高考数学一轮复习 第二章 函数 2.9 函数模型及其应用学案(文,含解析)新人教A版

学习资料
2。

9 函数模型及其应用
必备知识预案自诊
知识梳理
1。

常见的函数模型
(1）一次函数模型:f (x ）=kx+b (k ，b 为常数，k ≠0);
(2）二次函数模型:f (x ）=ax 2+bx+c (a ,b ,c 为常数,a ≠0);
（3）反比例函数模型:f (x ）=k x （k 为常数，k ≠0）； （4）指数型函数模型：f （x )=ab x +c （a ,b ,c 为常数,a ≠0，b 〉0,b ≠1）;
（5）对数型函数模型：f (x ）=m log a x+n （m ，n ，a 为常数,m ≠0，a 〉0,a ≠1)；
（6）幂型函数模型:f (x )=ax n +b (a ，b ，n 为常数,a ≠0）；
（7）分段函数模型:y={f 1(x ),x ∈D 1,
f 2(x ),x ∈D 2,f 3(x ),x ∈D 3;
(8）对勾函数模型:y=x+a x （a 为常数,a>0）。

2。

指数、对数、幂函数模型的性质比较
考点自诊
1。

判断下列结论是否正确,正确的画“√",错误的画“×"。

（1)幂函数增长比一次函数增长更快。

（ )
(2)在（0，+∞）内,随着x 的增大，y=a
x （a>1)的增长速度会超过并远远大于y=x α（α>0）的增长速度. ( ）
（3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题。

（ ）
(4)f （x )=x 2，g (x ）=2x ，h （x )=log 2x ，当x ∈（4,+∞）时,恒有h （x ）<f (x )<g (x ）。

( ）
（5）“指数爆炸"是指数型函数y=a ·b x +c (a>0,b 〉1）增长速度越来越快的形象比喻. ( ）
2。

（2020山东潍坊临朐模拟二，3)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( ）
A.6升
B.8升
C.10升 D 。

12升 3。

(2020北京平谷二模,9）溶液酸碱度是通过pH 计算的,pH 的计算公式为pH =—lg
[H +],其中[H +]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升,若人体胃酸中氢离子的浓度为
2.5×10-2摩尔/升,则胃酸的pH 是( )（参考数据：lg 2≈0.301 0)
A.1.398
B.1。

204
C 。

1.602 D.2。

602 4。

某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元，销售额x 为64万元时，奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=a log 4x+b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为 万元。

5.(2020北京朝阳期中质检,13）在一个房间使用某种消毒剂后,该消毒剂中的某种药物
含量y （单位:mg/m 3）随时间t (单位：h ）变化的规律可表示为y={at ,0<t <1
2,1at ,t ≥12,(a 〉0)如图所示,则a= 。

实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m 3时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害,则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过 小时方可进入。

关键能力学案突破
考
点利用函数图象刻画实际问题
【例1】(2020北京东城一模，10)
假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型。

假设捕食者的数量以x(t）表示,被捕食者的数量以y(t）表示。

如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向。

下列说法正确的是(）
A。

若在t1,t2时刻满足:y(t1)=y（t2),则x(t1）=x（t2）
B。

如果y(t）数量是先上升后下降的,那么x(t）的数量一定也是先上升后下降
C。

被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值
D。

被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，捕食者的数量也会达到最大值
解题心得用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律（增长的快慢、最大、最小等）与函数的性质（单调性、最值等）、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可。

对点训练1（2020北京顺义一模,14)某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图1所示。

由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案，图2、图3中的实线分别为调整后y与x的函数图象。

给出下列四种说法:
①图2对应的方案是:提高票价,并提高成本;
②图2对应的方案是:保持票价不变,并降低成本；
③图3对应的方案是：提高票价,并保持成本不变；
④图3对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中，正确的说法是 .(填写所有正确说法的编号)
考
点
已知函数模型解决实际问题
【例2】（1)(2020全国3，理4）Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域。

有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t ）（t 的单位：天）的Logistic 模型:I （t )=K
1+e -0.23(t -53),其中K 为最大确诊病例数。

