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式】一只可爱的小虫从点O 出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm )依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm 就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?【答案】解：小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm )小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) 答：小虫一共可以得到108粒芝麻.。
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第4讲绝对值（2）
绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．
一、典型例题分析
例1已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．
例2若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
例3化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
二、专项练习
练习1.已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．
练习2.设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．
练习3.若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．
三、巩固练习
1．x是什么实数时，下列等式成立：
(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；
(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．
2．化简下列各式：
(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．
3．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．
4．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？
5．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．
(1)在A，C点的右边；
(2)在A，C点的左边；
(3)在A，C点之间；
(4)以上三种情况都有可能．。