七年级-人教版(2024新版)-数学-上册-【课件】初中数学-七年级上册-第四章-4
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abc＝100a＋10b＋c＝99a ＋9b＋（a＋b＋c）． 显然 99a，9b 能被 3 整除，因此，如果a＋b＋c能被3整除，那 么 99a＋9b＋（a＋b＋c）就能被3整除，即abc能被3整除．
若一个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为 a，b，c，d，则通常记这个四位数为abcd．于是 abcd＝1 000a＋100b＋10c＋d＝ 999a＋99b＋9c＋（a＋b＋c＋d）．
变式 如图，用式子表示圆环的面积．当R＝15 cm，
r
r＝10 cm时，求圆环的面积（π 取3.14）．
R
解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环的面积， 所以圆环的面积是πR2－πr2． 当R＝15 cm，r＝10 cm时， 圆环的面积（单位：cm2）是 πR2－πr2＝3.14×152－3.14×102＝392.5． 这个圆环的面积是392.5 cm2．
所有项的次数之和.
例3 用多项式填空，并指出它们的项和次数. （1） 一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方 形的周长为__2_a_＋__2_b_． （2）m 为一个有理数，m 的立方与 2 的差为__m_3_－__2__. （3）某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放 a 辆， 为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收 b辆.第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为 _2_a_－__1_2_b_.
例1 请指出下列式子中的多项式：
（1）12 xy3－5x＋3;
（2）a
2
2
b2
;
（3）m2mnn ;
（4）－7．
解：根据“多项式是几个单项式的和”进行判断即可．
（1）可看成单项式
1 2
xy3，－5x，3的和；
（2）可看成单项式 a2 ，b2 的和；
22
（3）分母中含有字母，显然不符合题意；
（4）是单项式．
变式中涉及了多项式的求值问题，你能根据此问题的解答总 结出多项式的求值步骤吗？
第1步：代入，即用具体数值代替多项式里的字母； 第2步：计算，即按多项式中的运算顺序计算出结果．
注意事项 代数式中原来省略的乘号，在代入具体数值后出现数与数 相乘时，必须恢复乘号； 计算时注意运算顺序，同时考虑用运算律简化运算．
多项式的相关概念
多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．
x²－2x ＋18
多项式的次数
思考 多项式的次数与单项式的次数有什么区别？
从定义来区分： 一个单项式中，所有字母的指数的和，叫作这个单项式的次数． 多项式里，次数最高的项的次数，就是多项式的次数，而不是所 有项的次数的和．
仔细观察下面的动图，想一想单项式和多项式有什么关系？
的面积是__a_b_－__π_r_²__．
b
a
．r
思考 列出的这些式子有什么共同特点？与单项式有什么联系？ x＋2y＋2z， a＋b＋c， ab－πr²．
单项式x，2y 与2z的和
单项式a，b 单项式ab与
与c的和
－πr²的和
这些式子中都有加、减运算，都可以看作几个单项式的和．
多项式的定义
x＋2y＋2z， a＋b＋c， ab－πr²．
（4）现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤 信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边 三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等 边三角形的高为b，那么这个印章的表面积为__1_8_a_2＋__4_a_b___.
解：（1）2a＋2b，它的项分别为2a，2b，次数是1. （2）m3－2，它的项分别为m3，－2 ，次数是3. （3）2a－12b，它的项分别为2a，－12b，次数是1. （4）18a2＋4ab，它的项分别为18a2， 4ab，次数是2.