当I （t *）=0。

95K 时，标志着
已初步遏制疫情，则t *约为（ )（参考数据：ln 19≈3)
A.60
B.63
C.66 D 。

69
(2）(2020北京人大附中二模，15）对于某种类型的口服药，口服x 小时后，由消化系统进入血液中药物浓度y (单位：单位)与时间x （单位：小时）的关系为y=k (e -at -e —bt ）,其中
k 〉0,b 〉a>0为常数,对于某一种药物k=4,a=1,b=2.
①口服药物后 小时血液中药物浓度最高；
②这种药物服药n （n ∈N ＊)小时后血液中药物浓度如下表，
一个病人上午8：00第一次服药，要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上,第三次服药时间是 。

(时间以整点为准)
解题心得利用已知函数模型解决实际问题的步骤
若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题.
对点训练2（1)（2020北京房山区二模,9)把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t分钟后物体的温度θ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数.现有80 ℃的物体，放在
20 ℃的空气中冷却,4分钟以后物体的温度是40 ℃,则k约等于(参考数据：ln 3≈1.099）(）
A.0。

6 B。

0.5 C.0。

4 D。

0.3
(2)对于一个声强为I（单位：W/m2)的声波,其声强级L（单位:dB）可由如下公式计算：L=10lg I
I0
（其中I0是能引起听觉的最弱声强）。

设声强为I1时的声强级为70 dB,声强为I2时的声强级为60 dB，则I1是I2的倍.
考
点
构建函数模型解决实际问
题(多考向探究)
考向1二次函数模型
【例3】（2020山东省实验中学月考）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元，0。

5万元.
（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系;
（2）若该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
解题心得在现实生活中，很多问题涉及的两个变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数的图象与单调性解决。

对点训练3经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t （单位:天）的函数，且日销售量近似地满足g （t )=—13t+
1123(1≤t ≤100,t ∈N ）。

前40天价格为f （t )=14t+22（1≤t ≤40,t ∈N ），后60天价格为f （t ）=—12t+52(41≤t ≤100,t ∈N ),试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值。

考向2 分段函数模型
【例4】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止。

每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元.
（1)写出飞机票的价格关于人数的函数;
（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解题心得1。

在现实生活中，很多问题的两个变量之间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数。

如出租车票价与路程之间的关系就是分段函数.
2。

分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围，特别是端点。

对点训练4已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万元,每生产1万部还需另投入16万元。

设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R
（x）万元，且R(x)={400-6x,0<x≤40, 7400
x
-40000
x2
,x>40.
(1）写出年利润W（单位：万元）关于年产量x(单位：万部）的函数解析式;
（2）当年产量为多少万部时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.
考向3指数型、对数型函数模型
【例5】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2％，试解答以下问题: (1）写出该城市人口总数y（单位:万人）与年份x（单位:年）的函数关系式；
（2)计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人)；
(3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人。

(精确到1年)
（参数数据：1。

01210≈1.127,1。

01215≈1.196，1。

01216≈1.210,log1。

0121.2≈15.3）
解题心得1。

在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示。

通常可以表示为y=N（1+p)x(其中N为基础数，p为增长率,x为时间)的形式。

解题时，往往用到对数运算,要注意与参考数据对应求解.
2.有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境,从中提炼出数据，代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义。

对点训练5(1)（2020北京东城一模,9）已知某池塘中的荷花每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了(）
A。

10天B。

15天 C.19天D。

2天
（2）（2020北京延庆一模,9）某企业生产A,B两种型号的产品,每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20％，那么至少经过多少年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量(取lg 2≈0.301 0）（）
A。

6年 B.7年 C.8年D。

9年
1。

解函数应用问题的步骤（四步八字）
(1)审题：弄清题意,分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言，利用数学知识,建立相
应的数学模型；
（3)解模:求解数学模型,得出数学结论;
（4）还原:将数学结论还原为实际问题的意义.
以上过程用框图表示如下：
2.实际问题中往往涉及一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、
基本不等式等求得最值。

