高考数学一轮复习课时作业二十五 理 试题

课时(kèshí)作业(二十五)
1．设a 是任一向量(xiàngliàng)，e 是单位向量，且a ∥e ，那么(nà me)以下表示形式中正确的选项是( )
A ．e ＝a
|a |
B ．a ＝|a |e
C ．a ＝－|a |e
D ．a ＝±|a |e
答案(dá àn) D
解析 对于A ，当a ＝0时，
a
|a |
没有意义，错误； 对于B 、C 、D 当a ＝0时，选项B 、C 、D 都对； 当a ≠0时，由a ∥e 可知，a 与e 同向或者反向，选D.
2．a 、b 、a ＋b 为非零向量，且a ＋b 平分a 与b 的夹角，那么( ) A ．a ＝b B ．a ＝－b C ．|a |＝|b | D ．以上都不对
答案 C
3．如下图，D 是△ABC 的边AB 上的中点，那么向量CD →
等于( )
A ．－BC →＋12BA →
B ．－B
C →－12BA →
C.BC →－12BA →
D.BC →＋12
BA →
答案 A
解析 ∵D 是AB 的中点，∴BD →＝12BA →
.
∴CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12
BA →.
4．(2021·调研(diào yán)卷)设a 、b 为不一共(yīgòng)线的非零向量，AB →
＝2a ＋3b ，BC →＝－8a －2b ，CD →
＝－6a －4b ，那么(nà me)( )
A.AD →与BC →同向，且|AD →|>|BC →|
B.AD →与BC →同向，且|AD →|<|BC →|
C.AD →与BC →反向(fǎn xiànɡ)，且|AD →|>|BC →|
D.AD →∥BD → 答案 A
解析 AD →
＝AB →
＋BC →
＋CD →＝2a ＋3b ＋(－8a －2b )＋(－6a －4b )＝－12a －3b ，BC →
＝－8a －2b ，
∴AD →＝32
BC →，
∴AD →与BC →同向，且|AD →|＝32|BC →|.
∴|AD →|>|BC →
|.应选A.
5．P ，A ，B ，C 是平面内四点，且PA →＋PB →＋PC →＝AC →
，那么一定有( ) A.PB →＝2CP →
B.CP →＝2PB →
C.AP →＝2PB →
D.PB →＝2AP →
答案 D
解析 由题意得PA →＋PB →＋PC →＝PC →－PA →，即PB →＝－2PA →＝2AP →
，选D.
6．(2021·文)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定(ɡěi dìnɡ)的4个不同点，那么使MA 1→
＋MA 2→
＋MA 3→
＋MA 4→
＝0成立(chénglì)的点M 的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
答案(dá àn) B
7．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →
＝－5a －3b ，那么(nà me)四边形ABCD 的形状是( )
A ．矩形
B ．平行四边形
C ．梯形
D ．以上都不对 答案 C
解析 由AD →＝AB →＋BC →＋CD →
＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →
.
∴AD →∥BC →，又AB →与CD →
不平行，∴四边形ABCD 是梯形．
8．设e 是与向量AB →一共线的单位向量，AB →＝3e ，又向量BC →＝－5e ，假设AB →＝λAC →
，那么λ＝________.
答案 －3
2
解析 AC →＝AB →＋BC →
＝3e －5e ＝－2e ，
由AB →＝λ·AC →得3e ＝λ·(－2)·e ，∴λ＝－32
.
9．O 为△ABC 内一点，且OA →
＋OC →
＋2OB →
＝0，那么△AOC 与△ABC 的面积之比是
________．
答案(dá àn) 1:2 解析(jiě xī)
如图，取AC 中点D . OA →
＋OC →＝2OD →， ∴OD →＝BO →，
∴O 为BD 中点，∴面积(miàn jī)比为高之比．
10．(2021·苏北四调研(diào yán))a ，b 是不一共线的向量，假设AB →＝λ1a ＋b ，AC →
＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，那么A 、B 、C 三点一共线的充要条件为________．
答案 λ1λ2－1＝0
解析 A 、B 、C 三点一共线⇔AB →∥AC →
⇔λ1λ2－1×1＝0⇔λ1λ2＝1，应选C
11．△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →
＝2DB →
，CD →
＝rAB →
＋sAC →
，那么r ＋s 的值是________．
答案 0 解析
CD →
＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →. ∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →.