自然数被3整除的规律 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，⋯这样的自然数 能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能 被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形．
若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记 这个两位数为ab．于是
所以，（1）（2）是多项式．
归纳
（1）利用定义判断多项式，其关键是看式子是否是单项 式的和，是哪几个单项式的和；
（2）多项式是由单项式组成的，但不能说多项式包含单 项式，它们是两个不同的概念，没有从属关系．
例2 指出下列多项式的项与次数：
（1） a3－a2b＋ab2－b3；
（2）3n4－2n2＋1．
显然 999a，99b ，9c能被3整除，因此，如果a ＋b＋c＋d 能被3 整除，那么abcd ＝999a＋99b＋9c＋（a＋b＋c＋d）就能被3整 除，即abcd能被3整除．
所以，如果一个自然数所有数位上的数字之和是3的倍数， 那么原数就是3的倍数，由此可以拓展到所有自然数．
整式
单项式ห้องสมุดไป่ตู้
系数 单项式中的数字因数 次数 所有字母的指数的和
仔细观察下面的动图，想一想单项式和多项式有什么关系？
思考 多项式是几个单项式的和，那么多项式与单项式有统称吗？
整式的概念 单项式与多项式统称整式．
单项式、多项式、整式之间有什么关系？ 整式包含单项式和多项式，其包含关系如图．
单项式 多项式
整式
多项式是几个单项式的和，单项式与多项式统称整式， 但不能说整式是单项式或整式是多项式．
多项式
项 多项式中的每个单项式 叫作多项式的项
次数 多项式中次数最高的项的次数
整式（第2课时）
填空：
1．买一个书包需要x元，买一支铅笔需要 y 元，买一个本子需要 z 元，买 1 个书包、2 支铅笔、2 个本子共需要__(_x_＋__2_y＋__2_z_)__元．
2 ．若三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的周长是 _a_＋__b_＋__c_．
3．如下图，长方形的宽为 a，长为 b，圆的半径为 r，则阴影部分
解： （1）多项式 a3－a2b＋ab2－b3的项有 a3，－a2b，ab2，
－b3，次数是 3．
（2）多项式3n4－2n2＋1的项有3n4 ，－2n2，1，次数是4．
确定多项式的项和次数应注意的问题：
1.多项式由单项式组成，所以它的每一项必须都是单项式. 2.多项式的每一项都包括它前面的符号，有正号也有负号. 3.多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，而不是
ab＝10a＋b＝9a＋（a＋b）．
显然 9a 能被3整除，因此，如果 a＋b 能被3整除，那么 9a＋ （a＋b）就能被3整除，即ab能被3整除．
请你用类似的方法表示三位数、四位数，并说明前面结 论的道理．你还可以继续研究五位数、六位数等情形吗？
解：若一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a， b，c，则通常记这个三位数为abc．于是
单项式x，2y 与2z的和
单项式a，b 单项式ab与
与c的和
－πr²的和
像上面的式子这样，几个单项式的和叫作多项式．
多项式的相关概念 多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项．
多项式的首项前面 为正号时，“＋” 省略不写．
x²－2x ＋18
＋x² －2x 常数项
多项式中的项前面的“－”一定要写．
若一个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为 a，b，c，d，则通常记这个四位数为abcd．于是 abcd＝1 000a＋100b＋10c＋d＝ 999a＋99b＋9c＋（a＋b＋c＋d）．
变式 如图，用式子表示圆环的面积．当R＝15 cm，
r
r＝10 cm时，求圆环的面积（π 取3.14）．
R
解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环的面积， 所以圆环的面积是πR2－πr2． 当R＝15 cm，r＝10 cm时， 圆环的面积（单位：cm2）是 πR2－πr2＝3.14×152－3.14×102＝392.5． 这个圆环的面积是392.5 cm2．
所有项的次数之和.
例3 用多项式填空，并指出它们的项和次数. （1） 一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方 形的周长为__2_a_＋__2_b_． （2）m 为一个有理数，m 的立方与 2 的差为__m_3_－__2__. （3）某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放 a 辆， 为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收 b辆.第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为 _2_a_－__1_2_b_.
例1 请指出下列式子中的多项式：
（1）12 xy3－5x＋3;
（2）a
2
2
b2
;
（3）m2mnn ;
（4）－7．
解：根据“多项式是几个单项式的和”进行判断即可．
（1）可看成单项式
1 2
xy3，－5x，3的和；
（2）可看成单项式 a2 ，b2 的和；
22
（3）分母中含有字母，显然不符合题意；
（4）是单项式．
变式中涉及了多项式的求值问题，你能根据此问题的解答总 结出多项式的求值步骤吗？
第1步：代入，即用具体数值代替多项式里的字母； 第2步：计算，即按多项式中的运算顺序计算出结果．
注意事项 代数式中原来省略的乘号，在代入具体数值后出现数与数 相乘时，必须恢复乘号； 计算时注意运算顺序，同时考虑用运算律简化运算．
多项式的相关概念
多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．
x²－2x ＋18
多项式的次数
思考 多项式的次数与单项式的次数有什么区别？
从定义来区分： 一个单项式中，所有字母的指数的和，叫作这个单项式的次数． 多项式里，次数最高的项的次数，就是多项式的次数，而不是所 有项的次数的和．
仔细观察下面的动图，想一想单项式和多项式有什么关系？
的面积是__a_b_－__π_r_²__．
b
a
．r
思考 列出的这些式子有什么共同特点？与单项式有什么联系？ x＋2y＋2z， a＋b＋c， ab－πr²．
单项式x，2y 与2z的和
单项式a，b 单项式ab与
与c的和
－πr²的和
这些式子中都有加、减运算，都可以看作几个单项式的和．
多项式的定义
x＋2y＋2z， a＋b＋c， ab－πr²．
（4）现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤 信的印章如图所示，它由18个相同的正方形和8个相同的等边 三角形围成．如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等 边三角形的高为b，那么这个印章的表面积为__1_8_a_2＋__4_a_b___.