1.解应用题的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼（如“几年后"与“第几年”),学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错。

2。

解应用题建模后一定要注意定义域.
3.解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.
2.9 函数模型及其应用
必备知识·预案自诊
知识梳理
2。

单调递增 单调递增 单调递增 y 轴
x 轴
考点自诊
1。

(1）× （2）√ （3）√ （4)√ (5）√
2。

B 因为第一次油箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量V=48升。

而这段时间内行驶的里程数S=35600—35000=600千米。

所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为48
600×100=8升，故选B 。

3.C 依题意pH =-lg （2.5×10-2）=—lg 2.5100=lg 1002.5=lg40=lg(4×10)=lg4+lg10=2lg2+1≈2×0。

3010+1=1.602.故选C 。

4。

1 024 依题意得{alog 48+b =1,alog 464+b =4,即{32a +b =1,3a +b =4.
解得a=2,b=-2.则y=2log 4x —2,当y=8时,即2log 4x-2=8，解得x=1024。

5。

2 23 由图象可知，当t=12时,y=1，即2a =1，解得a=2。

当t ≥12时,y=12t ，令y ≤0.75,得t ≥23.
关键能力·学案突破
例1C 由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等,故选项A 不正确;在曲线上半段中观察到y （t ）是先上升后下降,而x (t )是不断变小的,故选项B 不正确；捕食者数量最大时是在图象最右端,最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的数量的最值处，同样被捕食者的数量最大是在图象最上端，最小是在图象最下端,也不是捕食者数量取最值的时候,所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大值和最小值，故选项C 正确；当捕食者数量最大时在图象最右端，x (t ）∈(25,30),y （t ）∈(0，50），此时二者总和x （t )+y (t )∈
(25,80)，由图象可知存在点x (t ）=10，y （t ）=100，x （t )+y （t ）=110,所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，捕食者数量也会达到最大值，故D 错误。

对点训练1②③ 由图1可设盈利额y 与观影人数x 的函数为y=kx+b ，k>0，b 〈0，即k 为票价，当k=0时,y=b ，则-b 为固定成本，由图2知，直线向上平移，k 不变，即票价不变,b 变大，则-b 变小,成本减小。

故①错误，②正确;由图3知,直线与y 轴的交点不变，直线斜率变大，k 变大，即提高票价，b 不变，则—b 不变,成本不变.故③正确，④错误.
例2(1）C （2）①ln 2 ②15：00 (1）由K 1+e -0.23(t *-53)
=0。

95K ，得e -0.23(t *-53)=119,两边取以e 为底的对数,得—0.23（t *—53）=-ln19≈—3,所以t ＊≈66.
(2）①将k=4，a=1,b=2代入可得y=4(e -t -e
—2t ）=-41e 2t −1e t =—41e t −122+1，所以当
1e t
=12时，即t=ln2时y 取得最大值。

②病人上午8：00第一次服药3小时后血液中药物浓度将低于0.5个单位,则第二次服药时间在11：00；第一次服药后7个小时后药物残留为0。

1163，第二次服药后4小时的药物残留为0。

4680，而0.1163+0。

4680=0.5843〉0.5.
第一次服药后8小时的药物残留为0。

072,第二次服药后5小时的药物残留为0。

3010,而0。

072+0.3010=0.3730〈0.5.
综上可知，第三次服药时间为第一次服药后的7小时，即为15：00。

对点训练2（1)D （2)10 （1)由题知，80℃的物体,放在20℃的空气中冷却，4分钟以后物体的温度是40℃,则40=20+(80-20)e -4k ，从而e
—4k =13,则—4k=ln 13=—ln3,得k=14ln3≈1.0094≈0。

3.故选D 。

（2)依题意,可知70=10lg I 1I 0，60=10lg I 2I 0
, 所以70-60=10lg I 1I 0-10lg I 2I 0,则1=lg I 1I 2，所以I
1I 2=10。