∴32CD →＝AB →－AC →， ∴CD →＝23AB →－23
AC →.
又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，
∴r ＋s ＝0.
12．：任意(rènyì)四边形ABCD 中，E 、F 分别(fēnbié)是AD 、BC 的中点(zhōnɡ diǎn)，求证：EF →＝12
(AB →＋DC →
)．
答案(dá àn) 略
证明 如下图，∵E 、F 是AD 与BC 的中点，∴EA →＋ED →＝0，FB →＋FC →
＝0， 又∵AB →＋BF →＋FE →＋EA →
＝0，
∴EF →＝AB →＋BF →＋EA →
，① 同理 EF →＝ED →＋DC →＋CF →
，②
由①＋②得，2EF →＝AB →＋DC →＋(EA →＋ED →)＋(BF →＋CF →)＝AB →＋DC →
， ∴EF →＝12(AB →＋DC →
)．
13.
如下(rúxià)图，△ABC 中，点M 是BC 的中点(zhōnɡ diǎn)，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交(xiāngjiāo)于点P ，求AP ∶PM 的值．
答案(dá àn) 4∶1 解 设BM →＝e 1，CN →
＝e 2，
那么AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →
＝2e 1＋e 2，
∵A 、P 、M 和B 、P 、N 分别一共线，∴存在λ、μ∈R ， 使AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2，BP →＝μBN →
＝2μe 1＋μe 2. 故BA →＝BP →－AP →
＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2，
而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ＋2μ＝2
3λ＋μ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝45μ＝3
5
，
∴AP →＝45AM →，∴PM →＝15AM →，
即AP ∶PM ＝4∶1.
14．(2021·期末)点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA →＋GB →＋GO →；
(2)假设PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1
n
＝3.
答案 (1)0 (2)略
解析(jiě xī) (1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →
， ∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →
＝0.
(2)证明(zhèngmíng) 显然OM →＝1
2(a ＋b )．
因为(yīn wèi)G 是△ABO 的重心(zhòngxīn)， 所以OG →＝23OM →＝1
3
(a ＋b )．
由P 、G 、Q 三点一共线，得PG →∥GQ →
， 所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →
. 而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝(13－m )a ＋1
3b ，
GQ →
＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋(n －1
3)b ，
所以(13－m )a ＋13b ＝λ[－13a ＋(n －1
3)b ]．
又因为a 、b 不一共线，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
13－m ＝－13
λ13＝λn －1
3，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，
故1m ＋1
n
＝3.
1.
(2021·期末(qī mò))如下图，在△ABC 中，BD →
＝12DC →，AE →
＝3ED →，假设(jiǎshè)AB →＝
a ，AC →＝
b ，那么(nà me)BE →
等于(děngyú)( )
A.13a ＋13b B ．－12a ＋1
4b
C.12a ＋14b D ．－13a ＋13b
答案 B
解析 BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋34AD →
＝BA →＋34(AB →＋BD →)＝BA →＋34AB →＋34BD →
＝－14AB →＋34×13BC →＝－14AB →＋14
(BA →＋AC →)
＝－12AB →＋14AC →＝－12a ＋14
b .
2．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，那么AD →＋BE →＋CF →与BC →
( )
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
答案 A
解析 求解此题应先建立向量AD →
＋BE →
＋CF →
与BC →
的线性关系，再根据平面向量的平行和垂直的充要条件进展判断．
由题意(tí yì)，得DC →＝DA →＋AC →，BD →＝BA →＋AD →
.