解：（1）2a＋2b，它的项分别为2a，2b，次数是1. （2）m3－2，它的项分别为m3，－2 ，次数是3. （3）2a－12b，它的项分别为2a，－12b，次数是1. （4）18a2＋4ab，它的项分别为18a2， 4ab，次数是2.
自然数被3整除的规律 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，⋯这样的自然数 能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能 被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形．
若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记 这个两位数为ab．于是
所以，（1）（2）是多项式．
归纳
（1）利用定义判断多项式，其关键是看式子是否是单项 式的和，是哪几个单项式的和；
（2）多项式是由单项式组成的，但不能说多项式包含单 项式，它们是两个不同的概念，没有从属关系．
例2 指出下列多项式的项与次数：
（1） a3－a2b＋ab2－b3；
（2）3n4－2n2＋1．
显然 999a，99b ，9c能被3整除，因此，如果a ＋b＋c＋d 能被3 整除，那么abcd ＝999a＋99b＋9c＋（a＋b＋c＋d）就能被3整 除，即abcd能被3整除．
所以，如果一个自然数所有数位上的数字之和是3的倍数， 那么原数就是3的倍数，由此可以拓展到所有自然数．
整式
单项式ห้องสมุดไป่ตู้
系数 单项式中的数字因数 次数 所有字母的指数的和
仔细观察下面的动图，想一想单项式和多项式有什么关系？
思考 多项式是几个单项式的和，那么多项式与单项式有统称吗？
整式的概念 单项式与多项式统称整式．
单项式、多项式、整式之间有什么关系？ 整式包含单项式和多项式，其包含关系如图．
单项式 多项式
整式
多项式是几个单项式的和，单项式与多项式统称整式， 但不能说整式是单项式或整式是多项式．
多项式
项 多项式中的每个单项式 叫作多项式的项
次数 多项式中次数最高的项的次数
整式（第2课时）
填空：
1．买一个书包需要x元，买一支铅笔需要 y 元，买一个本子需要 z 元，买 1 个书包、2 支铅笔、2 个本子共需要__(_x_＋__2_y＋__2_z_)__元．
2 ．若三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的周长是 _a_＋__b_＋__c_．
3．如下图，长方形的宽为 a，长为 b，圆的半径为 r，则阴影部分
解： （1）多项式 a3－a2b＋ab2－b3的项有 a3，－a2b，ab2，
－b3，次数是 3．
（2）多项式3n4－2n2＋1的项有3n4 ，－2n2，1，次数是4．
确定多项式的项和次数应注意的问题：
1.多项式由单项式组成，所以它的每一项必须都是单项式. 2.多项式的每一项都包括它前面的符号，有正号也有负号. 3.多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，而不是
ab＝10a＋b＝9a＋（a＋b）．
显然 9a 能被3整除，因此，如果 a＋b 能被3整除，那么 9a＋ （a＋b）就能被3整除，即ab能被3整除．
请你用类似的方法表示三位数、四位数，并说明前面结 论的道理．你还可以继续研究五位数、六位数等情形吗？
解：若一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a， b，c，则通常记这个三位数为abc．于是
单项式x，2y 与2z的和
单项式a，b 单项式ab与
与c的和
－πr²的和
像上面的式子这样，几个单项式的和叫作多项式．
多项式的相关概念 多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项．
多项式的首项前面 为正号时，“＋” 省略不写．
x²－2x ＋18
＋x² －2x 常数项
多项式中的项前面的“－”一定要写．