例3解（1)设投资额为x (x ≥0），则两类产品的收益与投资的函数关系分别为
f (x )=k 1x ,
g (x )=k 2√x .由已知得f (1）=18=k 1,g （1）=12=k 2,所以f （x )=18
x （x ≥0）,g (x )=12
√x (x ≥0）. （2）设投资股票类产品为x (0≤x ≤20)万元,则投资债券类产品为(20-x )万元.
依题意得
y=f （20—x )+g （x ）
=20-x 8+12
√x =-x+4√x+208
=-(√x -2)2+248(0≤x ≤20).
所以当√x =2,即x=4时,收益最大，y max =3万元。

故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元。

对点训练3解由题意知，S (t ）=g （t ）f （t ）。

S （t )=
{(-13t +1123)(14t +22),1≤t ≤40,t ∈N ,(-12t +52)(-13t +1123
),41≤t ≤100,t ∈N , 当1≤t ≤40，t ∈N 时，S (t ）=—112（t —12)2+25003，
则S (40)≤S （t ）≤S (12）,即768≤S （t )≤
25003， 当41≤t ≤100,t ∈N 时,S (t )=16（t —108）2—83
， 则S (100）≤S （t ）≤S (41)，即8≤S （t ）≤
14912, 综上，当t=12时，S （t ）取最大值为
25003；
当t=100时S (t ）取最小值为8. 例4解（1）设旅行团人数为x 人,由题意得0<x ≤75(x ∈N *）,飞机票价为y 元,
则y={900,0<x ≤30,900-10(x -30),30<x ≤75,
即y={900,0<x ≤30,1200-10x ,30<x ≤75.
(2)设旅行社获利S 元,
则S={900x -15000,0<x ≤30,x (1200-10x )-15000,30<x ≤75,
即S={900x -15000,0<x ≤30,-10(x -60)2+21000,30<x ≤75,
因为S=900x —15000在区间（0，30］上单调递增,
故当x=30时，S 取最大值12000.
又因为S=-10（x —60）2+21000的对称轴为x=60，
所以当x=60时，S 在区间（30,75]上取最大值21000.
故每团人数为60时,旅行社可获得最大利润。

对点训练4解（1)当0〈x ≤40时，W=xR （x )-（16x+40）=—6x 2+384x-40，
当x>40时,W=xR (x )—（16x+40)=—40000x —16x+7360。

所以W={-6x 2+384x -40,0<x ≤40,-40000x -16x +7360,x >40.
(2)①当0〈x ≤40时,W=—6(x —32)2+6104。

所以当x=32时，W 取最大值,W max =6104；
②当x>40时,W=—40000
x -16x+7360,由于40000
x
+16x≥2√40000
x
×16x=1600,当且仅当
40000
x
=16x，即x=50时，取等号,所以W取最大值为5760.
综合①②,当x=32时，W取最大值为6104万元。

故当年产量为32万部时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大，最大利润为6104万元.
例5解(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1。

2%=100×（1+1。

2％）.
2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2％)+100×（1+1.2%)×1。

2％=100×（1+1。

2%)2.
3年后该城市人口总数为y=100×(1+1。

2%)2+100×（1+1。

2％）2×1.2％=100×
（1+1。

2%)3。

……
x年后该城市人口总数为y=100×(1+1。

2%）x.
所以该城市人口总数y（万人)与年份x(年)的函数关系式是y=100×（1+1.2%)x（x∈N ＊).
（2）10年后该城市人口总数为100×(1+1。

2％）10≈112.7(万).
所以10年后该城市人口总数约为112.7万。

（3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x≥120,1。

012x≥120
100
,所以
x≥log1.012120
100
=log1.0121.2≈15.3≈16(年).
即大约16年后该城市人口总数将达到120万人.
对点训练5(1)C（2)B（1)设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的
面积y=a·2x(x∈N＊)，根据题意，令a·2x=1
2
a·220，解得x=19,故选C。

（2)设至少经过n年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量，则10×（1+50%）n〉
40×（1+20%）n，化简得5
4n>4，取对数可得n>2lg2
lg5-2lg2
≈2×0.3010
1-3×0.3010
≈7。

故至少经过7年
后,A产品的年产量会超过B产品的年产量。