又DC →＝2BD →，所以(suǒyǐ)DA →＋AC →＝2(BA →＋AD →)．所以(suǒyǐ)AD →＝13AC →＋23AB →.
同理，得BE →＝13BC →＋23BA →，CF →＝13CA →＋23
CB →
.
将以上(yǐshàng)三式相加，得AD →＋BE →＋CF →＝－13
BC →
.应选A.
3．四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )的充要条件是AP →
＝λ(AB →＋AD →
)，那么λ的取值范围是( )
A ．λ∈(0,1)
B ．λ∈(－1,0)
C ．λ∈(0，2
2
) D ．λ∈(－
2
2
，0) 答案 A
解析 如图，∵点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )， ∴AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，由AP →与AC →
同向知，λ>0； 又|AP →|<|AC →|，
∴AP →
AC →＝|AP →||AC →|＝λ<1，∴λ∈(0,1)，反之亦然． 4.
如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点(zhōnɡ diǎn)．过点O 的直线(zhíxiàn)分别交直线AB 、AC 于不同(bù tónɡ)的两点M 、N ，假设(jiǎshè)AB →＝mAM →，AC →＝nAN →
，那么m ＋n 的值是________．
答案 2
解析 AO →＝12
(AB →＋AC →)
＝m 2AM →＋n 2
AN →
， ∵M 、O 、N 三点一共线，∴m 2＋n
2
＝1， ∴m ＋n ＝2，故填2.
1.
如图，△ABC 中，AD ＝2BD ，AE ＝3EC ，CD 与BE 交于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →
＝x a ＋y b ，那么(x ，y )为( )
A ．(13，12
) B ．(14，13) C ．(37，37
) D ．(25，920
) 答案(dá àn) A
解析(jiě xī) 设BF →＝λBE →，那么(nà me)AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋λBE →
＝AB →＋λ(34AC →－AB →
)＝(1－λ)AB →＋34
λAC →， 同理，设CF →＝μCD →，那么(nà me)AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋μCD →＝23
μAB →＋(1－μ)AC →
，对应相等可得λ＝23，所以AF →＝13AB →＋12
AC →，应选A. 2．设a 、b 是不一共线的两个非零向量，
(1)假设OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →
＝a －3b ，
求证：A 、B 、C 三点一共线；
(2)假设8a ＋k b 与k a ＋2b 一共线，务实数k 的值．
解析 (1)∵AB →
＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b ，
而BC →＝(a －3b )－(3a ＋b )＝－2a －4b ＝－2AB →
，
∴AB →与BC →
一共线，且有公一共端点B ，
∴A 、B 、C 三点一共线．
(2)∵8a ＋k b 与k a ＋2b 一共线，
∴存在实数λ，使得
(8a ＋k b )＝λ(k a ＋2b )
⇒(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0，
∵a 与b 不一共(yīgòng)线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 8－λk ＝0k －2λ＝0⇒8＝2λ2
⇒λ＝±2， ∴k ＝2λ＝±4.
3．设M 、N 、P 是△ABC 三边(sān biān)上的点，它们使BM →＝13
BC →，CN →
＝13CA →，AP →＝13
AB →
，假设(jiǎshè)AB →＝a ，AC →＝b ，试用(shìyòng)a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．
分析 取a 、b 作为一组基底，根据向量的线性运算表示出向量MN →、NP →、PM →
即可． 解析 如以下图所示，
MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23
CB →
＝－13AC →－23
(AB →－AC →
) ＝13AC →－23AB →＝13b －23
a . 同理可得NP →＝13a －23
b ， PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13a ＋13
b .
内容总结
（1）课时作业(二十五)
1．设a 是任一向量，e 是单位向量，且a ∥e ，那么以下表示形式中正确的选项是( )
A ．e ＝eq \f(a,|a|)
B ．a ＝|a|e
C ．a ＝－|a|e
D ．a ＝±|a|e
答案 D
解析对于A，当a＝0时，eq \f(a,|a|)没有意义，错误。